1. Збіжна система сил. Теорема про три сили.
Вказівки до завдань С1.
Сили, лінії дії яких перетинаються в одній точці, утворюють систему
збіжних сил.
Нехай задана збіжна система сил, що прикладена до твердого тіла в
точках А, В, … (рис. 1). Користуючись тим, що сила – вектор ковзний,
переносимо всісили в точку О. Складаючи сили за правилом паралелограма або
за правилом силового многокутника, знайдемо рівнодійну системи, яка
визначається як замикаюча сторона силового многокутника (рис. 1):
Рис. 1
𝑅⃗ = ∑ 𝐹𝑘
𝑛
𝑘=1 (1)
Побудуємо систему координатз початком у точці О та визначимо числове
значення рівнодійної 𝑅⃗ за формулою:
𝑅 = √ 𝑅 𝑥
2 + 𝑅 𝑦
2 + 𝑅 𝑧
2 = √(∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1
)
2
+ (∑ 𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1
)
2
+ (∑ 𝐹𝑘𝑧
𝑛
𝑘=1
)
2
(2)
Рівності 𝑅 𝑥 = ∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1 , 𝑅 𝑦 = ∑ 𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1 , 𝑅 𝑧 = ∑ 𝐹𝑘𝑧
𝑛
𝑘=1 випливають з
теореми векторної алгебри – «проекція геометричної суми на будь-яку вісь
дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових векторів на ту ж саму вісь»
(рис. 2).
2. Рис. 2
Для рівноваги збіжної системисил необхідно й достатньо, щоб рівнодійна
системи дорівнювала нулю, тобто
𝑅⃗ = 0⃗ (3)
Тоді з рівності (1) випливає, що при рівновазі сил многокутник сил
збіжної системи є замкнутим, а з рівності (2), що при цьому алгебраїчні суми
проекцій сил системи на три взаємно перпендикулярні осі дорівнюють нулю,
тобто
∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1 = 0; ∑ 𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1 = 0; ∑ 𝐹𝑘𝑧
𝑛
𝑘=1 = 0; (4)
Замкненість многокутника сил збіжної системи та рівняння (4) носять
назву умов рівноваги збіжної системи сил. Перша умова називається
геометричноюумовоюрівноваги, друга – аналітичними умовами рівноваги, або
рівняннями рівноваги збіжної системи сил.
Теорема про три сили. Якщо тверде тіло перебуває у стані рівноваги під
дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, то лінії дії цих сил
перетинаються в одній точці.
Нехай тверде тіло перебуває у рівновазі під дією трьох сил: 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3. Всі
сили містяться в одній площині (рис. 3).
Оскільки згідно з умовою теореми сили 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 непаралельні, то лінії дії
двох сил, наприклад сил 𝐹1 та 𝐹2, перетинаються в довільній точці, наприклад у
точці О. Переносимо сили 𝐹1 та 𝐹2 у точку О та знайдемо їх рівнодійну 𝑅⃗ (див.
рис.3). Тепер можна розглядати рівновагу тіла, на яке діють дві сили 𝑅⃗ та 𝐹3.
3. Очевидно, ці сили діють вздовж однієї прямої, тобто утворюють найпростішу
зрівноважену систему сил. Звідси випливає, що лінія дії сили 𝐹3 проходить
через точку О.
Рис. 3
Задачі, в яких розглядається рівновага збіжної системи сил на площині,
можна за характером в'язей розділити на два типи:
1) задачі, де в'язі, що накладаються на тіло, рівновагу якого ми
розглядаємо, такі, що наперед можна визначити лінії дії реакцій цих в'язей
(гладенька поверхня, невагомий ідеальний стержень, невагома нитка);
2) задачі, де одна з в'язей, накладених на тіло, така, що лінію дії
реакції наперед визначити не можна, наприклад нерухомий шарнір. У цьому
випадку, якщо тіло перебуває у рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що
лежать в одній площині, то лінію дії невідомої реакції можна визначити за
допомогоютеоремипро три сили. До цього типу задач і належить завдання С1.
Розв'язуючи задачі про рівновагу збіжної системи сил, треба додер-
жуватися такого порядку:
1) виділити об'єкт (тіло, точку), рівновагу якого розглядають;
2) зобразити задані сили;
3) визначити в'язі, накладені на тіло;
4) застосовуючиаксіомупро звільнення від в'язей, умовно відкинути в'язі
та прикласти відповідні реакції в'язей;
5) зробити аналіз утвореної системи сил. Якщо задачу будемо розв'я-
зувати за допомогою аналітичних умов рівноваги системи сил, то
4. треба:
6) вибрати прямокутну систему координат;
7) скласти рівняння рівноваги твердого тіла під дією збіжної системи сил,
тобто рівняння (4);
8) розв'язати систему рівнянь і визначити всі невідомі величини;
9) зробити аналіз розв'язку.
При розв'язанні задачі за допомогою геометричної умови рівноваги
збіжної системи сил, замість пунктів 6 і 7 слід побудувати замкнений
многокутник сил, з якого визначити величину і напрям реакцій (коли кількість
сил, що утворюють збіжну систему, перевищує 3, то краще застосовувати
аналітичні умови рівноваги).
Приклад 1. Дефлегматор (теплообмінник) ректифікаційної колони
спирається на горизонтальну балку АВС, прикріплену до вертикальної стіни
шарніром А. Балка підтримується у рівновазі за допомогою стержня СD, як це
показано на рис. 4. Кут α=37°. На балку в точці В з боку дефлегматора діє сила
Р=10кН. Визначити реакцію шарніра А та стержня. Вагою балки та стержня
знехтувати.
Рис. 4
5. Розв'язання. Розглянемо рівновагубалки АВС, до якої прикладена сила Р⃗⃗
(рис. 5). Балка АВС – невільне тіло. В'язями для неї є нерухомий шарнір А і
невагомий стержень СD. Застосовуючиаксіому про звільнення від в'язей, уявно
відкинемо в'язі і прикладемо відповідні їм реакції. Реакція 𝑆 стержня СD
напрямлена вздовж стержня, а лінія дії реакції шарніра А – невідома. Оскільки
балка перебуває у рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в
одній площині, то лінії їх дії мусять перетинатися в одній точці. Продовжуючи
лінії дії сили Р⃗⃗ і реакції стержня СD до перетину, дістанемо точку К, через яку
мусить пройти і лінія дії реакції шарніра A. Сполучивши точки А і К матимемо
пряму – АК лінію дії реакції 𝑅⃗ 𝐴 шарніра A. Початково напрямляємо реакції 𝑆 та
𝑅⃗ 𝐴, як показано на рис. 5.
Рис. 5
Визначення реакцій 𝑺⃗⃗ та 𝑹⃗⃗ 𝑨 за допомогою геометричної умови
рівноваги збіжної системи сил.
Щоб визначити величину і напрям реакцій 𝑆 та 𝑅⃗ 𝐴, застосуємо
геометричну умову рівноваги збіжної системи сил. Для цього побудуємо
замкнений силовий трикутник (рис. 6). Побудову починаємо з відомої сили Р⃗⃗ .
У відповідному масштабі від довільно взятої точки відкладаємо вектор,
який геометрично дорівнює силі Р⃗⃗ .
6. Рис. 6
Через початок і кінець цього вектора проводимо прямі, відповідно
паралельні лініям дії реакцій 𝑆 та 𝑅⃗ 𝐴 до їх перетину. Задаємо напрям сил так,
щоб трикутник був замкнутим (рис. 6). З трикутника на підставі теореми
синусів маємо:
𝑃
sin 𝜑
=
𝑆
sin 𝛾
=
𝑅 𝐴
sin 𝛽
(5)
Визначаємо кути 𝜑, 𝛾 та 𝛽. Кут 𝛽 визначаємо з трикутника ΔКВС (рис. 5),
тобто 𝛽 =90° - 53° = 37°. Кут 𝛾 визначаємо з трикутника ΔКВС (рис. 5), тобто
tan 𝛾 =
1,2
𝐾𝐵
=
1,2
0,66
= 1,81, отже γ= 61°, де 𝐾𝐵 =
0,5
tan 𝛾
=
0,5
0,754
= 0,663 м. Тоді φ =
180° - (β + γ) = 180° - 98°=82°.
З рівності (5) визначаємо S і 𝑅 𝐴:
𝑆 =
𝑃 sin 𝛾
sin 𝜑
=
10·0,875
0,99
= 8,84 кН.
𝑅 𝐴 =
𝑃 sin 𝛽
sin 𝜑
=
10·0,602
0,99
= 6,08 кН.
Дійсний напрям 𝑆 та 𝑅⃗ 𝐴 поданий на рис. 5.
Примітка 1. Дійсний напрям реакцій, тобто сил, з якими в'язі діють па
тверде тіло, що розглядається у рівновазі, визначає силовий трикутник (див.
рис. 6). Звільняючи тверде тіло від в'язей та замінюючи в'язі відповідними
реакціями, ми, як правило, знаємо лише лінії дії реакцій в'язей, але не знаємо
напрям реакцій вздовж цих ліній. Тому, замінюючи в'язь відповідною реакцією,
початково напрямляємо реакцію в будь-який бік по лінії її дії. Побудувавши
силовий трикутник, коригуємо напрям реакції (див. рис. 5 і 6).
7. Визначення реакцій 𝑺⃗⃗ та 𝑹⃗⃗ 𝑨 за допомогою аналітичних умов
рівноваги збіжної системи сил. Щоб визначити величину і напрям реакцій 𝑆 і
𝑅⃗ 𝐴 скористуємося аналітичними умовами рівноваги збіжної системи сил (4).
Так як на балку АВС (рис. 5) діє плоска система збіжних сил, то з трьох рівнянь
рівноваги (4) залишається тільки два:
∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1 = 0; ∑ 𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1 = 0 (4,а)
Побудуємо систему координат з початком у точці А (рис. 5) та складемо
рівняння рівноваги (4,а). При складанні рівнянь рівноваги приймаємо до уваги,
що проекція сили на вісь – скалярна величина, яка дорівнює добуткові модуля
сили на косинус кута між напрямом сили і додатним напрямом осі.
Оскільки кути між осями координат і реакціями 𝑆 і 𝑅⃗ 𝐴 визначені при
застосуванні геометричної умови рівноваги сил, що діють на балку АВС
(рис. 5), то маємо
∑ 𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1
= 0; 𝑅 𝐴 cos 29°
− 𝑆 cos 53°
= 0;
∑ 𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1
= 0; 𝑅 𝐴 sin 29°
+𝑆 sin 53°
−𝑃 = 0;
Розв'язуючи ці рівняння, знаходимо:
𝑅 𝐴 =
𝑆 cos53°
cos29°
=
𝑆∙0,602
0,875
= 0,688𝑆 = 0,688
𝑃
1,13
=
10∙0,688
1,13
= 6,08 кН.
де 𝑆 =
𝑃
1,13
=
10
1,13
= 8,84 кН.
Дійсний напрям реакцій 𝑆 і 𝑅⃗ 𝐴 поданий на рис. 5.
Примітка 2. Якщо з рівнянь рівноваги шукані сили визначаються зі
знаком "+", то початковий напрям цих сил є дійсним їх напрямом (див. рис. 5).
Якщо з рівнянь рівноваги ці сили визначаються зі знаком "-", то слід змінити їх
початковий напрям на протилежний.
