Γραπτές δοκιμασίες στο ΓΕΛ Εξαπλατάνου Πέλλας , για το σχολικό έτος 19-20. Άλγεβρα Α΄ και Β΄ , Γεωμετρία Β΄ , ΜΑθηματικά Β΄ και Γ΄.

1. Σχολικό έτος 2019-2020
Γραπτές Δοκιμασίες ΓΕΛ
Εξαπλατάνου
Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου , Msc μαθηματικού
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1365

2. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΣΤ Α’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ – ΣΥΝΟΛΑ
Α΄ Ομάδα
ΘΕΜΑ 1
Χαρακτηρίστε ως Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις.
1) 2,5  Ν 5 ) π Ζ
2) 
2
3
6 ) 9
3) R5 7 ) Q
2
1
4) 1,3  Q Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 2
Έστω Α, Β δυο σύνολα , τα οποία δεν είναι ξένα μεταξύ τους, δηλαδή έχουν κοινά
στοιχεία. Κυκλώστε τις σωστές σχέσεις :
ι ) Α∩Β  Α ιι ) Α∪Β  Α ιιι ) Α  Α∪Β
ιν ) Β  Α∩Β ν ) Α∩Β  Α∪Β νι ) Α∪Β  Α∩Β
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ 3
Δίνονται τα σύνολα :
Α = { xN / xδιαιρέτης του 18 } , Β = { xN / xδιαιρέτης του 14 }
α ) Γράψτε με αναγραφή τα σύνολα Α και Β.
β ) Γράψτε με αναγραφή τα σύνολα Α ∪ Β , Α ∩Β
γ ) Αν Ω = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 } γράψτε με αναγραφή
τα σύνολα Α΄ , Β΄ , Α΄ ∩ Β΄
Μονάδες 7

3. Β΄ Ομάδα
ΘΕΜΑ 1
Χαρακτηρίστε ως Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις.
1) 5  Ν 5 ) π R
2) Q
2
3
6 ) R9
3) Z4 7 ) Q, 251
4) 0,3  Z Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 2
Έστω Α, Β δυο σύνολα , τα οποία δεν είναι ξένα μεταξύ τους, δηλαδή έχουν κοινά
στοιχεία. Κυκλώστε τις σωστές σχέσεις :
ι ) Α∩Β  Α∪Β ιι ) Α∪Β  Α∩Β ιιι ) Α  Α∩Β
ιν ) Β  Α∪Β ν ) Α∩Β  B νι ) Α∪Β  Α
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ 3
Δίνονται τα σύνολα :
Γ = { xN / xδιαιρέτης του 10 } , Δ = { xN / xδιαιρέτης του 15 }
α ) Γράψτε με αναγραφή τα σύνολα Γ και Δ.
β ) Γράψτε με αναγραφή τα σύνολα Γ ∪ Δ , Γ ∩Δ
γ ) Αν Ω = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,15 } γράψτε τα σύνολα Γ΄ , Δ΄ , Γ΄ ∩ Δ΄
Μονάδες 7

4. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΣΤ Α’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ – Μέθοδοι Απόδειξης
Α΄ Ομάδα
ΘΕΜΑ 1 Μονάδες 6
Συμπληρώστε σωστά τις ταυτότητες :
ι ) (α+β)2 = ………………………………………. , ιι ) α3 – β3 = …………………………………..
ΘΕΜΑ 2 Μονάδες 6+3
Α. Αποδείξτε την ταυτότητα : (α-1)(α+1) – (α-1)2 = 2α - 2
Β. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι «Αν α2 = β2 , τότε α = β ». Συμφωνείτε ;
Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΘΕΜΑ 3
« Αν ο αριθμός ρ2 είναι άρτιος , τότε ο αριθμός ρ είναι άρτιος ». Αποδείξτε την
πρόταση αυτή.
Μονάδες 5

5. ΤΕΣΤ Α’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ – Μέθοδοι Απόδειξης
Β΄ Ομάδα
ΘΕΜΑ 1 Μονάδες 6
Συμπληρώστε σωστά τις ταυτότητες :
ι ) (α - β)(α+β) = ………………………………………. , ιι ) α3 + β3 = ………………………….
ΘΕΜΑ 2 Μονάδες 6+3
Α. Αποδείξτε την ταυτότητα : (α+1)2 - (α-1)2 = 4α
Β. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι «Αν α+β = γ+δ , τότε α = γ και β =δ ».
Συμφωνείτε ; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΘΕΜΑ 3
« Αν ο αριθμός ρ2 είναι περιττός , τότε ο αριθμός ρ είναι περιττός ». Αποδείξτε
την πρόταση αυτή.
Μονάδες 5

6. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – α΄ ομάδα
ΩΡΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α’ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΘΕΜΑ 1 μονάδες Α: 9 Β: 8 Γ: 2+6
A. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο διάστημα.
ι ) x> 2 ή x∈………….. ιι ) x ≤ 3 ή x∈…………..
ιιι ) 4 <x ≤ 9 ή x∈…………..
Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ-Λ)
1. Για κάθε α , β R , ισχύει : (α+β)2 = α2 + β2 Σ Λ
2. Αν α > 3 , τότε ισχύει πάντα α > 6. Σ Λ
3. α > β  α+γ > β+γ , για κάθε α,β,γ ∈ 𝑅 Σ Λ
4. |𝑎 ∙ 𝛽| = |𝛼| ∙ |𝛽| , για κάθε α, β ∈ 𝑅. Σ Λ
Γ. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :   +  , για κάθε α ,β R .
α ) Συμφωνείτε μαζί του ;
β ) Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΘΕΜΑ 2 μονάδες Α: 2+5 Β: ι ) 6 ιι) 7 ιιι) 5
Α. Υπογραμμίστε τη σειρά που υπάρχει λάθος και αιτιολογήστε.
x< 2
2x< 4
2x – x2< 4 – x2
x∙(2-x) < (2-x)∙(2+x)
x>2+x
0 > 2

7. Β. Αν 2 <x< 3 , να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η
τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις.
ι ) - x ιι )
x
1
ιιι ) x2
ΘΕΜΑ 3 μονάδες Α: 12 Β: ι ) 7 ιι ) 6
Α. Συμπληρώστε σωστά τον πίνακα.
Απόλυτη Τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση
διαστημάτων
d(x,4) ≤ 2
x∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞)
Β. Αν 5 < x< 7 , να γραφούν τα παρακάτω χωρίς απόλυτες τιμές.
ι )|x − 5|+|x − 7| ιι )|x| + |−x|
ΘΕΜΑ 4 μονάδες Α:ι )10 ιι ) 5 Β: 10
Α. ι ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα , α2 – (α-2)(α+2) = 4
ιι ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης,
2,3992 – 0,399∙4,399 = ……………
Β. Να αποδειχθεί η πρόταση :
« Αν ο α είναι ρητός με α≠0 και β άρρητος , να δείξετε ότι ο αριθμός
𝛽
𝛼
είναι
άρρητος».
Εξαπλάτανος , 6 / 12 / 2019
Διάρκεια : 40 – 45 λεπτά.
Καλή Επιτυχία

8. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – β΄ ομάδα
ΩΡΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΘΕΜΑ 1 μονάδες Α: 9 Β: 8 Γ: 2+6
A. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο διάστημα.
ι ) x ≤ -1 ή x∈………….. ιι ) x>4 ή x∈…………..
ιιι ) 2<x ≤ 4 ή x∈…………..
Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ-Λ)
1. |𝑎 ∙ 𝛽| = |𝛼| ∙ |𝛽| , για κάθε α, β ∈ 𝑅. Σ Λ
2. Αν α > 3 , τότε ισχύει πάντα α > 2. Σ Λ
3. α > β  α+γ > β+γ , για κάθε α,β,γ ∈ 𝑅 Σ Λ
4. Για κάθε α , β R , ισχύει : (α+β)2 = α2 + β2 Σ Λ
Γ. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :   +  , για κάθε α ,β R .
α ) Συμφωνείτε μαζί του ;
β ) Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΘΕΜΑ 2 μονάδες Α: 2+5 Β: ι ) 6 ιι) 7 ιιι) 5
Α. Υπογραμμίστε τη σειρά που υπάρχει λάθος και αιτιολογήστε.
x > 2
2x> 4
2x – x2> 4 – x2
x∙(2-x) > (2-x)∙(2+x)
x>2+x
0 > 2

9. Β. Αν 3<x< 4 , να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η
τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις.
i ) - x ii )
x
1
iii ) x2
ΘΕΜΑ 3 μονάδες Α: 12 Β: ι ) 7 ιι ) 6
Α. Συμπληρώστε σωστά τον πίνακα.
Απόλυτη Τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση
διαστημάτων
d(x,3)<1
x∈ (−∞, 1) ∪ (9, +∞)
Β. Αν 3<x< 5 , να γραφούν τα παρακάτω χωρίς απόλυτες τιμές.
ι )|x − 3|+|x − 5| ιι )|x| + |−x|
ΘΕΜΑ 4 μονάδες Α:ι )10 ιι ) 5 Β: 10
Α. ι ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα , (α-2)∙(α+2) – α2 = - 4
ιι ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης,
0,199∙4,199 – 2,1992= ……………
Β. Να αποδειχθεί η πρόταση :
« Αν ο α είναι ρητός με α≠0 και β άρρητος , να δείξετε ότι ο αριθμός α∙β είναι
άρρητος».
Εξαπλάτανος , 6 / 12 / 2019
Διάρκεια : 40 – 45 λεπτά.
Καλή Επιτυχία

10. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – α΄ ομάδα
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1 μονάδες Α: 9 Β: 8 Γ: 2+6
A. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο διάστημα.
ι ) x> 2 ή x∈(2,+∞) ιι ) x ≤ 3 ή x∈(-∞,3]
ιιι ) 4 <x ≤ 9 ή x∈(4,9]
 3 μονάδες το κάθε ερώτημα, αναλύονται ως εξής :
 1 μονάδα παρένθεση/αγκύλη και από μια μονάδα τα άκρα !
Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ-Λ)
1. Για κάθε α , β R , ισχύει : (α+β)2 = α2 + β2 Λ
2. Αν α > 3 , τότε ισχύει πάντα α > 6. Λ
3. α > β  α+γ > β+γ , για κάθε α,β,γ ∈ 𝑅 Σ
4. |𝑎 ∙ 𝛽| = |𝛼| ∙ |𝛽| , για κάθε α, β ∈ 𝑅. Σ
Γ. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :   +  , για κάθε α ,β R .
α ) Συμφωνείτε μαζί του ; ΟΧΙ
β ) Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
αντιπαράδειγμα
Για α=1 και β = -2 το αριστερό μέλος κάνει 1 και το δεξί 3 , άρα δεν είναι ίσα !

11. ΘΕΜΑ 2 μονάδες Α: 2+5 Β: ι ) 6 ιι) 7 ιιι) 5
Α. Υπογραμμίστε τη σειρά που υπάρχει λάθος και αιτιολογήστε.
x< 2
2x< 4
2x – x2< 4 – x2
x∙(2-x) < (2-x)∙(2+x)
x>2+x,
δεν έπρεπε να αλλάξει η φορά γιατί x<2 ή 2- x >0
0 > 2
Β. Αν 2 <x< 3 , να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η
τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις.
ι ) - x
πολλαπλασιάζω όλους με το (-1) , αλλάζει η φορά !
-2 > - x > -3 ή -3<- x< -2
ιι )
x
1
Το 2 , το 3 και το x είναι ομόσημοι άρα :
1
2
>
1
𝑥
>
1
3
ή
1
3
<
1
𝑥
<
1
2
ιιι ) x2
Το 2 , το 3 και το x είναι όλοι θετικοί άρα υψώνω στη Δευτέρα:
22 < x2 <32 ή 4 < x <9

12. ΘΕΜΑ 3 μονάδες Α: 12 Β: ι ) 7 ιι ) 6
Α. Συμπληρώστε σωστά τον πίνακα.
Απόλυτη Τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση
διαστημάτων
|𝐱 − 𝟒| ≤ 𝟐 d(x,4) ≤ 2 x∈ [𝟐, 𝟔]
|𝐱 − 𝟑| > 𝟐 d(x,3) > 2 x∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞)
3 μονάδες το κάθε κουτί !!
Β. Αν 5 < x< 7 , να γραφούν τα παρακάτω χωρίς απόλυτες τιμές.
ι )|x − 5|+|x − 7|
5 < x < 7 άρα ,
 x > 5 ή x-5 >0 , άρα |𝐱 − 𝟓| = 𝐱 − 𝟓 (2 μονάδες)
 x<7 ή x-7 < 0 , άρα |𝐱 − 𝟕| = 𝟕 − 𝐱 (2 μονάδες)
Συνεπώς |𝐱 − 𝟓|+|𝐱 − 𝟕| = 𝐱 − 𝟓 + 𝟕 − 𝐱 = 𝟐
(2 μονάδες) + (1 μονάδα το αποτέλεσμα)
ιι )|x| + |−x|
|𝐱| + |−𝐱| = |𝐱| + |𝐱| = 𝟐|𝐱| = 𝟐𝐱 γιατί x > 5 άρα x > 0.
(2 μονάδες) (2 μονάδες) και (2 μονάδες)αιτιολόγηση
ΘΕΜΑ 4 μονάδες Α:ι )10 ιι ) 5 Β: 10
Α. ι ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα , α2 – (α-2)(α+2) = 4
Ξεκινώ απ το 1ο μέλος : α2 – (α-2)(α+2)= α2 – (α2-4)=α2 – α2 +4 = 4
ιι ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης,
2,3992 – 0,399∙4,399 = …4………… γιατί
αν α= 2,399 τότε 2,3992 – 0,399∙4,399 =α2 – (α-2)(α+2)=4
Β. Να αποδειχθεί η πρόταση :
« Αν ο α είναι ρητός με α≠0 και β άρρητος , να δείξετε ότι ο αριθμός
𝛽
𝛼
είναι
άρρητος».

13. Έστω ότι ο
𝜷
𝜶
=κ ,ρητός τότε β = κ∙α όπου α ρητός , κ ρητός άρα ο β ρητός
(3 μονάδες) (3 μονάδες) (1 μονάδα)
ΑΤΟΠΟ γιατί β άρρητος.
(3 μονάδες)
Συνεπώς ο
𝛽
𝛼
είναι άρρητος.
Εξαπλάτανος , 6 / 12 / 2019
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – β΄ ομάδα
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1 μονάδες Α: 9 Β: 8 Γ: 2+6
A. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο διάστημα.
ι ) x ≤ -1 ή x ∈(-∞,-1] ιι ) x>4 ή x∈(4,+∞)
ιιι ) 2<x ≤ 4 ή x∈(2,4]
 3 μονάδες το κάθε ερώτημα, αναλύονται ως εξής :
 1 μονάδα παρένθεση/αγκύλη και από μια μονάδα τα άκρα !
Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ-Λ)
1. |𝑎 ∙ 𝛽| = |𝛼| ∙ |𝛽| , για κάθε α, β ∈ 𝑅. Σ
2. Αν α > 3 , τότε ισχύει πάντα α > 2. Σ
3. α > β  α+γ > β+γ , για κάθε α,β,γ ∈ 𝑅 Σ
4. Για κάθε α , β R , ισχύει : (α+β)2 = α2 + β2 Λ

14. Γ. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :   +  , για κάθε α ,β R .
α ) Συμφωνείτε μαζί του ; ΟΧΙ
β ) Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
αντιπαράδειγμα
Για α=1 και β = -2 το αριστερό μέλος κάνει 1 και το δεξί 3 , άρα δεν είναι ίσα !
ΘΕΜΑ 2 μονάδες Α: 2+5 Β: ι ) 6 ιι) 7 ιιι) 5
Α. Υπογραμμίστε τη σειρά που υπάρχει λάθος και αιτιολογήστε.
x > 2
2x> 4
2x – x2> 4 – x2
x∙(2-x) > (2-x)∙(2+x)
x>2+x
ΘΑ έπρεπε να αλλάξει η φορά γιατί x>2 ή 2< x ή 2- x<0
0 > 2
Β. Αν 3<x< 4 , να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η
τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις.
i ) - x
πολλαπλασιάζω όλους με το (-1) , αλλάζει η φορά !
-3 > - x > -4 ή -4<- x< -3
ii )
x
1
Το 3 , το 4 και το x είναι ομόσημοι άρα :
1
3
>
1
𝑥
>
1
4
ή
1
4
<
1
𝑥
<
1
3

15. iii ) x2
Το 3 , το 4 και το x είναι όλοι θετικοί άρα υψώνω στη Δευτέρα:
32 < x2 <42 ή 9 < x <16
ΘΕΜΑ 3 μονάδες Α: 12 Β: ι ) 7 ιι ) 6
Α. Συμπληρώστε σωστά τον πίνακα.
Απόλυτη Τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση
διαστημάτων
|𝐱 − 𝟑| < 𝟏 d(x,3)<1 x∈ (𝟐, 𝟒)
|𝐱 − 𝟓| > 𝟒 d(x,5)>4 x∈ (−∞, 1) ∪ (9, +∞)
3 μονάδες το κάθε κουτί !!
Β. Αν 3<x< 5 , να γραφούν τα παρακάτω χωρίς απόλυτες τιμές.
ι )|x − 3|+|x − 5|
3 < x < 5 άρα ,
 x > 3 ή x-3 >0 , άρα |𝐱 − 𝟑| = 𝐱 − 𝟑 (2 μονάδες)
 x<5 ή x-5 < 0 , άρα |𝐱 − 𝟓| = 𝟓 − 𝐱 (2 μονάδες)
Συνεπώς |𝐱 − 𝟑|+|𝐱 − 𝟓| = 𝐱 − 𝟑 + 𝟓 − 𝐱 = 𝟐
(2 μονάδες) + (1 μονάδα το αποτέλεσμα)
ιι )|x| + |−x|
|𝐱| + |−𝐱| = |𝐱| + |𝐱| = 𝟐|𝐱| = 𝟐𝐱 γιατί x > 3 άρα x > 0.
(2 μονάδες) (2 μονάδες) και (2 μονάδες) αιτιολόγηση
ΘΕΜΑ 4 μονάδες Α:ι )10 ιι ) 5 Β: 10
Α. ι ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα , (α-2)∙(α+2) – α2 = - 4
Ξεκινώ απ το 1ο μέλος : (α-2)(α+2)- α2 = (α2-4)-α2 = - 4

16. ιι ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης,
0,199∙4,199 – 2,1992= -4 γιατί
αν α= 2,199 ,
τότε 0,199∙4,199 – 2,1992= (α-2)(α+2)-α2 = - 4
Β. Να αποδειχθεί η πρόταση :
« Αν ο α είναι ρητός με α≠0 και β άρρητος , να δείξετε ότι ο αριθμός α∙β είναι
άρρητος».
ΛΥΣΗ
Έστω ότι ο α∙β=κ ,ρητός τότε β =
𝜿
𝜶
όπου α ρητός , κ ρητός άρα ο β ρητός
(3 μονάδες) (3 μονάδες) (1 μονάδα)
ΑΤΟΠΟ γιατί β άρρητος.
(3 μονάδες)
Συνεπώς ο α∙β είναι άρρητος.
Εξαπλάτανος , 6 / 12 / 2019
Καλά Αποτελέσματα

17. ΑΛΓΕΒΡΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Τεστ Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ - Συστήματα
Α΄ ΟΜΑΔΑ
ΘΕΜΑ 1 μονάδες 6
Χαρακτηρίστε τις προτάσεις (Σ -Λ)
α ) Έστω σύστημα (Σ) γραμμικό 2 x2 , αν D ≠ 0 και Dx = 0 , τότε το (Σ)
είναι αδύνατο.
β ) Έστω σύστημα (Σ) γραμμικό 2x2 , αν D = 0 και Dx = 0 και Dy =0 ,
τότε το (Σ) είναι πάντα αδύνατο.
γ ) Το σύστημα
𝑦 − 𝑥 = 0
3𝑥 − 3𝑦 = 4
είναι αόριστο.
ΘΕΜΑ 2 μονάδες 7
Να λυθεί το σύστημα :
𝑦 − 3𝑥2
= 0
12𝑥 − 3𝑦 = 4
ΘΕΜΑ 3 μονάδες 3+4
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm, περίμετρο ίση
με 20cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το πλάτος του κατά 2cm και
μειώσουμε το μήκος του κατά 2cm, θα προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το
εμβαδόν του αρχικού.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του ορθογωνίου.

18. ΑΛΓΕΒΡΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Τεστ Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ - Συστήματα
Β΄ ΟΜΑΔΑ
ΘΕΜΑ 1 μονάδες 6
Χαρακτηρίστε τις προτάσεις (Σ -Λ)
α ) Έστω σύστημα (Σ) γραμμικό 2 x2 , αν D ≠ 0 και Dx =0 , τότε το (Σ)
είναι αόριστο.
β ) Έστω σύστημα (Σ) γραμμικό 2 x2 , αν D = 0 και Dx = 0 και Dy =0 ,
τότε το (Σ) είναι πάντα αδύνατο.
γ ) Το σύστημα
𝑦 − 𝑥 = 0
3𝑥 − 3𝑦 = 4
είναι αδύνατο.
ΘΕΜΑ 2 μονάδες 7
Να λυθεί το σύστημα
𝑦 − 4𝑥2
= 0
13𝑥 − 3𝑦 = 1
ΘΕΜΑ 3 μονάδες 3+4
Ένα θέατρο έχει 45 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια από
τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει 10 καθίσματα και η κάθε μια από τις σειρές του
πάνω διαζώματος έχει 14 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι
570 καθίσματα.
α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του πάνω διαζώματος, να
εκφράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων.
β) Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα;

19. ΑΛΓΕΒΡΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Διαγώνισμα Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ - Στατιστική
Α΄ ΟΜΑΔΑ
ΘΕΜΑ Α μονάδες 30/100 Α1:4 , Α2:12 Α3:(2+3+4+5)
Α1. Τι ονομάζεται Πληθυσμός μιας έρευνας, τι είναι τα άτομα
του Πληθυσμού και τι ονομάζεται δείγμα.
Α2. Αντιστοιχήστε.
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
Μέτρο Θέσης δ
R
Mo
Μέτρο Διασποράς 𝑥̅
s2
Q
A3.Μια ομάδα μαθητών θέλει να προβεί σε πρόβλεψη, για το ποιος θα είναι ο νέος
πρόεδρος του 15μελούς συμβουλίου του σχολείου.
Για το λόγο αυτό τα μέλη της ομάδας κατέγραψαν την πρόθεση ψήφου των μαθητών
ενός συγκεκριμένου τμήματος του σχολείου.
Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα :
1) Ποιος είναι ο πληθυσμός της έρευνας;
2) Ποιο είναι το δείγμα;
3) Ποια είναι η μεταβλητή της έρευνας και ποιο το είδος της;
4) Έχει μειονεκτήματα η μέθοδος τους ; Σχολιάστε.

20. ΘΕΜΑ Β μονάδες 30/100 Β1:4 Β2 :10 Β3 :16
Σε μια δημοσκόπηση για τις δημοτικές εκλογές, 300 άτομα απάντησαν
ότι προτιμούν τον Α υποψήφιο, 150 άτομα προτιμούν τον Β υποψήφιο
και 50 προτιμούν τον Γ υποψήφιο.
Β1 ) Ποιο είναι το μέγεθος του δείγματος ;
Β2 ) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων των
δεδομένων της έρευνας.
Β3 ) Να παραστήσετε τα δεδομένα με ραβδόγραμμα και
με κυκλικό διάγραμμα.
ΘΕΜΑ Γ μονάδες 25/100 Γ1:4 Γ2:8 Γ3 :5 Γ4 : 8
Η βαθμολογία 16 μαθητών σε ένα διαγώνισμα ήταν:
8, 20 , 20 , 14 , 14 , 17 , 19 , 17 , 9 , 10 , 11, 9 , 13 , 15 , 13 , 15.
Να υπολογίσετε:
Γ1) τη μέση τιμή και τη διάμεσο ,
Γ2) την επικρατούσα τιμή και τα Q1 , Q3 , Q.
Γ3 ) Το εύρος και τη διακύμανση του δείγματος.
Γ4 ) Να γίνει το θηκόγραμμα.
ΘΕΜΑ Δ μονάδες 15/100
Η μέση τιμή 30 παρατηρήσεων είναι 15.
Αν από αυτές οι 20 μειώνονται κατά 10 και οι υπόλοιπες 10 τιμές
αυξάνονται κατά 5.
Να βρεθεί η νέα μέση τιμή.
Καλή Επιτυχία

21. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - Α΄ ΟΜΑΔΑ
ΘΕΜΑ 10 μονάδες 41/100 (Α: 10 Β: 16 Γ: 15)
Α. Να αποδείξετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
« Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο , το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών
του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.»
B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την
ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1.
Ο λόγος ομοιότητας δυο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δυο
ομόλογων διαμέσων τους.
Σ
2.
Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια , όταν έχουν μια οξεία γωνία τους
ίση.
Σ
3. Όλα τα ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. Λ
4.
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί
στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των
κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα.
Σ
Γ. Επιλέξτε την σωστή απάντηση.
1. Αν ο λόγος των κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 8 , τότε ο λόγος
των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι :
α. 4 β.
1
8
γ. 64 δ. √8
2. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α ορθή) και Γ = 600 , τότε ο λόγος
𝛽
𝛼
είναι ίσος με :
α. 2 β.
𝟏
𝟐
γ. 4 δ. √3
3. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α ορθή) και Β = 300 , τότε ο λόγος
𝛾
𝛽
είναι ίσος με :
α. 2 β.
1
2
γ. 4 δ. √𝟑

22. ΘΕΜΑ 20 μονάδες 34/100 (Α: 10 Β : (1: 10 2: 10 3: 4 ))
Α.
Ύψος πατέρα 1,7 μ γιατί ;
𝟓
𝟒
=
𝝌
𝟏,𝟑𝟔
Β. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α ορθή γωνία). Αν Δ είναι το μέσο
της κάθετης πλευρά ΑΓ και Ε η προβολή του Δ στην ΒΓ, τότε :
1. Κάντε σχήμα
2. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΕΔΓ , ΑΒΓ είναι όμοια.
3. Αποδείξτε ότι ΕΔ∙ΒΓ = ΑΒ∙ΔΓ
ΘΕΜΑ 30 μονάδες 25/100 (Α: 5 Β: ι ) 5 ιι) 4 ιιι) 11 )
Α. Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ όταν :
β2 = 2α2 + γ2
β2 = α2 + γ2 + α2 ισοδύναμα β2 > α2 + γ2 ,άρα Β > 900
Β. Δίνεται το παρακάτω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=6 και
ΒΓ = 10.

23. ι ) Αιτιολογήστε γιατί το ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο.
α2 = 100 , β2 + γ2 = 72 , α2 > β2 +γ2 ισοδύναμα Α > 900
ιι ) Συμπληρώστε σωστά την πρόταση :
« Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ είναι η προβολή του AΓ πάνω στη ΑΒ»
ιιι ) Αποδείξτε ότι ΑΔ =
7
3
Καλή Επιτυχία
Β΄ ΟΜΑΔΑ
ΘΕΜΑ 10 μονάδες 41/100 (Α: 10 Β: 16 Γ: 15)
Α. Να αποδείξετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
« Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο , το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών
του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.»
B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας
την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1.
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί
στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των
κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα.
Σ
2. Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. Σ
3.
Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια , όταν έχουν μια οξεία γωνία τους
ίση.
Σ
4.
Ο λόγος ομοιότητας δυο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δυο
ομόλογων υψών τους.
Σ
Γ. Επιλέξτε την σωστή απάντηση.
1. Αν ο λόγος των κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10 , τότε ο
λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι :
α. 100β.
1
10
γ. 5 δ. √10
2. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α ορθή) και Γ = 600 , τότε ο λόγος
𝛼
𝛽
είναι ίσος με :
α. 2 β.
1
2
γ. 4 δ. √3

24. 3. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α ορθή) και Β = 300 , τότε ο λόγος
𝛾
𝛽
είναι ίσος με :
α. √𝟑 β.
1
2
γ. 4 δ. 2
ΘΕΜΑ 20 μονάδες 34/100 (Α: 10 Β : (1: 10 2: 10 3: 4 ))
Α.
Ύψος πατέρα 1,7 μ γιατί ;
𝟓
𝟒
=
𝝌
𝟏,𝟑𝟔
Β. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α ορθή γωνία). Αν Δ είναι το μέσο
της κάθετης πλευρά ΑΓ και Ε η προβολή του Δ στην ΒΓ, τότε :
1. Κάντε σχήμα
2. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΕΔΓ , ΑΒΓ είναι όμοια.
3. Αποδείξτε ότι ΕΓ∙ΒΓ = ΔΓ∙ΑΓ
ΘΕΜΑ 30 μονάδες 25/100 (Α: 5 Β: ι ) 5 ιι) 4 ιιι) 11 )
Α. Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ όταν :
α2 - β2 = 3γ2
α2 = β2 +γ2 + 2γ2 , άρα α2 > β2 + γ2 ισοδύναμα Α > 900
Β. Δίνεται το παρακάτω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=6 και
ΒΓ = 10.

25. ι ) Αιτιολογήστε γιατί το ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο.
α2 = 100 , β2 + γ2 = 72 , α2 > β2 +γ2 ισοδύναμα Α > 900
ιι ) Συμπληρώστε σωστά την πρόταση :
« Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ είναι η προβολή του ΑΓ πάνω στη ΑΒ»
ιιι ) Αποδείξτε ότι ΑΔ =
7
3
, κάνε ΓΠΘ για την ΒΓ απέναντι από τη
αμβλεία Α !
Καλή Επιτυχία

26. Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Τεστ 1ο - Α’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
ΘΕΜΑ 1
μονάδες 5/20
Έστω διάνυσμα  και ένα σημείο αναφοράς Ο. Να δειχθεί ότι η
διανυσματική ακτίνα του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ δίνεται από την
σχέση :
2




ΘΕΜΑ 2 μονάδες 8/20
Να γράψετε με τη μορφή ενός διανύσματος τις παρακάτω παραστάσεις
ι ) 𝛢𝛣⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤⃗⃗⃗⃗⃗ = ιι ) 𝛢𝛣⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝛢𝛤⃗⃗⃗⃗ =
ιιι ) 𝛢𝛣⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛫𝛮⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛫⃗⃗⃗⃗⃗ = ιν ) 𝛢𝛣⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛤𝛢⃗⃗⃗⃗ =
ΘΕΜΑ 3 μονάδες (2+2+3)/20
Στο παρακάτω σχήμα ισχύουν : 𝛥𝛦⃗⃗⃗⃗ = 2𝛦𝛣⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝛢𝛣⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼⃗ , 𝛥𝛢⃗⃗⃗⃗ = 𝛽⃗
Να εκφράσετε ως
συνάρτηση των
𝛼⃗ , 𝛽⃗ τα διανύσματα :
ι ) ΔΒ⃗⃗⃗⃗
ιι ) 𝛥𝛦⃗⃗⃗⃗
ιιι ) 𝛢𝛦⃗⃗⃗⃗⃗

27. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Ομ.Προσανατολισμού–Τεστ 1ο
Α΄ ΟΜΑΔΑ
ΘΕΜΑ Α μονάδες 6/20 , Α1:2Α2:4
Α1. Δώστε τον ορισμό της πραγματικής συνάρτησης
με πεδίο ορισμού το Α.
Α2. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. ex ≥ 1 , για κάθε x∈R
2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης - f(x) είναι συμμετρική ως προς
τον x΄x της γραφικής παράστασης της f(x).
3. Αν α,β ∈R και ν ∈ 𝛮*, τότε ισχύει πάντα η ισοδυναμία :
α≥β⇔ αν≥βν
4. Ο κύκλος αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης.
ΘΕΜΑ Β μονάδες 6/20 , Β1:4 Β2:2
Β1. Να γίνουν, στο ίδιο σύστημα αξόνων , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
f(x) = -ln(x-1) και g(x) = |𝑙𝑛𝑥|
B2. Απ τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και
το σύνολο τιμών των f(x) , g(x) .
ΘΕΜΑ Γ μονάδες 8/20 , Γ1:6 Γ2:2
Γ1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f(x) =
√1−𝑥2
𝑥
Γ2. Για ποιες τιμές του x ∈ R , η γραφική παράσταση της f(x) = ex- 1 , βρίσκεται πάνω
απ τον άξονα x΄x.

28. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Ομ.Προσανατολισμού–Τεστ 1ο
B΄ ΟΜΑΔΑ
ΘΕΜΑ Α μονάδες 6/20 , Α1:2 Α2:4
Α1. Δώστε τον ορισμό της πραγματικής συνάρτησης με πεδίο ορισμού
το Α.
Α2. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. Ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης.
2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης |f(x)| αποτελείται από τα τμήματα
της Cf που βρίσκονται πάνω απ τον x΄x και από τα συμμετρικά ως προς τον
x΄x,των
τμημάτων της Cf που βρίσκονται κάτω απ τον άξονα αυτόν.
3. ex> 0 , για κάθε x∈R
4. Αν α, β ∈R ισχύει πάντα η ισοδυναμία :
α≥β⇔
1
𝛼 ≤
1
𝛽
ΘΕΜΑ Β μονάδες 6/20 , Β1:4 Β2:2
Β1. Να γίνουν, στο ίδιο σύστημα αξόνων , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
f(x) =−
1
𝑥−1
καιg(x) = |
1
𝑥|
B2. Απ τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και
το σύνολο τιμών των f(x) , g(x) .
ΘΕΜΑ Γ μονάδες 8/20 , Γ1:6 Γ2:2
Γ1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f(x) = ln(1 − 𝑒 𝑥
)
Γ2. Για ποιες τιμές του x ∈ R, η γραφική παράσταση της f(x) =
1+𝑥
1−𝑥
, βρίσκεται πάνω
απ τον άξονα x΄x.

29. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Ομ.Προσανατολισμού –Τεστ 2ο
ΘΕΜΑ Α μονάδες 7/20 , Α1:4 Α2 :3
Α1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. Αν μια συνάρτηση είναι 1-1 , τότε είναι γνησίως μονότονη.
2. Μια συνάρτηση f(x) είναι 1-1 αν και μόνον αν δεν υπάρχουν σημεία της Cfμε
την ίδια τεταγμένη.
3. Αν x1 , x2Df και x1 ≠x2 , τότε πάντα ισχύει f(x1) ≠f(x2).
4. Οι γραφικές παραστάσεις των f(x) , f-1(x) είναι συμμετρικές ως προς την
ευθεία y =x.
Α2.Ανf : AR ,μια 1-1 συνάρτηση. Συμπληρώστε σωστά τα παρακάτω.
f(3) = 2 ⟺f-1(……) = …… , 
))x(f(f 1
……………….. , x………

))y(f(f 1
………………… , y……….
ΘΕΜΑ Β μονάδες 9/20 , Β1:5Β2:4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √1 − 𝑥
Β1. Να υπολογιστεί το σύνολο τιμών της και να οριστεί η αντίστροφη της f-1(x), αν
ορίζεται.
Β2. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των f(x) και f-1(x).
ΘΕΜΑ Γ μονάδες 4/20 (πεδία ορισμού:1, Σύνολα τιμών: 1,
Γραφική από: 1)
Για τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, να γράψετε το πεδίο ορισμού τους, το σύνολο
τιμών τους, όπως φαίνεται απ τη γραφική παράσταση και να σχεδιάσετε «πρόχειρα»
την αντίστροφη τους , αν ορίζεται.

30. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Ομ.Προσανατολισμού –Τεστ 2ο
ΘΕΜΑ Α μονάδες 7/20 , Α1:4 Α2 :3
Α1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. Οι γραφικές παραστάσεις των f(x) , f-1(x) είναι συμμετρικές ως προς την
ευθεία y =x.
2. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1-1.
3. Μια συνάρτηση f(x) είναι 1-1 αν και μόνον αν για κάθε yτου συνόλου τιμών
της η εξίσωση y=f(x) έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.
4. Αν x1 , x2Df και f(x1) = f(x2), τότε ισχύει πάντα x1 = x2.
Α2.Αν f : AR ,μια 1-1 συνάρτηση. Συμπληρώστε σωστά τα παρακάτω.
f(0) = 1⟺f-1(……) = …… , 
))x(f(f 1
……………….. , x………

))y(f(f 1
………………… , y……….
ΘΕΜΑ B μονάδες 9/20 , Β1:5Β2:4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √ 𝑥 + 1
Β1. Να υπολογιστεί το σύνολο τιμών της και να οριστεί η αντίστροφη της f-1(x), αν
ορίζεται.
Β2. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των f(x) και f-1(x).
ΘΕΜΑ Γ μονάδες 4/20 (πεδία ορισμού:1, Σύνολα τιμών: 1, Γραφική από: 1)
Για τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, να γράψετε το πεδίο ορισμού τους, το σύνολο
τιμών τους, όπως φαίνεται απ τη γραφική παράσταση και να σχεδιάσετε «πρόχειρα»
την αντίστροφη τους , αν ορίζεται.

31. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Ομ.Προσανατολισμού–Τεστ 3ο
ΘΕΜΑ μονάδες Α:5 Β:4 Γ :6 Δ : 5
Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια.
Α ) Έστω συνάρτηση f : RR , και (x2-6x+9)∙ f(x) ≥ x +1 , για κάθε
x ∈ 𝑅.
Να υπολογιστεί το όριο της f(x) στο 3.
Β ) Υπολογίστε το όριο : lim
𝑥→+∞
(
𝑥2ημx
x4+1
)
Γ ) Αν g(x) = √𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝜆𝑥 , λ∈ 𝑅.
Για τις διάφορες τιμές του λ R , βρείτε το όριο της g(x) στο + .
Δ ) Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο ,
για τις διάφορες τιμές του λ R ,
)xx)(xx)((lim
x
67543 2342




32. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Ομ.Προσανατολισμού–
2ωρο Διαγώνισμα Α΄Τετραμήνου – α΄ ομάδα
ΘΕΜΑ Α μονάδες 25/100 , Α1:4Α2:4Α3 :10 Α4 : 2+5
Α1 )Να διατυπωθεί το Κριτήριο Παρεμβολής.
Α2 ) Πότε δυο συναρτήσεις f , gλέγονται ίσες ;
Α3 ) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. ημx + x> 0 , για κάθε x> 0.
2. lim
𝑥→0
1−𝜎𝜐𝜈𝑥
𝑥
= 1
3. Κάθε συνάρτηση 1-1 είναι γνησίως μονότονη.
4. Μια συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι στο xοΑ παρουσιάζει
ολικό ελάχιστο όταν f(x) <f(xο), για κάθε xΑ.
5. Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών το [2,3]
, τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την f(x) με πεδίο ορισμού το [0,1] και
σύνολο τιμών το [2,3].
Α4 ) Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :
«Αν lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓2
(𝑥) = 25 , τότε πάντα ισχύει lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = 5ή lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = −5»
Συμφωνείτε με τον μαθητή ; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΘΕΜΑ Β μονάδες 25/100 , Β1:9 Β2:5 Β3 :11
Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια.
Β1 ) lim
𝑥→𝜋
𝜂𝜇2 𝑥
1+𝜎𝜐𝜈𝑥
Β2 ) lim
𝑥→0
𝜀𝜑𝑥
𝑥
Β3 ) lim
𝑥→2
√ 𝑥+2−2
√𝑥2+5−3

33. ΘΕΜΑ Γ μονάδες 25/100 , Γ1:3 Γ2:9 Γ3 :9 Γ4 :4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x +
√𝑥2
𝑥
.
Γ1 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
Γ2 ) Αποδείξτε ότι είναι 1 -1 και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
Γ3 ) Να βρεθεί ο τύπος της f- 1 (x) και να γίνει η γραφική παράσταση
των f(x) και f- 1 (x) στο ίδιο σύστημα αξόνων.
Γ4 ) Να βρεθεί , εφόσον υπάρχει, το όριο της f(x) στο 0.
ΘΕΜΑ Δ μονάδες 25/100 , Δ1:5Δ2:9 Δ3 :5Δ4 : 6
Δίνεται η συνάρτηση f :R*Rκαι η συνάρτηση g(x) =
x
x
ln


2
2
Δ1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της fog.
Δ2 ) Να βρεθεί συνάρτηση hγια την οποία να ισχύει (hog)(x) = x , για κάθε x∈ (−2,2)
Δ3 ) Να αποδειχθεί ότι η h(x) , του Δ2 ερωτήματος , είναι περιττή.
Δ4 ) Να αποδειχθεί ότι η h(x) μπορεί να γραφεί ως εξής
h(x) = 2∙(1 −
2
𝑒 𝑥+1
) και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.
ΟΔΗΓΙΕΣ
1. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα με μπλέ ή μαύρο στυλό.
2. Μολύβι επιτρέπεται , μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση.
3. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
4. Διάρκεια εξέτασης 80 λεπτά μετά τη διανομή των
φωτοαντιγράφων.
5. Χρόνος δυνατής αποχώρησης μετά τα 45 λεπτά.
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ ΟΛΟΨΥΧΑ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Ο Εισηγητής

34. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α΄ ομάδα
ΘΕΜΑ Α μονάδες 25/100 , Α1:4Α 2:4Α 3 :10 Α4 : 2+5
Α1 )Να διατυπωθεί το Κριτήριο Παρεμβολής.
Α2 ) Πότε δυο συναρτήσεις f , gλέγονται ίσες ;
Α3 ) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. ημx + x> 0 , για κάθε x> 0. Σ
2. lim
𝑥→0
1−𝜎𝜐𝜈𝑥
𝑥
= 1Λ
3. Κάθε συνάρτηση 1-1 είναι γνησίως μονότονη. Λ
4. Μια συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι στο xοΑ παρουσιάζει
ολικό ελάχιστο όταν f(x) <f(xο), για κάθε xΑ. Λ
5. Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών το [2,3]
, τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την f(x) με πεδίο ορισμού το [0,1] και
σύνολο τιμών το [2,3]. Λ
Α4 ) Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :
«Αν lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓2
(𝑥) = 25 , τότε πάντα ισχύει lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = 5ή lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = −5»
Συμφωνείτε με τον μαθητή ; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΔΕΝ ΣΥΜΦΩΝΩ , Αντιπαράδειγμα
f(x) =
5, 𝑥 ≥ 𝑥 𝑜
−5, 𝑥 < 𝑥 𝑜
, είναι f2(x) = 25 και το όριο της στο xoΔ.Υ

35. ΘΕΜΑ Β μονάδες 25/100 , Β1:9 Β2:5 Β3 :11
Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια.
Β1 ) lim
𝑥→𝜋
𝜂𝜇2 𝑥
1+𝜎𝜐𝜈𝑥
Β2 ) lim
𝑥→0
𝜀𝜑𝑥
𝑥
Β3 ) lim
𝑥→2
√ 𝑥+2−2
√𝑥2+5−3

36. ΘΕΜΑ Γ μονάδες 25/100 , Γ1:3 Γ2:9 Γ3 :9 Γ4 :4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x +
√𝑥2
𝑥
.
Γ1 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
Γ2 ) Αποδείξτε ότι είναι 1 -1 και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

37. Γ3 ) Να βρεθεί ο τύπος της f- 1 (x) και να γίνει η γραφική παράσταση
των f(x) και f- 1 (x) στο ίδιο σύστημα αξόνων.
Γ4 ) Να βρεθεί ,
εφόσον υπάρχει,
το όριο της f(x)
στο 0.

38. ΘΕΜΑ Δ μονάδες 25/100 , Δ1:5Δ2:9 Δ3 :5Δ4 : 6
Δίνεται η συνάρτηση f :R*Rκαι η συνάρτηση g(x) =
x
x
ln


2
2
Δ1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της fog.
Δ2 ) Να βρεθεί συνάρτηση hγια την οποία να ισχύει (hog)(x) = x , για κάθε x∈ (−2,2)

39. Δ3 ) Να αποδειχθεί ότι η h(x) , του Δ2 ερωτήματος , είναι περιττή.
Δ4 ) Να αποδειχθεί ότι η h(x) μπορεί να γραφεί ως εξής
h(x) = 2∙(1 −
2
𝑒 𝑥+1
)και
να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.

41. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Ομ.Προσανατολισμού–2ωρο Διαγώνισμα
Α΄Τετραμήνου – β΄ ομάδα
ΘΕΜΑ Α μονάδες 25/100 , Α1:4 Α2:4 Α3 :10 Α4 : 2+5
Α1 )Πότε μια συνάρτηση f : ΑRλέγεται 1-1 ;
Α2 ) Δώστε τον ορισμό του ολικού μεγίστου μιας συνάρτησης f με
πεδίο ορισμού το Α.
Α3 ) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. ημx + x> 0 , για κάθε x< 0.
2. Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών το [2,3]
, τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την f(x) με πεδίο ορισμού το [0,1] και
σύνολο τιμών το [2,3].
3. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1 -1.
4. Αν ένα σημείο Μ (α,β) ανήκει στη γρ. παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης f ,
τότε το σημείο Μ΄(β,α) ανήκει στη γρ. παράσταση της f-1 .
5. lim
𝑥→0
1−𝜎𝜐𝜈𝑥
𝑥
= 0
Α4 ) Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :
«Αν lim
𝑥→𝑥 𝑜
| 𝑓(𝑥)| = 5 , τότε πάντα ισχύει lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = 5ή lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = −5»
Συμφωνείτε με τον μαθητή ; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΘΕΜΑ Β μονάδες 25/100 , Β1:9 Β2:5 Β3 :11
Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια.
Β1 ) lim
𝑥→0
𝜂𝜇2 𝑥
1−𝜎𝜐𝜈𝑥
Β2 ) lim
𝑥→0
𝜀𝜑𝑥
𝑥
Β3 ) lim
𝑥→3
√𝑥2−5−2
√ 𝑥+1−2

42. ΘΕΜΑ Γ μονάδες 25/100 , Γ1:3 Γ2:9 Γ3 :9 Γ4 :4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2∙x +
√𝑥2
𝑥
.
Γ1 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
Γ2 ) Αποδείξτε ότι είναι 1 -1 και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
Γ3 ) Να βρεθεί ο τύπος της f- 1 (x) και να γίνει η γραφική παράσταση
τωνf(x) και f- 1 (x) στο ίδιο σύστημα αξόνων.
Γ4 ) Να βρεθεί , εφόσον υπάρχει, το όριο της f(x) στο 0.
ΘΕΜΑ Δ μονάδες 25/100 , Δ1:5 Δ2:9 Δ3 :5 Δ4 : 6
Δίνεται η συνάρτηση f :R*R και η συνάρτηση g(x) =
x
x
ln


2
2
Δ1 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της fog.
Δ2 ) Να βρεθεί συνάρτηση hγια την οποία να ισχύει (hog)(x) = x , για κάθε x∈ (−2,2)
Δ3 ) Να αποδειχθεί ότι η h(x) , του Δ2 ερωτήματος , είναι περιττή.
Δ4 ) Να αποδειχθεί ότι η h(x) μπορεί να γραφεί ως εξής
h(x) = 2∙(1 −
2
𝑒 𝑥+1
)και
να κατόπιν να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.
ΟΔΗΓΙΕΣ
1. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα με μπλέ ή μαύρο στυλό.
2. Μολύβι επιτρέπεται , μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση , και μόνο για
πίνακες , διαγράμματα κλπ .
3. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή .
4. Διάρκεια εξέτασης 80 λεπτά μετά τη διανομή των
φωτοαντιγράφων.
5. Χρόνος δυνατής αποχώρησης μετά τα 45 λεπτά.
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ ΟΛΟΨΥΧΑ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Ο Εισηγητής

43. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ β΄ Ομάδα
ΘΕΜΑ Α μονάδες 25/100 , Α1:4 Α2:4 Α3 :10 Α4 : 2+5
Α1 )Πότε μια συνάρτηση f : ΑRλέγεται 1-1 ;
Α2 ) Δώστε τον ορισμό του ολικού μεγίστου μιας συνάρτησης f με
πεδίο ορισμού το Α.
Α3 ) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις. (Σ -Λ)
1. ημx + x> 0 , για κάθε x< 0. Λ
2. Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών το [2,3]
, τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την f(x) με πεδίο ορισμού το [0,1] και
σύνολο τιμών το [2,3]. Λ
3. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1 -1. Σ
4. Αν ένα σημείο Μ (α,β) ανήκει στη γρ. παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης f ,
τότε το σημείο Μ΄(β, α) ανήκει στη γρ. παράσταση της f-1 . Σ
5. lim
𝑥→0
1−𝜎𝜐𝜈𝑥
𝑥
= 0Σ
Α4 ) Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι :
«Αν lim
𝑥→𝑥 𝑜
| 𝑓(𝑥)| = 5 , τότε πάντα ισχύει lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = 5ή lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓(𝑥) = −5»
Συμφωνείτε με τον μαθητή ; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.
ΔΕΝ ΣΥΜΦΩΝΩ , Αντιπαράδειγμα
f(x) =
5, 𝑥 ≥ 𝑥 𝑜
−5, 𝑥 < 𝑥 𝑜
, είναι ΚΑΙ είναι lim
𝑥→𝑥 𝑜
| 𝑓(𝑥)| = 5
όμως το όριο της στο xoΔ.Υ

44. ΘΕΜΑ Β μονάδες 25/100 , Β1:9 Β2:5 Β3 :11
Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια.
Β1 ) lim
𝑥→0
𝜂𝜇2 𝑥
1−𝜎𝜐𝜈𝑥
Β2 ) lim
𝑥→0
𝜀𝜑𝑥
𝑥
Β3 ) lim
𝑥→3
√𝑥2−5−2
√ 𝑥+1−2
ΘΕΜΑ Γ μονάδες 25/100 , Γ1:3 Γ2:9 Γ3 :9 Γ4 :4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2∙x +
√𝑥2
𝑥
.
Γ1 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ΟΜΟΙΑ

45. Γ2 ) Αποδείξτε ότι είναι 1 -1 και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. ΟΜΟΙΑ
Γ3 ) Να βρεθεί ο τύπος της f- 1 (x) και να γίνει η γραφική παράσταση
των f(x) και f- 1 (x) στο ίδιο σύστημα αξόνων.

46. Γ4 ) Να βρεθεί , εφόσον υπάρχει, το όριο της f(x) στο 0. ΟΜΟΙΑ
ΘΕΜΑ Δ ΟΜΟΙΟ ΜΕ Α΄ ΟΜΑΔΑ