1. Основи теорії напруженого стану в точці.
Дослідження законів зміни напруги в точці тіла необхідно для вирішення більш складних
завдань, зокрема, для розрахунків на міцність стрижнів при загальному випадку навантаження.
Будь-яке тверде тіло, що деформується, представимо у вигляді нескінченної сукупності частинок
(точок тіла). В процесі деформування зовнішні сили прагнуть змінити взаємне розташування
частинок тіла, а виникаючі при цьому внутрішні зусилля (напруження) перешкоджають
зовнішньому впливу. Виходячи з цих уявлень, напруження є механічною мірою взаємодії
частинок тіла при його навантаженні.
Відповідно до гіпотези суцільності, кожну окремо взяту частинку оточують у всіх напрямках
безліч інших частинок. І з кожною з них виділена частинка може взаємодіяти різним чином, тобто,
для однієї і тієї ж точки (частинки тіла) величина напруження різна в залежності від орієнтації
площин взаємодії з сусідніми точками. Сукупність напруженнь, що виникають у великій
кількості площин, що проходять через дану точку, визначає напруженний стан в точці
навантаженого тіла (визначення 1).
рис. 1
Розглянемо стрижень, що навантажений довільною
системою сил (рис. 1). В деякій точці А введемо декартову
систему координат xуz . В околиці точки А виберемо досить
малу область, в якій напружений стан можна розглядати як
однорідний.
рис. 2
Досліджуємо напружений стан в точці, для чого в її околиці
трьома парами площин, паралельних координатним площинам,
виділяємо елемент у вигляді нескінченно малого паралелепіпеда
з гранями (рис. 2). При зменшенні розмірів граней паралелепіпед
стягується в точку.
Згідно з методом перерізів виділений паралелепіпед повинен
перебувати в рівновазі під дією внутрішніх сил, прикладених до
його граней, які замінюють дію на нього відкинутих частин тіла.
Ці внутрішні сили називаються повними напруженнями
zyx
ppp ,, (див. рис. 2), де
індекси zyx ,, позначають нормаль до площини, на якій діє відповідне повне напруження. У
якості нормалі приймається одиничний вектор, ортогональний до площини і спрямований з
площини останньої. Зважаючи на малість площинок dzdydx ,, будемо вважати, що повні
напруження рівномірно розподілені по кожній грані паралелепіпеда.
рис. 3
Спроектувавши
zyx
ppp ,, на напрямки координатних
осей (рис. 3), позначимо нормальні до площини проекції i
(нормальні напруження), а проекції, що лежать в площині граней
паралелепіпеда ij (дотичні напруження).
Індекси у напружень ji, означають відповідно напрямок дії даного напруження і нормаль до
площини, де прикладена ця компонента.
Таким чином, на гранях елементарного паралелепіпеда в загальному випадку діє 9 компонент
напружень (рис. 4). Напружений стан в точці описується тензором другого рангу T :
2.
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
. (1)
рис. 4
Кожна компонента тензора напружень - вектор, який характеризується величиною і
напрямком (нормаллю до площини, де діє дане напруження). Для компонент напружень вводяться
правила знаків. Нормальні напруження вважаються позитивними (спрямованими від грані
паралелепіпеда) в разі розтягування і негативними (спрямованими до перетину), в разі стискання.
Знак дотичних напружень встановлюється щодо відповідності напрямів дії напружень i на
площини з нормаллю j з напрямком координатних осей. Так, якщо напрямок нормалі до площадки
j збігається з позитивним напрямком координатної осі, то напруження ij вважається позитивним,
коли його напрямок збігається з позитивним напрямком відповідної координатної осі. Дотичні
напруження вважаються позитивними і в разі, якщо обидва напрямки збігаються з негативними
напрямками відповідних координатних осей. В інших випадках дотичні напруження вважаються
негативними. На рис. 4 показані позитивні напрямки компонент тензора напруженого стану в
точці.
Слід зазначити, що не всі з дев'яти компонент тензора T (1) будуть незалежними.
Врівноважуючи елементарний паралелепіпед (див. рис. 4.), запишемо суми моментів сил щодо
осей:
0 xiM ; 0 dydxdzdxdzdy yzzy ; yzzy ;
0 yiM ; 0 dydxdzdydzdx xzzx ; xzzx ; (2)
0 ziM ; 0 dzdxdydydzdx xyyx ; xyyx .
Залежності (2) представляють закон парності дотичних напружень, який дозволяє скоротити
кількість незалежних компонент тензора T і привести його матрицю (1) до симетричного виду.
