Ada tiga metode pembuktian dalam matematika yaitu pembuktian langsung, tidak langsung melalui kontraposisi atau kontradiksi, dan induksi matematika. Pembuktian langsung menggunakan definisi dan aksioma, sedangkan tidak langsung mengasumsikan kebalikan dari kesimpulan. Induksi matematika membuktikan suatu pernyataan dengan mengecek kasus awal dan asumsi kasus berikutnya.

1. PEMBUKTIAN DALAM
MATEMATIKA

2. Metode Pembuktian Matematika
Pembuktian
langsung
Pembuktian tidak
langsung
Induksi matematika

3. Pembuktian Langsung
Pembuktian langsung dalam matematika
dilakukan dengan menguraikan premis dengan
dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada
untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)

4. Contoh 1
Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka
n2 bilangan ganjil”.
Bukti:
Diketahui bahwa n bilangan ganjil
Karena n bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulat
n2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1
Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjil
Jadi n2 bilangan ganjil

5. Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian tidak langsung atau pembuktian
dengan kemustahilan (reductio ad absurdum)
yang dibahas ada 2 cara yaitu :
Kontraposisi
Kontradiksi

6. Kontraposisi
• Pembuktian tidak langsung kontraposisi
digunakan untuk membuktikan pernyataan
implikasi
• Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita
cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi
pernyataan tersebut
• Secara simbolik :
p → q ≡ ~q → ~p
artinya untuk membuktikan kebenaran p → q
kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

7. Contoh :
Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n
bilangan ganjil”.
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan
membuktikan kebenaran kontraposisinya.
Misalnya :
p = n2 bilangan ganjil
q = n bilangan ganjil

8. Apakah p → q benar ?
Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n
bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan
sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil
BENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilangan
ganjil maka n bilangan ganjil.

9. Kontradiksi
• Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi
dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang
salah dan menemukan suatu hal yang
bertentangan dengan fakta, aksioma, atau
teorema yang ada.
• Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima
dan akibatnya konklusi yang ada benar
berdasarkan premis yang ada

10. Contoh :
Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2 ganjil,
maka n ganjil”.
Bukti:
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan
bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n =
2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :
n2 = (2k) 2
n2 = 4k2
n2 = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedang
dari lang-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu
kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus
diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

11. Induksi Matematika
Induksi matematika adalah salah satu metode
untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu
yang berlaku untuk bilangan asli

12. Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang
menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1)
benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1)
juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.

13. Contoh :
Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,
untuk semua bilangan asli n”.
Bukti:
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,
(a). P(1) benar, sebab 1 = 1
(b). Apabila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2,
maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 +
2k+1.
= k2 + 2k + 1
= (k + 1) 2
Sehingga P(k+1) benar