Este cuaderno de trabajo contiene ejemplos de gráficas de funciones reales y sus características más importantes

1. 1
Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda
Programa: Ing. Biomédica
Unidad Curricular: Matemática I
Prof: Ing. Jocabed Pulido (Esp.)
Santa Ana de Coro, agosto de 2021
Cuaderno de Trabajo en
Funciones: Experiencia 1

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ÍNDICE
Pág
Introducción 3
Instrucciones 4
Capítulo I: Consideraciones Preliminares 5
Capítulo II: Aspectos Básicos en la gráfica de una función 6
Ejemplo #1 8
Práctica #1 10
Ejemplo #2 12
Práctica #2 14
Ejercicio Propuesto 15
Ejemplo #3 16
Práctica #3 17
Ejercicio Propuesto 18
Autoevaluación 19
Bibliografía 21

3. 3
INTRODUCCIÓN
El conocimiento de las funciones reales es importante en las unidades curriculares asociadas al
Cálculo, uno de los aspectos que necesita más práctica es el trazado de gráficas de funciones ya que
implica el uso de una ecuación que es un objeto algebraico a partir de la cual se va a describir una
curva. En el presente Cuaderno de Trabajo se facilita el procedimiento antes mencionado, indicando
los pasos a seguir, aportando ejemplos, actividades de aprendizaje, ejercicios propuestos y una
autoevaluación todo esto con la finalidad que el estudiante aprenda a su ritmo, tenga la oportunidad
de practicar y verificar los resultados obtenidos. Para esto se requiere paciencia, constancia y
dedicación ir paso a paso, viviendo esta experiencia de aprendizaje única, bajo en el enfoque que
podemos no sólo realizar una gráfica a la vez, sino que este conocimiento obtenido va a ser útil para
el trazado de otras gráficas a partir de las cuales estaremos estudiando las características más
importantes de las funciones.
La idea principal de este material es adquirir habilidades en el trazado de gráficas, obteniendo un
aprendizaje significativo de forma original, comprendiendo las semejanzas y diferencias de cada
función, la traslación y simetría con los ejes a partir de los ejemplos mostrados y las actividades de
aprendizaje. En estas últimas se proporcionarán datos relevantes de las funciones y completaciones
propias de un Cuaderno de Trabajo para que el estudiante cuente con un aporte y sienta más
confianza al momento de graficar, lo cual es necesario dado las circunstancias actuales dado que no
se cuenta con la figura del docente tradicional se requiere de recursos didácticos innovadores, que
en medio de la distancia puedan mostrar aportar un valor agregado al hecho educativo.
También se pretende despejar las dudas y falsas creencias sobre la Matemática y la Geometría,
concibiendo las gráficas de las funciones como un objeto geométrico, adquirido a través de un
procedimiento algebraico el cual necesita práctica y constancia, pero no está limitado a unos pocos,
sino que el éxito asociado depende del interés y la experiencia del estudiante, en este sentido
equivocarse en el trazado de una gráfica para la mayoría es un fracaso, pero los espacios en blanco
en las actividades y las notas posteriores que resumen el conocimiento adquirido permiten al
estudiante la oportunidad de reconocer los errores y volver a empezar con una experiencia previa
que facilita un aprendizaje significativo, no logrado por casualidad sino en base al esfuerzo, análisis
y comprensión del tema.

4. 4
INSTRUCCIONES
En este cuaderno de trabajo vamos a estudiar la gráfica de las funciones reales un tema que
conforma un conocimiento básico para las otras unidades curriculares relacionadas con el cálculo
por lo cual considero adecuado compartir con ustedes las siguientes instrucciones o
recomendaciones según mi experiencia
1. La habilidad en las gráficas se obtiene a través de la práctica es por ello que desde la primera
función que vamos a estudiar les recomiendo que lleven a cabo todos los pasos y que
descubran ustedes mismos el trazo, háganlo de esta manera hasta que les salga la forma
que aparece en la guía. Luego pueden seguir practicando con las otras funciones y si tienen
dudas pregunten voy a estar disponible esta semana para horas de consulta.
2. Luego que tracen las gráficas familiarícense con la forma de cada una de ellas, esto puede
llevarse a cabo de varias maneras, por ejemplo; pueden colocar las gráficas en papel y
dejarlas en un lugar visible la idea es que a medida que ustedes realicen sus actividades
cotidianas que se encuentren en un ámbito que no tenga que ver con los estudios su mente
en forma relajada pueda captar la forma de las funciones, también otra estrategia de
memorizarlas es trazarlas continuamente pueden escoger una hoja de reciclaje y recordar
la forma de las funciones estudiadas.
3. No se preocupen si el trazo de la gráfica no le sale perfecto las primeras veces, recuerden
ustedes están cursando esta unidad curricular para aprender y equivocarse, tener dudas
es parte de ello, la persistencia y el interés que tengan va a ser fundamental en cada caso.
4. Pueden graficar usando los materiales que se sientan más cómodos, no voy a tener
exigencias al respecto, hojas de reciclaje, hojas de cuadernos que ya no usen, si tienen reglas
y escuadras pueden emplearlas y en caso que no cuenten con éstas usen otro objeto que
les ayude a marcar los trazos.
5. Antes de graficar recuerden el dominio de la función para estar seguros de los números con
relación al eje x que pueden asumir, recuerden que según la guía anterior hay funciones que
presentan algunas restricciones.

5. 5
CAPITULO I: CONSIDERACIONES PRELIMINARES

6. 6
CONSIDERACIONES PRELIMINARES
Sistema de coordenadas cartesianas
En el plano cartesiano se presentan dos copias de la recta real, una horizontal y la otra vertical, de
modo que se interceptan en el punto de origen de las dos rectas. Las dos rectas se denominan ejes
coordenados y su intercepción se denomina origen. Por convención, la recta horizontal se llama eje
x y la recta vertical se llama eje y. Los números se encuentran distribuidos de la siguiente manera
 La mitad positiva del eje x es hacia la derecha
 La mitad negativa del eje x es hacia la izquierda
 La mitad positiva del eje y es hacia arriba
 La mitad negativa del eje y es hacia abajo
Cada punto puede asignarse en el plano como una pareja de números, llamados coordenadas
cartesianas de tal forma que, si una línea horizontal y otra vertical pasan por el punto P e interceptan
los ejes x y y en los números a, b respectivamente entonces decimos que P tiene coordenadas (a,b).
En este caso llamamos (a,b) como un par ordenado de números, destacando que la primera
coordenada corresponde al eje x y la segunda coordenada al eje y.
Se ha adoptado el nombre de coordenadas cartesianas en honor al célebre matemático y filósofo
Rene Descartes (1596-1650) a quien se le otorga la paternidad de la Geometría Descriptiva. El plano
provisto por este sistema de coordenadas, recibe el nombre de plano cartesiano.

7. 7
CAPITULO II: ASPECTOS BÁSICOS EN LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

8. 8
𝑓(0) = 02
= 0
𝑓(1) = 12
= 1
𝑓(−1) = (−1)2
= 1
𝑓(2) = 22
= 4
𝑓(−2) = (−2)2
= 4
ASPECTOS BÁSICOS EN LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función es la representación conjunta de los puntos del dominio y del rango por lo
que predice el comportamiento de la misma.
Así como los rasgos físicos de alguien nos confiere una injerencia en cómo será su comportamiento,
el conocer la forma de las funciones nos va a dar un indicio de cómo se puede comportar en un
determinado conjunto de números, por eso es importante conocer las consideraciones preliminares
y el procedimiento para graficar que se muestra a continuación:
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
Paso 2: Ubicar los puntos obtenidos en el plano cartesiano
Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo 1:
Graficar 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada.
x Y
0 0
1 1
-1 1
2 4
-2 4
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano. Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.

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NOTAS DE APRENDIZAJE
A partir de la gráfica obtenida en el Ejemplo 1 podemos aprender lo siguiente
Este tipo de funciones presentan una simetría con respecto al eje y razón por lo cual se le conoce
con el nombre de función par.
La simetría con respecto al eje y la observamos en gráficas que presentan un mismo
comportamiento con respecto a valores positivos y negativos asumidos; tal como podemos notar
en los puntos B y C, D y E
Lo que acabamos de explicar se debe a que en las funciones simétricas con respecto al eje y se
cumple la siguiente ecuación 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), es decir el valor de la función se mantiene en un
resultado fijo con respecto al eje y para el mismo valor positivo y negativo con respecto a x, esto
implica la obtención de coordenadas equivalentes.
Este comportamiento lo asociamos comúnmente a funciones con potencias pares y a otras
funciones en las cuales se pueda cumplir la ecuación antes mencionada.

10. 10
PRACTICA #1
Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 1
Sigue los pasos que te acabamos de enseñar y aprovecha las ayudas que aparecen en la actividad,
completa los espacios en blanco y consigue los resultados y la gráfica adecuada
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada
x Y
0 1
1
-1
2
-2
Recuerda puedes asumir estos mismos valores cuando estés graficando una función cuadrática
Luego debes seguir el Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano y el Paso 3: Unir los puntos
en el plano
𝑓(0) = (0)2
+ 1 =1
𝑓(1) = (1)2
+ 1 =
𝑓(−1) = (−1)2
+ 1 =
𝑓(2) = (2)2
+ 1 =
𝑓(−2) = (−2)2
+ 1 =

11. 11
APRENDIZAJE DE LA PRACTICA #1
 Las funciones cuadráticas como las mostradas en el ejemplo 1 y en la practica 1 tienen un
dominio conformado por todos los números reales, por lo cual se pueden asumir todos los
valores de x para sustituirlos en la función. Se recomienda asumir el cero y los mismos
números tanto positivos como negativos para obtener la gráfica completa.
 La gráfica obtenida en la práctica#1 no parte del origen, tiene como punto inicial (0,1)
 Las funciones cuadráticas como las mostradas en el ejemplo 1 y en la practica 1 tienen un
rango o resultado conformado por todos los números positivos razón por la cual su gráfica
se ubica en la parte superior del eje y salvo algunas excepciones que se trataran en el
ejercicio propuesto que se muestra a continuación
EJERCICIO PROPUESTO
Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 5
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
x y
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano
Paso 3: Unir los puntos en el plano
Ahora comenta la diferencias y semejanzas entre esta gráfica y las anteriores

12. 12
𝑓(0) = 03
= 0
𝑓(1) = 13
= 1
𝑓(−1) = (−1)3
= −1
𝑓(2) = 23
= 8
𝑓(−2) = (−2)3
= 8
Ejemplo 2:
Graficar 𝑓(𝑥) = 𝑥3
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada.
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano. Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
x y
0 0
1 1
-1 -1
2 8
-2 -8

13. 13
NOTAS DE APRENDIZAJE
A partir de la gráfica obtenida en el Ejemplo 2 podemos aprender lo siguiente
Este tipo de funciones presentan una simetría con respecto al origen razón por lo cual se le conoce
con el nombre de función impar.
La simetría con respecto al eje y la observamos en gráficas que presentan un comportamiento
particular con respecto a valores positivos y negativos asumidos; tal como podemos notar en los
puntos B y C, D y E obteniendo coordenadas totalmente opuestas antes y después del origen.
Lo que acabamos de explicar se debe a que en tales funciones simétricas se cumple la siguiente
ecuación 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), lo cual genera coordenadas opuestas que originan el comportamiento
similar antes y después del origen
Este comportamiento lo asociamos comúnmente a funciones con potencias impares tal como la
función cúbica y a otras en las cuales se pueda cumplir la ecuación antes mencionada que serán
estudiadas en el próximo Cuaderno de Trabajo.
En este sentido es importante destacar el hecho que no todas las funciones que pasan por el origen
son simétricas con respecto al origen, por lo tanto, esto no debe considerarse como una condición
necesaria para concluir este tipo de simetría.

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PRACTICA #2
Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 1
Sigue los pasos que te acabamos de ver en el ejemplo anterior y aprovecha las ayudas que
aparecen en la actividad, completa los espacios en blanco y consigue los resultados y la gráfica
adecuada
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada
x y
0 1
1
-1
2
-2
Recuerda puedes asumir estos mismos valores cuando estés graficando una función cuadrática
Luego debes seguir el Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano y el Paso 3: Unir los puntos
en el plano cartesiano
𝑓(0) = (0)3
+ 1 =1
𝑓(1) = (1)3
+ 1 =
𝑓(−1) = (−1)3
+ 1 =
𝑓(2) = (2)3
+ 1 =
𝑓(−2) = (−2)3
+ 1 =

15. 15
APRENDIZAJE DE LA PRACTICA #2
 Las funciones cubicas como las mostradas en el ejemplo 2 y en la practica 2 tienen un
dominio conformado por todos los números reales, por lo cual se pueden asumir todos los
valores de x para sustituirlos en la función. Se recomienda asumir el cero y los mismos
números tanto positivos como negativos para obtener la gráfica completa.
 La gráfica obtenida en la práctica#2 no parte del origen, tiene como punto inicial (0,1)
 Las funciones cúbicas como las mostradas en el ejemplo 2 y en la practica 2 tienen un rango
o resultado conformado por todos los números reales razón por la cual su gráfica abarca
todo el plano cartesiano.
EJERCICIO PROPUESTO
Graficar la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano
Paso 3: Unir los puntos en el plano
Ahora comenta la diferencias y semejanzas entre esta gráfica y las anteriores
x y
0 -1
1
-1
2
-2
𝑓(0) = (0 − 1)3
= −1
𝑓(1) = (1 − 1)3
=
𝑓(−1) = (−1 − 1)3
=
𝑓(2) = (2 − 1)3
=
𝑓(−2) = (−2 − 1)3
=

16. 16
Ejemplo 3:
Graficar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
Recuerda las restricciones de la función raíz cuadrada que solo acepta valores positivos de la variable
x por lo tanto la tabla de valores quedaría de la siguiente manera
Fíjate que en este caso obtenemos resultados decimales por lo que se recomienda una
aproximación de una cifra.
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
x y
0 0
1 1
2 1,4
3 1,7
4 2
𝑓(0) = √0 = 0
𝑓(1) = √1 = 1
𝑓(2) = √2 ≈ 1,4
𝑓(3) = √3 ≈ 1,73
𝑓(4) = √4 = 2

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PRACTICA #3
Graficar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2
Sigue los pasos que te acabamos de enseñar y aprovecha las ayudas que aparecen en la actividad,
completa los espacios en blanco y consigue los resultados y la gráfica adecuada
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
En este paso se recomienda usar una tabla de valores para trabajar de forma más ordenada
x y
0 2
1
2
3
4
Recuerda asumir estos mismos valores de x cuando estés graficando una función raíz cuadrada
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano
Paso 3: Unir los puntos en el plano
𝑓(0) = √0 + 2 =2
𝑓(1) = √1 + 2 =
𝑓(2) = √2 + 2 =
𝑓(3) = √3 + 2 =
𝑓(4) = √4 + 2 =

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EJERCICIO PROPUESTO
Graficar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
Paso 1: Asumir valores de la variable y sustituirlos en la función
Recuerda que como la función es una raíz cuadrada lo que está dentro debe ser mayor que cero, es
decir positivo por eso establecemos la siguiente condición 𝑥 − 1 ≥ 0 𝑥 ≥ 1
x y
1
2
3
4
5
Paso 2: Ubicar los puntos en el plano cartesiano
Paso 3: Unir los puntos en el plano cartesiano.
Ahora comenta la diferencias y semejanzas entre esta gráfica y las anteriores

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AUTOEVALUACIÓN
PARTE I: Consideraciones teóricas
1.1 Indica como verdadera o falsa las siguientes afirmaciones.
En cada caso justifica tu respuesta (0,5 pt c/u)
a. La gráfica de la función raíz cuadrada abarca todo el plano cartesiano.
b. Las gráficas de funciones cuadráticas se encuentran en la parte superior del eje y porque
presenta como rango resultados positivos
c. Las funciones cúbicas son simétricas con respecto al origen porque pasan por el origen
d. Las funciones cuadráticas son simétricas con respecto al eje y debido a que presenta
resultados equivalentes
1.2. Completa las siguientes afirmaciones (0,5 pt c/u)
a. La función cúbica presenta un dominio conformado por …………………………………………………
b. El primer paso para graficar es ………………………………….
c. Las funciones cuadráticas tienen un rango conformado por …………………………………………….
d. El sistema de coordenadas debe su nombre a…………………………………………………………………….
PARTE II: Ejercicios
Traza la gráfica de las siguientes funciones (4 pts. c/u)
a. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2
c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 5

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RESPUESTAS EJERCICIOS AUTOEVALUACIÓN
PARTE II
2.1 Traza la gráfica de las siguientes funciones
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 5

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BIBLIOGRAFÍA
Sáenz, J (2005). Cálculo Diferencial con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e
Ingeniería. Editorial Hipotenusa. Segunda Edición. Barquisimeto. Venezuela
Purcell, E y otros (2007). Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Pearson Educación. Novena Edición.
México