Dokumen tersebut membahas masalah-masalah yang terkait dengan data deret waktu, termasuk adanya time lags, korelasi serial, notasi data deret waktu, transformasi data melalui lag dan pembedaan, autokorelasi, stasioneritas, deteksi trend, proses random walk, dan regresi palsu.

1. Ekonometrika
Program Studi Statistika, semester Ganjil 2015/2016
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2. Masalah Teknis Sehubungan dengan Data
Deret Waktu
 Adanya time lags  beda waktu
 Korelasi antara variabel yang berbeda waktu (serial
correlation, a.k.a. autocorrelation  korelasi dengan
dirinya sendiri)

3.  Notasi bagi data deret waktu:
 Yt : Variabel Y pada waktu t.
 Y1,…,YT , T adalah lama waktu diamatinya deret
waktu dari peubah acak Y
 Pengamatan dilakukan pada selang waktu yang
teratur (bulanan, harian, tahunan dst) tanpa adanya
data hilang.
Data Deret Waktu Dan Korelasi
Serial

4. Transformasi Data Deret Waktu: lag,
pembedaan (difference)
 Lag pertama dari suatu deret waktu Yt , t = 1, … T
adalah Yt-1, t = 2, …, T
 Lag ke j dari suatu deret waktu Yt , t = 1, … T adalah
Yt-j , t = j+1, …, T
 Pembedaan pertama (first difference) dari suatu
deret waktu Yt adalah deret waktu baru yang
merupakan selisih antara Yt dengan lag pertamanya
Yt-1: ∆Yt =Yt -Yt-1

5. 5
Contoh: Inflasi di US berdasarkan CPI, lag
pertama dan pembeda pertama

6. Autokorelasi
 Korelasi antara suatu deret waktu dengan lag ke-j dari
deret tersebut
 Disebut pula dengan korelasi serial (serial correlation).
 Autokorelasi pertama dari Yt adalah corr(Yt,Yt–1)
 Autokovarians pertama dari Yt adalah cov(Yt,Yt–1)
 Secara fungsional (populasi):
𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−1 =
𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−1
𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡−1
= 𝜌1

7. Autokorelasi
 Autokorelasi sampel pada lag pertama:
𝜌1 =
𝑡=2
𝑇
𝑌𝑡 − 𝑌2,𝑇 𝑌𝑡−1 − 𝑌1,𝑇−1
𝑡=1
𝑇
𝑌𝑡 − 𝑌 2
 Autokorelasi sampel pada lag ke – j:
𝜌𝑗 =
𝑡=𝑗+1
𝑇
𝑌𝑡 − 𝑌
𝑗+1,𝑇 𝑌𝑡−𝑗 − 𝑌1,𝑇−𝑗
𝑡=1
𝑇
𝑌𝑡 − 𝑌 2

8. Autokorelasi
 Perhitungan autokorelasi bermanfaat untuk
menentukan metode mana yang sesuai untuk
peramalan
 Dari materi sebelumnya, peramalan dengan asumsi
trend bersifat deterministik dapat dilakukan jika
sisaan model tidak menunjukkan adanya
autokorelasi.

9. Stasioneritas
 Stasionaritas adalah kunci supaya situasi di masa
lalu tetap relevan dengan situasi di masa kini
maupun masa depan
 Suatu deret waktu Yt dikatakan stasioner jika sifat
deret tersebut (secara peluang) tidak berubah
seiring waktu.
 Sifat Y1, …, YT sama dengan Y1+s , …, YT+s , untuk
berapapun perbedaan waktu s

10. Peramalan: Terminologi dan Notasi
 Nilai prediksi (Predicted values) menggunakan rentang waktu
yang berada di dalam sampel (“in-sample”)
 Nilai ramalan (Forecasts value) menggunakan rentang waktu
masa mendatang, di luar sampel (“out-of-sample”)
 Notasi:
 YT+1|T : ramalan bagi YT+1 berdasarkan YT,YT–1,…,
menggunakan parameter populasi (yang tidak diketahui)
 1|
ˆ
T T
Y  : ramalan bagi YT+1 berdasarkan YT,YT–1,…,
menggunakan penduga koefisien. Pendugaan dilakukan
menggunakan data s/d waktu ke-T.

11. 11
Kesalahan Peramalan (Forecast errors)
Kesalahan peramalan satu periode ke depan didefinisikan
sebagai
Kesalahan Peramalan = YT+1 – 1|
ˆ
T T
Y 
Perbedaan antara kesalahan peramalan dan sisaan adalah:
 Sisaan diperoleh dari prediksi “in-sample”
 Kesalahan peramalan diperoleh dari peramalan “out-of-
sample” – nilai YT+1 tidak digunakan pada pendugaan
koefisien model

12. 12
Non Stationarity - Trends
 Situasi paling ideal adalah ketika data bersifat stasioner.
 Pada prakteknya lebih sering dijumpai sifat data yang tidak
stasioner
 Sifat non stationarity perlu dideteksi dan diperbaiki terlebih
dahulu

13. 13
Trend Deterministik dan Stokastik
 Trend adalah sifat kecenderungan atau pergerakan jangka
panjang pada data
 Trend determinisitik adalah fungsi tidak acak (a nonrandom
function) dari waktu (mis: yt = t, atau yt = t2
).
 Trend stokastik berupa fungsi dari waktu yang bersifat
random dan berubah-ubah seiring waktu
 Contoh dari trend stokastik adalah proses random walk:
Yt = Yt–1 + ut, di mana ut mempunyai autokorelasi serial
Jika Yt mengikuti proses random walk, maka nilai Y pada
waktu besok adalah nilai Y hari ini, ditambah unsur galat acak

14. 14
Trend Deterministik dan Stokastik
Dua sifat proses random walk:
(i) YT+h|T = YT
 Prediksi terbaik dari nilai Y di masa depan adalah nilai Y
hari ini
(ii) var(YT+h|T – YT) = 2
u
h
 Ragam dari kesalahan peramalan meningkat (secara
linier) seiring waktu.
 Semakin ke depan peramalan yang dilakukan, semakin
besar sifat ketidakpastian peramalan.

15. 15
Trend Deterministik dan Stokastik
A random walk with drift adalah
Yt = 0 +Yt–1 + ut, di mana ut mempunyai autokorelasi
serial
0 adalah parameter “drift”: Jika 0  0, maka Yt adalah
proses
random walk dengan trend linier. Berdasarkan model ini
peramalan h waktu ke dapan adalah:
YT+h|T = 0h + YT

16. Random Walk dengan Pergeseran (drift)

17. 17
Trend Deterministik dan Stokastik
Jika Yt mempunyai trend dan mengikuti proses random walk,
maka Yt akan bersifat stasioner dan analisis lanjutan dapat
menggunakan Yt
Beberapa fakta:
 Proses random walk berhubungan dengan AR (1)
 Pengujian koefisien regresi secara parsial bagi model AR
(1) dapat dilakukan untuk mendeteksi proses random walk.

18. 18
Stochastic trends and unit
autoregressive roots
Random walk (dengan pergeseran/drift):
Yt = 0 + Yt–1 + ut
AR(1): Yt = 0 + 1Yt–1 + ut
Hubungan antara random walk dan AR (1)
 Random walk adalah AR(1) dengan 1 = 1.
 Kasus khusus 1 = 1 disebut unit root.
 Ketika 1 = 1, model AR(1) dapat dirubah menjadi:
Yt = 0 + ut
Deret hasil pembedaan (differentiated series) sebagai
deret yang stasioner di sekitar 0

19. 19
Stochastic trends and unit
autoregressive roots
Random walk (dengan pergeseran/drift):
Yt = 0 + Yt–1 + ut
AR(1): Yt = 0 + 1Yt–1 + ut
Hubungan antara random walk dan AR (1)
Random walk adalah AR(1) dengan 1 = 1.
Kasus khusus 1 = 1 disebut unit root.
Ketika 1 = 1, model AR(1) dapat dirubah
menjadi:
Yt = 0 + ut
Deret hasil pembedaan (differentiated series)
sebagai
deret yang stasioner di sekitar 0

20. 20
2. Masalah apa yang disebabkan
oleh trend?
1. Penduga koefisien AR bersifat bias.
2. Statistik t yang diperoleh tidak mengikuti sebaran normal.
3. Jika Y dan X sama-sama memiliki trend dalam bentuk
random walk maka keduanya terlihat saling berhubungan
linier padahal sebenarnya tidak  “spurious regressions.”

21. 21
3. Bagaimana Mendeteksi Adanya Trend?
1. Membuat tebaran data seiring waktu
2. Memanfaatkan uji unit root Dickey-Fuller: uji untuk men
berbasis regresi.
Uji Dickey-Fuller test untuk AR(1)
Yt = 0 + 1Yt–1 + ut
atau
Yt = 0 + (1 – 1)Yt–1 + ut = 0 +Yt–1 + ut
H0:  = 0 (yang berarti bahwa 1 = 1 random walk)
H1:  < 0 ( < 0 berarti bahwa Yt bersifat stasioner
 bukan random walk)

22. 22
Uji DF pada AR(1)
Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji t (uji parsial
koefisien regresi  = 0)
 Akan tetapi di bawah H0, statistik uji t ini tidak berdistribusi t
(tidak seperti pada analisis regresi)
 Statistik uji t pada uji ini dibandingkan dengan nilai kritis tabel
Dickey-Fuller.

23. 23
Nilai kritis Table DF
(a) Yt = 0 + Yt–1 + ut (hanya intersep)
(b) Yt = 0 + t + Yt–1 + ut (intersep dan trend waktu)
Tolak H0 jika statistik t DF lebih kecil daripada nilai kritis yang
dispesifikasikan
Tolak H0 berarti bahwa deret waktu mengikuti proses AR yang
stasioner.

24. Integrated Stochastic Processes
Yt = Yt–1 + ut
 Proses random walk tanpa pergeseran adalah
proses yang tidak stasioner
 Akan tetapi pembedaan pertama dari proses
tersebut bersifat stasioner (di sekitar nol)
 Proses tersebut dinyatakan sebagai proses
terintegrasi berorde 1 (integrated of order 1)
Yt =Yt – Yt–1 = ut

25. Random Walk tanpa Pergeseran (no drift)

26. Integrated Stochastic Processes
 d
 Suatu proses yang harus mengalami pembedaan
sampai dengan pembedaan ke – d untuk mencapai
stasioner, disebut dengan proses terintegrasi
berorde d
Yt ~ I(d)
 Proses stasioner dinyatakan sebagai proses
terintegrasi berorde 0
Yt ~ I(0)

27. Sifat – sifat Deret Terintegrasi
 Kombinasi linier dari deret stasioner dan deret
terintegrasi berorde satu (tidak stasioner) adalah
deret terintegrasi berorde satu (tidak stasioner).
 Fungsi linier dari suatu deret akan mempunyai sifat
yang sama dengan deret tersebut.
 Jika deret asal stasioner maka fungsi liniernya juga
stasioner
 Jika deret asal terintegrasi dengan orde d (tidak
stasioner) maka fungsi liniernya adalah deret yang juga
terintegrasi dengan orde d (tidak stasioner).

28. Sifat – sifat Deret Terintegrasi
 Kombinasi linier dari dua deret yang tidak stasioner
menghasilkan deret yang juga tidak stasioner. Deret
tersebut merupakan deret terintegrasi dengan orde
tertinggi dari dua deret asal.
 Jika kedua deret asal mempunyai orde integrasi
yang sama (d) maka kombinasi dari keduanya dapat
saja mempunyai orde integrasi yang lebih kecil (d* <
d)
 Ketika d*= 0, maka kedua deret tersebut mengalami
proses kointegrasi

29. Spurious Regression
Yt = Yt–1 + ut
 Diberikan dua deret berikut:
Xt = Xt–1 + ut
 Keduanya adalah deret yang tidak stasioner
(terintegrasi dengan orde 1), masing – masing
mempunyai stochastic trend
 Regresi Yt terhadap Xt akan menghasilkan model
dengan R2 yang tinggi, meskipun keduanya tidak
berkorelasi, atau tidak berhubungan secara terapan.

30. Plot deret waktu variabel X
0
10
20
30
40
50
60
70
1980 1990 2000 2010 2020 2030
X

31. Plot Deret Waktu Variabel Y
-10
0
10
20
30
40
50
1980 1990 2000 2010 2020 2030
Y

32. Regresi Yt terhadap Xt
Model 1: OLS, using observations 1980:01-2038:04 (T = 700)
Dependent variable: Y
coefficient std. error t-ratio p-value
---------------------------------------------------------
const -7.33993 0.870523 -8.432 1.95e-016 ***
X 0.837184 0.0205007 40.84 3.57e-187 ***
Mean dependent var 25.67996 S.D. dependent var 15.69695
Sum squared resid 50817.50 S.E. of regression 8.532552
R-squared 0.704943 Adjusted R-squared 0.704521
F(1, 698) 1667.648 P-value(F) 3.6e-187
Log-likelihood -2492.977 Akaike criterion 4989.955
Schwarz criterion 4999.057 Hannan-Quinn 4993.473
rho 0.989723 Durbin-Watson 0.022227

33. Spurious Regression
 Fenomena tersebut adalah spurious regression atau
regresi yang tidak masuk akal (regresi lancung).
 Jika dilakukan pembedaan pertama terhadap
keduanya, maka akan dihasilkan dua deret yang
stasioner
Yt dan Xt
 Regresi dari Yt terhadap Xt akan menghasilkan
R2 menuju nol

34. Plot deret waktu X
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
1980 1990 2000 2010 2020 2030
d_X

35. Plot deret waktu Y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1980 1990 2000 2010 2020 2030
d_Y

36. Regresi Y terhadap X
Model 2: OLS, using observations 1980:02-2038:04 (T = 699)
Dependent variable: d_Y
coefficient std. error t-ratio p-value
-------------------------------------------------------
const 0.0469393 0.0375860 1.249 0.2121
d_X 0.0279278 0.0381836 0.7314 0.4648
Mean dependent var 0.048201 S.D. dependent var 0.992343
Sum squared resid 686.8249 S.E. of regression 0.992674
R-squared 0.000767 Adjusted R-squared -0.000667
F(1, 697) 0.534957 P-value(F) 0.464776
Log-likelihood -985.6969 Akaike criterion 1975.394
Schwarz criterion 1984.493 Hannan-Quinn 1978.911
rho 0.036719 Durbin-Watson 1.924188

37. Pendeteksian Stasioneritas
 Secara grafis  Dengan melihat plot deret waktu
 Adanya pola naik atau turun adalah indikator bahwa
deret tidak stasioner
 Rata – rata mengalami perubahan seiring waktu

38. Plot deret waktu dari GDP UK (setiap
kuartal)
30
40
50
60
70
80
90
100
110
1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
GDP

39. Pendeteksian Stasioneritas
 Autokorelasi adalah fungsi dari time lag atau
perbedaan waktu antar dua pengamatan
 Fungsi autokorelasi adalah autokorelasi yang
dihitung untuk beberapa time lag, k = 0, 1, 2, …
 Plot antara autokorelasi dan time lag disebut dengan
korrelogram.

40. Pendeteksian Stasioneritas
 Autokorelasi sampel pada lag ke – k dihitung
berdasarkan:
  
 











 T
t
t
T
k
t
k
T
j
t
T
k
t
k
Y
Y
Y
Y
Y
Y
1
2
1
,
1
,
1
̂

41. Pendeteksian Stasioneritas
 Proses dikatakan stasioner jika pengamatan pada
satu periode waktu tidak berkorelasi dengan
pengamatan pada periode yang lain
 Autokorelasi bernilai 1 pada time lag 0 (korelasi
dengan dirinya sendiri) dan tidak nyata pada time
lag yang lainnya
 Keberartian autokorelasi sampel pada time lag tertentu
diiuji berdasarkan sifat:
 di mana T adalah total banyaknya pengamatan






T
N
k
1
,
0
~
̂

42. Pendeteksian Stasioneritas
 Selang kepercayaan 95% bagi autokorelasi sampel
adalah:
T
k
96
.
1
ˆ 

 Autokorelasi pada time lag ke – k dikatakan tidak
nyata jika masih berada pada selang tersebut.

43. Korrelogram data GDP UK
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20
lag
ACF for GDP
+- 1.96/T^0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20
lag
PACF for GDP
+- 1.96/T^0.5

44. Pendeteksian Stasioneritas
 Selain dari selang kepercayaan, dapat pula dilakukan uji
secara serempak untuk autokorelasi sampai dengan time
lag maksimum (m) uji Ljung Box
 Uji tersebut juga dipakai untuk mendeteksi apakah
sisaan suatu model sudah bersifat acak  white noise
0
satu
salah
minimal
:
0
...
:
0
1
0




j
k
H
H



 Statistik uji yang digunakan:
 












m
k
m
k
k
T
T
T
LB
1
2
2
~
ˆ
2 


45. Autocorrelation function for GDP
LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]
1 0.9809 *** 0.9809 *** 171.2683 [0.000]
2 0.9615 *** -0.0149 336.8009 [0.000]
3 0.9422 *** -0.0099 496.6655 [0.000]
4 0.9224 *** -0.0223 650.7744 [0.000]
5 0.9028 *** -0.0042 799.2773 [0.000]
6 0.8833 *** -0.0089 942.2665 [0.000]
7 0.8637 *** -0.0099 1079.8210 [0.000]
8 0.8447 *** 0.0015 1212.1603 [0.000]
9 0.8261 *** 0.0008 1339.4887 [0.000]
10 0.8074 *** -0.0113 1461.8645 [0.000]
11 0.7885 *** -0.0163 1579.2945 [0.000]
12 0.7699 *** -0.0026 1691.9425 [0.000]
13 0.7517 *** -0.0008 1799.9862 [0.000]
14 0.7330 *** -0.0234 1903.3570 [0.000]
15 0.7146 *** -0.0033 2002.2105 [0.000]
16 0.6960 *** -0.0150 2096.5785 [0.000]
17 0.6779 *** 0.0014 2186.6583 [0.000]
18 0.6604 *** 0.0079 2272.7152 [0.000]
19 0.6438 *** 0.0105 2355.0212 [0.000]
20 0.6278 *** 0.0048 2433.7817 [0.000]
21 0.6124 *** 0.0069 2509.2167 [0.000]
22 0.5971 *** -0.0072 2581.4080 [0.000]

46. Pendeteksian Stasioneritas
 Dapat pula dilakukan dengan uji unit root  Uji Dickey
Fuller
 Contoh pada data GDP UK (yang tidak stasioner)
 Pengujian dilakukan dengan asumsi bahwa deret
tersebut adalah random walk tanpa pergeseren (drift ) 
model dengan trend untuk time lag 1 tanpa intersep
Yt = β1Yt–1 + ut

47. Uji DF pada data GDP UK
Dickey-Fuller test for GDP
sample size 174
unit-root null hypothesis: a = 1
test without constant
model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + e
1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.045
estimated value of (a - 1): 0.00585119
test statistic: tau_nc(1) = 8.02815
p-value 1
 H0 tidak dapat ditolak, yang berarti bahwa deret tersebut
mempunyai unit root atau random walk  tidak stasioner

48. Transformasi bagi Nonstationary Time Series
 Jika deret waktu mempunyai unit root (tidak stasioner)
maka pembeda pertamanya akan bersifat stasioner
 Jika ditemui deret waktu dengan sifat tersebut
transformasi supaya stasioner  pembedaan pertama

49. Plot deret Waktu Bagi Pembedaan Pertama
GDP UK
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
d_GDP

50. Kointegrasi
 Regresi yang diterapkan pada dua deret yang tidak
stasioner (X maupun Y) dapat menghasilkan spurious
regression
 Misalkan masing – masing deret mempunyai unit root
atau bersifat terintegrasi pada ordo 1  I(1)
 Galat (ut ) regresi Yt terhadap Xt kombinasi linier dari dua
deret I(1).
 Orde integrasi dari galat ≤ 1
 Jika dihasilkan galat yang bersifat I(0) (stasioner) maka
kedua deret tersebut dikatakan ber – kointegrasi
 Regresi yang dihasilkan bukan lagi spurious regression

51. Kointegrasi
 Kointegrasi terjadi jika dua deret tersebut memang
mempunyai hubungan fungsional secara terapan
 Kecenderungan/trend yang terjadi pada deret Xt mempunyai
pola yang sama dengan yang terjadi pada deret Yt
 Kombinasi linier dari deret – deret dengan sifat tersebut
dapat menghilangkan sifat ketidastasioneritasan

52. Pengujian Kointegrasi
 Pengujian unit root pada setiap deret Yt maupun Xt
 Menduga parameter model regresi Yt terhadap Xt
 Mendapatkan sisaan model
 Menguji unit root pada sisaan
 Dapat disimpulkan bahwa keduanya ber-kointegrasi jika:
 Uji unit root pada deret Yt dan Xt menyimpulkan H0 tidak
ditolak
 Uji unit root pada sisaan menyimpulkan H0 ditolak
 Uji yang digunakan pada masing – masing uji unit root
adalah uji DF
 Secara keseluruhan dengan memberikan koreksi pada
statistik uji, DF uji yang digunakan adalah uji Engle –
Granger (EG).

53. Contoh Kasus Konsumsi dan Pendapatan
 Secara a priori konsumsi memang dipengaruhi oleh
pendapatan
 Akan tetapi jika data yang teramati adalah data deret
waktu (mis: per kuartal) maka setiap deret menunjukkan
sifat stochastic trend  tidak stasioner  I(1)
 Masing – masing deret memiliki trend yang serupa

54. Deret waktu Konsumsi setiap Kuartal
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
1970 1975 1980 1985 1990
PCE

55. Deret waktu Pendapatan setiap Kuartal
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
1970 1975 1980 1985 1990
PCE

56. Regresi dari Konsumsi terhadap
Pendapatan
^PCE = -171 + 0.967*PDI
(22.9) (0.00807)
T = 88, R-squared = 0.994
(standard errors in parentheses)
 Hasil uji unit root bagi Konsumsi (terima H0)
Augmented Dickey-Fuller test for PCE
including one lag of (1-L)PCE (max was 1)
sample size 86
unit-root null hypothesis: a = 1
test without constant
model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e
1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.036
estimated value of (a - 1): 0.00512264
test statistic: tau_nc(1) = 4.87711
asymptotic p-value 1

57. Regresi dari Konsumsi terhadap
Pendapatan
 Hasil uji unit root bagi Pendapatan (terima H0)
Dickey-Fuller test for PDI
sample size 87
unit-root null hypothesis: a = 1
test without constant
model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + e
1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.031
estimated value of (a - 1): 0.00611493
test statistic: tau_nc(1) = 5.7059
p-value 1

58. Regresi dari Konsumsi terhadap
Pendapatan
 Hasil uji unit root bagi sisaan (tolak H0)
Augmented Dickey-Fuller test for uhat2
including one lag of (1-L)uhat2 (max was 1)
sample size 86
unit-root null hypothesis: a = 1
test without constant
model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e
1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.019
estimated value of (a - 1): -0.220462
test statistic: tau_nc(1) = -2.82347
asymptotic p-value 0.004621
 Model yang didapatkan bukan spurious regression