Teks tersebut membahas tentang induksi matematika. Metode ini digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan dengan melalui langkah basis dan langkah induksi. Langkah basis menunjukkan kebenaran pernyataan untuk kasus dasar, sedangkan langkah induksi menunjukkan jika pernyataan benar untuk kasus n maka juga benar untuk kasus n+1. Teks tersebut memberikan contoh penerapan induksi matematika untuk membuktikan beberapa per

1. INDUKSI MATEMATIKA
1. Definisi Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan suatu teknik untuk membuktikan suatu pernyataan
matematika apakah benar atau salah. Seringkali kita hanya menerima saja pernyataan
atau argumen matematika, tanpa mengetahui kebenaran pernyataan tersebut. Oleh karena
itu kita membutuhkan suatu metode untuk membuktikan kebenaran pernyataan
matematika yang disebut induksi matematika.
2. Sejarah Induksi Matematika
Sebuah bukti implisit dengan induksi matematika untuk urutan aritmatika
diperkenalkan dalam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 Masehi, yang
menggunakannya untuk membuktikan teorema binomial dan sifat segitiga Pascal. Selain
al-Fakhri terdapat juga ilmuwan Yunani kuno yang membuktikan induksi matematika
untuk menyatakan bahwa sifat bilangan prima yang tidak terbatas. Tidak satupun ahli
matematika kuno yang dapat membuktikan induksi matematika secara eksplisit. Barulah
pada tahun 1665 ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal dapat membuktikannya
secara eksplisit. Bukti induksi secara eksplisit dia tuliskan dalam bukunya yang berjudul
arithmétique segitiga du Traité. Pada akhir abad ke-19 ilmu induksi matematika
diperbarui kembali oleh dua orang matematikawan yang bernama Richard Dedekind dan
Guiseppe Peano. Dedekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan
bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikan interpretasi
logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano.
Gambar 3. Richard Dedekind dan Guiseppe Peano
3. Tahapan Induksi Matematika
Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi
suatu pernyataan yang diberikan dalam himpunan bilangan positif atau himpunan
bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari tiga langkah, yaitu:
a. Langkah Basis
Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1
b. Langkah Induksi
Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka
pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1
c. Kesimpulan

2. Definisi 1.1
Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar
atau salah. Misalkan,
1. P(1), benar
2. Jika untuk n = k yaitu P(k) benar, maka untuk n = k + 1 harus kita buktikan P(k+1)
benar
Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n
.
Contoh Soal
Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan
ganjil positif pertama adalah n2.
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
Penyelesaian:
(i) Langkah Basis: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah
(2n – 1) = n2
(2.1 – 1) = 12
1=1
Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
(ii) Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k,
yaitu:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-k adalah
(2k – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)] + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
(iii) Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar,
maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Contoh 2. Untuk semua , buktikan dengan induksi matematika bahwa habis
dibagi 3.
Penyelesaian:

3. (i) Langkah Basis: Untuk n = 1 benar karena
13 + 2(1) = 3 habis dibagi 3
(ii) Langkah Induksi: untuk n = k benar, yaitu:
k habis dibagi 3
diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1
juga benar, yaitu :
habis dibagi 3
Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Karena adalah habis dibagi 3 (dari hipotesis induksi) dan
juga habis dibagi 3, maka adalah jumlah dua buah
bilangan yang habis dibagi 3, karena itu juga habis dibagi
3. Jadi, untuk , habis dibagi 3.
(iii) Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa untuk
semua , habis dibagi 3.
Contoh 3: Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3n < n! untuk setiap bilangan bulat
positif n ≥ 7.
Penyelesaian:
(i) Langkah Basis: Untuk n = 7 benar karena
37 < 7!
2187 < 5040
(ii) Langkah Induksi: untuk n = k benar, yaitu:
diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1
juga benar, yaitu :
Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Menurut hipotesis induksi, , sedangkan untuk n ≥ 7, nilai , sehingga
akan memperkecil nilai di ruas kiri pertidaksamaan. Efek nettonya,
jelas benar.
(iii) Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa 3n < n!
untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 7.
Contoh 4: Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya
sekali saja. Buktikan dengan induksi matematika bahwa jika ada n orang tamu maka jumlah
jabat tangan yang terjadi adalah
Penyelesaian:

4. Nilai n minimal 1. Misalkan p(n) adalah proporsisi bahwa jika ada n orang tamu maka
jumlah jabat tangan yang terjadi adalah .
(i) Langkah Basis: p(1) benar, karena untuk n = 1 orang tamu, tidak ada jabat tangan
yang terjadi, atau kali.
(ii) Langkah Induksi: misalkan p(k) benar, yaitu asumsikan jumlah jabat tangan yang
terjadi sebanyak (hipotesis induksi).
Kita harus menunjukkan bahwa p(k + 1) benar, yaitu jumlah jabat tangan yang
terjadi di antara k + 1 orang tamu adalah atau .
Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Untuk k + 1 orang, jumlah jabat tangan yang terjadi haruslah berupa jumlah jabat
tangan k orang tamu ditambah jabat tangan yang dilakukan tamu ke-(k + 1).
Menurut hipotesis induksi, untuk k orang tamu, jumlah jabat tangan yang terjadi
adalah . Tamu yang ke-(k + 1) ini akan berjabat tangan sebanyak k kali
dengan k orang tamu lainnya (masing-masing sekali) sehingga jumlah jabat tangan
keseluruhan adalah
(iii) Karena langkah basis dan induksi keduanya telah ditunjukkan benar, maka terbukti
bahwa jika ada n orang tamu, maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah
Referensi:
Ayres, Frank dan Philip A. Schmidt. 2004. Schaum’s Outline of Teori dan Soal-soal Matematika
Universitas, Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga
Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit Revisi Keempat. Bandung: Informatika
http://blog.sunan-ampel.ac.id/sitilailiyah/files/2011/03/induksimatematika.pdf
http://file.upi.edu/Direktori/FMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196903301993031-
KUSNANDI/Handout_TeoBil.pdf