Dokumen tersebut membahas tentang diagram Voronoi, yaitu salah satu konsep geometri yang dapat digunakan guru untuk mengembangkan kemampuan penalaran spasial siswa. Diagram Voronoi merupakan partisi bidang menjadi sel-sel berdasarkan titik-titik acuan, dan dapat diajarkan dengan menggunakan contoh masalah nyata seperti menentukan kantor pos terdekat.

1. Diagram Voronoi
Salah satu kemampuan yang perlu dikembangkan dalam pembelajaran geometri di sekolah
adalah kemampuan spatial reasoning. Ada beberapa cara cara yang dapat dilakukan oleh guru
dalam hal ini, salah satunya adalah dengan menggunakan konsep diagram voronoi. Apa dan
bagaimana itu diagram voronoi, akan dibahas dalam tulisan berikut ini.
Diagram voronoi adalah salah satu cabang ilmu yang dipelajari dalam perkuliahan geometri
komputasi yang muncul pada abad ke 17. Diagram voronoi pertama kali di pikirkan oleh Rene
Descartes pada tahun 1644 dan digunakan oleh dirichlet pada tahun 1850.Kemudian Voronoi
pada tahun 1907 mengembangkannya ke dalam dimesi yang lebih tinggi. Walaupun demikian,
Voronoi dan Dirichlet adalah orang yang pertama kali memperkenalkan konsep diagram voronoi
secara formal. Mereka menerapkan konsep tersebut dalam kajian bentuk kuadrat. Hasil dari studi
tersebut kemudian disebut Dirichlet tessellation atau Voronoi diagram. Salah satu penggunaan
diagram voronoi yang paling spektakuler adalah analisis penyakit kolera di London pada tahun
1854, dimana fisikawan John Snow menemukan hubungan yang kuat anatara kematian dengan
penggunaan air pompa yang terinfeksi di Broad Street.
Gambar 1. Diagram Voronoi

2. Secara matematis, diagram voronoi di definisikan sebagai berikut:
Misal P adalah himpunan n (jarak titik-titik dalam sebuah bidang). Diagram Voronoi dari P
adalah pembagian bidang tersebut dalam n sel (bagian), satu untuk setiap titik.Titik q terletak
pada sel (bagian) yang sesuai dengan titik pi element of P. Persamaan matematisnya adalah
Batas dari dua daerah voronoi dismbolkan V(S) dan disebut voronoi edge (rusuk voronoi), jika
terdiri lebih dari satu titik. Titik sudut dari rusuk voronoi disebut Voronoi vertices (sudut
voronoi); yang dibatasi oleh tiga atau lebih daerah voronoi.
Gambar 2. Diagram voronoi untuk 11 titik pada bidang Euclid.
Dengan mengajarkan siswa tentang diagram voronoi, mereka akan dapat mengembangkan
kemampuan spatial reasoning mereka. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan
matematika realistik, yaitu dengan memulai memberikan soal atau masalah konteks bagi siswa.
Misalnya ada lima kantor pos yang ada di wilayah kota Palembang. Bagaimana caranya gar
pelanggan atau masyarakat mengetahui kantor pos mana yang paling dekat didaerah mereka?

3. Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep atau pengetahuan tentang
diagram voronoi.
Selain itu, diagram voronoi juga dapat diajarkan dengan menggunakan program java applet.
Program ini dapat digunakan melalui akses internet. Program java applet untuk diagram voroni
telah dikembangkan oleh Paul Chew dari departemen ilmu komputer, Cornell Univeristy.
Program applet diagram voronoi dapat diakses di website
http://www.cs.cornell.edu/home/chew/Delaunay.html.
Pemodelan permukaan obyek dapat dilakukan dengan menggunakan metoda elemen hingga
(FEM – finite element methods), dimana struktur obyek (domain) dibagi menjadi elemen-elemen kecil
(subdomain) dengan dimensi hingga (finite). Elemen-elemen tersebut terbagi antara satu dengan yang lain
melalui titik-titik pertemuan yang disebut nodes atau titik-titik nodal. Pembagian ini disebut dengan
triangulasi (triangulation). Satu langkah kunci penggunaan FEM pada komputasi numerik adalah
pembangkitan jala (mesh). Jala pada FEM terdiri dari node-node dan elemen-elemen. Jenis elemen dapat
berupa titik (point), garis (line), segitiga (triangle), quadrilateral dan hexahedron.
Kualitas jala sangat penting untuk memperoleh pendekatan FEM yang baik. Kondisi utama
yang penting adalah distorsi (D) dari elemen-elemen, dirumuskan dengan:
D 
H
(10)
R
dengan H adalah diameter bola terbesar dan R diameter bola terkecil pada elemen.

4. Gambar 6 – Persyaratan nilai distorsi
Nilai distorsi yang baik harus lebih kecil dari 10 (D < 10) yaitu mempunyai sudut segitiga yang cukup
besar (sudut minimum 20º). Distorsi dengan nilai lebih besar dari 15 (D > 15) sulit untuk digunakan
pada perhitungan-perhitungan FEM. Dari dasar inilah pembangkitan jala dengan algoritma triangulasi
Delaunay diciptakan dan biasanya jala yang tidak terstruktur baik atau bentuknya tidak beraturan
dihitung menggunakan triangulasi Delaunay, dimana triangulasi Delaunay sendiri berhubungan erat
dengan diagram Voronoi.
Diagram Voronoi dari suatu koleksi geometri obyek-obyek adalah suatu partisi ruang kedalam
sel-sel. Misal suatu himpunan V = {v1, v 2, …, vN}, N ≥ 3 adalah titik-titik pada bidang Euclidian E
2
.
Jika d(vi , vj) menyatakan jarak antara titik vi dan vj , maka daerah:
V(i) = {x∈ E
2
 d(x,vi) ≤ d(x,vj), j=1,...,N}
(11)
Adalah posisi titik-titik yang lebih dekat ke vi dari pada titik-titik lain dari V dan disebut poligon Voronoi
yang berhubungan dengan titik vi. V(i) disebut sebagai sel Voronoi yang berhubungan dengan titik vi.
V(S) sebagai kumpulan dari seluruh V(i) disebut diagram Voronoi S.