1. Makalah
INDUKSI MATEMATIKA
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir
Mata Kuliah : Bahasa Indonesia
Dosen Pengampu : Indriya Mulyaningsih, M.Pd
Oleh :
Elsa OvalianitaAnshori
Fakultas /Jurusan/Kelas :Tarbiyah /Matematika C/II
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH
NURJATI CIREBON 2013
Jl.PerjuanganBy Pass (0231) 480242

2. BAB I
PENDAHULUAN
A. LatarBelakang
Suatuhalakanmenjadifaktaapabilahaltersebutdapatdipertanggungjawabkan
kebenarannyamelaluipembuktian.
Membuktikanmerupakanaktivitastingkattinggi,
karenamembuktikanmemerlukanpemahamanterhadapmateri,
kemampuanmemilihkonsepdasar, kreativitas, tatabahasadankekonsistenan.
Dalamkehidupansehari-hariterkadangterdapatsuatupertanyaan yang
menggunakan kata
“apakah”.Menjawabpertanyaantersebuttidakhanyadenganmenjawab “ya” atau
“tidak”, akantetapidiperlukanbukti-bukti yang
membawapadakesimpulanjawaban “ya” atau “tidak”.
Dalammatematikaseringdituntutuntukmembuktikansuatupernyataan,
baikberupateorema, konjekturdan lain-lain.Logika matematika sangat
memegang peranan penting dalam menentukan langkah pembuktian yang
valid. Di dalamnya terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk
membuktikan suatu pernyataan. Diantaranya metode pembuktian langsung,
metode pembuktian tidak langsung, metode maju mundur, metode coba-coba,
dan induksi matematika.
Dalammakalahiniakanmembahasmengenaiinduksimatematika.
B. RumusanMasalah
1. Apakah yang dimaksud dengan induksi matematika ?

3. 2. Bagaimanaprinsip-prinsipinduksimatematika ?
3. Bagaimanatahapan-tahapandalaminduksimatematika ?
C. ManfaatPenulisan
1. Mengetahui pembuktian dengan metode induksi matematika
2. Memahamiprinsip-prinsipinduksimatematika
3. Mengetahui tahapan-tahapan dalam induksi matematika

4. BAB II
PEMBAHASAN
A. PengertianInduksiMatematika
Induksimatematikamerupakansalahsatudaripembuktian yang
digunakandalammatematikaselainpembuktianlangsungmaupunpembuktiantid
aklangsung.Menurut A. Saepul
(2008),induksimatematikamerupakanmetodepembuktian yang sangatpenting
yangdigunakanuntukmenetapkankebenaranpernyataan yang
diberikandalambentuk yang berhubungandenganbilanganasli.Adapula yang
menyebutkanbahwa“Induksimatematikaadalah proses
pembuktianteoremaumumataurumusdarikasus-kasuskhusus.” (Murray, 1984:
163).SedangkanmenurutSoemartojo (1983: 18)
”Induksimatematikaadalahsuatumetode yang
digunakanuntukmemeriksavalidasisuatupernyataan yang
diberikandalamsuku-
sukubilanganasli“.MenurutErmandanTurmudi(1993)induksimatematikamerup
akansalahsatuaksiomamatematika yang sangatpenting.
Dari berbagaipengertian di
atasdapatdisimpulkanbahwainduksimatematikamerupakansalahsatupembuktia
ndalammatematika yang di dalamnyamembahaspembuktian yang
berkaitandenganbilanganbulat.

5. B. PrinsipInduksiMatematika
Untukmembuktikanbahwasuatuhubunganberlakuuntuksetiapbilanganasli
n, digunakan “DalilInduksiLengkap” yang berbunyi1
:
“ Jikasuatuhubunganberlakuuntuk n=1,
danjikasetelahdimisalkanberlakuuntuk n=k, dapatdibuktikanberlaku pula
untuk n=k+1, makahubunganituberlakuuntuksetiapbilanganasli n”.
Prinsipinduksisederhanaberbunyi2
:
Misalkanp(n)
adalahproporsiperihalbilanganbulatpositifdankitainginmembuktikanbahwa
p(n) benaruntuksemuabilanganbulatpositif n. Untukmembuktikanproporsiini,
kitahanyaperlumenunjukkanbahwa :
1. p(1) benar, dan
2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ 1.
3. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n Sehingga p(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Langkah pertama dinamakan basis induksi, sedangkan langkah kedua
dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (pengandaian)
1
Soemartojo, Kalkulus (Jakarta: Erlangga 1983), hal 18.
2
Munir,Rinaldi,Matematika Diskrit Revisi ke-5(Bandung : Informatika), hal. 151.

6. yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis
induksi. Apabila sudah melaksanakan dua langkah tersebut maka suatu
pernyataan sudah dapat dibuktikan kebenarannya.
Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut
benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil.
Kemudian memperlihatkan bahwa implikasi p(n) p(n+1) benar untuk setiap
bilangan bulat positif. Untuk membuktikan implikasi tersebut benar untuk
setiap bilangan bulat n, maka perlu menunjukkan bahwa p(n+1) tidak
mungkin salah bila p(n) benar. Hal ini diselesaikan dengan cara
memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis p(n) benar maka p(n+1) juga
benar.
Fakta bahwa langkah pertama dan kedua bersama-sama memperlihatkan
p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif adalah jelas intuitif. Dari
langkah pertama dapat diketahui bahwa p(n) benar. Dari langkah kedua dapat
diketahui bahwa jika p(1) benar maka p(2) juga benar. Akan tetapi, p(n)
sudah ditunjukkan benar dan di sini p(2) benar maka p(3) juga benar. Karena
sudah ditunjukkan bahwa p(2) benar, maka p(3) juga benar, dan seterusnya.
Secara intuitif dapat dilihat bahwa langkah pertama dan langkah kedua
bersama-sama memperllihatkan bahwa p(1),p(2), ……p(n) semuanya benar.
Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika memiliki kemiripan
dengan efek domino. Sejumlah batu domino diletakkan berdiri dengan jarak
ruang yang sama satu sama lain. Untukmerebahkansemuabatu domino,
hanyadiperlukanmendorong domino satukekanan.Jika domino 1

7. didorongkekanan, iaakanmendorong domino 2, domino 2 mendorong domino
3, begituseterusnyasehinggasemuabatu domino rebahkekanan.
Contoh :
Gunakaninduksimatematikauntukmembuktikanbahwajumlahn
buahbilanganganjilpositifn pertamaadalah n2
.
Penyelesaian :
Misalkanp(n) adalahproposisi yang menyatakanbahwajumlahn
buahbilanganganjilpositifpertamaadalahganjilpositifpertamaadalah n2
.
(i)
Basis induksi : p(1)benar,
karenajumlahsatubuahbilanganganjilpositifpertamaadalah12
=1.
(ii)
Langkahinduksi:Misalkanp(n) benar, yaituasumsikanbahwa
1+2+3+5+.......+(2n-1) = n2
Adalahbenar (hipotesisinduksi)
Kita harusmemperlihatkanbahwap(n+1) jugabenar, yaitu
1 + 3 + 5 +............+ (2n-1) +(2n+1)= (n+1)2
Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut :
1 + 3 + 5 +............+ (2n-1) +(2n+1)= [1+3+5+........+(2n-1)] + (2n+1)
= n2
+ (2n+1)
= n2
+ 2n+1

8. = (n+1)2
PrinsipInduksi yang Dirampatkan3
Terkadangdalampembuktianpernyataanp(n)benaruntuksemuabilanganbulat
≥ n0, tidakhanyabilanganbulat yang dimulaidari 1 saja.
Prinsipinduksisederhanadapatdirampatkan(generalized)untukmenunujukkanh
alinisebagaiberikut :
Misalkanp(n)
adalahpernyataanperihalbilanganbulatdankitainginmembuktikanbahwa p(n)
benaruntuksemuabilanganbulatn ≥ n0. Untukmembuktikanini,
kitahanyaperlumenunjukkanbahwa :
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) benar untuk setiap n ≥ n0
Contoh :
Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar n sen ( n≥8) selalu
dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.
Penyelesaian:
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n
sen ( n≥8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen
saja.
3
Ibid, hal. 156.

9. (i) Basis induksi : p(8) benar, karena untuk membayar biaya pos 8 sen
dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangko 5 sen
saja.
(ii) Langkah induksi : Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu asumsikan
bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n sen dapat digunakan
perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan
bahwa p(n+1) benar, yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n+1 sen
juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua
kemungkinan yang perlu diperiksa. Kemungkinan pertama, misalkan
kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu
perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan
dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai
n+1 sen. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang
digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen
semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah
perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2
buah perangko sen, akan diahsilkan nilai perangko n+1 sen.
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka pernyataan “Untuk
membayar biaya pos sebesar n( n≥8) sen selalu dapat digunakan hanya
perangko 3 sen dan perangko 5 sen” terbukti benar.
Prinsip Induksi Kuat4
4
Ibid, hal160.

10. Terkadang versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk membuktikan
pernyataan mengenai bilangan bulat. Versi induksi yang lebih kuat adalah
sebagai berikut :
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
Untukmembuktikanini, kitahanyaperlumenunjukkanbahwa :
1. p(n0) benar, dan
2. p(n0), p(n0+1),.......,p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap
bilangan bulat
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0
Contoh :
Bilangan bulat positif disebut juga prima jika dan hanya jika bilangan bulat
tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kits ingin membuktikan
bahwa setiap bilangan bulat positif n(n≥2) dapat dinyatakan sebagai perkalian
dari (suatu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.
Penyelesaian :
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa setiap bilangan bulat positif n(n≥2)
dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
i. Basis Induksi : p(2) benar, karena 2 sendiri adalah bilangan prima dan
di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari datu buah bilangan
prima, yaitu dirinya sendiri.
ii. Langkah Induksi. Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa bilangan
2,3,...,n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan

11. prima (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa p(n+1) benar,
yaitu n+1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Hal
ini ditunjukkan sebagai berikkut: jika n+1 sendiri bilangan prima, maka
jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan
prima. Jika n+1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat
positif a yang membagi habis n+1 tanpa sisa. Dengan kata lain,
(n+1)/a=b atau (n+1)=ab. Yang dalam hal ini, 2 ≤ a≤ b≤ n. Menurut
hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau
lebih bilangan prima. Ini berarti, n+1 jelas dapat dinyatakan sebagai
perkalian bilangan prima, karena n+1 =ab
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa
setiap bilangan bulat positif n (n≤2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari
(satu atau lebih) bilangan prima.
C. Tahapan-tahapandalaminduksimatematika
1. Basis Step : Tunjukkanbahwa S(1) benar
2. Inductive Step : Asumsikan S(k) benar
Akan dibuktikan S(k) S(k+1) benar
3. Conclusion : S(n) adalahbenaruntuksetiap n bilangan integer
positif
D. BentukInduksiSecaraUmum5
5
Ibid, hal. 163.

12. Bentuk umum dari induksi matematika dibuat dimaksudkan agar
penerapan induksi matematika tersebut tidak hanya untuk pembuktian
proposisi yang menyangkut himpunan bilangan positif, tetapi juga
pembuktian yang menyangkut himpunan objek yang lebih umum. Syaratnya,
himpunan objek tersebut harus mempunyai keterurutan dan mempunyai
elemen terkecil.
Bentuk induksi secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :
Misalkan X terurut dengan baik oleh “ Misalkan X terurut dengan baik oleh
“< “, dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin
membuktikan bahwa p(x) benar untuk semua xЄX . untuk membuktikan ini,
kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
1. P( x0) benar, yang dalam hal ini x0 adalah elemen terkecil di dalam X,
dan
2. jika p(x) benar untuk y <x, maka p(x) juga benar untuk setiap x > x0 di
dalam X,
sehingga p(x) benar untuk semua x X.
sehingga p(x) benar untuk semua x Є X
Contoh :
Tinjau barisan bilangan yang didefinisikan sebagai berikut:
0 jika m=0 dan n=0
Sm,n Sm-1,n +1 jika n=0
Sm,n-1 +1 jika n≠0

13. Sebagaicontoh,
S0,0= 0 S1,0=S0,0+ 1=0+1= 1
S0,1= S0,0+ 1 = 1 S1,1= S1,0+ 1= 1+1= 2
S0,2= S1,0+ 1 = 2 S2,1= S2,0+ 1=3,.......
Buktikan dengan induksi matematik bahwa untuk pasangan tidak negatif m
dan n, Sm,n = m+n.
Penyelesaian
i) Basis Induksi :karena (0,0) adalahelementerkecil di dalam X, maka
S0,0= 0+0=). Inibenardefinisi S0,0
ii) Langkahinduksi. Buktikanuntuksemua (m,n) > (0,0) di dalam X
bahwajikaSm,n= m+njugabenar. AndaikanbahwaSm’,n’= m’+n’
benaruntuksemua (m’,n’)<(m,n). Iniadalahhipotesisinduksi. Kita
perlumenunjukkanbahwaSm,n=m+n, baikuntuk n=0 atau n≠0.
Kasus 1 : jika n=0, maka dari definisi Sm,n= Sm-1,n+ 1. Karena (m-1, n) <(m,n),
maka dari hipotesis induksi,
Sm-1,n= (m-1)+n sehingga Sm,n= Sm-1,n+ 1 = (m-1) + n+ 1= m+n
Kasus 2 : jika n≠0, maka dari definisi Sm,n= Sm-1,n+ 1. Karena (m,n-1)<(m,n),
maka dari hipotesis induksi,
Sm-1,n= m+ (n-1) sehingga Sm,n = Sm,n-1 +1= m+(n-1) +1=m+n
Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa
untuk pasangan tidak negatif m dan n, Sm,n= m+n.

14. BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dipaparkan dapat disimpulkan :
1. Induksi matematika merupakan salah satu pembuktian dalam matematika yang
hubungannya dengan bilangan bulat.
2. Prinsip-prinsipdalaminduksimatematika :
a. Menunjukkandengansubstitusi yang sebenarnyabahwateoremaataurumus
yang dinyatakanadalahbenaruntuksatuhargan yang bulatpositif, misalnya
n=1
b. Andaikanteoremaataurumusadalahbenaruntukn=k.
Kemudianbuktikanbahwateoremaataurumusadalahbenaruntukn=k+1
3.Tahapan-tahapandalaminduksi :
a. Basis Step : menunjukkanbahwap(n)benaruntuk n=1
b. Inductive Step : mengasumsikanp(n) benaruntuk n=k
Akan dibuktikan p(n) benar untuk n = k+1
c. Conclusion : p(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer

15. DAFTAR PUSTAKA
Antonius. 2013. “Induksi
Matematika“.http://antoniuscp.files.wordpress.com/2013/02/1-
induksi_matematika.pdf. Diakses pada 29 Mei 2013.
Erman dan Turmudi. 1993. Perkenalan dengan Teori Bilangan. Bandung :
Wijayakusuma.
Kusnadi. “Handout Teori
Bilangan“.http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND.
MATEMATIKA/196903301993031-KUSNANDI/Handout_TeoBil.pdf. Diakses pada
29Mei 2013.
Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg. 2004. Kalkulus dan Geometri Analisis.
Jakarta : Erlangga.
Rinaldi, Munir. 2012.Matematika Diskrit Revisi ke-5.Bandung : Informatika.
Saepul, A dkk. 2008. MatematikaEdisi I Paket 1-7. Surabaya: NidyaPustaka.
Soemartojo. 1983. Kalkulus. Jakarta : Erlangga.
Spiegel, Murray R. dan Kasir Iskandar. 1984. Teori dan Soal-soal Matematika
Dasar Scrischaum. Jakarta : Erlangga.