3. الزمرة: عبارة عن مجموعة مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بـ * بحيث يربط كل ثنائية مرتبة من عناصر عنصر من بحيث يحقق الشروط .
4. وهذه الشروط هي: *عملية ثنائية مغلقة : العملية الثنائية*على المجموعة س هي القاعدة التي تعطي لأي عنصرين م ن س عنصرا اخر وحيدا هو ناتج م*ن.
5. 2.*عملية ثنائية تبديلية : تكون*عملية ثنائية تبديلية اذا كانت معرفة على المجموعة س وكانت أ *ب = ب*أ أ,ب س. ملاحظة : يجب توافر هذا الشرط فقط اذا كانت زمرة تبديلية
6. 3.*عملية ثنائية تجميعية: تكون العملية الثنائية *المعرفة على المجموعة س تجميعية اذا كان : (س*ص)*ع=س*(ص*ع)س,ص,عس.
7. 4.يوجد عنصر محايد هابحيث أن:س*ه=ه*س,سا. لتكن *عملية ثنائية معرفة على المجموعة س,يكون العنصر هس محايد اذاوفقط اذا كان أ*ه=ه*أ=أ,أس أي انه أس,ه عنصر محايد أ*ه=ه*أ=أ.
8. 5.لكل س ا يوجد عنصر نظير س-1 بحيث ان س*س-1=س-1*س=ه . لتكن *عمليه ثنائيه معرفه على س ,ليكن ه هو العنصر المحايد. يسمى العنصر ب نظير العنصر أ بالنسبه للعملية الثنائية*اذا تحقق الشرط التالي:أ*ب =ب*أ=ه وسوف نرمز لنظير العنصر أبالرمز أ-1 ويقرأ نظير أ.
9. مثال: لتكن * عملية معرفة على مجموعة الاعداد النسبية كالتالي: أ*ب=أ+ب+4. بين أن ),*) تشكل زمرة تبديلية. الحل:أ *عملية ثنائية مغلقة لان أ*ب=أ+ب+4,أ,ب ب*عملية تجميعية حيث (س*ص)*ع=(س+ص+4)*ع= س+ص+4+ع+4=س+ص+ع+8. س*(ص*ع)=س*(ص+ع+4)= س+ص+ع+4+4=س+ص+ع+8.
10. المثال: (س*ص)*ع=س*(ص*ع)لكل س,ص,ع. ج نفرض أن ه هوا لعنصر المحايد, يكون(س*ه)=(ه*س)=س أي أن س+ه+4=ه+س+4=س ه=-4 د نفرض أن س هوس1.س+س-1+4=-4س-1=-8س أذن لكل عنصر نظير أي أن النظام),*) يشكل زمرة.
11. مثال: وكذلك س*ص=س+ص+4 ص*س=ص+س+4 س*ص=ص*س أي أن* عملية ثنائية تبديلية. ),*) يشكل زمرة تبديلية.
