THC0102

1. Напруження на площадках загального положення.
Якщо відомі шість незалежних компонент напруженого стану на трьох взаємно
ортогональних (координатних) площадках, то можна визначити напружений стан на будь-якій
площинці, що проходить через дану точку. Для цього в околиці точки виділимо елементарний
тетраедр, три грані якого збігаються з координатними площинами, а четверта є площиною
загального положення, довільно нахилена до координатних площин (рис. 5).
рис. 5
Орієнтацію площадки загального положення будемо
визначати трійкою напрямних косинусів nm,, нормалі  :
  ,cos x ;   my ,cos ;   nz ,cos . (3)
Тут nm,, - проекції одиничного вектора нормалі 1
на координатні осі. Кути між напрямками нормалей і
позитивними напрямками координатних осей відраховуються від
останніх проти годинникової стрілки.
Припустимо, що на площадці загального положення діє повне напруження p . Спроектуємо його
на координатні осі:  zyx pppp ,, . Площі ортогональних граней тетраедра висловимо через
площу його на-клонів межі:
AA ABC  , то: AAA xAOB  ; AmAA yАOC  ; AnAA zВOC  . (4)
З умов рівноваги тетраедра 0 xiF ; 0 yiF ; 0 ziF з урахуванням (4) слідують
співвідношення:
nmp xzxyxx    ;
nmp yzyyxy    ; (5)
nmp zzyzxz    .
Повна напруження p визначається за його компонентами у вигляді:
222
zyx pppp  . (6)
Рівняння (5) дозволяють визначити напруження на довільній площадці загального положення з
направляючими косинусами нормалі по відомим компонентам тензора напружень на
координатних площадках. У разі, коли похила грань тетраедра поєднується з поверхнею тіла,
вирази (5) налагоджують зовнішнє навантаження з напруженнями всередині тіла, виконуючи
функції граничних умов. Визначив відповідно до рівнянь (5) проекції повного напруження на
координатні осі, можна знайти нормальне напруження на похилій площадці, спроектувавши
zyx ppp ,, на напрямок нормалі  :
  npmppp zyxi  

 , , (7)
або з використанням (5)
nmnmnm yzxzxyzyx   222222
 . (8)

2. рис. 6
Дотичне напруження на похилій грані (рис. 6) можна визначити за
теоремою Піфагора:
22
   pt , (9)
або за аналогією з (7), спроектувавши zyx ppp ,, на напрямок дотичної
  
 npmpptp zyxit 

, , (10)
де ),cos(),,cos(),,cos( tzntymtx  
 - проекції одиничного вектора дотичної
1t на координатні осі.