Метод найменших квадратів для вирівнювання геодезичних мереж

1. Лекція № 1
Суть задачі вирівнювання декількох
виміряних величин.
Метод найменших квадратів.
МЕТОДИ ВИРІВНЮВАННЯ БАГАТЬОХ
ВИМІРЯНИХ ВЕЛИЧИН
ЗМ1 ПАРАМЕТРИЧНИЙ МЕТОД
ВИРІВНЮВАННЯ

2. 1. Сутність задачі зрівнювання результатів вимірів у геодезії
Ілюстрація нев’язок при вимірюванні трьох кутів трикутника
Вираз γ = 180° – α – β справедливий тільки для дійсних значень кутів α і β
трикутника. Але, оскільки ці величини вимірів містять похибки, то вони
можуть привести або до їх часткової компенсації, або до грубої похибки.
Виникає ситуація невизначеності, яку вирішують шляхом надлишкових вимірів.
Виникає завдання знаходження поправок до виміряних величин, які б
мінімізували сумарну похибку вимірів, тобто зрівнювання виміряних величин.

3. Зрівнювання геодезичних вимірів це сукупність математичних операцій,
що виконуються для набуття найімовірнішого значення геодезичних
координат точок земної поверхні і для оцінки точності результатів вимірів.
Зрівнювання (врівноваження) проводиться шляхом визначення поправок до
виміряних величин (кутів, напрямків, довжин ліній, перевищень тощо).
Врівноважене значення для величини Xi записується
де: xi – виміряне значення величини Xi, vi – поправка до результату
вимірювання
Зрівнювання геодезичних побудов виконується в тих випадках, коли:
1) відомі вихідні дані, яких вистачає для обчислення параметрів побудови,
що визначаються;
2) виконано n вимірів, причому n>k (k – число необхідних вимірів);
3) серед виміряних n елементів побудови є k величин, які необхідні і достатні
для визначення шуканих параметрів.
nivx ii ,1, 

4. Зрівнювання поділяють на:
строге (для обробки високоточних і точних геодезичних вимірювань) -
поправки зазвичай визначають за допомогою методу найменших квадратів
так, щоб сума квадратів всіх поправок була найменшою. Поправки такого
зрівнювання мають найімовірніші (оптимальні) значення.
спрощене (нестроге) - всі геометричні умови виконуються, а
найімовірніше значення величин і оцінку точності набувають приблизно.
Застосування методу найменших квадратів до зрівнювання виміряних
величин справедливо тільки у тому випадку, коли похибки їх мають
випадковий характер!
Зрівнювання забезпечує:
1) однозначне визначення параметрів геодезичної побудови;
2) підвищення точності визначення елементів і параметрів побудови.

5. Як при строгому, так і при спрощеному зрівнюванні головним чином
використовуються два способи:
1) спосіб умовних вимірів - поправки відшукують безпосередньо до
виміряних величин
2) спосіб посередніх вимірів - поправки відшукують до функцій
виміряних величин (наприклад до координат при виміряних кутах).
Будь-який спосіб зрівнювання складається з наступних основних етапів:
- попередні обчислення;
- складання умовних рівнянь або рівнянь похибок;
- вирішення нормальних рівнянь;
- оцінка точності виміряних і зрівняних величин.

6. Засоби вирішення систем нормальних рівнянь
1) За допомогою обчислювального блоку
у середовищі MathCAD
2) За допомогою функцій роботи з
матрицями у середовищі Excel
- матричний запис системи рівнянь,
де A – матриця коефіцієнтів рівнянь,
В – матриця вільних членів,
Х – матриця невідомих
Для знаходження вектора Х необхідно:
1) Ввести в діапазони комірок матрицю А
і вектор В;
2) Знайти з допомогою функції МОБР(масив)
обернену матрицю А-1 ;
3) За допомогою функції МУМНОЖ(масив1;масив2)
знайти добуток матрицю А-1 на вектор В.
Результат буде шуканим вектором Х.
3) За допомогою спеціальних програм і модулів , наприклад CredoDAT , Geonics,
StarNet, IndorSurvey тощо.

7. 2. Два підходи до розв’язання задачі зрівнювання геодезичних побудов
Багаторазові, у тому числі і надлишкові виміри в задачах
зрівнювання, формально представляються у вигляді системи рівнянь,
яку можна розглядати як модель серії вимірів.
Як правило, процеси вимірів описуються невизначеними
системами рівнянь:
- недовизначеною системою – система, число рівнянь в якій менше
числа невідомих;
- перевизначеною системою – система, число рівнянь якої більше
числа невідомих.

8. β1
β2
β3
Приклади систем рівнянь
1) недовизначена система
2) перевизначена система
де β – виміряні кути, V – поправки до вимірів.
де W – нев'язка в трикутнику
Отримане рівняння містить три невідомих V1, V2, V3 і один вільний член W.
Таке рівняння має безліч рішень, тобто система рівнянь, що складається з
одного рівняння є недовизначеною.
Задано систему трьох нівелірних ходів з однією вузловою точкою С, висота якої
Н – невідома, Н1, Н2, Н3 – висоти реперів, h1, h2, h3 – виміряні перевищення.
Система трьох рівнянь з
одним невідомим є
перевизначеною і також
має безліч рішень.

9. 3. Сутність і обґрунтування методу найменших квадратів, його
використання у зрівнюванні геодезичних побудов.
Метод вирішення невизначених систем рівнянь був запропонований на
початку XIX ст. німецьким математиком і геодезистом К.Ф. Гауссом і
французьким математиком А.М. Лежандром, отримавши отримав назву
методу найменших квадратів (МНК).
МНК - один з методів регресійного аналізу, призначений для оцінки
невідомих величин за результатами вимірів, що містять випадкові похибки.
Він застосовується також для наближеного представлення заданої функції
іншими (простішими) функціями.

10. Суть вирішення невизначених систем рівнянь, що описують деяку
геодезичну побудову полягає в тому, що на них накладаються умови
мінімізації
для рівноточних вимірів
для нерівноточних вимірів
де p – ваги вимірів,
v – поправка вимірів
умова методу найменших квадратів у
матричному вигляді

11. Обґрунтування використання МНК у зрівнюванні
геодезичних побудов (Ф.Р. Гельмерт, XIX ст.)
1. Якщо результати вимірів містять лише випадкові похибки, що
підкоряються нормальному закону розподілу, то значення невідомих,
отримані методом найменших квадратів будуть найімовірнішими
значеннями невідомих і володітимуть найменшою середньою квадратичною
похибкою.
2. Якщо результати вимірів містять похибки, що володіють тільки
властивостями компенсації, значення невідомих, хоча і матимуть найбільшу
вагу, але не можуть вважатися за найімовірніші значення невідомих.
3. Якщо результати вимірів окрім випадкових, суттєво обтяжені
систематичними похибками, то зрівнювання вимірів методом найменших
квадратів дасть, як завжди однозначне розв'язання, але знайдені значення не
будуть найімовірнішими і не володітимуть найбільшою вагою.

12. На сьогодні існує велика різноманітність способів зрівнювання, які як
правило є модифікаціями параметричного і корелатного: комбінований,
рекурентний, параметричний спосіб із залежними змінними, корелатний спосіб з
додатковими параметрами, спосіб послідовних наближень та інші.
Вирівнювання геодезичної мережі параметричним та корелатним чи
похідними методами приводить завжди до однакових результатів!
Вибір способу зрівнювання обґрунтовується найменшим об'ємом
обчислень, необхідним для його реалізації.
Невизначеність систем рівнянь, що описують процеси вимірів, а
також роз'яснення Гельмерта зумовили появу двох основних способів
зрівнювання геодезичних побудов, які найчастіше застосовуються у
геодезичній практиці:
1) параметричний спосіб, що застосовується у випадку, якщо невизначеність
системи рівнянь носить перевизначений характер;
2) корелатний спосіб (спосіб зрівнювання виміряних величин, зв'язаних деякими
умовами), якщо система рівнянь є недовизначеною.

13. А
Е
В
С
D
1
2
3
4
5
6
7
8
Схема нівелірної мережі
Абсолютна висота точки А відома і
становить НА=329,427м
№
ходу
Сума перевищень
по ходу (в м)
Довжина ходу,
км
1 16,567 10
2 43,979 31
3 20,877 39
4 29,317 22
5 60,525 40
6 52,087 28
7 8,129 25
8 12,723 9
Початкові дані