1246

1. Практичне заняття 1.
Невизначений інтеграл
Мета заняття: ознайомлення студентів з поняттям «невизначений інтеграл» та
таблицею інтегралів.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про таблицю інтегралів та
прикладів задач по заданій темі.
Завдання 2. Надання коротких теоретичних відомостей про метод обчислення
інтегралів, а саме, внесення функції під знак диференціалу та
прикладів задач по заданій темі.
Основні теоретичні відомості, формули та приклади.
Функція називається первісною для функції на проміжку ,
якщо , Якщо первісна для , то сукупність усіх
первісних має вигляд , де - довільна стала. Множина
називається невизначеним інтегралом функції і позначається ,
тобто .
Властивості невизначеного інтеграла
1)
2)
3)
4)
5) Якщо і довільна неперервно
диференційована функція, то .
Таблиця інтегралів
1. 11
, 1
1
u du u C 
    
 
 2. du u C 
 F x  f x  ,a b
   F x f x   , .x a b  F x  f x
 F x C C  F x C
 f x  f x dx
   f x dx F x C 
    f x dx f x 
   dF x F x C 
   C f x dx C f x dx 
        1 2 1 2f x f x dx f x dx f x dx    
   f x dx F x C   u x 
   f u du F u C 

2. 3. 2
du
u C
u
  4. ln
du
u C
u
 
5. u u
e du e C  6.
ln
u
u a
a du C
a
 
7. sin cosudu u C   8. cos sinudu u C 
9. 2
tg
cos
du
u C
u
  10. 2
ctg
sin
du
u C
u
  
11. sh chudu u C  12. ch shudu u C 
13. tg ln cosudu u C   14. ctg ln sinudu u C 
15. ln tg
sin 2
du u
C
u
  16. ln tg
cos 4 2
du u
C
u
 
   
 

17.
2
arcsin
arccos1
u Cdu
u Cu

 
 
 18.
2 2
arcsin
arccos
u
C
du a
ua u C
a


 
  


19. 2
arctg
arcctg1
u Cdu
u Cu

 
  
 20. 2 2
1
arctg
1
arcctg
u
C
du a a
ua u
C
a a


 
  


21. 2
2
ln
du
u u A C
u A
   


22. 2 2
1
ln
2
du a u
C
a a ua u

 


23. 2 2
1
ln
2
du a u
C
a a uu a

 


24.
2
2 2 2 2
arcsin
2 2
u a u
a u du a u C
a
    
25. 2 2 2
ln
2 2
u A
u A du u A u u A C      
Приклад 1. Обчислити інтеграли:
3
5 4x x
dx
x
 
 .
Розв’язання.
3
2 35 4 1 4 5
5 2 4ln
3
x x
dx x dx dx dx x x x C
x xx
 
          .

3. Приклад 2. Обчислити cos(1 2 )x dx .
Розв’язання.
 
2 1 1
cos(1 2 ) cos(1 2 ) cos(1 2 ) 1 2 sin(1 2 )
2 2 2
x dx x dx x d x x C          
Приклад 3. Обчислити
Розв’язання.
При обчисленні інтеграла використали властивості диференціала
, , , та табличні інтеграли
, .
4 3
x
x
e
dx
e

 4 31 1
ln 4 3
3 34 3 4 3
xx
x
x x
d ee dx
e C
e e

   
 
 
   
1
d u d ku
k
  d u a du     f x dx dF x
u u
e du e C 
1
lndu u C
u
 