1. データ解析・統計講座 ②
2013年9月18日

2. 2次元のデータ
多次元データの統計学は、多くの変数を一括してその間の関係を扱う。2変数xとy
の場合、xとyの間に区別をもうけず対等に見る見方や方法を相関 といい、xからy（あ
るいはyからx）を見るとき、回帰という。
[注] 回帰（かいき）とは一般にはもとの位置または状態に戻ること、あるいはそれを繰り返すこと
キーワード：
多次元データmulti-dimensional data
相関correlation
回帰regression
身長と体重、数学と理科の成績などは、相関関係
年齢と血圧、所得と消費などは、回帰分析
とくに統計学では2つの変数の間に直線関係に近い傾向が見られるときに「相関関係
がある」ということが多い。
正の相関
・
・
・・
・・
・
負の相関
・
・
・・
無相関
・
・・
・
・
・・
・
・
2

3. 散布図と分割表
2つのデータの間の関係を見るには、両方ともが量的データである場合には散布図、
少なくとも1つが質的データの場合には、分割表を用いる。
キーワード：
散布図scattergram
分割表contingency table＝クロス表cross table
両方とも量的データである場合は散布図を使う。
（
片方あるいは両方とも質的データである場合は
分割表を使う、表側がより根元的なので、横方
向の相対度数が表示されることが多い。
ひ
留学あり
合計
99.4
75.6
70.3
0.6
6.6
0.5
100.0
70.8
70.8
:
:
:
93.1
100.0
93.1
6.9
100.0
6.9
100.0
100.0
100.0
X
男性
20代
ょ
う
そ
）
留学なし
女性
30代
表
側
※あまり使わない
Y
女性
20代
例）人口と小売商店数、不快指数が80以上の
日数とルームエアコンの保有率、世帯あたりの
米の消費支出とパンの消費支出、出世率と死
亡率、など
相対度数は3種類できる。
・横方向の相対度数
・縦方向の相対度数
・全体の大きさを分母とした相対度数（右下）
表頭（ひょうとう）
く
男性
30代
その他
合計
3

4. 相関係数correlation coefficient
相関係数とは相関の程度を示す指標のことで、もっともよく用いられるのは、「ピアソ
ンの積率相関係数product-moment correlation coefficientであり、単に相関係数と
いうときには通常これをさしている。
[注]パラメトリック：前もって母集団の分布型を仮定しておくこと。
例えば、正規分布を仮定した上でデータにフィットするよう平均・分散を調整する。
相関係数
r=
=
変数Xと変数Yの共分散
変数Xの標準偏差＊変数Yの標準偏差
å (x - x )(y - y )/ n
å (x - x / n) å (y - y
)
å (x - x (y - y )
å (x - x ()y - y )
i
i
2
i
=
i
i
)
/n
i
2
i
2
2
i
で定義される。相関係数はつねに[-1～1]の範囲にある。
上式の分子はxの偏差とｙの偏差を同時に考えたときの全データについての平均であ
り、これを共分散covarianceと呼ぶ。
4

5. 相関係数（２）
共分散
相関係数rの符号は、分母は常に正であるので、分子の共分散の符号によって決まる。
符号(±)が同じとき、ゾーンⅠおよびⅢとなり、異なるときゾーンⅡおよびⅣとなる。し
たがって、共分散は、下図の影の部分にあるデータが、そうでないデータに比較して多
ければ多いほど、+の側に大きくなり、逆に小さければ小さいほど-の側に大きくなる。
データが、影の部分にもそうでない所にも均等に分布していれば、正負は相殺され、0
に近づく。
y
Ⅱ
Ⅰ
xi - x > 0, yi - y > 0
(xi , yi )
y
Ⅲ
Ⅳ
x
x
Sy
完全相関
(x i - x )+ y
yi = ±
相関係数が最大、最小である±1をとるのは、
Sx
のときに限られる。書き換えると、右に示すとおり。 y = bx + a
i
i
すべてのデータが直線y=bx+a上にあるとき、
（ただし、 b = ± S y / S x , a = y - x S y / S x ）
完全相関という。
5

6. 相関関係と因果関係
相関関係correlation≠因果関係causality
相関係数が高いことは、一般的には強い相関があるといえるが、このことは必ずしも
その2つのデータの間に因果関係causalityがあるということではない。
（例）
・人口と商店街は、人口増→商店街の大きさ、といえる
相関関係があると同時に因果関係がある
（極端な例）
・ y = ( x - 8)
2
で関係が決まる場合、データの大きさをn=15とし、
(1, (1 - 8) ), (2, (2 - 8) ),× × ×, (15, (15 - 8) )
2
2
2
を考えてみると相関関係は0となる
特に社会現象の分析では、相関関係と因果関係のみきわめが難しいものが多い。
（例）みかんの消費量と風邪の患者数
6

7. みかけ上の相関と編相関係数
みかけ上の相関関係spurious correlation
（例）
東京都23区について、xに飲食店の数、yに金融機関の店舗数をとる
図からは、飲食店の多いところには金融機関が多いということになる。
相関係数もr=0.892と高い。
しかし、常識的に考えると、両者の間には直接的な関係はなく、この2つの変数は、居
住地の人口（特に昼間人口）という第3の変数を間にはさんで、強い正の相関関係が
観察されるのである。
金
融
機
(y)
関
店
舗
数
0.835
・
・
・
・・ ・
・・・・
・・
・・
みかけ上の相関 0.892
→偏相関 0.665
昼間人口(z)
0.815
飲食店数(x)
飲食店数(x)
金融機関店舗数(y)
偏相関係数 partial correlation coefficient
変数1と変数2のみかけ上の相関の値から、変数3の影響を除いたあとの相関係数
r12×3 =
r12 - r13r23
1 - r12
2
1 - r23
2
7

8. 直線のあてはめ（1）
2変数xとyの間に、一方xが他方yを左右ないし決定する関係があるとき、xを独立変
数independent variable、yを従属変数dependent variableという。
（あるいは、説明変数、被説明変数ともいう）
統計学では、このxとyの関係を回帰という方法で扱う。
最小二乗法method of least squares
xiから予想される y の値 bx i + a と現実の値 y iが、
最も小さいへだたりを もつ最適な直線 y = bx + a の引き方である。
{
二乗和 L = å y i - (bx i + a
2
)}
を最小にする a , b の値を求める。
最小を求めるために a , b でそれぞれ偏微分して 0とおくと、
ì na + (å xi b ) å y i
=
ï
í
2
+
ï (å xi a ) å xi b = å xi y i
î
(
)
※次頁の展開式参照
となる。これを正規方程式normal equationという。これをa,bの2元連立方程式として
解くと、
å xi yi - nxy ,
b=
2
xi - nx 2
å
a = y - bx
8

9. 最小二乗法を使った展開式
（上式） na + (å xi )b = å y i
n
{
L = å y i - (bx i + a
2
)
}
i =1
= å ( y i - bx i - a
2
(
)
)
= å y 2 i - 2 y i bx i - 2 ay i + b 2 x i + 2 abx i + a 2
2
変数 a 以外は定数項の 2次式と捉え、 a で偏微分して 0とおくと、
0 = å (- 2 y i + 2bx i + 2 a
å y = å a + å bx
i
(å +
（下式） xi a )
n
i
= na + (å xi )b
(å x
{
L = å y i - (bx i + a
)
2
i
)
b = å xi y i
2
)
}
i =1
(
)
= å y 2 i - 2 y i bx i - 2 ay i + b 2 x i + 2 abx i + a 2
2
変数 b 以外は定数項の 2次式と捉え、 b で偏微分して 0とおくと、
(
0 = å - 2 y i x i + 2bx i + 2 ax i
2
å x y = å ax + å bx
i
i
i
2
i
= (å xi a )
+
(å x
)
2
i
b
)

10. 直線のあてはめ（２）
回帰方程式
得られたa,bによる1次式をyのx上への回帰方程式 regression equation、bはその傾
きslopeで、偏回帰係数 partial regression coefficientと呼ぶ。
決定係数coefficient of determination
回帰と相関には、つながりがある。あてはめられた回帰直線の傾き、つまり回帰係数
は、
å (xi - x )( yi - y )
b=
å (x - x
i
2
※次頁の展開式参照
)
と表される。
相関係数の定義と比べると、bとrの間には
2
Sy
å ( yi - y )
=r
b=r
2
Sx
å (xi - x )
の関係が成立する。相関係数rはxとｙの間の直線関係のあてはまりのよさという意味
をもつ。理論値との残差residualについて、
åd
2
i
(
ˆ
= å ( yi - yi ) = 1 - r 2
2
)å ( y - y )
2
i
が成り立つから、rの2乗が1に近いほど理論値に近づく。
10

11. 回帰係数の展開式
最小二乗法で求めた正規方程式から、
傾き b =
å x y - nx y を用いて
å x - nx
i
i
2
2
b=
i
å (x - x )( y - y )が求まるまでの展開式
å (x - x )
i
2
i
（分子）
)
å (x - x ( y - y =) å (x y - x y - x y
= å x y -å x y - å x y + å x y
= å x y -nx y - nx y + nx y
= å x y - nx y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
+ xy
i
i
i
i
i
（分母）
(xi - x 2 )= å (xi 2 - 2 xi x + x 2
å
= å xi - å 2 xi x + å x 2
2
= å xi - 2nx × x + nx 2
2
= å xi - nx 2
2
i
)
)

12. 決定係数の補足
( )
2
決定係数 r
相関係数rは直線のあてはまりの良さの尺度でもある。
理論値との外れ具合（残差）について、
åd
2
i
(
ˆ
= å ( yi - y i ) = 1 - r 2
2
)å ( y - y )
2
i
が成り立つ。直感的な理解としては、
2
ˆ 2
SS 0 = å ( yi - y ) ,SS E = å ( yi - yi ) とおくと、
SS E = (1 - r 2 ) × SS o
であるから、Yのばらつきは、割合r 2 だけ減少したことと同じである。
SS o (回帰前）
SS E (回帰後）
SS R (回帰による減少）
これが
となる
r2
12