This document contains exercises to classify different types of differential equations based on their order, degree, linearity, and to determine the independent and unknown functions. It also contains exercises to find the differential equation that a given function satisfies, and to verify if a given function satisfies a given differential equation. The exercises provide the step-by-step workings and solutions.

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN SISTEMA DE CALIDAD Y
AMBIENTE.
Matemática Aplicada.
Unidad I.
Integrante:
Johelbys Campos C.I.: 24.156.988
Trayecto 3 Fase 2
Grupo-A
Febrero de 2021

2. Ejercicios propuestos 1.1:
En los siguientes problemas, clasifique cada ecuación diferencial, según su
orden, grado (si es posible) y si es lineal o no. Determine la función desconocida
y la variable independiente.
𝟒) (𝟏 − 𝒙)𝒚𝒏
− 𝟒𝒙´ + 𝟓𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
Solución:
Orden: E.D.O orden “n”
Grado: 1
Linealidad: no lineal
Variable independiente: 𝑥
Función desconocida: (1 − 𝑥)𝑦𝑛
− 4𝑥´ + 5𝑦
𝟖)
𝒅𝟐
𝒚
𝒅𝒙𝟐
= √𝟏 + (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
)
𝟐
Solución:
Orden: E.D.O orden 2
Grado: 2
Linealidad: no lineal
Variable independiente: 𝑥
Función desconocida:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
𝟏𝟐)
𝒅𝒏
𝒙
𝒅𝒚𝒏
= 𝒚𝟐
+ 𝟏
Solución:
Orden: E.D.O orden “n”
Grado: 1
Linealidad: no lineal
Variable independiente: 𝑦
Función desconocida:
𝑑𝑛𝑥
𝑑𝑦𝑛

3. Ejercicios propuestos 1.2:
Encontrar la ecuación diferencial de la cual es solución.
𝟒) 𝒚 = 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒍𝒏(𝒙) + 𝟒𝒙𝟐
Solución:
Derivamos dos veces la función 𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥2
.
1𝑒𝑟𝑎
Derivada: 𝑦´ = 𝐶1 + 𝐶2 (ln(𝑥) +
1
𝑥
𝑥) + 8𝑥
𝑦´ = 𝐶1 + 𝐶2(ln(𝑥) + 1) + 8𝑥 Ecuación 1
2𝑑𝑎
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎: 𝑦´´ = 𝐶2.
1
2
+ 8
𝑦´´ =
𝐶2
𝑥
+ 8 Ecuación 2
De la ecuaciones 1 y 2 formamos un sistema de ecuaciones y calculamos 𝐶1 𝑦 𝐶2
Despejamos 𝐶2 de la ecuación 2:
𝐶2 = (𝑦´´ − 8)𝑥
𝐶2 = 𝑥𝑦´´ − 8𝑥
Sustituyendo 𝐶2 en la ecuación 1:
𝑦´ = 𝐶1 + (𝑥𝑦´´ − 8𝑥). (ln(𝑥) + 1) + 8𝑥
𝑦´ = 𝐶1 + 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ + 𝑥𝑦´´ − 8𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 8𝑥 + 8𝑥
𝑦´ = 𝐶1 + 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ + 𝑥𝑦´´ − 8𝑥𝑙𝑛(𝑥)
Despejando 𝐶1:
𝐶1 = 𝑦´ − 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ − 𝑥𝑦´´ + 8𝑥𝑙𝑛(𝑥)
Sustituyendo 𝐶1 𝑦 𝐶2 𝑒𝑛 𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥2
𝑦 = [𝑦´ − 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ − 𝑥𝑦´´ + 8𝑥𝑙𝑛(𝑥)]𝑥 + [𝑥𝑦´´ − 8𝑥]𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥2
𝑦 = 𝑥𝑦´´ − 𝑥2
ln(𝑥) 𝑦´´ − 𝑥2
𝑦´´ + 8𝑥2
ln(𝑥) + 𝑥2
ln(𝑥) 𝑦´´ − 8𝑥2
ln(𝑥) + 4𝑥2
𝑦 = 𝑥𝑦´´ − 𝑥2
𝑦´´ + 4𝑥2
La ecuación diferencial es 𝑦 = 𝑥𝑦´´ − 𝑥2
𝑦´´ + 4𝑥2

4. Verifique que la función indicada es una solución de la E.D dada. Donde sea
apropiado 𝐶1 y 𝐶2 son constantes.
𝟐) 𝒚´ + 𝟒𝒚 = 𝟑𝟐 ; 𝒚 = 𝟖
Solución:
𝑦´ = 8 = 0
Sustituimos Y y Y‘en la ecuación diferencial.
0 + 4(8) = 32
0 + 32 = 32
32 = 32
Así 𝑦´ + 4𝑦 = 32 es la ecuación diferencial
𝟔)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= √
𝒚
𝒙
; 𝒚 = (√𝒙 + 𝑪𝟏)
𝟐
; 𝒙 > 𝟎; 𝑪𝟏 > 𝟎
Solución:
Derivamos:
𝑦´ = 2.
1
2√𝑥
𝑦´ =
1
√𝑥
; 𝑥 > 0
Sustituimos 𝑦, 𝑦´ en la ecuación diferencial.
1
√𝑥
= √(√𝑥 + 𝐶1)
2
𝑥
𝑥 > 0 ; 𝐶1 > 0
1
√𝑥
= √
(√𝑥 + 𝐶1)
2
√𝑥
1
√𝑥
=
√𝑥 + 𝐶1
√𝑋
𝑥 > 0 ; 𝐶1 > 0
La ecuación no satisface la ecuación diferencial.