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実験計画法入門 Part 2

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実験計画法入門のレクチャースライド,4部構成のうちの第2部です.

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実験計画法入門 Part 2

  1. 1. © Hajime Mizuyama An Introduction to Design of Experiments (DOE) 青山学院大学 経営システム工学科 水山 元 mizuyama@ise.aoyama.ac.jp
  2. 2. © Hajime Mizuyama Part 1 古典的な実験計画法の 基本概念と要因計画 Part 2 直交表と 一部実施要因計画 Part 3 応答曲面法と 最適計画 Part 4 直積実験と ロバスト設計
  3. 3. © Hajime Mizuyama • 要因計画では,取り上げた因子のすべての水準の組合せにおい てそれぞれ(できれば複数回)実験を実施する必要があるため, 因子数の増加にともなって実験回数が爆発的に増大してしまう. • 複数の因子を取り上げた実験では,3因子以上の交互作用は考慮 しない(誤差に含める)ことが多く,2因子の交互作用もすべて を考慮する必要があるとは限らない. • いくつか(またはすべて)の交互作用が無視できるという前提 で要因計画の実験回数を減らすと,一部実施要因計画となる. • 直交表は,一部実施要因計画を作成するためのツールである. 要因計画から一部実施要因計画へ
  4. 4. © Hajime Mizuyama 多元配置実験の実験回数と自由度 2 4 6 8 10 0500100015002000 因子数 実験回数 主効果の自由度 交互作用の自由度 残差の自由度 2水準因子の場合 3水準因子の場合 2 4 6 8 10 0500100015002000 因子数 実験回数 主効果の自由度 交互作用の自由度 残差の自由度
  5. 5. © Hajime Mizuyama 構造モデル 𝑦 = 𝜇 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + ⋯ + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + ⋯ + 𝑒 仮定 – 3因子以上の交互作用(やいくつかの2因子交互作用)は無視 できる. – 主効果,交互作用はそれぞれ総和がゼロになる. – 誤差項は独立,等分散で期待値ゼロの正規分布に従う. 一部実施要因計画の構造モデル 一般平均 主効果 考慮すべき交互作用 誤差項
  6. 6. © Hajime Mizuyama 直交表の分類 素数べき型直交表 2水準系 L8(27), L16(215), ... 3水準系 L9(34), L27(313), ... 素数べき型直交表 2水準系 L8(27), L16(215), ... 3水準系 L9(34), L27(313), ... 混合系直交表 L12(211), L18(21×37), ... 混合系直交表 L12(211), L18(21×37), ...
  7. 7. © Hajime Mizuyama 行数 水準数 列数 2水準の素数べき型直交表 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 どの 2列をとっても, (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) の組合せが同数回ずつ現れる. どの 2列をとっても, (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) の組合せが同数回ずつ現れる. L8(27), L16(215), L32(231), ... 直交表:L8(27)
  8. 8. © Hajime Mizuyama 行数 水準数 列数 どの 2列をとっても, (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) の組合せが同数回ずつ現れる. どの 2列をとっても, (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) の組合せが同数回ずつ現れる. L9(34), L27(313), L81(340), ... 直交表:L9(34) 3水準の素数べき型直交表 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1
  9. 9. © Hajime Mizuyama 直交表の使い方 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 実験で取り上げる 因子水準の組合せ ( A1, B1, C1, D1 ) ( A1, B1, C2, D2 ) ( A2, B2, C2, D2 ) 実験回数 1/2 の 一部実施要因計画 実験回数 1/2 の 一部実施要因計画 A B C D
  10. 10. © Hajime Mizuyama 実験データの構造モデル(交互作用がない場合) 1 2 3 4 5 6 7 データ (構造モデル) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 A B C D 𝑦1 = 𝜇 + 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 + 𝑒1 𝑦2 = 𝜇 + 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑒2 𝑦8 = 𝜇 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑒8
  11. 11. © Hajime Mizuyama 列ごとの対比(交互作用がない場合) 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 2 2 2 2 y2 3 1 2 2 1 1 2 2 y3 4 1 2 2 2 2 1 1 y4 5 2 1 2 1 2 1 2 y5 6 2 1 2 2 1 2 1 y6 7 2 2 1 1 2 2 1 y7 8 2 2 1 2 1 1 2 y8 A B C D 𝑦1 [1] = 𝜇 + 𝑎1 + 1 4 𝑒 𝑟 4 𝑟=1 𝑦2 [1] = 𝜇 + 𝑎2 + 1 4 𝑒 𝑟 8 𝑟=5
  12. 12. © Hajime Mizuyama 列ごとの対比(交互作用がない場合) 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 2 2 2 2 y2 𝑦1 1 3 1 2 2 1 1 2 2 y3 4 1 2 2 2 2 1 1 y4 5 2 1 2 1 2 1 2 y5 6 2 1 2 2 1 2 1 y6 𝑦2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 y7 8 2 2 1 2 1 1 2 y8 別の列に割り付け られた要因の効果 はすべて相殺され, 当該列に対応する 要因の効果,一般 平均および誤差項 だけが残る. 別の列に割り付け られた要因の効果 はすべて相殺され, 当該列に対応する 要因の効果,一般 平均および誤差項 だけが残る. A B C D
  13. 13. © Hajime Mizuyama 列ごとの対比(交互作用がない場合) 特性値 因子Aの主効果の図示 A1 A2 𝑦1 1 𝑦2 1
  14. 14. © Hajime Mizuyama 列間平方和 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 列間平方和 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 2 2 2 2 y2 𝑦1 1 3 1 2 2 1 1 2 2 y3 𝑆 1 = 4 𝑦1 1 − 𝑦 2 + 4 𝑦2 1 − 𝑦 2 4 1 2 2 2 2 1 1 y4 5 2 1 2 1 2 1 2 y5 6 2 1 2 2 1 2 1 y6 𝑦2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 y7 8 2 2 1 2 1 1 2 y8 A B C D
  15. 15. © Hajime Mizuyama 総偏差平方和 総偏差平方和と列間平方和の関係 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 𝑆 𝑇 = 𝑦𝑟 − 𝑦 2 8 𝑟=1 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 + 𝑆 5 + 𝑆 6 + 𝑆 7 SA SB Se SC Se SD
  16. 16. © Hajime Mizuyama 列間平方和を用いた分散分析 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A S[1] fA = 1 VA = S[1] /1 FA = VA /Ve B S[2] fB = 1 VB = S[2] /1 FB = VB /Ve C S[4] fC = 1 VC = S[4] /1 FC = VC /Ve D S[7] fD = 1 VD = S[7] /1 FD = VD /Ve 残差 S[3]+S[5] +S[6] fe = 3 Ve =(S[3]+S[5] +S[6]) /3 ― 計 ST 7 ― ― 自由度は,2水準系の場合は,1列あたり1,3水準系の場合は 1列あたり2,として計算する.
  17. 17. © Hajime Mizuyama 平均の計算に 用いたデータ数 (一般には 有効反復数) 𝑦𝑗 1 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 4 母平均の区間推定(交互作用がない場合) 特性値 因子Aの主効果の図示 A1 A2 𝑦1 1 𝑦2 1
  18. 18. © Hajime Mizuyama 交互作用がある場合 • 交互作用とは,ある因子の効果 の大きさが,別の因子の水準に よって変化すること. • 左の例では,因子Aの効果の大 きさが,因子Bの水準によって 変化している. • また,逆に,因子Bの効果の大 きさも,因子Aの水準によって 変化している. • 交互作用を評価をできるように 一部実施要因計画を作成するに はどうすればよいだろう? • 交互作用とは,ある因子の効果 の大きさが,別の因子の水準に よって変化すること. • 左の例では,因子Aの効果の大 きさが,因子Bの水準によって 変化している. • また,逆に,因子Bの効果の大 きさも,因子Aの水準によって 変化している. • 交互作用を評価をできるように 一部実施要因計画を作成するに はどうすればよいだろう? 特性値 A1 A2 因子A とB の主効果 と交互作用 A×B B2 B1
  19. 19. © Hajime Mizuyama A1 A2 B2 因子A とB の主効果 と交互作用 A×B B1 (A1, B1) (A1, B2) (A2, B1) (A2, B2) 特性値 交互作用に関する対比 1 2 2 1 A×BA B 1 1 1 2 2 1 2 2
  20. 20. © Hajime Mizuyama A B C D 交互作用との交絡 A×B 直交表 L8(27) では, 1列目の因子と, 2列目の因子の間 の 2因子交互作用 は 3列目に現れる. 直交表 L8(27) では, 1列目の因子と, 2列目の因子の間 の 2因子交互作用 は 3列目に現れる. 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2
  21. 21. © Hajime Mizuyama 交互作用と交絡する列 1 2 3 4 5 6 7 1 * 3 2 5 4 7 6 2 * 1 6 7 4 5 3 * 7 6 5 4 4 * 1 2 3 5 * 3 2 6 * 1 7 * 2列間の交互作用 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 直交表:L8(27)
  22. 22. © Hajime Mizuyama 交互作用と線点図 線点図 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 直交表:L8(27)
  23. 23. © Hajime Mizuyama • 2水準の素数べき型直交表では,任意の2列に割り付けた因子間 の交互作用は,別のある1列に現れる. • 3水準の素数べき型直交表では,任意の2列に割り付けた因子間 の交互作用は,別のある2列に現れる. • それらの列に別の因子を割り付けたとすると,その因子の主効 果と,当該交互作用とを区別して評価することができなくなる. これを「交絡」と呼ぶ. 交互作用との交絡
  24. 24. © Hajime Mizuyama 交互作用と交絡する列(3水準の例) 1 3, 4 2 B1 B2 B3 A1 α1 α2 α3 A2 α3 α1 α2 A3 α2 α3 α1 B1 B2 B3 A1 β1 β2 β3 A2 β2 β3 β1 A3 β3 β1 β2 3水準どおしの2因子交互作用は: (ab) = α + β と分解できる. 線点図直交表:L9(34) 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1
  25. 25. © Hajime Mizuyama 線点図を用いた因子の割付け 線点図 1 2 3 4 5 6 7 因子A,B,C,Dの主効果と A×Bの交互作用を考慮したい. 考慮したい要因を線点図の 形式で表す. A B C D A×B 考慮したい要因の線点図を 使用する直交表の線点図に 当てはめる. A D CB A×B
  26. 26. © Hajime Mizuyama 線点図を用いた因子の割付け 線点図 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 A D CB A×B A B C D A×B
  27. 27. © Hajime Mizuyama 実験結果の例 1 2 3 4 5 6 7 データ 1 1 1 1 1 1 1 1 747 2 1 1 1 2 2 2 2 727 3 1 2 2 1 1 2 2 690 4 1 2 2 2 2 1 1 695 5 2 1 2 1 2 1 2 690 6 2 1 2 2 1 2 1 692 7 2 2 1 1 2 2 1 690 8 2 2 1 2 1 1 2 689 A B C D A×B
  28. 28. © Hajime Mizuyama 総偏差平方和の計算 1 2 3 4 5 6 7 データ 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 44.5 1980.25 2 1 1 1 2 2 2 2 727 24.5 600.25 3 1 2 2 1 1 2 2 690 -12.5 156.25 4 1 2 2 2 2 1 1 695 -7.5 56.25 5 2 1 2 1 2 1 2 690 -12.5 156.25 6 2 1 2 2 1 2 1 692 -10.5 110.25 7 2 2 1 1 2 2 1 690 -12.5 156.25 8 2 2 1 2 1 1 2 689 -13.5 182.25 A B C D A×B 702.5平均: 3398総和:
  29. 29. © Hajime Mizuyama 列間平方和の計算#1 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 714.75 12.25 150.0625 2 1 1 1 2 2 2 2 727 714.75 12.25 150.0625 3 1 2 2 1 1 2 2 690 714.75 12.25 150.0625 4 1 2 2 2 2 1 1 695 714.75 12.25 150.0625 5 2 1 2 1 2 1 2 690 690.25 -12.25 150.0625 6 2 1 2 2 1 2 1 692 690.25 -12.25 150.0625 7 2 2 1 1 2 2 1 690 690.25 -12.25 150.0625 8 2 2 1 2 1 1 2 689 690.25 -12.25 150.0625 A B C D A×B 702.5平均: 1200.5総和:
  30. 30. © Hajime Mizuyama 列間平方和の計算#2 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 714 11.5 132.25 2 1 1 1 2 2 2 2 727 714 11.5 132.25 5 2 1 2 1 2 1 2 690 714 11.5 132.25 6 2 1 2 2 1 2 1 692 714 11.5 132.25 3 1 2 2 1 1 2 2 690 691 -11.5 132.25 4 1 2 2 2 2 1 1 695 691 -11.5 132.25 7 2 2 1 1 2 2 1 690 691 -11.5 132.25 8 2 2 1 2 1 1 2 689 691 -11.5 132.25 A B C D A×B 702.5平均: 1058総和:
  31. 31. © Hajime Mizuyama 列間平方和の計算#3 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 713.25 10.75 115.5625 2 1 1 1 2 2 2 2 727 713.25 10.75 115.5625 7 2 2 1 1 2 2 1 690 713.25 10.75 115.5625 8 2 2 1 2 1 1 2 689 713.25 10.75 115.5625 3 1 2 2 1 1 2 2 690 691.75 -10.75 115.5625 4 1 2 2 2 2 1 1 695 691.75 -10.75 115.5625 5 2 1 2 1 2 1 2 690 691.75 -10.75 115.5625 6 2 1 2 2 1 2 1 692 691.75 -10.75 115.5625 A B C D A×B 702.5平均: 924.5総和:
  32. 32. © Hajime Mizuyama 列間平方和の計算#4 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 704.25 1.75 3.0625 3 1 2 2 1 1 2 2 690 704.25 1.75 3.0625 5 2 1 2 1 2 1 2 690 704.25 1.75 3.0625 7 2 2 1 1 2 2 1 690 704.25 1.75 3.0625 2 1 1 1 2 2 2 2 727 700.75 -1.75 3.0625 4 1 2 2 2 2 1 1 695 700.75 -1.75 3.0625 6 2 1 2 2 1 2 1 692 700.75 -1.75 3.0625 8 2 2 1 2 1 1 2 689 700.75 -1.75 3.0625 A B C D A×B 702.5平均: 24.5総和:
  33. 33. © Hajime Mizuyama 列間平方和の計算#5 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 704.5 2 4 3 1 2 2 1 1 2 2 690 704.5 2 4 6 2 1 2 2 1 2 1 692 704.5 2 4 8 2 2 1 2 1 1 2 689 704.5 2 4 2 1 1 1 2 2 2 2 727 700.5 -2 4 4 1 2 2 2 2 1 1 695 700.5 -2 4 5 2 1 2 1 2 1 2 690 700.5 -2 4 7 2 2 1 1 2 2 1 690 700.5 -2 4 A B C D A×B 702.5平均: 32総和:
  34. 34. © Hajime Mizuyama 列間平方和の計算#6 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 705.25 2.75 7.5625 4 1 2 2 2 2 1 1 695 705.25 2.75 7.5625 5 2 1 2 1 2 1 2 690 705.25 2.75 7.5625 8 2 2 1 2 1 1 2 689 705.25 2.75 7.5625 2 1 1 1 2 2 2 2 727 699.75 -2.75 7.5625 3 1 2 2 1 1 2 2 690 699.75 -2.75 7.5625 6 2 1 2 2 1 2 1 692 699.75 -2.75 7.5625 7 2 2 1 1 2 2 1 690 699.75 -2.75 7.5625 A B C D A×B 702.5平均: 60.5総和:
  35. 35. © Hajime Mizuyama 列間平方和の計算#7 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 偏差 偏差平方 1 1 1 1 1 1 1 1 747 706 3.5 12.25 4 1 2 2 2 2 1 1 695 706 3.5 12.25 6 2 1 2 2 1 2 1 692 706 3.5 12.25 7 2 2 1 1 2 2 1 690 706 3.5 12.25 2 1 1 1 2 2 2 2 727 699 -3.5 12.25 3 1 2 2 1 1 2 2 690 699 -3.5 12.25 5 2 1 2 1 2 1 2 690 699 -3.5 12.25 8 2 2 1 2 1 1 2 689 699 -3.5 12.25 A B C D A×B 702.5平均: 98総和:
  36. 36. © Hajime Mizuyama 総偏差平方和 総偏差平方和の列間平方和への分解 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 A×B 𝑆 𝑇 = 𝑦𝑟 − 𝑦 2 8 𝑟=1 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 + 𝑆 5 + 𝑆 6 + 𝑆 7 SA SB SA×B SC Se SD = 3398 = 1200.5 + 1058 + 924.5 +24.5 + 32 + 60.5 + 98
  37. 37. © Hajime Mizuyama 偏差データベクトル 𝒅 = (𝑦1 − 𝑦, 𝑦2 − 𝑦, … , 𝑦8 − 𝑦) 総偏差平方和 𝒅 のノルムの2乗( 𝑆 𝑇 = 𝒅 2 ) 第1列の列間平方和 𝒅 の (-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1) 方向への射影(= 𝒅 1 ) のノルムの2乗( 𝑆[1] = 𝒅 1 2 ) 平方和の分解(データベクトルの射影としての理解) d d[1]
  38. 38. © Hajime Mizuyama 平方和の分解(データベクトルの射影としての理解) d d[1] d[2] d[3] d[4] d[5] d[6] d[7] 1 44.5 12.25 11.5 10.75 1.75 2 2.75 3.5 2 24.5 12.25 11.5 10.75 -1.75 -2 -2.75 -3.5 3 -12.5 12.25 -11.5 -10.75 1.75 2 -2.75 -3.5 4 -7.5 12.25 -11.5 -10.75 -1.75 -2 2.75 3.5 5 -12.5 -12.25 11.5 -10.75 1.75 -2 2.75 -3.5 6 -10.5 -12.25 11.5 -10.75 -1.75 2 -2.75 3.5 7 -12.5 -12.25 -11.5 10.75 1.75 -2 -2.75 3.5 8 -13.5 -12.25 -11.5 10.75 -1.75 2 2.75 -3.5 平方和 3398 1200.5 1058 924.5 24.5 32 60.5 98 𝑆 𝑇 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 + 𝑆 5 + 𝑆 6 + 𝑆 7 𝒅 = 𝒅 1 + 𝒅 2 + 𝒅 3 + 𝒅 4 + 𝒅 5 + 𝒅 6 + 𝒅 7 かつ 𝒅 𝑖 ⊥ 𝒅 𝑗
  39. 39. © Hajime Mizuyama 分散分析による要因効果の検定 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 A S[1] fA = 1 VA = S[1] /1 FA = VA /Ve B S[2] fB = 1 VB = S[2] /1 FB = VB /Ve C S[4] fC = 1 VC = S[4] /1 FC = VC /Ve D S[7] fD = 1 VD = S[7] /1 FD = VD /Ve A×B S[3] fA×B = 1 VA×B = S[3] /1 FA×B = VA×B /Ve 残差 S[5] + S[6] fe = 2 Ve =(S[5] + S[6]) /2 ― 計 ST 7 ― ―
  40. 40. © Hajime Mizuyama 分散分析による要因効果の検定 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 p値 A 1200.5 1 1200.5 25.957 0.0364 B 1058.0 1 1058.0 22.876 0.0410 C 24.5 1 24.5 0.530 0.5424 D 98.0 1 98.0 2.119 0.2828 A×B 924.5 1 924.5 19.989 0.0466 残差 92.5 2 46.25 ― ― 計 3398 7 ― ― ―
  41. 41. © Hajime Mizuyama 分散分析による要因効果の検定(プーリングした場合) 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 p値 A 1200.5 1 1200.5 25.957 0.00913 B 1058.0 1 1058.0 22.876 0.01136 A×B 924.5 1 924.5 19.989 0.01429 残差 215.0 4 53.75 ― ― 計 3398 7 ― ― ― プーリングとは,有意でなかった要因を,無視できると判断し, それに対応する列間平方和を,残差平方和に繰り入れること.
  42. 42. © Hajime Mizuyama 母平均の点推定 1 2 3 4 5 6 7 データ 平均 1 1 1 1 1 1 1 1 747 𝑦1,1 1,2 = 737 2 1 1 1 2 2 2 2 727 3 1 2 2 1 1 2 2 690 𝑦1,2 1,2 = 692.5 4 1 2 2 2 2 1 1 695 5 2 1 2 1 2 1 2 690 𝑦2,1 1,2 = 691 6 2 1 2 2 1 2 1 692 7 2 2 1 1 2 2 1 690 𝑦2,2 1,2 = 689.5 8 2 2 1 2 1 1 2 689 A B A×B
  43. 43. © Hajime Mizuyama 母平均の区間推定(プーリングしない場合) 660680700720740760780 A1 A2 B1 B2 𝑦𝑖,𝑗 1,2 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 2 𝑦1,1 1,2 𝑦1,2 1,2 𝑦2,1 1,2 𝑦2,2 1,2
  44. 44. © Hajime Mizuyama 母平均の区間推定(プーリングした場合) 660680700720740760780 A1 A2 𝑦𝑖,𝑗 1,2 ± 𝑡 𝑓𝑒, 1 − 𝛼 2 𝑉𝑒 2 B1 B2 𝑦1,1 1,2 𝑦1,2 1,2 𝑦2,1 1,2 𝑦2,2 1,2
  45. 45. © Hajime Mizuyama 直交表:L16(215) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 6 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 7 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 8 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 9 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 11 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 12 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 13 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 14 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 15 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 16 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 * 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 2 * 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 3 * 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12 4 * 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 5 * 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 6 * 1 14 15 12 13 10 11 8 9 7 * 15 14 13 12 11 10 9 8 8 * 1 2 3 4 5 6 7 9 * 3 2 5 4 7 6 10 * 1 6 7 4 5 11 * 7 6 5 4 12 * 1 2 3 13 * 3 2 14 * 1 15 *
  46. 46. © Hajime Mizuyama 直交表:L16(215) 2 3 8 9 10 137 1 126 15 14 11 4 5 (1) (3) 1 2 4 8 15 3 14 913 11 6 7 12 5 (2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 14 15 10 1 12 6 4 5 7 9 11 13 8 10 153 14 2 (4) (5) (6) 1 4 5 7 6 3 12 15 14 13 2 8 10 9 11 8 10 12 14 11 13 15 9 1 3 2 6 7 4 5
  47. 47. © Hajime Mizuyama 直交表:L27(313) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 5 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 6 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 7 1 3 3 3 1 1 1 3 3 3 2 2 2 8 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 9 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 10 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 11 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 12 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 13 2 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 14 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 15 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 16 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 17 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 1 2 18 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3 19 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 20 3 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 21 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 22 3 2 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 23 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2 24 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2 2 1 3 25 3 3 2 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3 26 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 27 3 3 2 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 * 3 2 2 6 5 5 9 8 8 12 11 11 4 4 3 7 7 6 10 10 9 13 13 12 2 * 1 1 8 9 10 5 6 7 5 6 7 4 3 11 12 13 11 12 13 8 9 10 3 * 1 9 10 8 7 5 6 6 7 5 2 13 11 12 12 13 11 10 8 9 4 * 10 8 9 6 7 5 7 5 6 12 13 11 13 11 12 9 10 8 5 * 1 1 2 3 4 2 4 3 7 6 11 13 12 8 10 9 6 * 1 4 2 3 3 2 4 5 13 12 11 10 9 8 7 * 3 4 2 4 3 2 12 11 13 9 8 10 8 * 1 1 2 3 4 10 9 5 7 6 9 * 1 4 2 3 8 7 6 5 10 * 3 4 2 6 5 7 11 * 1 1 13 12 12 * 1 11 13 *
  48. 48. © Hajime Mizuyama 直交表:L27(313) 1 2 11 1 2 3, 4 5 6, 7 8, 11 9 10 12 13 (1) (2) (a) (b) 5 8 3, 4 6, 7 9, 10 12, 13 5 1 10 2 9 6, 7 8, 11 3, 13 4, 12
  49. 49. © Hajime Mizuyama Resolution III すべての主効果のみが互いに交絡せずに推定可能. Resolution IV すべての主効果が,他の主効果とも,2因子交互作用とも交絡せ ずに推定可能. Resolution V 主効果と 2因子交互作用がすべて互いに交絡せずに推定可能. 一部実施要因計画の分解能
  50. 50. © Hajime Mizuyama 直交表の分類 素数べき型直交表 2水準系 L8(27), L16(215), ... 3水準系 L9(34), L27(313), ... 素数べき型直交表 2水準系 L8(27), L16(215), ... 3水準系 L9(34), L27(313), ... 混合系直交表 L12(211), L18(21×37), ... 混合系直交表 L12(211), L18(21×37), ...
  51. 51. © Hajime Mizuyama 混合系直交表の例:L12(211) A B C ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
  52. 52. © Hajime Mizuyama 列ごとの対比と交互作用 A B C ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 平均 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 𝑦1 1 = 𝜇 + 𝑎1 𝑦1 2 = 𝜇 + 𝑎2 + 1 3 𝑏𝑐 11 + 1 6 𝑒 𝑟 6 𝑟=1 + 1 3 𝑏𝑐 12 + 1 6 𝑒 𝑟 12 𝑟=7
  53. 53. © Hajime Mizuyama 列ごとの対比と交互作用 A B C ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 平均 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 𝑦1 1 = 𝜇 + 𝑎1 𝑦1 2 = 𝜇 + 𝑎2 + 1 3 𝑏𝑐 11 + 1 6 𝑒 𝑟 6 𝑟=1 + 1 3 𝑏𝑐 12 + 1 6 𝑒 𝑟 12 𝑟=7
  54. 54. © Hajime Mizuyama 列ごとの対比と交互作用 A B C ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 列間平方和 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 𝑆 1 = 6 𝑦1 1 − 𝑦 2 +6 𝑦2 1 − 𝑦 2
  55. 55. © Hajime Mizuyama 列ごとの対比と交互作用 A B C ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 列間平方和 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 列間平方和 S[1] に 交互作用 B×C の 平方和のうち 1/9 が相殺されず残る. これを「部分交絡」 と呼ぶ. 列間平方和 S[1] に 交互作用 B×C の 平方和のうち 1/9 が相殺されず残る. これを「部分交絡」 と呼ぶ.
  56. 56. © Hajime Mizuyama e e e e e e 完全交絡の図的理解 列間平方和 1 2 3 4 5 ... 列番号 CA B A B C 完全交絡なので,主効果Cと 交互作用A×Bとを 区別することができない. 完全交絡なので,主効果Cと 交互作用A×Bとを 区別することができない. A×B
  57. 57. © Hajime Mizuyama e e e e e e 部分交絡の図的理解 列間平方和 1 2 3 4 5 ... 列番号 CA B A B C 部分交絡では,交互作用A×B 自身の評価は難しいが, 主効果C の評価には さほど影響は与えない. 部分交絡では,交互作用A×B 自身の評価は難しいが, 主効果C の評価には さほど影響は与えない.
  58. 58. © Hajime Mizuyama 混合系直交表の例:L18(21×37) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 3 3 3 3 3 4 1 2 1 1 2 2 3 3 5 1 2 2 2 3 3 1 1 6 1 2 3 3 1 1 2 2 7 1 3 1 2 1 3 2 3 8 1 3 2 3 2 1 3 1 9 1 3 3 1 3 2 1 2 10 2 1 1 3 3 2 2 1 11 2 1 2 1 1 3 3 2 12 2 1 3 2 2 1 1 3 13 2 2 1 2 3 1 3 2 14 2 2 2 3 1 2 1 3 15 2 2 3 1 2 3 2 1 16 2 3 1 3 2 3 1 2 17 2 3 2 1 3 1 2 3 18 2 3 3 2 1 2 3 1
  59. 59. © Hajime Mizuyama 直交表の使い分け 素数べき型直交表 • 交互作用が無視できることが わかっており,主効果だけを 評価したい場合 • 主効果だけでなく,交互作用 も評価したい場合 – 考慮するべき交互作用を 限定できる場合 – 因子数が多くない場合 素数べき型直交表 • 交互作用が無視できることが わかっており,主効果だけを 評価したい場合 • 主効果だけでなく,交互作用 も評価したい場合 – 考慮するべき交互作用を 限定できる場合 – 因子数が多くない場合 混合系直交表 • 因子数が多く,交互作用が無 視できるかどうか不明な場合 • 多くの因子の中から,主効果 の大きさに基づいて,重要な ものを絞り込みたい場合 • 影響の大きい主効果だけを用 いて改善を達成したい場合 – ロバスト設計 混合系直交表 • 因子数が多く,交互作用が無 視できるかどうか不明な場合 • 多くの因子の中から,主効果 の大きさに基づいて,重要な ものを絞り込みたい場合 • 影響の大きい主効果だけを用 いて改善を達成したい場合 – ロバスト設計

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