More Related Content
Similar to 807 - winter 2014 (20)
807 - winter 2014
- 1. פתרון שאלון 708
שאלה 1:
א. )1( הנקודות ) 2 C(x1 , y1 ), D(x2 , yברביע הראשון ולכן ניתן לרשום
) ,C(c2 , 2c), D(d2 , 2dלמען הנוחות נסמן 1 c2 = xו־ 2 .d2 = xנחשב שיפוע ונקבל:
4
2y1 +y
=
4
2c+2d
=
2
2
·
2
c+d
=
2
c+d
=
)2(c−d
)(c−d)(c+d
=
2c−2d
2c2 −d
=m
)2( נתון )3 , (xאמצע קטע CDולכן 3 = 2 , y1 +yנציב 6 = 2 y1 + yבתוצאה של סעיף
2
קודם ונקבל:
2
3
=
4
6
=m
ב. )1( מרחק נקודה מישר x = aהוא הפרש ערכי ה־ xשל הנקודה והישר )כי המרחק
הוא מרחק מינימלי, ז"א האנך מהנקודה לישר(. נבחר נקודה ) C(c2 , 2cונקבל:
)1(
6 = c2 − 2a
לפי הנתון מרחק כל נקודה מהישר x = aשווה למרחק מהנקודה )0 ,1( נקבל את
המשוואה:
)2(
2)(c2 − 1)2 + (2c
= c2 − a
לאחר פתרון מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים נקבל )1−( = .a
)2(לפי סעיף קודם קל לראות שמתקיים )4 ,4( Cובעזרת שיפוע שמצאנו נקבל את המשוואה:
4
3
2
+ y − 4 = 3 (x − 4) → y = 2 x
3
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 2. חורף 4102, תשע"ד שאלון 708
שאלה 2:
א. לא ייתכן.
−
→
ב. הוקטור APמאונך למישור הנפרש ע"י vו־ wולכן:
0 = (au + bv + w) · v
0 = (au + bv + w) · w
יש לשים לב שלא כל הוקטורים מאונכים ולכן נשתמש במכפלה סקלרית )נתונות זוויות(.
מתוך משוואה שנייה נקבל:
)2−( = au · w + bv · w + |w|2 = 0 → b
מתוך משוואה ראשונה נקבל:
3 = au · v + b|v|2 + w · v = 0 → a
−
→
ולכן .AP = 3u − 2v + wנחשב אורך וקטור:
−
→
= )|AP | = (3u − 2v + w) · (3u − 2v + w
2|9|u|2 − 6u · v + 3u · w − 6u · v + 4|v|2 − 2v · w + 3u · w − 2w · v + |w
√
−
→
בתוך השורש נקבל 42 ולכן 6 2 = | .|AP
ג. ראשית יש להוריד אנכים לישר החיתוך המשותף .BCהבסיס ∆ABCהוא מש"ש וכך
גם המישור ) ∆P BCאפשר להראות לפי חפיפת משולשים משפט חפיפה צ.צ.צ
(∆AP B ∼ ∆AP Cולפי הפונקציות הטריגונומטריות נקבל שהזווית בין המישורים היא
=
035.07.
שאלה 4:
א. )1( תחום הגדרה: 0 ≥ .x
√
)2( נגזרת הפונקציה היא
e x
√
x
=
1
√
2 x
·
x
√
f (x) = 2eהנגזרת לא מתאפסת, נגזרת שנייה:
√
)1−( x
5.12x
x
√
e
= )f (x
נגזרת שנייה מתאפס ב־ 1 = ,xנציב ערכים לפני ואחרי הנקודה בה הנגזרת מתאפסת
ונגלה שמתקיים 0 < ) f (xבתחום 1 < 0 < xו־ 0 > ) f (xבתחום 1 > .xהפונקציה
עולה כאשר 1 > xויורדת כאשר 1 < .0 < x
ב. מתקיים:
x
√
x
2e
√
=y
ולכן:
√
)1−( x
5.1x
x
√
e
= y
הנגזרת מתאפסת ב־ 1 = ,xנציב ב־ yונקבל את הנקודה החשודה כנקודת קיצון )(1, 2e
לאחר בדיקה נראה שזו נקודת מינימום.
מתקיים .f (12 ) = 2e
ג. בעזרת אינטגרל לחישוב שטח נקבל )3(.a = 1 + ln
2
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 3. חורף 4102, תשע"ד שאלון 708
שאלה 5:
א. רן יוכל להתחיל לשלם על הדירה רק כאשר התשלום החודשי יהיה בגובה של %06
מהשכר שלו, ז"א:
0.6 · 8000 · 1.012t
המחיר החודשי לדירה הוא:
5900 · 1.002t
נשווה את הביטווים ונקבל 77.02 = tולכן רן יוכל להתחיל לשלם על הדירה כעבור 12
חודשים.
ב. )1( מכיוון שהפרמטר nזוגי אז נדרוש 0 = .x
)2( פונקציה זוגית מקיימת ) ,f (x) = f (−xמכיוון ש־ nהוא מספר טבעי זוגי
) ((−x)n = xnאז קל לראות שהפונקציה זוגית.
)3( נגזרת הפונקציה:
)1 + ) · nxn−1 = nxn−1 (ln(xn
1
xn
· f (x) = nxn−1 · ln(xn ) + xn
הישר מקביל לציר ה־ xולכן שיפועו אפס, לפי הנגזרת השיפוע מתאפס כאשר הביטווי
1
בסוגריים מתאפס, ז"א כאשר ,x = e− nשיעור ה־ yשל הפונקציה בערך זה הוא:
1
1
1
1−f (x = e− n ) = (e− n )n · ln((e− n )n ) = −e
ולכן משוואת המשיק היא 1 − = .y
e
3
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
