Л3

1. кандидат технічних наук, доцент Ю. А. Отрош
 Черкаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля Національного
університету цивільного захисту України, 2017 43
ЛЕКЦІЯ 3. РІВНОВАГА ЗБІЖНИХ СИЛ. МОМЕНТ СИЛИ.
1. Рівновага збіжної системи сил.
2. Момент сили відносно центру (точки).
3. Момент сили відносно осі.
4. Теорема Варіньона про момент рівнодійної.
1. Рівновага збіжної системи сил
Пригадаємо аксіоми статики. В них стверджується, що при приєднанні
до тіла зрівноваженої системи сил, тіло не змінює швидкості свого руху. Таким
чином, тіло, на яке діють взаємно зрівноважені зовнішні сили, може не тільки
знаходитися у стані спокою, але й рухатися. Таким рухом буде поступальний
рівномірний і прямолінійний рух.
Звідси випливають два важливі висновки:
 умовам рівноваги статики задовольняють сили, що діють як на тіло
у стані спокою, так і на тіло, яке рухається за інерцією;
 зрівноваженість сил, які прикладені до вільного твердого тіла, є
необхідною, але не достатньою умовою рівноваги (спокою) самого тіла. У
стані спокою в такому випадку тіло буде знаходитися лише тоді, якщо воно
було у спокої і до моменту прикладання до нього зрівноважених сил.
Для рівноваги прикладених до твердого тіла системи збіжних сил
необхідно і достатньо, щоб рівнодійна цих сил дорівнювала нулю. Умови, яким
при цьому повинні задовольняти самі сили, можна виразити в геометричній
або аналітичній формі.
Геометрична умова рівноваги. Оскільки рівнодійна R

збіжних
сил визначається як сторона, що замикає силовий багатокутник, який
побудований із сил даної системи, то R

може дорівнювати нулю тоді і тільки

2. Технічна механіка. Конспект лекцій. Статика.
 Кафедра будівельних конструкцій, 2017 44
тоді, якщо кінець вектора останньої сили в багатокутнику співпаде з початком
вектора першої, тобто коли багатокутник замкнеться.
Таким чином, для рівноваги системи збіжних сил необхідно і
достатньо, щоб силовий багатокутник, який побудований із сил даної
системи, був замкненим.
Аналітичні умови рівноваги. Аналітично рівнодійна системи
збіжних сил визначається формулою
222
zyx
RRRR  . (1)
Абсолютно зрозуміло, що під коренем стоїть сума позитивних доданків.
Тому R перетвориться на нуль лише за умови, що одночасно 0x
R , 0y
R ,
0z
R , а таке можливо тоді коли сили, що діють на тіло, будуть задовольняти
рівностям:
  0kx
F ,   0ky
F ,   0kz
F . (2)
Рівності (2) виражають умову рівноваги в аналітичній формі: для
рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб суми
проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей були рівні нулю.
Якщо всі збіжні сили, що діють на тіло, лежать в одній площині, то вони
утворюють плоску систему збіжних сил. У випадку плоскої системи збіжних
сил отримаємо лише дві умови рівноваги:
  0kx
F ,   0ky
F . (3)
Рівності (2) і (3) також виражають необхідні умови рівноваги вільного
твердого тіла, що – знаходиться під дією збіжних сил.
Теорема про три сили. В деяких задачах статики розглядається
рівновага тіла під дією трьох сил. Якщо ці сили є збіжними, то при розв’язку
таких задач зручно користуватися такою теоремою: якщо вільне тверде тіло
знаходиться у рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній
площині, то лінії дії цих сил перетинаються в одній точці.
Слід зазначити, що обернена теорема не має сенсу, тобто якщо лінії дії
трьох сил перетинаються в одній точці, то тіло під дією цих сил може і не

3. кандидат технічних наук, доцент Ю. А. Отрош
 Черкаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля Національного
університету цивільного захисту України, 2017 45
знаходитися в рівновазі. Таким чином теорема про три сили виражає
необхідну, але не достатню умову рівноваги вільного твердого тіла під дією
трьох сил.
Приклад. Брус АВ закріплений в точці А шарнірно, спирається на виступ
D. Даний брус можна розглядати як вільний, якщо відкинути в’язі і замінити
їх відповідними реакціями. Таким чином брус буде у рівновазі під дією трьох
сил DNP

, і AR

, тоді коли лінії дії цих сил будуть перетинатися в одній точці.
Але лінії дії сил DNP

, відомі; вони перетинаються в точці К. Значить
реакція шарніру, яка прикладена в точці А, також повинна проходити через цю
точку, тобто повинна мати напрям АК. Теорема про три сили дозволила в
даному випадку визначити наперед невідомий напрям реакції шарніру А.
2 МОМЕНТ СИЛИ ВІДНОСНО ЦЕНТРУ (ТОЧКИ)
Життєвий досвід показує, що під дією сили тверде тіло може разом з
поступальним рухом здійснювати і обертальний рух навколо деякого центру.
Обертальний ефект сили характеризується її моментом.
DN

K B
AR

D
P

A
Рис. 3.1.1

4. Технічна механіка. Конспект лекцій. Статика.
 Кафедра будівельних конструкцій, 2017 46
Розглянемо силу F

, яка прикладена до тіла в точці А. Припустимо, що
сила намагається повернути тіло навколо центру О. Перпендикуляр h, який
проведений з центру О на лінію дії сили F

, називається плечем сили відносно
центру О. Оскільки точку прикладання сили можна довільно переміщувати
вздовж лінії її дії, то обертальний ефект, вочевидь, буде залежати від:
 модуля сили F і довжини плеча h;
 положення площини повороту ОАВ, яка проходить через центр О та
силу F

;
 напрямку повороту в цій площині.
Обмежимося, поки що, розглядом системи сил, яка лежать в одній
площині. В такому випадку площина повороту для всіх сил є загальною і не
вимагає додаткових задавань, а напрям повороту можна характеризувати
знаком, вважаючи умовно поворот в деякому напрямку позитивним, а у
зворотному напрямі – негативним.
Тоді для кількісного вимірювання обертального ефекту можна ввести
таке поняття про момент сили: момент сили F

відносно центру О
називається векторна величина, яка дорівнює добутку радіус-вектора r

,
проведеного з центра О до точки прикладання сили, на вектор сили F

.
Момент сили F

відносно центру О будемо позначати символом  FMO

.
В F

А
r

h
O
Рис. 3.2.1

5. кандидат технічних наук, доцент Ю. А. Отрош
 Черкаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля Національного
університету цивільного захисту України, 2017 47
Тоді
   FrFMO

 . (4)
Напрям вектора моменту сили визначається як напрям вектора
векторного добутку двох векторів (правило правого гвинта), модуль моменту
сили буде
  FhFrFrFMO







 
,sin . (5)
В подальшому будемо вважати, що момент має знак плюс „+”, якщо сила
намагається повернути тіло навколо центру О проти годинникової стрілки, і
знак мінус „-”, – якщо за годинниковою стрілкою.
Занотуємо наступні властивості моменту сили:
 момент сили не змінюється при переносі точки прикладання сили
вздовж лінії її дії;
 момент сили відносно центру О дорівнює нулю тільки тоді, коли
сила дорівнює нулю або коли лінія дії сили проходить через центр О (плече
дорівнює нулю);
 сума моментів двох рівних за модулем сил, що лежать на одній
прямій і напрямлені в протилежні боки, відносно будь-якої точки дорівнює
нулю.
3 МОМЕНТ СИЛИ ВІДНОСНО ОСІ
Разом з поняттям моменту сили відносно точки розглядають поняття
моменту сили відносно осі. Це поняття характеризує обертальну дію сили, що
діє на тверде тіло, навколо нерухомої осі. Щоб визначити момент сили
відносно осі, необхідно спроектувати силу на площину, яка перпендикулярна
до осі, і потім визначити момент проекції сили відносно точки перетину осі та
площини.

6. Технічна механіка. Конспект лекцій. Статика.
 Кафедра будівельних конструкцій, 2017 48
Приклад. Двері можуть повертатися навколо осі.
Дія сили F

, яка прикладена до двері, залежить не тільки від її модуля,
але і від положення вектора сили по відношенню до осі обертання. Розкладемо
силу F

на дві складові, одна з яких (Q

) напрямлена паралельно осі обертання,
а друга ( P

) розташована в площині, перпендикулярній до осі обертання.
Зрозуміло, що паралельна до осі складова не повертає двері. А дія складової,
яка розташована у площині, перпендикулярній осі обертання, залежить як від
її модуля так і від її розташування в цій площині. Таким чином, дія сили F

на
закріплені на нерухомій осі двері буде характеризуватися моментом складової
P

, яка розташована в площині, перпендикулярній до осі обертання, відносно
точки перетину осі з цією площиною.
Розглянемо момент сили ABF 

відносно довільної точки О, яка
лежить на осі zz
. Момент сили відносно цієї точки виражається вектором, який
за модулем дорівнює подвійній площі трикутника ОАВ і напрямлений
перпендикулярно до площини цього трикутника.
F

Q

P

z
B
z
M
O
M

 F

r

A b
O
a
z
Рис. 3.3.1

7. кандидат технічних наук, доцент Ю. А. Отрош
 Черкаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля Національного
університету цивільного захисту України, 2017 49
Проведемо через точку О площину, яка перпендикулярна осі zz
. Щоб
визначити момент Мz сили F

відносно осі, спроектуємо вектор сили на цю
площину та визначимо момент проекції ab відносно точки перетину осі zz
і
цієї площини, тобто точки О. Цей момент чисельно дорівнює подвійній площі
трикутника Oab, а напрям вектора цього моменту перпендикулярний до
площини, тобто співпадає з віссю zz
.
Але Oab є проекцією OAB на площину, яка перпендикулярна до осі.
Площа проекції дорівнює площі фігури, що проектується помноженій на
косинус двогранного кута між цими площинами:

cos OABOab
SS . (6)
Спроектувавши на вісь момент сили відносно точки О та врахувавши
рівність (6), знайдемо
cosOz
MM  . (7)
Момент сили відносно осі дорівнює проекції на цю вісь моменту сили
відносно будь-якої точки, яка лежить на цій осі.
Аналітичні вирази моментів сили відносно осей
координат. При розв’язку задач часто буває необхідним визначати моменти
сил відносно осей координат. Ці вирази легко отримати з властивостей
векторного добутку, якщо подати його як визначник третього порядку:
 
ZYX
zyx
kji
FrMO


 . (8)
Розклавши цей визначник по елементам першого рядку, знайдемо:
     kyXxYjxZzXizYyZMO

 , (9)
де X,Y і Z – проекції сил F

на відповідні осі координат.

8. Технічна механіка. Конспект лекцій. Статика.
 Кафедра будівельних конструкцій, 2017 50
Таким чином маємо








.
;
;
yXxYM
xZzXM
zYyZM
z
y
x
(10)
Модуль моменту відносно точки, в такому випадку, визначатиметься так
222
zyxO
MMMM  . (11)
4 ТЕОРЕМА ВАРІНЬОНА ПРО МОМЕНТ РІВНОДІЙНОЇ
Якщо на тіло діє система збіжних сил, то для даної системи завжди
можна знайти рівнодійну. І навпаки, будь-яку силу можна розкласти на
складові. Якщо така сила має обертальний ефект, то важливо знати чому буде
дорівнювати момент такої сили. Доведемо теорему, яка носить ім’я
французького вченого П.Варіньона (1654 – 1722). Момент рівнодійної плоскої
системи збіжних сил відносно будь-якого центру дорівнює алгебраїчній сумі
моментів сил, що додаються, відносно того самого центру.
Розглянемо систему сил n
FFF

,...,, 21
, які
збігаються в точці А. Оберемо довільний центр О і
проведемо через нього вісь Ох, яка перпендикулярна
до прямої ОА; додатній напрям осі Ох виберемо так,
щоб знак проекції будь-якої із сил на цю вісь
співпадав із знаком її моменту відносно центру О.
Для доведення цієї теореми знайдемо відповідні вирази моментів
 1
FMO

,  2
FMO

, .... За формулою (3.3.2)   1
21 OABO
SFM 


. Але, як видно з
рисунку, xOAB
FOAObOAS 11
2 
, де x
F1
- проекція сили F1 на вісь Ох; таким
чином,
  xO
FOAFM 11


. (12)
x
b B
1F

xF1

R

O A 2F

nF

Рис. 3.4.1

9. кандидат технічних наук, доцент Ю. А. Отрош
 Черкаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля Національного
університету цивільного захисту України, 2017 51
Аналогічно обчислюються моменти всіх інших сил. При цьому формула
(3.4.1) справедлива і для випадку, коли сила F

проходить нижче лінії ОА;
момент тоді буде від’ємним, оскільки від’ємною буде проекція сили Fx.
Позначимо рівнодійну сил n
FFF

,...,, 21
через R

, де  k
FR

. Тоді за
теоремою про проекцію суми сил на вісь, отримаємо  kxx
FR . Помножимо
обидві частини цієї рівності на ОА, отримаємо:
   kxx
FOAROA
або
    kOO
FMRM

. (13)
Формула (13) дає математичний вираз теореми Варіньона.
Розв’язування задач статики
Задачі, які розв’язують методами статики можуть бути одного з двох
типів: 1) задачі, в яких відомі (повністю або частково) сили, що діють на тіло
і необхідно знайти, в якому положенні або при яких співвідношеннях між
діючими силами тіло буде знаходитися у рівновазі; 2) задачі, в яких відомо,
що тіло знаходиться у рівновазі (або рухається „за інерцією”), а необхідно
знайти значення сил, які діють на це тіло. Реакції в’язів є величинами наперед
невідомими у всіх задачах статики.
Питання для самоконтролю
1. Сформулюйте загальні умови рівноваги системи збіжних сил.
2. Сформулюйте умови рівноваги системи збіжних сил в
геометричній формі; аналітичній формі.
3. Сформулюйте теорему про три сили.
4. Від чого залежить обертальний ефект дії сили?
5. Що називають площиною дії сили?
6. Що називають плечем сили?
7. Що характеризує обертальний ефект дії сили?

10. Технічна механіка. Конспект лекцій. Статика.
 Кафедра будівельних конструкцій, 2017 52
8. Дайте означення моменту сили відносно точки?
9. Як обчислити модуль моменту сили відносно точки?
10. За яких умов момент сили вважається додатнім, а за яких
від’ємним?
11. Сформулюйте властивості моменту сили відносно точки.
12. Що називають моментом сили відносно осі?
13. Як знайти момент сили відносно осі?
14. Запишіть аналітичні вирази моментів сили відносно кожної з
координатних осей.
15. Як визначити напрям вектора моменту сили відносно точки?
16. Як визначити модуль вектора моменту сили за допомогою
аналітичних виразів.
17. Сформулюйте та доведіть теорему Варіньона про момент
рівнодійної.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Визначити модулі сил 3
F

– натягу тросу ВС і силу P

– найбільшу
можливу вагу вантажу, якщо відомо, що трос АС може витримати натяг, який
не перевищує 15 Н, і в положенні рівноваги кути  = 30 і  = 75.
2. Визначити вагу балки АВ, якщо відомі сили натягу тросів
F1 = 120 Н і F2 = 80 Н. Кути між вертикаллю та тросом АС  = 45, між
вертикаллю та тросом ВС  = 30.
3. Вантаж вагою 60 Н підвішений до кронштейну АВС. Знайти
зусилля в стержнях АВ і ВС, якщо ВС = 40 см, АС = 30 см.
4. Знайти зусилля в стержні АВ кронштейну, якщо відстань
ВС = 50 см, а вантаж, який підвішений у точці В має вагу 65 Н. Кут
АВС =  = 60.

11. кандидат технічних наук, доцент Ю. А. Отрош
 Черкаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля Національного
університету цивільного захисту України, 2017 53
5. Ліхтар підвішений на мотузках AD і CD. Відстань BC = DC =2 м,
AD = 1 м. Знайти сили натягу мотузок, якщо вага ліхтаря 40 Н.
6. Два невагомих стержні АС і ВС з’єднані в точці С і шарнірно
приєднані до підлоги. До шарніру С підвішений вантаж. Визначити вагу
вантажу та реакцію стержня ВС, якщо зусилля в стержні АС дорівнює 43 Н,
кути  = 60,  = 30. Задачу розв’язати геометричним та аналітичним
методами.
А

2F

 В
С 3F

P

До зад 1.
С
1F

  2F

А
P

В
До зад. 2
С В
А
До зад. 3, 4.
В С
А D
До зад. 5.
С
А   В
До зад 6