En presente Cuaderno de trabajo brinda las técnicas de derivación apropiadas en las operaciones con funciones reales.

1. Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda
Programa: Ing. Biomédica
Unidad Curricular: Matemática I
𝑦 = 𝑓´(𝑥) + 𝑔´(𝑥)
Prof. Ing. Jocabed Pulido (Esp.)
Coro, septiembre de 2021
EXPERIENCIA 2

2. TÉCNICAS BÁSICAS PARA LA DERIVACIÓN APLICADAS A LAS OPERACIONES CON FUNCIONES
REALES
Debemos tener en cuenta que en Matemática existen cuatro operaciones básicas la suma, la resta,
la multiplicación y la división. Ya hemos aprendido las derivadas de las funciones básicas, ahora en
el Cuaderno de Trabajo Experiencia 2 vamos a estudiar la forma de resolver derivadas cuando
tengamos una suma, una resta, multiplicación y división de funciones.
Caso 6: Derivada una Suma o Resta de Funciones
Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces 𝑓 ± 𝑔 también es diferenciable en x y se
cumple lo siguiente:
𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)
𝑦´
= 𝑓´(𝑥) ± 𝑔´(𝑥)
Ejemplo:
Encontrar la derivada de la función 𝑦 = 𝑒𝑥
+ 𝑥3
𝑦´ = (𝑒𝑥)´
+ (𝑥3)´
𝑦´ = 𝑒𝑥
+ 3𝑥2
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función 𝑦 = 𝑥5
− 𝑥4
𝑦´ = (𝑥5)´
− (𝑥4)´
𝑦´ = 5𝑥5−1
− 4𝑥4−1
𝑦´ = 4𝑥4
− 4𝑥3
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función 𝑦 = 4𝑥2
− 6𝑥 + 1
𝑦´ = 4. (𝑥2)´
− 6. (𝑥)´
+ (1)´
𝑦´ = 4. (2𝑥) − 6. (1) + 0
𝑦´ = 8𝑥 − 6
Fíjate que en este ejemplo
se aplican la derivada de la
función potencia y de la
función exponencial

3. ACTIVIDAD 1
Encuentra la derivada de las funciones que se muestran a continuación en cada caso aprovecha
las ayuda rellena los espacios en blanco y aprende.
𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
𝑓´(𝑥) = (𝑥2)´
+ (2𝑥)´
+ (1)´
𝑓´(𝑥) =
𝑓(𝑥) = 0,5𝑥4
− 0,3𝑥2
+ 2,5𝑥
𝑓´(𝑥) = (0,5𝑥4)´
− (0,3𝑥2)´
+ (2,5𝑥)´
𝑓´(𝑥) =
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
+ √𝑥 + √2
𝑓´(𝑥) = (𝑒𝑥)´
+ (√𝑥)
´
+ (√2)
´
𝑓´(𝑥) =
𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥
− 2√𝑥 + 𝑏
𝑓´(𝑥) = (3𝑒𝑥)´
+ (2√𝑥)
´
+ (𝑏)´
𝑓´(𝑥) =
Caso 7: Derivada de un Producto de Funciones
Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces f.g también es diferenciable en x y se cumple lo
siguiente
𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
𝑦´
= 𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥)
Ejemplo: Derivar 𝑦 = 𝑥. 𝑒𝑥
En todo producto de funciones debemos aplicar la fórmula del Caso 7. Para efectos del ejercicio
𝑓(𝑥) está representada por x y 𝑔(𝑥) está representada por la función exponencial 𝑒𝑥
.
Recomendaciones: La derivada de un producto no es directa como en el caso de la suma te
recomendamos ir paso a paso tal como en el ejemplo y memorizar la siguiente regla de oro

4. Apliquemos la regla de oro a nuestra función: 𝑦´ = (𝑥)´
. 𝑒𝑥
+ 𝑥. (𝑒𝑥)´
Luego debemos resolver las derivadas planteadas, dejando indicadas las que están sin derivar. Es
importante recordar los conocimientos previos adquiridos en el Cuaderno de Trabajo en Derivadas
Experiencia 1 Resolviendo las derivadas planteadas 𝑦´ = (1). 𝑒𝑥
+ 𝑥. (𝑒𝑥) = 𝑒𝑥
+ 𝑥. 𝑒𝑥
Ejemplo: Encuentra la derivada de la función 𝑦 = 𝑥. √𝑥
Aplicando la regla de oro del producto de funciones tenemos
𝑦´ = (𝑥)´
. √𝑥 + 𝑥. (√𝑥)
´
Luego debemos resolver las derivadas planteadas
𝑦´ = (1). √𝑥 + 𝑥.
1
2√𝑥
𝑦´ = √𝑥 + 𝑥.
1
2√𝑥
REGLA DE ORO EN EL PRODUCTO DE FUNCIONES:
La primera función derivada por la segunda sin derivar más la primera función sin
derivar por la segunda función derivada
RECORDATORIO
Si 𝑦 = √𝑥
entonces
𝑦´ =
1
2√𝑥
Ejemplo: Hallar la derivada de la función
𝑓(𝑥) = (𝑥3
+ 1). (𝑥2
− 8)
Aplicamos la regla de oro
𝑦´ = (𝑥3
+ 1)´
. (𝑥2
− 8) + (𝑥3
+ 1). (𝑥2
− 8)´
Luego resolvemos las derivadas
𝑦´ = (3𝑥2
+ 0). (𝑥2
− 8) + (𝑥3
+ 1). (2𝑥 − 0)
Realizamos las sumas o restas correspondientes y
tenemos el resultado final
𝑦´ = 3𝑥2
. (𝑥2
− 8) + (𝑥3
+ 1). 2𝑥

5. ACTIVIDAD 2
Encuentra la derivada de las funciones que se muestran a continuación en cada caso aprovecha
las ayuda rellena los espacios en blanco y aprende.
𝑦 = √𝑥. 𝑒𝑥
𝑦´ = (√𝑥)
´
. 𝑒𝑥
+ √𝑥. (𝑒𝑥)´
𝑦´ =
𝑦 = 𝑥3
. 𝑒𝑥
𝑦´ =
𝑦 = (√𝑥 − 1). (√𝑥 + 1)
𝑦´ = (√𝑥 − 1)
´
. (√𝑥 + 1) + (√𝑥 − 1). (√𝑥 + 1)
´
𝑦´ =
𝑦 = √𝑥. (𝑥2
− 𝑥 + 5)
Caso 8: Derivada de un Cociente de Funciones
Si f y g son diferenciables en x y 𝑔(𝑥) ≠ 0; entonces
𝒇
𝒈
es diferenciable en x y se cumple:
𝑦´
=
𝑓´(𝑥). 𝑔´(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔´(𝑥)
(𝑔(𝑥))
2
Ejemplo:
Derivar la función que se muestra a continuación
Aplicando la fórmula del Caso 8 (Derivada de un Cociente) se tiene
𝑦´ =
(2𝑥3
− 1)´
. (𝑥2
+ 3) − (2𝑥3
− 1). (𝑥2
+ 3)´
(𝑥2 + 3)2
𝑦 =
2𝑥3
− 1
𝑥2 + 3
REGLA DE ORO EN EL COCIENTE DE FUNCIONES:
La primera función derivada por la segunda sin derivar MENOS la primera función
sin derivar por la segunda función derivada ENTRE la segunda función al cuadrado

6. 𝑦´ =
6𝑥2
. (𝑥2
+ 3) − (2𝑥3
− 1). 2𝑥
(𝑥2 + 3)2
Ejemplo:
Derivar la función que se muestra a continuación
Aplicando la fórmula del Caso 8 (Derivada de un Cociente) se tiene
𝑦´ =
(𝑎2
+ 𝑥2)´
. (𝑎2
− 𝑥2) − (𝑎2
+ 𝑥2). (𝑎2
− 𝑥2)´
(𝑎2 − 𝑥2)2
Nota: Para efecto de este ejemplo vamos a establecer como criterio que todo lo que no sea x es una
constante por lo que se le aplicara el caso 1.
𝑦´ =
(𝑎2
+ 𝑥2)´
. (𝑎2
− 𝑥2) − (𝑎2
+ 𝑥2). (𝑎2
− 𝑥2)´
(𝑎2 − 𝑥2)2
𝑦´ =
(0 + 2𝑥). (𝑎2
− 𝑥2) − (𝑎2
+ 𝑥2). (0 − 2𝑥)
(𝑎2 − 𝑥2)2
𝑦´ =
2𝑥. (𝑎2
− 𝑥2) − (𝑎2
+ 𝑥2). (−2𝑥)
(𝑎2 − 𝑥2)2
ACTIVIDAD 3
Encuentra la derivada de las funciones que se muestran a continuación en cada caso aprovecha
las ayuda rellena los espacios en blanco y aprende.
𝑦 =
𝑥
𝑥 − 8
𝑦´ =
(𝑥)´
. (𝑥 − 8) − 𝑥. (𝑥 − 8)´
(𝑥 − 8)2
𝑦´ =
𝑦 =
𝑒𝑥
− 1
𝑒𝑥 + 1
𝑦´ =
(𝑒𝑥
− 1)´
. (𝑒𝑥
+ 1) − (𝑒𝑥
− 1). (𝑒𝑥
+ 1)´
(𝑒𝑥 + 1)2
=
𝑦 =
𝑎2
+ 𝑥2
𝑎2 − 𝑥2

7. EJERCICIOS PROPUESTOS
PARTE I: DESARROLLO
Encuentra las derivadas de las funciones que se presentan a continuación:
1) 𝑦 = 2𝑥 + √𝑥 − √2
2) 𝑦 = 𝑥3
− 4𝑥 + 5
3)𝑦 = (5𝑥4
− 4𝑥5). (3𝑥2
+ 2𝑥3)
4)𝑦 = 𝑥
1
3. 𝑒𝑥
5)𝑦 = (5𝑥4
− 4𝑥5). (3𝑥2
+ 2𝑥3)
6)𝑦 = 𝑥. (𝑥2
− 𝑥 + 5)
7)𝑦 =
5𝑥
(1 + 2𝑥2)
8)𝑦 =
𝑒𝑥
1 + 𝑥2
9)𝑦 =
1 − √𝑥
1 + 2√𝑥
10)𝑦 =
𝑥2
+ 1
𝑥2 − 1
− (𝑥 − 1). (𝑥2
+ 1)
PARTE II: APRENDIZAJE DE LA EXPERIENCIA
1.El ejercicio N°6 𝑦 = 𝑥. (𝑥2
− 𝑥 + 5) es muy sencillo pero tiene dos maneras de realizarse y en
ambas el resultado de la derivada es el mismo realizando las simplificaciones respectivas.
Indica los procedimientos a seguir en ambos casos y el resultado de la derivada de la función.
2. En el ejercicio N°10 𝑦 =
𝑥2+1
𝑥2−1
− (𝑥 − 1). (𝑥2
+ 1) debes aplicar tanto la derivada de un producto
como la derivada de un cociente de funciones. Piensa en alguna simplificación que te pudiera hacer
más fácil el cálculo de la derivada.