1. Ασκήσεις πανελληνίων (πρώτο) στις συναρτήσεις
Για εξάσκηση και κατανόηση εννοιών
χωρίς την γνώση ακόμη των παραγώγων
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΑΣΚΗΣΗ 3
ΑΣΚΗΣΗ 4
ΑΣΚΗΣΗ 5
ΑΣΚΗΣΗ 6
ΑΣΚΗΣΗ 7

2. Ασκηση 1 (Πανελλήνιες 2008 )
Δίνετε η συνάρτηση f  x=xlnx x>0 και f(0)=0 η συνάρτηση έχει
−1
ελάχιστο για χ =e
Απο την γραφική παράσταση να βρεθoύν
α) Η μονοτονία της f(x)
β) Το σύνολο τιμών της f(x)
γ) Να βρεθεί το πλήθος των διαφορετικών θετικών των ριζών της
εξίσωσης χ =e
α
χ
για όλες τίς πραγματικές τιμές του α
f  x=xlnx
y=α

3. 2 Aσκηση ( Πανελλήνιες 2011)
Δίνετε f(x)=(x-1)lnx -1 αν x>0
α) Απο τη γραφική παράσταση να βρεθεί η μονοτονία της f(x)
β) Το πεδίο τιμών της f(x)
γ) Να βρεθεί ότι η εξίσωση χ χ−1=2013
έχει ακριβώς δύο ρίζες
y=ln 2013−1
f  x=x−1ln  x−1

4. 3 Ασκηση ( Πανελληνιες 2001 )
x
f  x=ln e − x Nα βρεθούν α) Η μονοτονία β) Τα
Δίνετε η
ακρότατα γ) Σε ποσα σημεία αλλάζει καμπυλότητα
Η εξίσωση
χ
ln e − χ=συνχ
έχει μια ακριβώς ρίζα στο
π
0, 
2
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

5. 4 Ασκηση 2010
2
f  x=2xln  x 1 α) Να εξετασθεί ως προς
Δίνετε η συνάρτηση
τη μονοτονία β) Πόσα σημεία καμπής έχει (σημεία αλλαγής
2
καμπυλότητας).
3χ −2 1
2
γ) Να λυθεί γραφικά η εξίσωση 2  χ −3χ 2=ln χ 41 
και να γίνει επαλήθευση
2
gx=2x −3x2
3x−221
h  x=ln

4
x 1
2
f x=2xlnx 1

6. Ασκηση 5 (Πανελλήνιες 2010 )
Δίνετε η συνάρτηση
2
f  x=2xln  x 1
α) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι 1-1
β) Να λυθεί η εξίσωση
2
3χ −2 1
2  χ −3χ 2=ln

4
χ 1
2
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

7. Ασκηση 6 ( Πανελλήνιες 2013 παρόμοια)
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) =  x 1−x και
2
3
3
x  x−1
g(x)=
2
α) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι 1-1
β) Αν f(g(x))=1 να δειχθεί ότι g(x)=0
ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

8. Ασκηση 7 (2006 )
2
2 x−2 με χ ≥2
Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=
α) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι 1-1
−1
f
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση
της f και να βρείτε τον τύπο της
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία τών γραφικών παραστάσεων
−1
των συναρτήσεων της f και f με την ευθεία y=x