Presenta graficas y ejemplos de funciones

1. 1
Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda
Programa: Ing. Biomédica
Unidad Curricular: Matemática I
Cuaderno de Trabajo en
Funciones: Experiencia 2
Prof: Ing. Jocabed Pulido (Esp.)
Santa Ana de Coro, agosto de 2021

2. 2
ÍNDICE
Pág.
Introducción 3
Instrucciones 4
Capítulo I: Consideraciones Preliminares 6
Capítulo II: Aspectos Básicos en la gráfica de una función 7
Ejemplo #1 8
Práctica #1 9
Ejemplo #2 11
Práctica #2 12
Ejercicio Propuesto 13
Ejemplo #3 15
Práctica #3 16
Práctica #4 17
Ejercicio Propuesto 18
Autoevaluación 19
Bibliografía 20

3. 3
INTRODUCCIÓN
El conocimiento de las funciones reales es importante en las unidades curriculares asociadas al
Cálculo, uno de los aspectos que necesita más práctica es el trazado de gráficas de funciones ya que
implica el uso de una ecuación que es un objeto algebraico a partir de la cual se va a describir una
curva. En el presente Cuaderno de Trabajo se facilita el procedimiento antes mencionado, indicando
los pasos a seguir, aportando ejemplos, actividades de aprendizaje, ejercicios propuestos y una
autoevaluación todo esto con la finalidad que el estudiante aprenda a su ritmo, tenga la oportunidad
de practicar y verificar los resultados obtenidos. Para esto se requiere paciencia, constancia y
dedicación ir paso a paso, viviendo esta experiencia de aprendizaje única, bajo en el enfoque que
podemos no sólo realizar una gráfica a la vez, sino que este conocimiento obtenido va a ser útil para
el trazado de otras gráficas a partir de las cuales estaremos estudiando las características más
importantes de las funciones.
La idea principal de este material es adquirir habilidades en el trazado de gráficas, obteniendo un
aprendizaje significativo de forma original, comprendiendo las semejanzas y diferencias de cada
función, la traslación y simetría con los ejes a partir de los ejemplos mostrados y las actividades de
aprendizaje. En estas últimas se proporcionarán datos relevantes de las funciones y completaciones
propias de un Cuaderno de Trabajo para que el estudiante cuente con un aporte y sienta más
confianza al momento de graficar, lo cual es necesario dado las circunstancias actuales dado que no
se cuenta con la figura del docente tradicional se requiere de recursos didácticos innovadores, que
en medio de la distancia puedan mostrar aportar un valor agregado al hecho educativo.
También se pretende despejar las dudas y falsas creencias sobre la Matemática y la Geometría,
concibiendo las gráficas de las funciones como un objeto geométrico, adquirido a través de un
procedimiento algebraico el cual necesita práctica y constancia, pero no está limitado a unos pocos,
sino que el éxito asociado depende del interés y la experiencia del estudiante, en este sentido
equivocarse en el trazado de una gráfica para la mayoría es un fracaso, pero los espacios en blanco
en las actividades y las notas posteriores que resumen el conocimiento adquirido permiten al
estudiante la oportunidad de reconocer los errores y volver a empezar con una experiencia previa
que facilita un aprendizaje significativo, no logrado por casualidad sino en base al esfuerzo, análisis
y comprensión del tema.

4. 4
INSTRUCCIONES
En esta segunda guía de Matemática I vamos a estudiar la gráfica de las funciones reales un tema
que conforma un conocimiento básico para las otras unidades curriculares relacionadas con el
cálculo por lo cual considero adecuado compartir con ustedes las siguientes instrucciones o
recomendaciones según mi experiencia
1. La habilidad en las gráficas se obtiene a través de la práctica es por ello que desde la primera
función que vamos a estudiar les recomiendo que lleven a cabo todos los pasos y que
descubran ustedes mismos el trazo, háganlo de esta manera hasta que les salga la forma
que aparece en la guía. Luego pueden seguir practicando con las otras funciones y si tienen
dudas pregunten voy a estar disponible esta semana para horas de consulta.
2. Luego que tracen las gráficas familiarícense con la forma de cada una de ellas, esto puede
llevarse a cabo de varias maneras, por ejemplo; pueden colocar las gráficas en papel y
dejarlas en un lugar visible la idea es que a medida que ustedes realicen sus actividades
cotidianas que se encuentren en un ámbito que no tenga que ver con los estudios su mente
en forma relajada pueda captar la forma de las funciones, también otra estrategia de
memorizarlas es trazarlas continuamente pueden escoger una hoja de reciclaje y recordar
la forma de las funciones estudiadas.
3. No se preocupen si el trazo de la gráfica no le sale perfecto las primeras veces, recuerden
ustedes están cursando esta unidad curricular para aprender y equivocarse, tener dudas
es parte de ello, la persistencia y el interés que tengan va a ser fundamental en cada caso.
4. Pueden graficar usando los materiales que se sientan más cómodos, no voy a tener
exigencias al respecto, hojas de reciclaje, hojas de cuadernos que ya no usen, si tienen reglas
y escuadras pueden emplearlas y en caso que no cuenten con éstas usen otro objeto que
les ayude a marcar los trazos.
5. Antes de graficar recuerden el dominio de la función para estar seguros de los números con
relación al eje x que pueden asumir, recuerden que según la guía anterior hay funciones que
presentan algunas restricciones.

5. 5
CAPITULO I: CONSIDERACIONES PRELIMINARES

6. 6
CONSIDERACIONES PRELIMINARES
Propiedades de Valor Absoluto
El Valor Absoluto de un número se define como sigue: el valor absoluto de un número real positivo
es el mismo número. En cambio, el Valor Absoluto de un número real negativo es el mismo
número con signo opuesto.
Se representa con el símbolo |𝑥| y simboliza la distancia entre el número x y el origen , por tal
razón siempre se concibe como un valor positivo.
La definición de Valor Absoluto se resume en las siguientes preposiciones
Si |𝑥| ≥ 0 entonces |𝑥| = 𝑥
Por ejemplo:
|1| = 1
Si |𝑥| < 0 entonces |𝑥| = −𝑥
Por ejemplo:
|−1| = −(−1) = 1
Los ejemplos anteriores se basan en el hecho que los números 1 y -1 se encuentran a 1 unidad de
distancia con respecto al origen por lo tanto el valor absoluto de ellos es el mismo
El hecho de representar un valor positivo se evidencia que su gráfica se encontrará por encima del
eje x con un dominio que incluye todos los números reales
Resultados de la Función Valor Absoluto:
x |𝑥|
0 0
1 1
-1 1
2 2
-2 2
3 3
-3 3
4 4
-4 4
5 5
-5 5
El valor absoluto
de cualquier
número diferente
de cero siempre
será el mismo
número positivo y
el valor absoluto
del número cero
es 0

7. 7
CAPITULO II: ASPECTOS BÁSICOS EN LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

8. 8
𝑓(0) = √0
3
= 0
𝑓(1) = √1
3
= 1
𝑓(−1) = √−1
3
= −1
𝑓(2) = √2
3
= 1,3
𝑓(−2) = √−2
3
= −1,3
ASPECTOS BÁSICOS EN LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función es la representación conjunta de los puntos del dominio y del rango por lo
que predice el comportamiento de la misma.
Así como los rasgos físicos de alguien nos confiere una injerencia en cómo será su comportamiento,
el conocer la forma de las funciones nos va a dar un indicio de cómo se puede comportar en un
determinado conjunto de números, por eso es importante conocer las consideraciones preliminares
y el procedimiento para graficar que se muestra a continuación:
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
Paso 2: Ubicar los puntos obtenidos en el plano cartesiano
Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo 1:
Graficar 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada.
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano. Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo:
x y
0 0
1 1
-1 -1
2 1,3
-2 -1,3

9. 9
PRACTICA #1
Graficar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
+ 1
Sigue los pasos que te acabamos de enseñar y aprovecha las ayudas que aparecen en la actividad,
completa los espacios en blanco y consigue los resultados y la gráfica adecuada
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada
x y
0 1
1
-1
2
-2
Recuerda puedes asumir estos mismos valores cuando estés graficando una función raíz cubica
Luego debes seguir el Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano y el Paso 3: Unir los puntos
en el plano
𝑓(0) = √0
3
+ 1 =1
𝑓(1) = √1
3
+ 1 =
𝑓(−1) = √−1
3
+ 1 =
𝑓(2) = √2
3
+ 1 =
𝑓(−2) = √−2
3
+ 1 =

10. 10
APRENDIZAJE DE LA PRACTICA #1
 Las raíces cubicas como las mostradas en el ejemplo 1 y en la practica 1 tienen un dominio
conformado por todos los números reales, por lo cual se pueden asumir todos los valores
de x para sustituirlos en la función. Se recomienda asumir el cero y los mismos números
tanto positivos como negativos para obtener la gráfica completa.
 Lo mencionado anteriormente conforma la principal diferencia entre la raíz cuadrada y la
raíz cúbica
 La gráfica obtenida en la práctica#1 no parte del origen, tiene como punto inicial (0,1)
entonces a partir de allí comenzaras a unir los puntos.
EJERCICIO PROPUESTO
Graficar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
3
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
x y
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano
Paso 3: Unir los puntos en el plano
Ahora comenta la diferencias y semejanzas entre esta gráfica y la gráfica de la práctica # 1

11. 11
𝑓(0) = |0| = 0
𝑓(1) = |1| = 1
𝑓(−1) = |−1| = −(−1) = 1
𝑓(2) = |2| = 2
𝑓(−2) = |−2| = −(−2) = 2
Ejemplo 2:
Graficar 𝑓(𝑥) = |𝑥|
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada.
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano. Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
Nota de Aprendizaje:
La función valor absoluto presenta una simetría con respecto al eje y, también se conoce con el
nombre de función par debido a que presenta puntos equivalentes, es decir a valores opuestos en
el eje x tiene un mismo resultado en el eje y tal como podemos observar en la gráfica generada en
el Paso 3. Lo que acabamos de explicar se debe a que en las funciones simétricas con respecto al eje
y se cumple la siguiente ecuación 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), es decir el valor de la función se mantiene en un
resultado fijo con respecto al eje y para el mismo valor positivo y negativo con respecto a x, esto
implica la obtención de coordenadas equivalentes.
x y
0 0
1 1
-1 -1
2 2
-2 2

12. 12
PRACTICA #2
Graficar la función 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 1
Sigue los pasos que te acabamos de enseñar y aprovecha las ayudas que aparecen en la actividad,
completa los espacios en blanco y consigue los resultados y la gráfica adecuada
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada
x y
0 1
1
-1
2
-2
Recuerda puedes asumir estos mismos valores cuando estés graficando una función valor
absoluto
Luego debes seguir el Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano y el Paso 3: Unir los puntos
en el plano
𝑓(0) = |0| + 1 =1
𝑓(1) = |1| + 1 =
𝑓(−1) = |−1| + 1 =
𝑓(2) = |2| + 1 =
𝑓(−2) = |−2| + 1 =

13. 13
APRENDIZAJE DE LA PRACTICA #2
 Las funciones valor absoluto como las mostradas en el ejemplo 1 y en la practica 1 tienen
un dominio conformado por todos los números reales, por lo cual se pueden asumir todos
los valores de x para sustituirlos en la función. Se recomienda asumir el cero y los mismos
números tanto positivos como negativos para obtener la gráfica completa.
 La gráfica obtenida en la práctica # 1 no parte del origen, tiene como punto inicial (0,1)
entonces a partir de allí comenzaras a unir los puntos.
 La grafica de la función valor absoluto está compuesta por dos semirrectas que se
encuentran en el punto de origen.
 El rango o resultado del valor absoluto estará conformado por todos los números reales
positivos, salvo algunas excepciones que se encuentran planteadas en los ejercicios
propuestos
EJERCICIO PROPUESTO
1. Graficar las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = 1 − |𝑥| b)
2. Identifica las siguientes funciones. Justifica tu respuesta.
𝑓(𝑥) = 1 − |𝑥|

14. 14
𝑓(1) =
1
1
= 1
𝑓(−1) =
1
−1
= −1
𝑓(2) =
1
2
= 0,5
𝑓(−2) =
1
−2
= −0,5
Ejemplo 3:
Graficar
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada.
Recuerda que por ser una función inversa no se puede asumir 𝑥 = 0
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano. Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
Fíjate que en el ejemplo es necesario asumir valores como 0,5 y -0,5 para completar la gráfica y estar
seguros de cómo debe ir el trazo. Este detalle lo debemos tomar en cuenta para los ejercicios de las
funciones inversas ya que como éstas no pasan por el origen requerimos mayor cantidad de puntos
para dar forma a la gráfica.
x y
1 1
-1 -1
2 0,5
-2 -0,5
0,5 2
-0,5 -2
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
𝑓(0,5) =
1
0,5
= 2
𝑓(−0,5) =
1
−0,5
= −2

15. 15
Nota de Aprendizaje:
La función anterior presenta una simetría con respecto al origen, también se conoce con el nombre
de función impar debido a que presenta puntos opuestos tal como observamos en la gráfica del
Paso 3
Entre los puntos opuestos tenemos el A, B, el punto E y F también el C y D.
Lo que acabamos de explicar se debe a que en tales funciones simétricas se cumple la siguiente
ecuación 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), lo cual genera coordenadas opuestas que originan el comportamiento
similar antes y después del origen
Este comportamiento lo asociamos comúnmente a funciones con potencias impares tal como la
función cúbica y a otras en las cuales se pueda cumplir la ecuación antes mencionada como en
este caso.
Aspecto interesante de la función:
Anteriormente observamos como las funciones simétricas con respecto al origen pasaban por este
punto, pero en la función anterior vemos que no se cumple ese comportamiento dado que su
dominio abarca todos los números reales menos el cero razón por la cual entendemos que el pasar
por el origen no es una condición que indica este tipo de simetría.
Puntos Opuestos
Puntos Opuestos

16. 16
PRACTICA #3
Graficar la función
Sigue los pasos que te acabamos de enseñar y aprovecha las ayudas que aparecen en la actividad,
completa los espacios en blanco y consigue los resultados y la gráfica adecuada
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada.
Recuerda que por ser una función inversa no se puede asumir 𝑥 = 0
x y
1
-1
2
-2
0,5
-0,5
Recuerda puedes asumir estos mismos valores cuando estés graficando este tipo de funciones
Luego debes seguir el Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano y el Paso 3: Unir los puntos
en el plano
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
− 1
𝑓(1) =
1
1
− 1 =
𝑓(−1) =
1
−1
− 1 =
𝑓(2) =
1
2
− 1 =
𝑓(−2) =
1
−2
− 1 =
𝑓(0,5) =
1
0,5
− 1 =
𝑓(−0,5) =
1
−0,5
− 1 =

17. 17
PRACTICA #4
Graficar la función
Sigue los pasos que te acabamos de enseñar y aprovecha las ayudas que aparecen en la actividad,
completa los espacios en blanco y consigue los resultados y la gráfica adecuada
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada.
Recuerda que por ser una función inversa no se puede asumir 𝑥 = 0
x y
1 1
-1
2
-2
0,5
-0,5
Luego debes seguir el Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano y el Paso 3: Unir los puntos
en el plano
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
𝑓(1) =
1
(1)2
= 1
𝑓(−1) =
1
(−1)2
=
𝑓(2) =
1
(2)2
=
𝑓(−2) =
1
(−2)2
=
𝑓(0,5) =
1
(0,5)2
=
𝑓(−0,5) =
1
(−0,5)2
=

18. 18
APRENDIZAJE DE LA PRACTICA #3 y PRACTICA #4
 Las funciones inversas como las mostradas en la Practica #2 y la Practica #3 tienen una
gráfica conformada por dos semicurvas que no pasan por el origen. Lo anterior se debe a
que tales funciones no aceptan en su dominio el valor 𝑥 = 0
 Debido a que no se pasa por el origen entonces se requieren más puntos tales como 0,5 y -
0,5 para darle sentido a las semicurvas trazadas.
 En la Practica #2 se puede observar que parte de la gráfica está ubicada en la parte inferior
del eje y, esto se debe al valor -1 que acompaña a la función lo cual implica que esta
disminuye una unidad en todos sus resultados.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Graficar las funciones que se presentan a continuación
2. Identifica las funciones cuya gráfica se muestran. Justifica tu respuesta.
𝑎)𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ 1 𝑏)𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 2

19. 19
AUTOEVALUACIÓN
PARTE I: Consideraciones teóricas
Indica como verdadera o falsa las siguientes afirmaciones.
En cada caso justifica tu respuesta (1 pt c/u)
a. La función valor absoluto presenta un dominio conformados por todos los números reales
positivos.
b. La función inversa acepta en su dominio todos los números reales a excepción del cero
c. La función raíz cúbica se caracteriza por ser simétrica con respecto al origen
d. Todas las funciones simétricas con respecto al origen deben pasar por el dicho punto.
PARTE II: Ejercicios
2.1 Traza la gráfica de la siguiente función (4 pts.)
𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
Indica
 El dominio de la función
 El rango de la función
 Semejanzas y diferencias con respecto a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 Tipo de simetría
2.2 Identifica las siguientes funciones. Justifica tu respuesta Valor (2pts c/u.)

20. 20
BIBLIOGRAFÍA
Sáenz, J (2005). Cálculo Diferencial con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e
Ingeniería. Editorial Hipotenusa. Segunda Edición. Barquisimeto. Venezuela
Purcell, E y otros (2007). Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Pearson Educación. Novena Edición.
México