1. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BÂT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Công thc hàm sô mũ và logarit
1. Phương trình và bât phương trình mũ cơ bn
ðe so sánh hai lũy th a thì chúng ta ph
i chuyen hai lũy th a vê cùng cơ sô và so sánh hai
sô mũ ca chúng. Trong trưng hp so sánh BðT (bât phương trình ) thì ta ph
i chú ý ñên
s ñơn ñieu ca hàm sô mũ ( tc là ph
i so sánh cơ sô vi 1). Ta xét các phương trình –
bât phương trình cơ b
n sau.
1. af (x) = ag(x) Ûf (x) = g(x) .
2. f (x) loga b
a a = b = a Ûf (x) = log b .
3. f (x) g(x)
a a = b Ûf (x) = g(x)log b.
4. af (x) ag(x) (1)
+ Nêu a1 thì (1)Ûf (x) g(x)
+ Nêu 0a1 thì (1)Ûf (x) g(x)
Hay

Û
a 0
(1)
 - -
(a 1)(f (x) g(x)) 0
.
ðe gi
i phương trình – bât phương trình mũ thì ta ph
i tìm cách chuyen vê các phương
trình – bât phương trình cơ b
n trên.
Ví d 1: Gii các phương trình sau
1)
x2 3x 4 x 1 2 + - = 4 - 2) (2 + 3)3x+1 = (2 - 3)5x+8
3)
x
8x+2 = 36.32-x 4) 2x+1.3 42x-1.83-x = 2 2.0,125
Gii:
1)
x2 3x 4 2x 2 2 2 ptÛ2 + - = 2 - Ûx + 3x - 4 = 2x - 2Ûx + x - 2 = 0Ûx =1;x = -2
2) Ta có: (2 + 3)(2 - 3) =1⇒(2 - 3) = (2 + 3)-1 .
3x 1 5x 8 9
⇒ pt Û (2 + 3) + = (2 + 3) - - Û 3x + 1 = - 5x - 8 Û x
= - .
8
3) ðK: x ¹ -2
-
3x x 4
x 2 2 4 x x 2 4 x
Û + = - Û + = - Û - = -
Pt 2 2 .3 2 3 log 2 4 x
3
x 4
+
x 2
Û (x - 4)(x + 2 + log 3
2) = 0
Û  = - -
 =
x 2 log 2
3
x 4
.
4)
x + 1 4x - 2 3 x + 1 + 4x - 2 + - 3
- - Û = - Û =
9 3x 3 9 3x 3 Pt 2 2 .2 3 .2 22.2 2 2 3 22
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 1

2. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
62
Û x
= là nghiem ca phương trình .
7
Chú ý : Nêu trong bài toán có x thì ñiêu kien ca x là : x ³1;xÎℕ.
Ví d 2: Gi
i phương trình :
1) 2x.3 4x .3x 0.125 = 43 2 2)
x2 x x2 x 2x 2 + - 4.2 - - 2 + 4 = 0
Gii:
1) ðK :
1
 x
³ 3
 
3x
Îℕ
. Vì các cơ sô ca các lũy th a ñêu viêt ñưc dưi dng lũy th a cơ sô 2
nên ta biên ñoi hai vê ca phương trình vê lũy th a cơ sô 2 và so sánh hai sô mũ.
Phương trình
-
x 1 1 x x 1 7
x 2. 2 3 3x 3 2 3 2x 3 1
2 .2 .( ) 2 .2 2 .2 2 2
Û = Û =
8
+ - = 
x x 1 7
2 3 2x 3 2
x 3
x x 1 7
Û = Û + - = Û - - = Û = -
2 2 5x 14x 3 0 1
2 3 2x 3 x
5

.
Kêt hp vi ñiêu kien ta có x = 3 là nghiem ca phương trình .
2) Các lũy th a tham gia trong phương trình ñêu cơ sô 2. Ta ñi tìm quan he gia các sô mũ
ta thây 2 2 2 2 (x + x) - (x - x) = 2x ⇒ x + x = (x - x) + 2x .
Ta có:
x2 x 2x x2 x 2x PTÛ2 - .2 - 4.2 - - 2 + 4 = 0 .
x2 x 2x 2x 2x x2 x Û2 - (2 - 4) - (2 - 4) = 0Û(2 - 4)(2 - -1) = 0
2x
 =  =
Û Û  =  =
2 4 x 1
2
2 x - x
1 x 0
.
Ví d 3: Gii các bât phương trình sau:
-
x 3x 1
1) 2 4
2
+ +
2x 1 3x 2
1
£
2) ( ) (0,125)
2
+ + + +
x 1 x 2 x 2 x 1
+ ³ +
+ £ +
3) 3 5 3 5
2
1 1
+ + -
2 2x x 1 2 1 x
4) (x ) (x )
2 2
Gii:
1) x 6x 2 2
Û - Û - Û .
BPT 2 2 x 6x 2 x
5
2)
x
Û x - x x - x Û x x
Û    Û
5 3 3
5
3
BPT 25.5 5.5 9.3 3.3 20.5 6.3 x log
3 10 10
 
.
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 2

3. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
3)
2x2 1 3x 2 9x 6
1 1 1 2 2
+ + +       Û  £   =   Û + ³ + Û - - ³
BPT 2x 1 9x 6 2x 9x 5 0
2 8 2
     
1
Û x Î ( -¥ ; - ] È [5;+ ¥ )
.
2
4) Vì 2 1
+ nên ta có các trưng hp sau
x 0
2
* 2 1 1
+ = Û = ± .
x 1 x
2 2
*
1 1 x 1 x 1 | x |
  2
 +  £ - Û Û       + + ³ -  + ³ 
2 2 1
2 2
x
2x x 1 1 x 2x 2x 0 2
.
*
1 1 x 1 | x | 1
  2
 + Û   Û- £
  + + £ -  
+ £ 2 2 x 0
2 2
2
2x x 1 1 x 2x 2x 0
.
Vay nghiem ca bât phương trình là:
1 1
Î -¥ - È - È +¥ .
x ( ; 1] [ ;0] [ ; )
2 2
Chú ý : Ta có the gi
i bài 4 như sau:
2 2 1
Û - + ³ . Lap b
ng xét dâu ta cũng tìm ñưc tap nghiem như trên
BPT (x )(2x 2x) 0
2
Ví d 4: Tìm tât c
các cap sô thc (x;y) tha mãn ñông thi các ñiêu kien sau :
2
|x 2x 3| log3 5 (y 4) 3 5 - - - = - + (1) và 2 4 | y | - | y -1| +(y + 3) £ 8 (2).
Gii:
Vì | y | +1³| y -1|⇒4 | y | +1- | y -1|³ 0 nên t (2) ⇒(y + 3)2 £ 9⇒ y £ 0
⇒(2)Û y2 + 3y £ 0Û-3 £ y £ 0 (*).
Mat khác
|x2 2x 3| y 3 (1)Û3 - - = 5- - ⇒-y - 3 ³ 0⇒ y £ -3 (**)
Tư (*) và (**) ta có y = -3 |x2 2x 3| 2 ⇒3 - - = 0Ûx - 2x - 3 = 0Û x = -1;x = 3.
Th li ta thây các giá tr này tha mãn (1) và (2).
Vay (x;y) = (-1;-3), (3;-3) là nhng cap (x;y) cân tìm.
Chú ý : 1) Vi bài toán trên ta thây (2) là Bât phương trình mot an nên ta tìm cách gi
i (2)
và ta dư ñoán bài toán tha mãn ti nhng ñiem biên ca y.
2) Ta có the gi
i (2) bang cách phá b dâu tr tuyet ñôi ta cũng tìm ñưc nghiem ca (2) là
-3 £ y £ 0, tuy nhiên cách làm vay cho ta li gi
i dài.
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 3

4. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
1
2 - = - .
Ví d 5: Gi
i và bien luan phương trình : |x 1|
2m 1
Gii:
* Nêu
1
- £ Û £ thì phương trình vô nghiem.
2m 1 0 m
2
* Nêu 1 |x 1| 1
⇒ Û - =
m PT 2 (2)
-
2 2m 1
.
+) Vi |x 1| 1
= Û = ⇒ Û - = ⇒
1 m 1 (2) 2 1 (2)
-
2m 1
có 1 nghiem x =1.
+) Vi m ¹1⇒(2) có 2 nghiem phân biet x =1± log2 (2m -1) .
Bài tap:
Bài 1: Gi
i các phương trình sau:
1)2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x+1 + 3x+2 2)
2x2 x 5 2x 1 3 + + = 27 +
3)
x2 5x 6 x 3 5 - + = 2 - 4)
-
= 5)
x 1
2x.5 x 10
x2 5x 4 (x2 3) (x2 3)x 4
- + + + = +
6)
+ +
- = - ( x=10). 7) x x = xx (x=1;x=4)
x 5 x 17
32x 7 0,25.128 x 3
8)
  2x - 2
  =
 
3 9 9
x
.
4 16 16
9) 2x.x+1 27x . 5x =180 .
10)
x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 3x 7 4 − + 4 + + 4 + + 1 + = + .
Bài 3: Gi
i các bât phương trình sau:
x
-
3
1)
x
-
1
x2 4x x 4 3 - £ 2 - 2) 10 3 10 3
+
1
x
x 3)
+ ) ( - ) +
3
2 x2 x (4x + 2x +1) - £1
4)
2x2 x 1 | x -1| + - 1 5)
2 2x2 3 2 x (x + x +1) - (x - x +1)
6)
- + £
-
x x 2
x x
2.3 2
1
3 2
7)
- -
2 x |x 1|
x 2x 1
3
-   ³  
3
 
8)
2 x2 1 x2 2 x2 4x + x.2 + + 3.2 x .2 + 8x +12
Bài 4: Tìm m ñe phương trình sau có nghiem duy nhât
- = + .
3m 1
|x2 m 2|
2m 1
5 - +
Bài 5: Tìm m ñe phương trình
|x2 4x 3|
1 4 2
− +     = − +  
m m 1
5
có bôn nghiem phân biet.
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 4

5. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
2) Các phương pháp gii PT – BPT mũ:
1. Phương pháp ñat an ph
Cũng như PT – BPT vô t) và lưng giác, ñe gi
i PT – BPT mũ ta có the dùng phương pháp
ñat an ph*. Tc là ta thay thê mot bieu thc cha hàm sô mũ bang mot bieu thc cha an
ph* mà ta ñat và chuyen vê nhng phương trình – bât phương trình ma ta ñã biêt cách
gi
i. Phương pháp ñat an ph* rât phong phú và ña dng, ñe có ñưc cách ñat an ph* phù
hp thì ta ph
i nhan xét ñưc quan he c
u các cơ sô có trong phương trình.
Ví d 1: Gi
i phương trình:
1) 2.16x -15.4x - 8 = 0 2)
cos 2x cos2 x 4 + 4 - 3 = 0 .
Gii:
1) Nhan xét cơ sô ta thây 16 chính là bình phương ca 4, tc là ta có: 16x = (42 )x = (4x )2
Nên ta ñat: t = 4x , t 0⇒16x = (4x )2 = t2 .
Phương trình tr+ thành: 2 2x 3 3
- - = Û = Û = Û = .
2t 15t 8 0 t 8 2 2 x
2
2) Vì sô mũ ca hai lũy th a trong phương trình là hai hàm sô lưng giác và hai hàm sô
này bieu th qua nhau b+i he thc cos2x = 2cos2 x -1 nên ta chuyen sô mũ ca hai lũy
th a ñó vê mot hàm lưng giác.
Ta có phương trình
2 cos2 x cos2 x Û4 + 4.4 -12 = 0.
cos2 x t = 4 , t 0 , ta có phương trình : t2 + 4t -12 = 0Û t = 2
2 cos2 x 2 2 2 2cos x 1 cos2x 0 x k
ðat
Û = Û = Û = Û = p + p .
4 2
Nhan xét: Ta có dng tong quát ca bài toán trên là: F(af (x) ) = 0 .Vi dng này ta ñat
f (x) t = a , t 0 và chuyen vê phương trình F(t) = 0, gi
i tìm nghiem dương t ca phương
trình, t ñó ta tìm ñưc x. Ta thưng gap dng: m.a2f (x) + n.af (x) + p = 0.
Vi BPT ta cũng làm tương t.
Ví d 2: Gi
i các bât phương trình:
1) 2 x - 21- x 1 2)
x2 2x x x2 2x x 1 9 - - - 7.3 - - - £ 2
Gii:
1) BPT x
2
Û 2 - 1
. ðat t = 2 x , t ³1, ta có:
x
2
2 2 x
- Û - - Û £ Û Û £ .
t 1 t t 2 0 1 t 2 2 2 0 x 1
t
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 5

6. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
2) BPT
x2 2x x x2 2x x Û3.9 - - - 7.3 - - £ 6 .
ðat
x2 2x x t = 3 - - , t 0 , ta có bât phương trình :
3t2 - 7t - 6 £ 0Ût £ 3Û x2 - 2x - x £1Û x2 - 2x £ x +1
2
 x - 2x ³ 0  x £ 0 V x ³
2
 Û + ³ Û  ³ - Û- £ £ ³
x 1 0 x 1 x 0 V x 2
  ³ -  - £ + 
x 2 2x (x 1) 2
x 1/ 4
1
4
.
Ví d 3: Gi
i các bât phương trình :
1)
4
+ + + ³ 2) 32x - 8.3x+ x+4 - 9.9 x+4 0 .
2.3 x 4
x x 9 2 9
x 1
Gii:
1) Trong bât phương trình
Chia hai vê BPT cho 9 x ta ñưc:
4 x x 4 x x 2.3 - + 3.9 - ³1.
ðat
4 x x t = 3 - , t 0 , ta có BPT:
2 1 4 x x 1
3t 2t 1 0 t 3 3
+ - ³ Û ³ Û - ³ -
3
Û 4 x - x ³ - 1 Û x - 4 x - 1 + 5 1 £ 0 Û 4 x £ Û 0 £ x
£ 7 + 3 5
.
2 2
2) Chia hai vê BPT cho 9 x+4 ta ñưc: 32(x- x+4) - 8.3x- x+4 - 9 0
ðat t = 3x- x+4 , t 0 , ta có: t2 - 8t - 9 0Ût 9Û3x- x+4 32
 x + 2 0  x - 2
- + Û + + Û Û Û
x x 4 2 x 2 x 4 x 0
2 2
 + +  +
(x 2) x 4 x 3x 0
.
Ví d 4: Gi
i các phương trình sau:
1)
x2 x 2 x x2 2 - - 2 + - = 3 2) 3x x
1 12
2 - 2 - - + = .
2 6.2 1
3(x 1) x
Gii:
1) PT
4
2 2 2
- - -
x x 2(x x) x x
Û 2 - = 3 Û 2 - 3.2 - 4 = 0
.
2
-
x x
2
ðat
 = -
x2 x t = 2 - , t 0 . Ta có: 2 2 x 1
- - = Û = Û - - = Û  =
t 3t 4 0 t 4 x x 2 0
x 2
.
8 12 8 2
2) ðat t = 2x , t 0 ta có: 3 3
- - + = Û - - - - = .
t 6t 1 (t ) 6(t ) 1 0
3 3
t t t t
2 8 2 4 2 2
       = - ⇒ - =  -  + +  =  -   - +  = +       
ðat 3 2 2 2
y t t t t 2 t (t ) 6 y(y 6)
3 2
t t t t t t
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 6

7. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
Nên ta có phương trình : 3 2 2
- = Û = Û - = Û - - = Û = Û = .
y 1 0 y 1 t 1 t t 2 0 t 2 x 1
t
Ví d 5: Gi
i phương trình :
1) x x (5 + 24) + (5 - 24) =10 2) (7 + 4 3)x - 3(2 - 3)x + 2 = 0 .
Gii:
Nhan xét hai cơ sô ta thây: (5 + 24)(5 - 24) =1⇒(5 + 24)x (5 - 24)x =1. Do vay
nêu ñat x x 1
= + ⇒ - = và phương trình ñã cho tr+ thành
t (5 24) , t 0 (5 24)
t
1 2
t + = 10 Û t - 10t + 1 = 0 Û t = 5 ± 24
.
t
T ñây ta tìm ñưc x = ±1.
Nhan xét: Bài toán trên có dng tong quát như sau:
m.af (x) + n.bf (x) + p = 0, trong ñó a.b =1
1. ðat f (x) f (x) = ⇒ = .
t a , t 0 b
t
2) Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 và (2 - 3)(2 + 3) =1 nên ta ñat t = (2 + 3)x , t 0 ta có
phương trình : 2 3 2 3
- + = Û + - = Û - + + = Û =
t 2 0 t 2t 3 0 (t 1)(t t 3) 0 t 1
t
Û(2 + 3)x =1Û x = 0.
Ví d 6: Gi
i các phương trình sau:
1) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0 2)
x2 2x 1 2x x2 2x x2 1 9- + + - 34.15 - + 25 - + = 0
Gii:
1) Nhan xét các cơ sô ta có: 9=32;4= 22;6=3.2 , do ñó nêu ñat a =3x ,b=2x , ta có:
6a2 −13ab+6b2 =0 ñây là phương trình ñang câp bac hai ñôi vi a,b. Chia hai vê PT
a 3
x cho b2 và ñat
t
  = =  

b 2
ta ñưc: 2 3 2
− + = ⇔ = = .
6t 13t 6 0 t , t
2 3
T ñây ta có: x =±1.
Nhan xét: Ta có dng tong quát ca phương trình trên là:
m.a2f (x) + n.(a.b)f (x) + p.b2f (x) = 0 . Chia 2 vê phương trình cho 2f (x) b và ñat
a f (x)
= . Ta có PT: mt2 + nt + p = 0 .
t ( ) , t 0
b
2) PT
2x x2 2x x2 2x x2 Û9.9 - - 34.15 - + 25.25 - = 0
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 7

8. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
2(2x x2 ) 2x x2
3 3 2
- -     Û   -   + = Û - + =
9 34 25 0 9t 34t 25 0
5 5
   
(Vi
2x x2 3
-   =  
 
t , t 0
5
Û = = .
-   = Û  = Û - = Û = =
- -     = Û  =   Û - - = Û = ±
    Û + = Û  +   - =
  =  
 
      Û   +   -   - =
  =  
 
+ - - = Û + + - = Û = Û = .
+ + - = .
 +  =  
 
+ = Û - = - (2)
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 8
).
25
t 1; t
9
*
2x x2
3 2
t 1 1 2x x 0 x 0;x 2
5
 
.
*
2x x2 2
25 3 3 2
t x 2x 2 0 x 1 3
9 5 5
   
.
Ví d 7:Gi
i phương trình:
1) 125x + 50x = 23x+1 2) 3.8 x + 4.12 x -18 x - 2.27 x = 0 .
Gii:
5 3x 5
2x
1) PT
5 3x 5 2x .2 x 2.2 3x 2 0
2 2
   
ðat
x 5
t , t 0
2
ta ñưc: t3 + t2 - 2 = 0Û(t -1)(t2 + 2t + 2) = 0Ût =1Ûx = 0 .
Vay phương trình có nghiem x = 0 .
2 3x 2 2x 2
x 2) PT
3 4. 2 0
3 3 3
     
. ðat
x 2
t , t 0
3
ta ñưc:
3 2 2 2
3t 4t t 2 0 (t 1)(3t t 2) 0 t x 1
3
Ví d 8: Tìm m ñe các phương trình sau có nghiem
1) 4x + 5.2x + m = 0 2) x x 7 3 5 7 3 5
( ) m( ) 8
2 2
Gii:
1) ðat t = 2x , t 0. Phương trình tr+ thành: t2 + 5t = -m (1). Suy ra phương trình ñã cho
có nghiem Û(1) có nghiem t 0 .
Vi t 0 ta có hàm f (t) = t2 + 5t 0 và liên t*c nên phương trình ñã cho có nghiem
Û-m 0Ûm 0.
2) ðat :
x
7 3 5
t , t 0
2
, ta có phương trình : 2 m
t 8 t 8t m
t
Suy ra phương trình ñã cho có nghiem Û(1) có nghiem t 0 .
Xét hàm sô f (t) = t2 - 8t vi t 0 , ta có: f (t) = (t - 4)2 -16 ³ -16 nên phương trình ñã
cho có nghiem -m ³ -16Ûm £16 .

9. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
Ví d 9: Tìm m ñe bât phương trình sau có nghiem:
1) 9x + m.3x +1£ 0 2) 32x - m.3x+ x+4 - 9.9 x+4 0.
Gii:
2
1) ðat t = 3x , t 0 . Bât phương trình tr+ thành:
+ + £ Û + £ - (3).
2 t 1
t mt 1 0 m
t
Bât phương trình ñã cho có nghiem Û(3) có nghiem
Û £ - (*).
t 0 Min f (t) m
t 0
Xét hàm sô
t2 1
f (t)
= + vi t 0 . Ta có
t
2
2
= t - 1
⇒ = Û = . T ñây suy ra
f '(t) f '(t) 0 t 1
t
= = ⇒ Û- ³ Û £ - .
Minf (t) f (1) 2 (*) m 2 m 2
t
0
Chú ý : BPT : f (x) £ k (f(x) ³ k) có nghiem trên D
ÛMin f (x) £ k (Max ³ k)
D D
2) Chia hai vê ca BPT cho 3x+ x+4 ta ñưc:
x x 4 x 4 x 9
3 9.3 m 0 f (t) t m
- + - + - - Û = - (**), trong ñó t = 3x- x+4
t
Xét hàm sô u(x) = x - x + 4 vi x ³ -4 . Ta có
1 1 15 15 17
= - ⇒ = Û + = Û = - ⇒ ³ - = -
u'(x) 1 u'(x) 0 x 4 x u(x) u( )
+
2 x 4 4 4 4 4
Suy ra
17
-
³ .
t 3 4
Xét hàm sô f(t) trên
1
= +¥ , ta có f(t) là hàm ñông biên nên
D [ ; )
4
81 3
= 1 = 1 - 729 3
⇒BPT ñã cho có nghiem Û(**) có nghiem tÎD
Minf (t) f ( )
D 4 4
81 3 81 3
Û = 1 - 729 3
m Min f(t)
.
D 4
81 3
Chú ý : 1) - bài toán trên chúng ta thưng mac sai lâm là khi ñat t ta cho rang ñiêu kien
ca t là t 0 ! Dan ñên ñiêu này là do chúng ta không xác ñnh tap giá tr ca u(x) và lúc
ñó ta se cho li gi
i sai!.
2) BPT
f (x) ³ k (f (x) £ k) xÎDÛMinf (x) ³ k (Max f (x) £ k) .
D D
Ví d 10: Tìm tât c
các giá tr ca tham sô a sao cho bât phương trình sau ñưc nghiem
ñúng vi m1i x £ 0 : a.2x+1 + (2a +1)(3 - 5)x + (3 + 5)x 0.
Gii:
BPT Û2a.2x + (2a +1)(3 - 5)x + (3 + 5)x 0
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 9

10. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
x x
 Û3 + 5      + + 3 - 5
  +
(2a 1) 2a 0
2 2
   
ðat
x x
 3 + 5   = £ £ 1 = 3 - 5
   ⇒  
   
t ,0 t 1 x 0
2 t 2
và bât phương trình tr+ thành:
2
+ + 1 + Û 2 + - + Û t + 1
-
I
t (2a 1) 2a 0 t 1 2a(t 1) 2a ( )
+
t t 1
Xét hàm sô
t2 1
f (t)
= +
+
t 1
vi tÎD = (0;1].
Ta có:
2
= t + 2t - 1
⇒ = Û = - + ⇒ = =
f '(t) f '(t) 0 t 1 2 Max f (t) f (1) 1
2 (0;1]
+
(t 1)
.
BPT ñã cho nghiem ñúng x £ 0Û(I) ñúng
t Î (0;1] Û- 2a Max f (t) Û a
- .
(0;1]
1
2
Ví d 11: Tìm m ñe bpt
2x2 x 2x2 x 2x2 x m.9 - - (2m +1)6 - + m.4 - £ 0 nghiem ñúng vi
m1i x tha mãn
1
³ .
| x |
2
Gii:
Chia hai vê bât phương trình cho
2x2 x 4 - và ñat
2x2 x 3
t
-   =  
 
2
ta có bât phương trình :
m.t2 - (2m +1)t + m £ 0Û t ³ m(t2 - 2t +1) (*).
= 2x2 - 1
Xét hàm sô u(x) x vi
³ , có
| x |
2
1 1
= - ⇒ ³ = ³
u'(x) 4x 1 u(x) u( ) 0 | x |
2 2
1
⇒ t ³ 1 | x |
³ .
2
* Vi t=1 ta thây (*) ñúng.
* Vi 2
t
⇒ Û = ³
t 1 (*) f (t) m (**)
- +
t 2t 1
Ta có
2
= - t + 1
⇒
f '(t) 0 t 1 f (t)
4
-
(t 1)
nghch biên trên (1;+¥)
Mà
t
= ⇒ . Suy ra (**) ñúng t 1Ûm £1.
lim f (t) 0 f (t) 0 t 1
®+¥
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 10

11. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
2. Phương pháp ñánh giá.
Noi dung phương pháp này là da vào tính ñơn ñieu ca hàm sô mũ ñe tìm nghiem ca
phương trình. ðưng lôi chính là ta d ñoán mot nghiem ca phương trình rôi da vào
tính ñơn ñieu ca hàm sô mũ chng minh phương trình có nghiem duy nhât.
Ví d1: Gi
i các phương trình sau
1) 4x + 3x = 5x 2) 3x = 4 - x
Gii:
1) Ta khó tìm ñưc môi liên he gia các cơ sô xuât hien trong bài toán. Tuy nhiên ta nhan
thây phương trình có nghiem x=2. Ta tìm cách chng minh x=2 là nghiem duy nhât ca
phương trình. ðe làm ñiêu này ta chia hai vê phương trình cho 5x (Nham to ra hàm sô +
4 x 3
x VT nghch biên) ta ñưc:
1
      +   =
   
5 5
(1).
G1i f (x) là VT ca (1) ⇒f (x) là hàm nghch biên và f (2) =1.
* x 2⇒f (x) f (2) =1⇒(1) vô nghiem.
* x 2⇒f (x) f (2) =1⇒(1) vô nghiem.
Vay phương trình có nghiem duy nhât x = 2.
2) Ta có: PTÛ3x + x = 4 (2)
Ta thây VT ca (2) là mot hàm ñông biên và x=1 là mot nghiem ca phương trình và ñây
cũng là nghiem duy nhât ca phương trình ñã cho.
Ví d 2: Gi
i các phương trình sau:
1) 3.4x + (3x -10)2x + 3 - x = 0
x2 4 2 x 2 2) 4 - + (x - 4)2 - =1.
Gii:
Ví d 2: Gii và bien luan phương trình:
2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 x mx x mx m
+ + - + + + = + +
x mx m
Bài tap:
Bài 1: Gi
i các phương trình sau
1) 34x+8 - 4.32x+5 + 27 = 0 2)
- +
+ - + =
x 1 x 5
3.2 x 1 2 2 4 0
3) (5 - 21)x + 7(5 + 21)x = 2x+3 4) ( 5 + 2 6 )sin x + ( 5 - 2 6 )sin x = 2
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 11

12. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
5) 4 2 5 12.2 1 2 5 8 0 x- x - - x- - x - + = 6)
Bài 2: Gi
i các bât phương trình sau:
1)
2
-
9 x 2
2x 1
2 3
2x x
-   -   £
3
 
Bài tap
Bài 1: Gi
i các phương trình và bât phương trình sau
x x
- +
+
7) 25 6.5 5 0
8) 3 x+1 18.3- x
29
+
x+1 x 2
+ - =
10) 4 2 3 0
11)
12) 3.16 x + 2.81 x =
5.36
x
13) 2 2x + 1 - 5.6 x - 3 2x +
1
³
0
14) ( 2 + 3) x + ( 2 - 3) x
=
14
15) ( 7 + 48 ) x + ( 7 - 48 ) x
£
14
16)
Bài 2: Tìm m ñe các phương trình và Bât phương trình sau có nghiem:
+
2
x x
+ - + - =
1) m .9 ( m 1)3 m
1 0
+
1
x x
- + - £
2)4 m .2 3 2 m
0
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 12

13. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BÂT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1.Phương trình cơ bn
*
= 
= Û 
( ) ( )
f x g x
³ ³ 
log ( ) log ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
f x g x
a a
f x g x
*log ( ) = Û ( ) = b
a f x b f x a
*log ( ) ³ log ( ) a a f x g x (*)
+ Nêu a1 thì

Û 
( ) ( )
f x g x

(*)
( ) 0
g x
+ Nêu 0a1 thì

Û 
( ) ( )
f x g x

(*)
( ) 0
f x
Chú ý: log ( ) a f x có nghĩa

Û 
f ( x
) 0
0 1

a
¹ Ví d 1: Gii các phương trình sau
- + - =
- + = - +
+ + - - =
1) log ( x 1) log ( x
2) log 6
3 3 3
2
2) lg( 7 6) lg( 1) 1
2
x x x
3) ( 1-x 1 x 2)log ( x x
) 0
2
-
- + ³ -
2
2
4) log ( x 3 x
2) 1
x x
+ - +
-
-
1
2
5)log (4 144) 4 log 2 log 5(2 1)
5 5 5
x
6) log 1
3
2 3
1
x
2. Các phương pháp gii Phương trình-Bât phương trình logarit
Phương pháp ñat an ph:
*Công thc ñoi cơ sô: == log
log
a
log
b
a
x
x
b
.
Ví d 1: Gii các phương trình và bât phương trình sau
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 13

14. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
+ - = -
1) 1 log ( x
1) log 4
2 1
2
+ =
5
x
2) log log 1
5 x
5
x
2 2
3 3
x
+ + - =
3) log x log x
1 5 0
 3

32
x
4 - 2 1   +
2
2 2 2 1
4) log log 9 log 4 log
x x
8
x
 
+ + +
2 2
2 2
5) log (2 x 3 x 2)1 log (2 x 3 x
2)
4 2
2 3
- + =
+ =
)lg lg 2 0
a x x
1 2
) 1
4 - lg 2 +
lg
)3 log 16 4 log 2 log
- =
d x x
x
x
x x
lg lg 5
+ =
)5 50
)log 16 log 64 3
f x
g
2
+ =
x x
x
+
lg 7
+
4 lg 1
=
= -
+ ³ + -
) 10
x
h x
-
log (1 2 ) 2
3
16 2
2
x
c
*)9 5 5
i x
2 1
x x x
1)log (4 4) log (2 3.2 )
1 1
2 2
8
1 1
+ + - =
2) log ( x 3) log ( x 1) log (4 x
)
2 4 2
2
2 4
-
- + = Î
3) 16 log 3
3 log
x x
27 3
x x
2
4) 4( log x ) log x m 0 x
(0;1)
2 1
2
+ - + £
5)log x 2 log ( x
1) log 6 0
1 1 2
2 4
x
- = -
6)log (5 4) 1
7)log x
log 3
3
x
1 3
log log
2 2
x
x x
2 2
³
5
8) 2 2
9)
x
p + 2 -
log (log (x 2x x ) 0
2
4
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 14

15. Phương trình – bât phương trình – he phương trình mũ và Lôgarit
Nguyen Tât Thu – Trưng Lê Hông Phong – Biên Hòa 15