رن
Uploaded byرشاد نجيب
DOC, PDF208,318 views

تمارين3متوسط رياضيات ف2

المستند يتضمن مجموعة متنوعة من تمارين الرياضيات للصف الثالث متوسط، حيث يطرح أسئلة متعددة حول حل المعادلات. تحتوي الوثيقة على خطوات الحلول لبعض المعادلات الرياضية، بالإضافة إلى توضيح المفاهيم الهندسية المتعلقة بالمسائل المطروحة. تعتبر هذه التمارين مفيدة لتعزيز الفهم الرياضي لدى الطلاب.

Embed presentation

Downloaded 27 times
‫حل تمارين كتاب الرياضيات للصف الثالث متوسط ) ف ٢ (‬ ‫تمارين ) ٥ - ١ (‬ ‫س ١:‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫} ٣ {‬ ‫س٢ -٢ = ٠‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫٩ – س٢ = ٠‬ ‫} + ٣ ، - ٣ {‬ ‫)سس + ٣ ( ) س – ١ ( = ٠‬ ‫} ٠ ، {‬ ‫) ٢ س – ٦ (٢ = ٠‬ ‫} - ٣ ،+ ١ {‬ ‫س ) ٢ س – ٣ ( = ٠‬ ‫} + ٣ ، -١ {‬ ‫ب( ٣‬ ‫س ٢: أ ( ٣ س ) س + ١ ( = ٠‬ ‫س٢ – س = ٠‬ ‫س‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫٣ س= ٠‬ ‫) ٣ س – ١ ( = ٠‬ ‫س‬ ‫س= - ١‬ ‫س= ٠‬ ‫٣ س – ١ = ٠‬ ‫= ٠‬ ‫ح = } ٠ ، -١ {‬ ‫٣ س = -١‬ ‫العبارة صحيحة‬ ‫س=‬ ‫ح= } ٠ ، {‬ ‫العبارة خاطئة‬ ‫ج ( س ٢ + ٥ =٠‬ ‫د ( ٥ س ٢ + ٣١ س – ٦ = ٠‬ ‫) ٥‬ ‫س٢ = - ٥‬ ‫س – ٢ ( ) س+ ٣ ( = ٠‬ ‫المعادلة مستحيلة الحل في ح‬ ‫س+ ٣ = ٠‬ ‫٥ س – ٢ = ٠‬ ‫٥‬ ‫العبارة خاطئة‬ ‫س= - ٣‬ ‫س= ٢‬ ‫س=‬ ‫1‬
‫العبارة صحيحة‬ ‫- ٣ {‬ ‫ح= } ،‬ ‫س ٢ – ٣ س – جس = ٠‬ ‫س ٣: ٢‬ ‫) ٣ ( ٢ – ٣ ) ٣ ( – جس = ٠‬ ‫٢‬ ‫× ٩ – ٩ – جس = ٠‬ ‫٢‬ ‫٨١ – ٩ = جس‬ ‫٩ = جس‬ ‫س ٤:‬ ‫٤ س ٢ – ٥١ س + ٩ = ٠‬ ‫٥ س٢ – ٧ س – ٦ = ٠‬ ‫) س – ٧ ( ) س+ ١ (‬ ‫) ٤ س - ٣ ( ) س –‬ ‫) ٥ س+ ٣ ( ) س –‬ ‫= ٠‬ ‫٣ ( = ٠‬ ‫٢ ( = ٠‬ ‫س – ٣ = ٠‬ ‫س‬ ‫٤ س+ ٣ = ٠‬ ‫س‬ ‫٥ س+ ٣ = ٠‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫– ٣ = ٠‬ ‫– ٢ = ٠‬ ‫س= ٢‬ ‫٤ س= - ٣‬ ‫٥ س= - ٣‬ ‫س= - ١‬ ‫س= ٣‬ ‫س= ٢‬ ‫س٢ + ٧ س + ٦ = ٠‬ ‫س=‬ ‫س=‬ ‫) س+ ١ ( ) س+ ٦ ( =‬ ‫ح= } ، ٣ {‬ ‫ح= } ، ٢ {‬ ‫٠‬ ‫س‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫+ ٦ = ٠‬ ‫٣ س + ٥ = ٠‬ ‫٢‬ ‫2‬ ‫س ٥: س = - ١‬ ‫س2 – 94 = 0‬ ‫٣ س٢ = - ٥‬ ‫–8 =0‬ ‫س )س = – ١١ ( = ٠‬ ‫س - ٦‬ ‫س2 = 94‬ ‫س =‬ ‫٢‬ ‫س – 63 = 0‬‫2‬ ‫س -‬ ‫س= ٠‬ ‫س -= 7‬ ‫+‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫س2 = 63‬ ‫١١ = ٠‬ ‫ح =}+7 ، -7‬ ‫س = 6‬ ‫س=‬ ‫{‬ ‫+= } + 6 ، - 6‬ ‫ح‬ ‫١١‬ ‫{ -‬ ‫٢ ح = } ٠ ، ١١ {‬ ‫حل آخر‬ ‫٢‬ ‫٢ س ٢ - ٥٤ = - ٣ س‬ ‫٢ س + ٧ س= ٠‬ ‫س – ٩٤ = ٠‬ ‫٢‬ ‫٢ س + ٣ س = ٥٤‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫س ) ٢ س+ ٧ ( = ٠‬ ‫) س+ ٣ ( ) س – ٣ (‬ ‫٥ س = ٥٤‬ ‫٢‬ ‫٢ س+ ٧‬ ‫س= ٠‬ ‫= ٠‬ ‫س = ٥٤ ÷ ٥‬ ‫٢‬ ‫= ٠‬ ‫س –‬ ‫س+ ٣ = ٠‬ ‫س = ٩‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٣ = ٠‬ ‫س= ± ٣‬ ‫س= - ٧‬ ‫+‬ ‫س‬ ‫س= - ٣‬ ‫ح = } + ٣ ، - ٣{‬ ‫س=‬ ‫= ٣‬ ‫ح= } ٠ ، {‬ ‫ح= } - ٣ ،+ ٣ {‬ ‫2‬
‫س ٢ = - ٣ س + ٠١‬ ‫) س+ ٣ ( – ٤ = ٠‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٣ س – ٠١ = ٠‬ ‫) س+ ٣ (٢ = ٤‬ ‫س ٦:‬ ‫) س+ ٢ ( ) س – ٥ ( =‬ ‫) س+ ٣ ( =± ٢‬ ‫٠‬ ‫س+‬ ‫س+ ٣ = ٢‬ ‫س‬ ‫س+ ٢ = ٠‬ ‫٣ =- ٢‬ ‫– ٥ = ٠‬ ‫س=‬ ‫س= ٢ - ٣‬ ‫س‬ ‫س= - ٢‬ ‫-٢ - ٣‬ ‫= ٥‬ ‫س= - ١‬ ‫ح = } - ٢ ، ٥{‬ ‫س )سس + ٢ ( = ٨‬ ‫= - ٥‬ ‫) س - ٤ ( )سس + ١ ( = ٦‬ ‫ح ٢ + } - س، = ٨{‬ ‫س = ٢ ١ - ٥‬ ‫س٢ – ٣ س – ٤ – ٦ = ٠‬ ‫س٢ + ٢ س – ٨ = ٠‬ ‫س ٢ – ٣ س – ٠١ = ٠‬ ‫) س - ٢ ( ) س+ ٤ ( = ٠‬ ‫) س+ ٢ ( ) س – ٥ ( =‬ ‫س+‬ ‫س - ٢ = ٠‬ ‫٠‬ ‫٤ = ٠‬ ‫س‬ ‫س+ ٢ = ٠‬ ‫س‬ ‫س= ٢‬ ‫– ٥ = ٠‬ ‫تمارين ) ٥ –= ٢ (٤‬ ‫-‬ ‫س= - ٢‬ ‫ح = } ٢ ، - ٤{‬ ‫س ١ : فقرة س = ٥‬ ‫ب‬ ‫ح = } - ٢ ، ٥{‬ ‫س ٢:‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫3=9‬ ‫=3‬ ‫9 = 18‬ ‫=9‬ ‫العبارة هي س2 + 6 س + 9 =‬ ‫العبارة هي س2 - 81 س + 18 =‬ ‫2‬ ‫) س +3(‬ ‫) س – 29 (‬ ‫) (2 =‬ ‫=‬ ‫2‬ ‫6 = 63‬ ‫=6‬ ‫العبارة هي س - 7 س + = ) س‬ ‫2‬ ‫العبارة هي س + 21 س + 63 = )‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫– (‬ ‫2‬ ‫س ٣: س + 6 (‬ ‫س٢ – ٦ س = ٨‬ ‫س٢ – ٦ = ٠‬ ‫س٢ – ٧ س – ٨ = ٠‬ ‫س ٢ – ٦ س + ٣٢ = ٨ + ٣٢‬ ‫س٢ = ٦‬ ‫) س+ ١ ( ) س – ٨ (‬ ‫) س – ٣ ( ٢ = ٧١‬ ‫س= ±‬ ‫= ٠‬ ‫س – ٣ =±‬ ‫س ح= } ، - {‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫س – ٣ = -‬ ‫س -٣ = +‬ ‫– ٨ = ٠‬ ‫س= - +‬ ‫س=+ + ٣‬ ‫س= - ١‬ ‫٣‬ ‫س= ٨‬ ‫ح= }+ + ٣ ، - + ٣ {‬ ‫ح = } - ١ ، ٨{‬ ‫٢ ) س – ٣ ( ٢ = ٢١‬ ‫س٢ – ٦ س – ٨ = ٠‬ ‫) س – ٣ (٢ =‬ ‫س٢ - ٦ س = ٨‬ ‫) س – ٣ (٢ = ٦‬ ‫٢‬ ‫س ٢ - ٦ س + ٣٢ = ٨ + ٣‬ ‫٢ س =٣ ٣ س - ٥‬ ‫– - =±‬ ‫٢‬ ‫) س - ٢ ٣–( ٢ ٤= ٧١ – ٥ = ٠‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س – ٣ = -‬ ‫س +٣ ٣= + = - ٥‬ ‫س‬ ‫س -‬ ‫٢‬ ‫س -س = ± ٤ س = ٥‬ ‫٣ –‬ ‫٢‬ ‫س = س =٣‬ ‫س + + +‬ ‫س - ٣ – +٤ س + ٢ = ٥س - ٣ = -‬ ‫+ ٢‬ ‫س =‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫س= - +‬ ‫٢‬ ‫٣ ٢ + ٢ س + ) (٢ = + ) (‬ ‫س‬ ‫س= -+ ٣‬ ‫س = س+ – ٢ ( ٢ = ٩‬ ‫) + ٣‬ ‫) س + – ( ٢ ٦=س – ٨ = ٠‬ ‫٢ س‬ ‫س – ٢ =± ٣‬ ‫ح٢ = } + + ٣ ، - + ٣ {‬ ‫س – ح س‪٠ = ٤ – Ø‬‬ ‫=‬ ‫٣‬ ‫س‬ ‫س –ح = س + ٣ ، - + ٣ {‬ ‫س - ٢ = } + ٣= ٠‬ ‫٦ +‬ ‫٢‬ ‫) س+ ١ ( ) س – ٤ ( =‬ ‫{ س ٢ س- ٣ ٦ ( = ٠‬ ‫– ) = –‬ ‫٠‬ ‫س=‬ ‫س – ٦‬ ‫س ==٠ + ٣ + ٢‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫س ٤:‬ ‫=- ٠ ٣ + ٢‬ ‫– ٤ = ٠‬ ‫س3‬ ‫س=‬ ‫س= ٥‬ ‫س= - ١‬ ‫٦= - ١‬ ‫س= ٤‬ ‫ح = } ٠ ، ٦{ ح = } + ٥ ، - ١ {‬
‫- س٢ – ٤ س = ٣‬ ‫س٢ + ٤ س = - ٣‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٤ س + ٢٢ = - ٣ + ٢‬ ‫) س+ ٢ (٢ = ١‬ ‫س+ ٢ =± ١‬ ‫س‬ ‫س +٢ = + ١‬ ‫- 4 س2 + 3 س = - 2‬ ‫+ ٢ = - ١‬ ‫4 س2 - 3 س = 2‬ ‫س‬ ‫س=+ ١ - ٢‬ ‫س2 - س =‬ ‫= - ١ - ٢‬ ‫2‬ ‫س2 - س + ) (2= + ) (‬ ‫س= - ١‬ ‫) س - (2 =‬ ‫س= - ٣‬ ‫س -=±‬ ‫ح= } - ١ ، - ٣ {‬ ‫س -=-‬ ‫س -=+‬ ‫س =-+‬ ‫س =++‬ ‫{‬ ‫، -‬ ‫ح =}‬ ‫4‬
‫س٢ + ٣ س = - ٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٣ س ) (٢ = - ٢ + ) (‬ ‫) س + (٢ =‬ ‫س+= ±‬ ‫س+=‬ ‫س+= +‬ ‫س2 – س - 3 = 0‬ ‫-‬ ‫س2 - س = 3‬ ‫س= - -‬ ‫س=+ -‬ ‫2‬ ‫س 2 - س + ) ( 2= 3 + ) (‬ ‫س= - ١‬ ‫) س - (2 =‬ ‫س= - ٢‬ ‫س -=±‬ ‫ح= } - ١ ، - ٢ {‬ ‫س -=-‬ ‫س -=+‬ ‫+‬ ‫س =-‬ ‫+‬ ‫س =+‬ ‫{‬ ‫، -‬ ‫ح =}‬ ‫س٢ + ٢ س + ٣ = ٠‬ ‫س٢ + ٢ س = - ٣‬ ‫س ٢ + ٢ س ١٢ = - ٣‬ ‫٢‬ ‫+ ١‬ ‫) س+ ١ ( =- ٢‬ ‫٢‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫س ٥: س + ٦ س + ٩ = - ٤) ٢ س + ٣ ( ٢ + ٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ - ٤ س + ٤ = ٦١‬ ‫) س - ٢ ( ٢ = ٦١‬ ‫= ٠‬ ‫) س+ ٣ (٢ =- ٤‬ ‫س – ٢ =± ٤‬ ‫)٢ س+ ٣ (٢ =-‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫س‬ ‫س – ٢ = ٤‬ ‫٢‬ ‫– ٢ =- ٤‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫) ٦ س + ١ ( ٢ + ٢ = ٦٤١‬ ‫س‬ ‫س= ٤ + ٢‬ ‫) ٦ س + ١ ( ٢ = ٦٤١ – ٢‬ ‫=- ٤ + ٢‬ ‫) ٦ س + ١ ( ٢ = ٤٤١‬ ‫س= ٦‬ ‫٦ س + ١ = ± ٢١‬ ‫) س – ٣ ٢( ) س – ٣ (‬ ‫س = -‬ ‫٦ س+‬ ‫٦ س + ١ = ٢١‬ ‫ح = }٦،-٢{‬ ‫= ٩٤‬ ‫١ = - ٢١‬ ‫) س - ٣ ( = ٩٤‬ ‫٢‬ ‫٦ س=‬ ‫٦ س = ٢١ - ١‬ ‫س – ٣ =± ٧‬ ‫- ٢١ – ١‬ ‫س‬ ‫س – ٣ = ٧‬ ‫٦ س‬ ‫٦ س = ١١‬ ‫– ٣ =- ٧‬ ‫= - ٣١‬ ‫س‬ ‫س= ٧ + ٣‬ ‫س= -‬ ‫س=‬ ‫= س ٢ + ٣س - = ٠‬ ‫٢ - ٧ -‬ ‫ب(‬ ‫س ٦:‬ ‫٢‬ ‫أ ( ) سح+=١} (، -) ٢ س + ٣ ( = س‬ ‫{‬ ‫سس ٢ – ١١ س – ٣ = ٠‬ ‫٠٢ = ٠١‬ ‫– ١‬ ‫) س س- – ٣ ( ) ٥ س + ١ (‬ ‫٤ = ٤‬ ‫) س+ ١ ( ) ٢ س+ ٣ (= ) س‬ ‫= ٠‬ ‫+ ١ ( ) س – ١ (‬ ‫٥‬ ‫٤ س – ٣ = ٠‬ ‫بقسمة الطرفين على ) س + ١ (‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫٢ س+ ٣= س – ١‬ ‫٥‬ ‫٤ س= ٣‬ ‫٢ س – س= - ١ – ٣‬ ‫س= - ١‬ ‫س= - ٤‬ ‫س‬ ‫س=‬ ‫ح = }-٤{‬ ‫=‬ ‫ح= } ، {‬ ‫5‬
‫تمارين ) ٥ – ٣ (‬ ‫س ٢ : العدد الول = س‬ ‫س ١ : العدد الول = س‬ ‫العدد الثاني = س – ٢‬ ‫العدد الثاني = س +‬ ‫٢‬ ‫مربع العدد الول = س‬ ‫٥‬ ‫٢‬ ‫مربع العدد الثاني = ) س – ٢ (‬ ‫العدد الول × العدد الثاني‬ ‫مربع الول + مربع الثاني = ٠٠١‬ ‫= ٤٢‬ ‫س ٢ + ) س - ٢ ( ٢ = ٠٠١‬ ‫س ) س + ٥ ( = ٤٢‬ ‫س ٢ + س ٢ - ٤ س + ٤ = ٠٠١‬ ‫س ٢ + ٥ س = ٤٢‬ ‫٢ س ٢ - ٤ س = ٠٠١ – ٤‬ ‫س ٢ + ٥ س – ٤٢ =‬ ‫٢ س ٢ – ٤ س = ٦٩‬ ‫٠‬ ‫٢ س ٢ – ٤ س – ٦٩ = ٠‬ ‫) س – ٣ ( ) س+‬ ‫س ٢ – ٢ س – ٨٤ = ٠‬ ‫٨ ( = ٠‬ ‫) س – ٨ ( ) س+ ٦ ( = ٠‬ ‫س – ٣ = ٠‬ ‫س+‬ ‫س – ٨ = ٠‬ ‫س+ ٨ = ٠‬ ‫٦ = ٠‬ ‫س= ٣‬ ‫س=‬ ‫س= ٨‬ ‫س= - ٨‬ ‫- ٦‬ ‫مقبول‬ ‫مقبول‬ ‫مقبول‬ ‫العدد‬ ‫العدد الول = ٨‬ ‫الول = - ٦‬ ‫العدد‬ ‫العدد الثاني = ٨ - ٢ = ٦‬ ‫الثاني = - ٦ - ٢ = - ٨‬ ‫6‬
‫س ٤:‬ ‫س ٣ : العدد الول = س‬ ‫الول = س‬ ‫العدد الثاني = س + ٢‬ ‫الثاني = س + ١‬ ‫ناتج ضربهما = س ) س + ٢ ( =‬ ‫٢‬ ‫مربع الول = س‬ ‫س٢ + ٢ س‬ ‫٢‬ ‫مربع الثاني = ) س + ١ ( = س‬ ‫٢‬ ‫مجموعهما = س + ) س + ٢ ( = ٢‬ ‫+ ٢ س+ ١‬ ‫س+ ٢‬ ‫س ٢ – ) س + ٢ س + ١ ( = ٥١‬ ‫٢‬ ‫ثلثة أمثال مجموعهما = ٣ ) ٢ س‬ ‫س ٢ – س ٢ - ٢ س - ١ = ٥١‬ ‫+ ٢ ( = ٦ س+ ٦‬ ‫- ٢ س – ١ = ٥١‬ ‫٦ س+ ٦ – ) س + ٢ س (= ٦‬ ‫٢‬ ‫٢ س + ١ = - ٥١‬ ‫٦ س + ٦ - س٢ - ٢ س = ٦‬ ‫٢ س = - ٥١ - ١‬ ‫- س٢ + ٤ س = ٦ – ٦‬ ‫٢ س = - ٦١‬ ‫س٢ – ٤ س = ٠‬ ‫س= - ٨‬ ‫س ) س – ٤ ( = ٠‬ ‫الول = - ٨‬ ‫س‬ ‫س= ٠‬ ‫الثاني = - ٨ + ١ = - ٧‬ ‫- ٤ = ٠‬ ‫س‬ ‫س= ٣‬ ‫س ٦ : الطول = ط‬ ‫س٤٥ : العدد = س‬ ‫=‬ ‫العرض = ع‬ ‫معكوسه الضربي =‬‫مقبول‬ ‫٢ × ) ط + ع ( = ٦٧‬ ‫مقبول أمثال معكوسه الضربي =‬ ‫ثمانية‬ ‫ط + ع = ٦٧ ÷ ٢ = ٨٣‬ ‫الول‬ ‫س+==‬ ‫الول ٢ ٠‬ ‫ع = ٨٣ - ط‬ ‫س٢ + ٢ س = ٨‬ ‫ط × ع = ٠٦٣‬ ‫س٢ + ٢ س – ٨ = ٠‬ ‫ط ) ٨٣ – ط ( = ٠٦٣‬ ‫) س – ٢ ( ) س+ ٤ ( = ٠‬ ‫٨٣ ط – ط ٢ = ٠٦٣‬ ‫س - ٢ = ٠‬ ‫ط ٢ – ٨٣ ط + ٠٦٣ = ٠‬ ‫س+ ٤ = ٠‬ ‫) ط – ٨١ ( ) ط – ٠٢ ( = ٠‬ ‫س= ٢‬ ‫ط - ٨١ = ٠‬ ‫س= - ٤‬ ‫ط - ٠٢ = ٠‬ ‫مقبول‬ ‫ط = ٨١‬ ‫مرفوض‬ ‫ط = ٠٢‬ ‫العدد = ٢‬ ‫مرفوض‬ ‫س ٨ : ] م ن [ محصورة بين منتصفي‬ ‫مقبول‬ ‫ضلعي المثلث أ ب جس‬ ‫س ٧ : القاعدة = ق‬ ‫أي أن │ = ٠٢│ = │ ب جس│‬ ‫طم ن‬ ‫│ ب جس│ = ٨٣ –م ٠٢ = ٨١‬ ‫الرتفاع = ع‬ ‫ع= ٢ │ ن │‬ ‫ق= ٢ ع‬ ‫= ٢ × ٢‬ ‫س٢ + ٦ س‬ ‫= ١٢١‬ ‫= ٤‬ ‫س٢ + ٦ س‬ ‫= ١٢١‬ ‫+ ٣٢ = ٤ + ٣٢‬ ‫س٢ + ٦ س‬ ‫ع ٢ = ١٢١‬ ‫= ٣١‬ ‫٢‬ ‫) س+ ٣ (‬ ‫ع = ± ١١‬ ‫س+ ٣ =±‬ ‫ع = ١١‬ ‫س= - -‬ ‫س= - ٣‬ ‫ق = ٢ × ١١ = ٢٢‬ ‫٣‬ ‫مقبول‬ ‫مرفوض‬ ‫س =7 - ٣‬
‫س ٠١ : عدد الفقراء = س‬ ‫س ٩ : عدد السنوات المطلوبة = س‬ ‫نصيب الفقير الواحد =‬ ‫عمر الب بعد س سنة = س + ٢٣‬ ‫عدد الفقراء بعد الزيادة = س + ٥‬ ‫عمر البن بعد س سنة = س + ٢‬ ‫نصيب الفقير الواحد بعد الزيادة =‬ ‫مربع عمر البن = ) س + ٢ ( ٢‬ ‫نصيب الفقير قبل الزيادة – ٤ = نصيب‬ ‫مربع عمر البن = عمر الب‬ ‫الفقير بعد الزيادة‬ ‫) س + ٢ ( ٢ = س + ٢٣‬ ‫- ٤ =‬ ‫س ٢ + ٤ س + ٤ = س + ٢٣‬ ‫٠٠٤ س - ٤ س – ٠٢ س + ٠٠٠٢ =‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٣ س – ٨٢ = ٠‬ ‫٠٠٤ س‬ ‫) س+ ٧ ( ) س – ٤ ( = ٠‬ ‫٤ س ٢ + ٠٢ س – ٠٠٠٢ = ٠‬ ‫س‬ ‫س+ ٧ = ٠‬ ‫س ٢ + ٥ س – ٠٠٥ = ٠‬ ‫– ٤ = ٠‬ ‫) س + ٥٢ ( ) س – ٠٢ ( = ٠‬ ‫س‬ ‫س= - ٧‬ ‫س‬ ‫س + ٥٢ = ٠‬ ‫= ٤‬ ‫– ٠٢ = ٠‬ ‫مرفوض‬ ‫س‬ ‫س = - ٥٢‬ ‫مقبول‬ ‫= ٠٢‬ ‫عد السنوات المطلوبة = ٤ سنوات‬ ‫مرفوض‬ ‫مقبول‬ ‫عد الفقراء = ٠٢ فقيرا‬ ‫عدد الفقراء الذين وزع عليهم المبلغ =‬ ‫٠٢ + ٥ = ٥٢ فقيرا‬ ‫س11: السرعة فبل الزيادة = س‬ ‫الزمن =‬ ‫الزمن =‬ ‫السرعة بعد الزيادة = س + 5‬ ‫الزمن قبل الزيادة - 2 = الزمن بعد الزيادة‬ ‫-2=‬ ‫003 س – 2 س + 0051 – 01 س = 003 س‬ ‫2‬ ‫- 2 س2 + 091 س + 0051 – 003 س = 0‬ ‫2 س2 + 01 س – 0051 = 0‬ ‫س2 + 5 س – 057 = 0‬ ‫) س - 52 ( ) س + 03 ( = 0‬ ‫س + 03 = 0‬ ‫س - 52 = 0‬ ‫س = - 03‬ ‫س = 52‬ ‫مرفوض‬ ‫مقبول‬ ‫السرعة قبل الزيادة = 52 كم / ساعة‬ ‫تمارين ) ٥ – ٤ (‬ ‫السرعة بعد الزيادة = 52 + 5 = 03 كم / ساعة‬ ‫أول :‬ ‫الجابة الصحيحة‬ ‫رقم‬ ‫السؤال‬ ‫١‬ ‫} ٠ ، ٢ {‬ ‫٢‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫٣‬ ‫8‬
‫س٢ + ٤ س + ٤ = ٠‬ ‫٤‬ ‫٩‬ ‫٥‬ ‫} ٤ ، - ٤ {‬ ‫٦‬ ‫٤ س + ٦ = ٠٥‬ ‫٧‬ ‫) ٢ ( ) س – ٣ ( ) س‬ ‫س٢ + ٢ =‬ ‫ثاني ا : ) ١ (‬ ‫+ ٣ ( = ٤‬ ‫٠‬ ‫س٢ – ٩ = ٤‬ ‫س + ٤ = ٠‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٣١‬ ‫س٢ = - ٤‬ ‫س= ± س ) ٢ – س (‬ ‫) ٤ (‬ ‫) ٣ ح = س٢ + ٢ س +‬ ‫‪Ø‬‬ ‫(‬ ‫ح = ٣} ، - {‬‫=‬ ‫٤ = ٠‬ ‫٢ س – س = ٣‬ ‫٢‬ ‫س٢ + ٢ س = - ٤‬ ‫س٢ - ٢ س = - ٣‬ ‫س ٢ + ٢ س + ١ ٢= - ٤ +‬ ‫س ٢ – ٢ س + ١٢ = - ٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫٢‬ ‫+ ١‬ ‫) س+ ١ (٢ =- ٣‬ ‫) س – ١ ( =- ٢‬ ‫٢‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫- = ٢‬ ‫ح) =٦‪Ø‬‬ ‫(‬ ‫س – ٠١ + = ٠‬ ‫) ٥ (‬ ‫س ٢ – ٠١ س + ٧ = ٠‬ ‫س ) س+ ١ ( – ٢ ) س – ٣ (‬ ‫س ٢ – ٠١ س = - ٧‬ ‫= ٦ × ٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ – ٠١ س + ٥ ٢ = - ٧ + ٥‬ ‫س ٢ + س – ٢ س + ٦ = ٢١‬ ‫) س – ٥ ( ٢ = ٨١‬ ‫س٢ – س - ٦ = ٠‬ ‫س – ٥ =±‬ ‫) س – ٣ ( ) س+ ٢ ( = ٠‬ ‫س- ٥ = -‬ ‫س – ٥=‬ ‫س+‬ ‫س – ٣ = ٠‬ ‫س= - + ٥‬ ‫س= + ٥‬ ‫٢ = ٠‬ ‫ح= } + ٥ ، - + ٥ {‬ ‫س=‬ ‫س= ٣‬ ‫ح= } ٣ + ٥ ، - ٣ + ٥ {‬ ‫- ٢‬ ‫عدد الباريق التي‬ ‫) ١ (‬ ‫ح= } ٣ ، - ٢ {‬ ‫اشتراها = س‬ ‫س+ = ٣‬ ‫) ٢ (‬ ‫ثالث ا :ثمن شراء البريق =‬ ‫بتربيع الطرفين‬ ‫عدد الباريق بعد نقلها = س - ٢‬ ‫٢‬ ‫) س + (٢ = ) ٣ (‬ ‫ثمن بيع البريق =‬ ‫س ٢ + ٤ + = ٨١‬ ‫ثمن شراء البريق = ثمن بيع‬ ‫س ٢ + = ٨١ _ ٤‬ ‫البريق + ٣‬ ‫س ٢ + = ٤١‬ ‫= + ٣‬ ‫٣ س ٢ – ٠٨ س + ٠٠٥ = ٠‬ ‫) ٣ س – ٠٥ ( ) س - ٠١ ( = ٠‬ ‫س‬ ‫٣ س – ٠٥ = ٠‬ ‫- ٠١ = ٠‬ ‫س=‬ ‫س=‬ ‫٠١‬ ‫عدد الباريق التي اشتراها = ٠١‬ ‫أباريق‬ ‫9‬
‫عرض الممر = س‬ ‫) ٣ (‬ ‫عرض البركة والممر = ٢ س + ٢١‬ ‫طول البركة والممر = ٢ س + ٠٢‬ ‫الطول × العرض = ٠٦٥‬ ‫) ٢ س + ٠٢ ( ) ٢ س + ٢١ ( =‬ ‫٠٦٥‬ ‫٤ س + ٤٦ س + ٠٤٢ = ٠٦٥‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٦١ س + ٠٦ = ٠٤١‬ ‫س ٢ + ٦١ س – ٠٨ = ٠‬ ‫)سس – ٤ ( ) س + ٠٢ ( = ٠‬ ‫س+‬ ‫س – ٤ = ٠‬ ‫٠٢ = ٠‬ ‫س = تمارين ) ٦ – ١ (‬ ‫-‬ ‫س= ٤‬ ‫هـ‬ ‫ص‬ ‫أ‬ ‫س٠٢:‬ ‫١‬ ‫عرض الممر = ٤ م‬ ‫81‬ ‫14‬ ‫9‬ ‫21‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫س‬ ‫ع‬ ‫جـ‬ ‫│ هس ز│ ٢ = │ 6 و│ ٢- │ و ز‬ ‫هس‬ ‫│ ع س │ ٢ = │ ع ص │ ٢- │ س‬ ‫│ أ جس │ ٢ب= │ أ ب │ ٢+│ ب‬ ‫61‬ ‫٢‬ ‫│‬ ‫٢‬ ‫ص │‬ ‫٢‬ ‫جس │‬ ‫٢‬ ‫│ هس ز│ = ٨١ - ) ٦ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫- ٩‬ ‫٢‬ ‫│ ع س│ = ١٤‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫+ ٦١‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس │ = ٢١‬ ‫٢‬ ‫│ هس ز│ ٢ = ٤٢٣ - ٠٨١‬ ‫│ ع س│ ٢ = ١٨٦١ - ١٨‬ ‫│ أ جس │ ٢ = ٤٤١ + ٦٥٢‬ ‫│ هس ز│ ٢ = ٤٤١‬ ‫│ ع س│ ٢ = ٠٠٦١‬ ‫│ أ جس │ ٢ = ٠٠٤‬ ‫ط‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫للطرفين‬ ‫للطرفين‬ ‫للطرفين‬ ‫ي‬ ‫7‬ ‫ح‬ ‫│ هس ز│ = ٢١‬ ‫│ ع س│ = ٠٤‬ ‫│ أ جس │ = ٠٢‬ ‫ق‬ ‫ن‬ ‫7‬ ‫ط‬ ‫│ م ق│ ٢ = │ ن ق│ ٢- │ م ن│‬ ‫7‬ ‫٢‬ ‫│ ط ي│ ٢ = │ ح ط│ ٢+│ ح‬ ‫│ ط ك│ ٢ = │ ك ل│ ٢+│ ل‬ ‫٢‬ ‫ي│‬ ‫٢‬ ‫- م ) ٧(‬ ‫│ م ق│ = ) (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ل‬ ‫ك‬ ‫2‬ ‫٢‬ ‫ط│‬ ‫٢‬ ‫│ ط ي│ = ٧ + ٧‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢ │ م ق│ = ٣٥ - ٩٤‬ ‫٢‬ ‫│ ط ك│ = ) ٢ ( + ) (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ ط ي│ ٢ = ٩٤ + ٩٤‬ ‫│ م ق│ ٢ = ٤‬ ‫│ ط ك│ ٢ = ٢١ + ٣١‬ ‫^ بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫│ ط ي│ = ٨٩أ م د قائم‬ ‫٢‬ ‫المثلث‬ ‫^‬ ‫أ م د = ٠٩‬ ‫│ ط ك│ ٢ = ٥٢‬ ‫س ٢: قطرا المعين متعامدانللطرفين‬ ‫٥‬ ‫بأخذ الجذر أالتربيعي‬ ‫الزاوية في التربيعي‬ ‫بأخذ الجذر م‬ ‫للطرفين‬ ‫│٢ م ق│ = ٢‬ ‫للطرفينم د│ ٢ = │ أ د│ ٢- │ أ م│‬ ‫│‬ ‫│ ط ي│ = 2.4 ٧‬ ‫=‬ ‫7‬ ‫٢‬ ‫│ م د│ = ٧ - ) ٢.٤ (‬ ‫٢‬ ‫│ ط ك│ = ٥ ٢‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫د‬ ‫│ م د│ ٢ = ٩٤ - ٤٦.٧١‬ ‫2.4‬ ‫│ م د│ ٢ = ٦٣.١٣‬ ‫أ‬ ‫01‬ ‫جـ‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫جـ‬ ‫│ م د│ = ٦.٥ سم‬ ‫│ ب د│ = ٢ × ٦.٥ = ٢.١١ سم‬ ‫61‬ ‫س ٣ : المثلث أ ب جس قائم الزاوية‬ ‫01‬ ‫ب‬
‫│ ب جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦١ ٢ + ٠١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦٥٢ + ٠٠١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦٥٣‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ ب جس│ ≈ ٩.٨١‬ ‫بعد الشخص عن نقطة النطلق ≈ ٩.٨١ م‬ ‫^ المثلث أ ب جس قائم الزاوية‬ ‫٥‬ ‫أ ب جس = ٠٩‬ ‫س ٤: زوايا المربع قوائم‬ ‫^‬ ‫في ب‬ ‫│ أ جس│ = │ أ ب│ +│ ب جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫د‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥ ٢ + ٥‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥٢ + ٥٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٠٥‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫5‬ ‫│ أ جس│ = = ٥‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫س ٥ : نفرض أن طول ضلع المربع = س‬ ‫٥‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│‬ ‫د‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫٠١٢ = س ٢ + س‬ ‫٢‬ ‫٠٠١ = ٢ س‬ ‫س ٢ = ٠٥‬ ‫01‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫س‬ ‫س = = ٥‬ ‫^‬ ‫س ٦ : نرسم م ن عمودي على الوتر ] أ ب [ فنحصل على المثلث أأ ن م القائم الزاوية في‬ ‫4 جـ ب‬ ‫ن‬ ‫س‬ ‫4‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫وحيث أن الفطر العمودي على وتر في دائرة يمر في منتصف ذلك الوتر فإن │ أ ن│=‬ ‫5‬ ‫×م‬ ‫٤ سم‬ ‫٢‬ ‫│ م ن│ = │ أ م│ - │ أ ن│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ م ن│ ٢ = ٥ ٢ - ٤‬ ‫│ م ن│ ٢ = ٥٢ - ٦١‬ ‫│ م ن│ ٢ = ٩‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ م ن│ = ٣‬ ‫أي أن مركز الدائرة يبعد عن الوتر مسافة ٣ سم ٠‬ ‫س ٧: المثلث أ ن م قائم الزاوية في ن‬ ‫^‬ ‫ب‬ ‫٣‬ ‫ن‬ ‫٣‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ م│ ٢ = │ أ ن│ ٢+│ م ن│‬ ‫٤‬ ‫٢‬ ‫│ أ م│ ٢ = ٣ ٢ + ٤‬ ‫٤‬ ‫│ أ م│ ٢ = ٩ + ٦١‬ ‫×م‬ ‫│ أ م│ ٢ = ٥٢‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫11‬
‫│ أ م│ = ٥‬ ‫أي أن طول نصف قطر الدائرة = ٥ سم ٠‬ ‫س ٨ : المثلث أ هس د قائم الزاوية في هس‬ ‫^‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ هس│ ٢+│ هس د│‬ ‫ب‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٨ ٢ + ٦‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٤٦ + ٦٣‬ ‫8‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٠٠١‬ ‫أ‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ أ د│ = ٠١‬ ‫جـ‬ ‫مساحة المثلث = = ٤٢ سم ٢‬ ‫8‬ ‫مساحة المستطيل = ٠١ × ٨ = ٠٨ سم ٢‬ ‫مساحة الشكل = ٤٢ + ٠٨ = ٤٠١ سم ٢‬ ‫د‬ ‫هـ‬ ‫6‬ ‫س ٩: المثلث الموجود على الشكل قائم الزاوية لن البرج عمودي على سطح الرض‬ ‫س‬ ‫05‬ ‫س ٢ = ٠٢١٢ + ٠٥٢‬ ‫س ٢ = ٠٠٤٤١ + ٠٠٥٢‬ ‫021‬ ‫س ٢ = ٠٠٩٦١‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫س = ٠٣١‬ ‫021‬ ‫طول السلك = ٠٣١ م‬ ‫٢‬ ‫س ٠١: │ ب جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ) ٢│ أ جس│ (٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٤│ أ جس│ ٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٥│ أ جس│‬ ‫جس ^ ^‬ ‫س ١١ : أول : المثلثان أ ب جس ، د أ ^ متشابهان لن د = أ ، جس = جس‬ ‫^‬ ‫أ‬ ‫│ب جـ │‬ ‫│أ ب │‬ ‫│أ جـ │‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫│أ جـ │‬ ‫│أ د │‬ ‫│جـ د │‬ ‫نجد أن :‬ ‫│ب جـ │‬ ‫=‬ ‫من المساواة‬ ‫│أ جـ │‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫│أ جـ │‬ ‫│جـ د │‬ ‫د‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ جس د│×│ ب جس│‬ ‫^ ^ ^‬ ‫وكذلك المثلثان أ ب جس ، د ب أ متشابهان لن د = أ ، ب = ب‬ ‫^‬ ‫│ب جـ │‬ ‫│أ ب │‬ ‫│أ جـ │‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫│أ ب │‬ ‫│ب د │‬ ‫│أ د │‬ ‫21‬ ‫│ب جـ │‬ ‫│أ ب │‬ ‫=‬ ‫│أ ب │‬ ‫│ب د │‬
‫نجد أن :‬ ‫من المساواة‬ ‫│ أ ب│ ٢ = │ ب د│×│ ب جس│‬ ‫ثاني ا :‬ ‫│ أ جس│ = │ جس د│×│ ب‬ ‫٢‬ ‫المثلث أ ب جس قائم الزاوية │ أ ب│ = │ ب د│×│ ب جس│‬ ‫٢‬ ‫جس│‬ ‫٦١٢ = │ ب د│ × ٠٢‬ ‫في أ‬ ‫٢١ = │ جس د│ × ٠٢‬ ‫٢‬ ‫٦٥٢ = ٠٢ │ ب د│‬ ‫│ ب جس│ = │ أ ب│ +│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٤٤١ = ٠٢ │ جس د│‬ ‫│ ب د│ = ٨.٢١ سم‬ ‫٢‬ ‫│ جس د│ = ٢.٧ سم‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦١ ٢ + ٢١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦٥٢ + ٤٤١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٠٠٤‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫للطرفين‬ ‫تمارين ) ٦ – ٢ (‬ ‫س ١: أ (‬ ‫٢‬ ‫٤‬ ‫١١ = ١٢١‬ ‫٢‬ ‫= ٦١‬ ‫) (٢ = ٣‬ ‫٠٦ = ٠٠٦٣‬ ‫٢‬ ‫) ٣ ( ٢ = ٧٢‬ ‫١٦ ٢ = ١٢٧٣‬ ‫٧٢ ≠ ٦١ + ٣‬ ‫١٢٧٣ = ١٢١ + ٠٠٦٣‬ ‫٢‬ ‫) ٣ ( ٢ ≠ ٤٢ + ) (‬ ‫٢‬ ‫١٦ ٢ = ١١ ٢ + ٠٦‬ ‫و حسب‬ ‫وحسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫فإن الطوال‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫ليست لمثلث قائم الزاوية‬ ‫) .٤‬ ‫٦ ٢ = ٦٣‬ ‫٥ ( ٢= ٥٢.٠٢‬ ‫) .٧‬ ‫٣٢ = ٩‬ ‫٥ ( ٢= ٥٢.٦٥‬ ‫٦٢ =‬ ‫= ٧٢‬ ‫٢‬ ‫) ٣ (‬ ‫٦٣‬ ‫٥٢.٦٥ =‬ ‫٦٣ = ٩ + ٧٢‬ ‫٥٢.٠٢ + ٦٣‬ ‫) ٥.٧ ( = ) .٤‬‫٢‬ ‫٢‬ ‫٦ = ٣ +) ٣ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٥ (٢ + ٦‬ ‫٢‬ ‫و‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫31‬
‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫^‬ ‫← المثلث أ د ب قائم الزاوية في د‬ ‫٥‬ ‫س ٢ : أ ب ┴ ب جس ← أ د ب = ٠٩‬ ‫٢‬ ‫│ أ ب│ ٢ = │ أ د│ ٢+│ د ب│‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٦ ٢ + ٢١‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٦٣ + ٤٤١‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٠٨١‬ ‫6‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫جـ‬ ‫│ أ ب│ = ٦‬ ‫ب‬ ‫قائم الزاوية في د‬ ‫21‬ ‫^ أ د جس = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د جس 3 د‬ ‫أ ب ┴ ب جس ←‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ د│ +│ د جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦ ٢ + ٣‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦٣ + ٩‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥٤‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ أ جس│ = ٣‬ ‫في المثلث أ ب جس نجد أن :‬ ‫│ ب جس│ = ٥١ = ٥٢٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫،‬ ‫، │ أ ب│ = ) ٦ ( = ٠٨١‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ) ٣ ( ٢ = ٥٤‬ ‫٥٢٢ = ٥٤ + ٠٨١‬ ‫٢‬ ‫٥١ ٢ = ) ٣ ( ٢ + ) ٦ (‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = │ أ جس│ ٢+│ أ ب│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ ب جس قائم الزاوية في ب‬ ‫^‬ ‫أ‬ ‫٥‬ ‫أي أن ب أ جس = ٠٩‬ ‫1‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ د│‬ ‫س ٣ : من المثلث أ ب جس‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫│ ب د│ = ١٢ + ) ( ٢‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = ١ + ٣‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٤‬ ‫د‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ ب د│ = ٢‬ ‫│ب‬ ‫،‬ ‫، │ د جس│ = ) ( = ٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫في المثلث ب جس د نجد أن : │ ب جس│ = ) ( = ٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫د│ ٢ = ٢ ٢ = ٤‬ ‫٤ = ٢ + ٢‬ ‫٢‬ ‫٢٢ = ) ( ٢ + ) (‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ ب جس│ ٢+│ د جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث ب جس د قائم الزاوية في جس‬ ‫^ ^‬ ‫^ ^‬ ‫^‬ ‫أ ، جس متكاملتان‬ ‫أ + جس = ٠٩ ٥ + ٠٩ ٥ = ٠٨١ ٥ ←‬ ‫جس = ٠٩ ٥ ←‬ ‫أي أن‬ ‫س ٤ : في المثلث أ ب جس نجد أن :‬ ‫41‬
‫│ ب جس│ ٢ = ٥١ ٢ = ٥٢٢‬ ‫،‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٨ ٢ = ٤٦‬ ‫،‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٧١ ٢ = ٩٨٢‬ ‫ب‬ ‫8‬ ‫٩٨٢ = ٤٦ + ٥٢٢‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫٧١ ٢ = ٨ ٢ + ٥١‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ ب جس قائم الزاوية في71 ب‬ ‫51‬ ‫^‬ ‫٥‬ ‫أي أن ب أ جس = ٠٩‬ ‫وبما أن الشكل متوازي أضلع إحدى زواياه قائمة فإن الشكل مستطيل‬ ‫جـ‬ ‫د‬ ‫س ٥ : أ ^جس ب = ٠٩ ٥ ← المثلث أ جس ب قائم الزاوية في جس‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢- │ ب جس│‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ) ٥.٧ ( ٢ - ) ٥.٤ (‬ ‫5.7‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥٢.٦٥ - ٥٢.٠٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦٣‬ ‫ب‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫8.4‬ ‫│ أ جس│ = ٦‬ ‫5.4‬ ‫د‬ ‫في المثلث أ د جس نجد أن :‬ ‫٢ جـ‬ ‫= ٩.٢١‬ ‫٢‬ ‫6.3 جس│ = ) ٦.٣ (‬ ‫│د‬ ‫،‬ ‫، │ أ د│ = ) ٨.٤( = ٤٠.٣٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦ ٢ = ٦٣‬ ‫٦‬ ‫٦٣ = ٤٠.٣٢ + ٦٩.٢١‬ ‫٦ ٢ = ) ٨.٤( ٢ + ) ٦.٣ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ د│ ٢+│ د جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ د جس قائم الزاوية في د‬ ‫٥‬ ‫أي أن أ د جس = ٠٩‬ ‫^‬ ‫تمارين ) ٦ – ٣ (‬ ‫أ ( مثلث قائم الزاوية‬ ‫ب ( مثلث قائم الزاوية ومتطابق الضلعين‬ ‫ج ( مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫س ٢ : أ ( س = ٠١‬ ‫ب ( س= ٢ × ٣ = ٦‬ ‫ج ( س = ٣٢‬ ‫س ٣ : أ ( طول الضلع المواجه للزاوية ٠٣ ٥ = = ٤‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ ٥ = × = ٤‬ ‫ب ( طول الوتر = ٢ × ٥ = ٠١‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ = × = ٥‬ ‫٥‬ ‫ج ( طول الوتر = × × طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ = × × ٠١ = ×‬ ‫٥‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٣ ٥ = × طول الوتر = × × = ×‬ ‫س ٤ : في المثلث أ ب جس‬ ‫│ أ ب│ = = ٥‬ ‫في المثلث أ ب د نجد أن :‬ ‫51‬
‫│ د ب│ ٢ = ٤ ٢ = ٦١‬ ‫،‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٥ ٢ = ٥٢‬ ‫،‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٣ ٢ = ٩‬ ‫أ‬ ‫٥٢ = ٩+ ٦١‬ ‫جـ‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫٢‬ ‫٥ ٢ = ٣ ٢+ ٤‬ ‫03‬ ‫د‬ ‫٢‬ ‫│ أ ب│ ٢ = │ أ د│ ٢+│ د ب│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ د ب قائم الزاوية 01 د‬ ‫في‬ ‫4‬ ‫ب‬ ‫س ٥ : أ ب ┴ ب جس ← أ د ب = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د ب قائم الزاوية في د‬ ‫^‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫جـ‬ ‫٥‬ ‫إذن ^ د أ ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫إذن المثلث أ د ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫│ أ ب│ = × × ٢ = ٤‬ ‫│ د ب│ = × ٤ = ٢‬ ‫أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب جس قائم الزاوية في أ‬ ‫د‬ ‫2‬ ‫٥‬ ‫^بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫إذن ^أ جس ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫ب‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫إذن المثلث أ ب جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫أ‬ ‫أ ب ┴ ب جس ← أ د جس = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د جس قائم الزاوية في د‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫^ د أ جس = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٣ ٥ ( = ٠٦‬ ‫إذن‬ ‫إذن المثلث أ د جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫│ أ جس│ = ٢ × ٢ = ٤‬ ‫│ د جس│ = × ٤ × = ٦‬ ‫│ ب جس│ = ٢ + ٦ = ٨‬ ‫^ أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب جس قائم الزاوية في أ‬ ‫س ٦:‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫إذن ^أ جس ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫إذن المثلث أ ب جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫أ ب ┴ ب جس ←^ أ د جس = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د جس قائم الزاوية في د‬ ‫جـ‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫إذن^ د أ جس = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٣ ٥ ( = ٠٦‬ ‫إذن المثلث أ د جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫^ أ د ب = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د ب قائم الزاوية في د‬ ‫أ ب ┴ ب جس ←‬ ‫4‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫د‬ ‫٥‬ ‫إذن ^ د أ ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫إذن المثلث أ د ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫│ جس د│ = × ٤ × = ٢‬ ‫من المثلث أ د جس نجد أن‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫│ جس ب│ = × × ٤ =‬ ‫من المثلث أ ب جس نجد أن‬ ‫│ جس د│ = - ٢ =‬ ‫س ٧: │ أ جس│ = ×‬ ‫61‬
‫│ أ جس│ =‬ ‫ب‬ ‫س ٨ : المثلث أ هس ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫أ‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫│ أ ب│ = ٢ × ٤ = ٨‬ ‫أ ب ⁄ ⁄ جس د لن المستطيل متوازي أضلع‬ ‫4‬ ‫بالتبادل‬ ‫٥‬ ‫^ أ جس = أ جس د = ٠٣‬ ‫^‬ ‫ب‬ ‫لن زوايا المستطيل قوائم‬ ‫٥‬ ‫ب جس د = ٠٩‬ ‫^‬ ‫هـ‬ ‫٥‬ ‫هس^ جس ب = ٠٩ – ٠٣ = ٠٦‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫جـ‬ ‫د‬ ‫^ هس جس = ٠٩ ٥ لن ب هس ┴ أ جس‬ ‫ب‬ ‫٥‬ ‫لن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫هس^ ب جس = ٠٨١ – ) ٠٩ + ٠٦ ( = ٠٣‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫إذن المثلث ب هس جس ثلثيني ستيني‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫│ ب جس│ = × × ٤ =‬ ‫مساحة المستطيل = ٨ × =‬ ‫5‬ ‫603‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫٥‬ ‫س ٩: أ ب جس = ٠٩‬ ‫هـ‬ ‫٥‬ ‫أ ^ ب هس = ٠٩ – ٠٣ = ٠٦‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫^‬ ‫^‬ ‫٥‬ ‫هس أ ب = ٠٨١ – ) ٠٩ + ٠٦ ( = ٠٣ لن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫إذن المثلث أ هس ب ثلثيني ستيني‬ ‫جـ‬ ‫و‬ ‫د‬ ‫│ أ ب│ = ٢ × ٦ = ٢١ سم‬ ‫محيط المربع = ٤ × ٢١ = ٨٤ سم‬ ‫تمارين ) ٦ – ٤ (‬ ‫س ١ : أ ( طول ضلع المثلث = نسق = ٥‬ ‫ب ( طول ضلع السداسي = نسق = ٥‬ ‫ج ( طول ضلع المربع = نسق = ٥‬ ‫س ٢ : أ ( طول نصف قطر الدائرة = × طول ضلع المثلث × = × ٥ × =‬ ‫ب ( طول نصف قطر الدائرة = طول ضلع السداسي = ٣‬ ‫ج ( طول نصف قطر الدائرة = × طول ضلع المربع × = × ٤ × = ٢‬ ‫س ٣ : طول ضلع المثلث المتطابق الضلع = نسق = ٤‬ ‫03‬‫5‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٣ ٥ = × طول الوتر‬ ‫4‬ ‫×٤ = ٢‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ ٥ = ع = × طول الوتر ×‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫ع = ×٤ × =٦‬ ‫مساحة المثلث = × طول الفاعدة × طول الرتفاع = × ٤ × ٦ = ٢١ سم ٢‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫س ٤: ١ – نرسم دائرة طول نصف قطرها = ٢ سم ٠‬ ‫٢ - نعين نقطة س على الدائرة ٠‬ ‫٣ - نفتح الفرجار فتحة مقدارها ٢ سم ونركز الفرجار في س ونرسم قوس يتقاطع‬ ‫مع الدائرة في نقطة ولتكن ص ٠‬ ‫71‬
‫– بنفس الفتحة نركز الفرجار في ص ونرسم قوس يتقاطع مع الدائرة في نقطة‬ ‫٤‬ ‫٠‬ ‫ولتكن ع‬ ‫– وهكذا نكرر العملية حتى نصل إلى النقطة س ٠‬ ‫٥‬ ‫– نصل النقاط فنحصل على السداسي المطلوب ٠‬ ‫٦‬ ‫س ٥ : طول ضلع المربع = نسق = ٨ سم‬ ‫محيط المربع = ٤ × ٨ = ٢٣ سم‬ ‫مساحة المربع = ٨ × ٨ = ٨٢١ سم ٢‬ ‫س ٦ : على الرسم المقابل أ ب م مثلث متطابق الضلع طول ضلعه = ٦ سم لن طول‬ ‫ضلع السداسي = طول نصف قطر الدائرة = ٦‬ ‫المثلث أ ن ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫و‬ ‫أ‬ ‫│ أ ن│ = × ٦ × = ٣ سم‬ ‫مساحة المثلث أ ب م = × ٦ × ٣ = ٩ سم ٢‬ ‫6‬ ‫يوجد داخل السداسي ٦ مثلثات متطابقة مع المثلث أ ب م 6‬ ‫مساحة السداسي = ٦ × ٩ = ٤٥ سم ٢‬ ‫هـ‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫ن 3‬ ‫3‬ ‫تمارين ) ٦ – ٥ (‬ ‫جـ‬ ‫س ١:‬ ‫د‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫52‬ ‫31‬ ‫5‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫42‬ ‫21‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫03‬ ‫8‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫06‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫) ٥.٤‬ ‫س ٢: ٣١ ٢ = ٩٦١‬ ‫( ٢ = ٥٢.٠٢‬ ‫) ٨.٠١ ( ٢ =‬ ‫٤٨ ٢ = ٦٥٠٧‬ ‫٤٦.٦١١‬ ‫) ٧.١١ ( ٢ =‬ ‫٥٨ = ٥٢٢٧‬ ‫٢‬ ‫٩٨.٦٣١‬ ‫٩٨.٦٣١= ٢.٠٢‬ ‫٥٢٢٧ = ٩٦١ + ٦٥٠٧‬ ‫٥+ ٤٦.٦١١‬ ‫81‬
‫) ٧.١١ ( ٢ =‬ ‫٥٨ ٢ = ٣١ ٢ + ٤٨‬ ‫٢‬ ‫وحسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫٢‬ ‫) ٥.٤ ( ٢ + ) ٨.٠١ (‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫فإن‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫٤١ ٢ = ٦٩١‬ ‫١= ١‬ ‫)( = ٢‬ ‫٢‬ ‫٨٤ = ٤٠٣٢‬ ‫٢‬ ‫)( ٢ =‬ ‫٠٥ ٢ = ٠٠٥٢‬ ‫٣‬ ‫٣= ١ +‬ ‫٠٠٥٢ = ٦٩١ + ٤٠٣٢‬ ‫٢‬ ‫)( = ١ +‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٤١ = ٨٤ + ٠٥‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫)(‬ ‫و‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫أ‬ ‫المثلث أ م د قائم الزاوية في م‬ ‫←‬ ‫٥‬ ‫أ م د = ٠٩‬ ‫←‬ ‫س ٣ : قطرا المعين متعامدان‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ م│ ٢+│ م د│‬ ‫٢‬ ‫7‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٧ ٢ + ٤٢‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫د‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٩٤ + ٦٧٥‬ ‫42‬ ‫42‬ ‫7‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٥٢٦‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫جـ‬ ‫│ أ د│ = ٥٢ سم‬ ‫طول ضلع المعين = ٥٢ م‬ ‫س ٤ : المستطيل زواياه الربع قوائم ← المثلث المظلل قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٦١ ٢ + ٠٣‬ ‫س‬ ‫س ٢ = ٦٥٢ + ٠٠٩‬ ‫61‬ ‫س ٢ = ٦٥١١‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫03‬ ‫س = ٤٣‬ ‫طول قطر الرض = ٤٣ م‬ ‫س ٥ : المثلث الخضر قائم الزاوية المثلث الصفر قائم‬ ‫الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥١ ٢ – ٢١‬ ‫٢‬ ‫ص = ٠٢ – ١‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥٢٢ - ٤٤١‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ١٨‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫21‬ ‫ص = ٠٠٤ -‬‫٢‬ ‫91‬ ‫٤٤١‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫ص = ٦٥٢‬ ‫٢‬ ‫بأخذ الجذر‬
‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫س= ٩‬ ‫س ٦ : ^أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب جس قائم الزاوية في أ‬ ‫ب‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ ب جس│ ٢- │ أ ب│‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٣١ ٢ - ٥‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٩٦١ - ٥٢‬ ‫31‬ ‫5‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٤٤١‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫أ‬ ‫جـ‬ ‫│ أ جس│ = ٢١‬ ‫د‬ ‫بما أن د منتصف ] أ جس [‬ ‫│ أ د│ = = ٦ سم‬ ‫تابع س ٦:‬ ‫^أ = ٠٩ ← المثلث أ ب د قائم الزاوية في أ‬‫٥‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ د│‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٥ ٢ + ٦‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٥٢ + ٦٣‬ ‫│ ب د│ ٢ = ١٦‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ ب د│ =‬ ‫المثلث الخضر قائم‬‫س ٧: المثلث الصفر قائم الزاوية‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٦٢ – ٤‬ ‫٢‬ ‫ص ٢ =) ٢ ( ٢ + ٥‬ ‫س ٢ = ٦٣ - ٦١‬ ‫س‬ ‫ص ٢ = ٠٢ + ٥٢‬ ‫س ٢ = ٠٢‬ ‫ص‬ ‫6‬ ‫ص ٢ = ٥٤‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫س= ٢‬ ‫للطرفين‬ ‫ص= ٣‬ ‫س ٨ : أ ( طول نصف قطر الدائرة = ٨ ÷ ٢ = ٤‬ ‫طول ضلع المثلث = نسق = ٤ × = ٢١ سم‬ ‫طول ضلع السداسي = نسق = ٤‬ ‫طول ضلع المربع = نسق = ٤ × = ٤ سم‬ ‫س ٩: من الرسم المقابل : المثلث قائم الزاوية‬ ‫س‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٨٢ + ٤‬ ‫8‬ ‫س ٢ = ٤٦ + ٦١‬ ‫س ٢ = ٠٨‬ ‫4‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫س = ٤ ≈ ٩.٨ م‬ ‫21‬ ‫21‬ ‫طول الحبل ≈ ٩.٨ م‬ ‫02‬ ‫4‬
‫^‬ ‫س ٠١: : أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب د قائم الزاوية في أ‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ د│‬ ‫جـ‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٤ ٢ + ) ٤ (‬ ‫01‬ ‫ب‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٦١ + ٨٤‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٤٦‬ ‫6‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫4‬ ‫│ ب د│ = ٨‬ ‫د‬ ‫4‬ ‫أ‬ ‫في المثلث ب د جس نجد أن :‬ ‫│ د جس│ = ٦ = ٦٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫،‬ ‫│ ب د│ = ٨ = ٤٦‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫،‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٠١ ٢ = ٠٠١‬ ‫٠٠١ = ٤٦ + ٦٣‬ ‫٢‬ ‫٠١ ٢ = ٨ ٢ + ٦‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = │ ب د│ ٢+│ د جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث ب د جس قائم الزاوية في د‬ ‫أي أن ^ب د جس = ٠٩ ٥ ← ب د ┴ جس د‬ ‫لنه ارتفاع في شبه المنحرف‬ ‫س ١١: أ ن ┴ جس د‬ ‫ب‬ ‫7‬ ‫أ‬ ‫نرسم ب م ┴ جس د‬ ‫لن القاعدتين في شبه المنحرف متوازيتان‬ ‫أ ب أ ⁄ جس د‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫لنهما عموديان على جس د‬ ‫أ ن أ ⁄ ب م‬ ‫جـ‬ ‫لن المسافة بين المتوازيين ثابتة‬ ‫د‬ ‫│ م ن│ = │ أ ب│ = ٧‬ ‫م 3‬ ‫7‬ ‫3 ن‬ ‫نطبق المثلثان أ ن د ، ب م جس‬ ‫لن المسافة بين المتوازيين ثابتة‬ ‫│ أ ن│ = │ ب م│‬ ‫^ د = جس لنهما زاويتان مجاورتان لقاعدة في شبه المنحرف المتطابق الساقين‬ ‫^‬ ‫زاويتان قائمتان‬ ‫أ^ ن د ^ ب م جس‬ ‫=‬ ‫إذن المثلثان متطابقان وينتج من تطابقهما أن المثلث أ ن د قائم‬ ‫:‬ ‫الزاوية في ن‬ ‫│ ن د│ = │ م جس│‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ ن│ +│ ن د│‬ ‫٢‬ ‫│ ن د│ + │ ن م│ │ م جس│ = │ جس د│‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ = ٦ + ٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٣١‬ ‫+ │ م جس│ =‬ ‫٧‬ ‫│ ن د│ +‬ ‫│ أ د│ = ٦٣ + ٩‬ ‫٢‬ ‫│ ن د│ + │ م جس│ = ٣١ - ٧‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٥٤‬ ‫│ ن د│ + │ م جس│ = ٦‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫│ ن د│ = │ م جس│ = ٣‬ ‫للطرفين‬ ‫│ أ د│ = ٣‬ ‫إذن طول ساق شبه المنحرف‬ ‫س ٢١: المثلث الصفر قائم الزاوية المثلث الخضر‬ ‫قائم الزاوية = ٣ سم‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥٣ ٢ – ٥٢‬ ‫٢‬ ‫ص ٢ = ٠٤ ٢ – ٢‬ ‫س ٢ = ٥٢٢١ - ٥٢٦‬ ‫٥‬ ‫س ٢ = ٠٠٦‬ ‫04‬ ‫53‬ ‫52‬ ‫ص ٢ = ٠٠٦١ -‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫٥٢٦‬ ‫س = ٠١‬ ‫ص = ٥٧٩‬‫٢‬ ‫س ≈ ٥.٤٢ م‬ ‫بأخذ الجذر‬ ‫12‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫التربيعي للطرفين‬ ‫ص= ٥‬
‫إذن البعد بين نقطتي تثبيت السلكين ≈ ٥.٤٢ + ٢.١٣ ≈ ٧.٥٥ م‬ ‫س ٣١: │ أ هس│ = ٠٥٣ – ٥٣١ = ٥١٢ م‬ ‫د 531م هـ‬ ‫│ أ و│ = ٠٥٣ – ٥٩ = ٥٥٢ م‬ ‫أ‬ ‫│ ل ب│ = ٠٥٣ – ٥٨٢ = ٥٦ م‬ ‫041م‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫│ م جس│ = ٠٥٣ – ٠٤١ = ٠١٢ م‬ ‫ص‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث م د هس قائم الزاوية‬ ‫ك‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٠٤١ ٢ + ٥٣١‬ ‫و‬ ‫ع‬ ‫س ٢ = ٠٠٦٩١ + ٥٢٢٨١‬ ‫59م‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫س ٢ = ٥٢٨٧٣‬ ‫ل‬ ‫582م‬ ‫س ≈ ٥.٤٩١‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث ل ب و قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫ع ٢ = ٥٩ ٢ + ٥٦‬ ‫ع ٢ = ٥٢٠٩ + ٥٢٢٤‬ ‫ع ٢ = ٠٥٢٣١‬ ‫ع ≈ ١.٥١١‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث أ هس و قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥١٢ ٢ + ٥٥٢‬ ‫س ٢ = ٥٢٢٦٤ + ٥٢٠٥٦‬ ‫س ٢ = ٠٥٢١١١‬ ‫س ≈ ٥.٣٣٣‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث م جس ل قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫ك ٢ = ٥٨٢ ٢ + ٠١٢‬ ‫ك ٢ = ٥٢٢١٨ + ٠٠١٤٤‬ ‫ك ٢ = ٥٢٣٥٢١‬ ‫ك ≈ ١٠.٤٥٣‬ ‫طول السياج = ٥.٤٩١ + ١.٥١١ + ٥.٣٣٣ + ١٠.٤٥٣ = ١١.٧٩٩ م‬ ‫س ٤١ : المثلث أ ب جس قائم الزاوية في ب‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│ ٢ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) ١ (‬ ‫جـ‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│ ٢ + │ جس د│ ٢ .. . . . . . . . . . . ) ٢ ب‬ ‫(‬ ‫بالتعويض من ) ١ ( في ) ٢ ( نحصل على :‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ جس│ ٢+│ جس د│‬ ‫وحسب عكس نظرية فيثاغورث‬ ‫د‬ ‫أ‬ ‫فإن المثلث أ جس د قائم الزاوية في جس‬ ‫٥‬ ‫إذن أ جس د = ٠٩‬ ‫س ٥١ : أ ( أ = ٥٢ – ١ = ٤٢‬ ‫ب = ٢ × ٥ × ١ = ٠١‬ ‫ج = ٥٢ + ١ = ٦٢‬ ‫ب ( أ = ٦٣ – ٩ = ٧٢‬ ‫ب = ٢ × ٦ × ٣ = ٦٣‬ ‫ج = ٦٣ + ٩ = ٥٤‬ ‫22‬
‫ج ( أ = ٦١ – ٤ = ٢١‬ ‫ب = ٢ × ٤ × ٢ = ٦١‬ ‫ج = ٦١ + ٤ = ٠٢‬ ‫32‬

More Related Content

PDF
U1.S04 - Material para la sesión.pdf
byNicoleSosa21
 
PPT
Differentiation jan 21, 2014
byMohammed Ahmed
 
PDF
Razonestrigonometricasdeangulosnotables (1)
byOscar Condori Quispe
 
PDF
Abstract Algebra Cheat Sheet
byMoe Han
 
PPTX
Geometric Transformation: Rotation
byEdrin Jay Morta
 
PDF
Inverse trigonometric functions ch 2
bysaloniajay
 
PPTX
【材料力学】特別な丸棒のねじり　(II-02-1 2020)
byKazuhiro Suga
 
PPTX
Descomposición fuerzas y 2ª ley
byGregorio Rosa
 
U1.S04 - Material para la sesión.pdf
byNicoleSosa21
 
Differentiation jan 21, 2014
byMohammed Ahmed
 
Razonestrigonometricasdeangulosnotables (1)
byOscar Condori Quispe
 
Abstract Algebra Cheat Sheet
byMoe Han
 
Geometric Transformation: Rotation
byEdrin Jay Morta
 
Inverse trigonometric functions ch 2
bysaloniajay
 
【材料力学】特別な丸棒のねじり　(II-02-1 2020)
byKazuhiro Suga
 
Descomposición fuerzas y 2ª ley
byGregorio Rosa
 

Viewers also liked

PDF
دليل كتاب التمارين رياضيات مطور 3م ف2- الفصل السابع
bymansour1911
 
PDF
بنك اسئلة صف ثالث متوسط ترم 2
bymansour1911
 
PPT
جمع كثيرات الحدود وطرحها
bymansour1911
 
PPT
ضرب وحيدات الحد
bynoojy66666
 
PPT
كثيرات الحدود
bynoojy66666
 
PPT
ضرب وحيدات الحد
bymansour1911
 
PPT
استعمال خاصية التوزيع
byng1234567ng
 
PPT
ضرب كثيرات الحدود
bynoojy66666
 
PPT
المعادلات التربيعية
bynoojynoojyyynn
 
PPT
المعادلات التربيعية
byng1234567ng
 
PPT
المعادلات التربيعية الفرق بين مربعين
byng1234567ng
 
PPT
1 حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام
byng1234567ng
 
PPT
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
bynoojy66666
 
PPT
1 حل المعادلات التربيعية بيانياً
byng1234567ng
 
PPT
تحليل وحيدات الحد
byng1234567ng
 
PPT
1 تمثيل الدوال التربيعية بيانياً
byng1234567ng
 
PPT
قسمة وحيدات الحد
bynoojy66666
 
PPT
المعادلات التربيعية المربعات الكاملة
bynoojynoojyyynn
 
PPT
جمع كثيرات الحدود وطرحها
bynoojy66666
 
PPT
التهيئة للفصل 6
bymansour1911
 
دليل كتاب التمارين رياضيات مطور 3م ف2- الفصل السابع
bymansour1911
 
بنك اسئلة صف ثالث متوسط ترم 2
bymansour1911
 
جمع كثيرات الحدود وطرحها
bymansour1911
 
ضرب وحيدات الحد
bynoojy66666
 
كثيرات الحدود
bynoojy66666
 
ضرب وحيدات الحد
bymansour1911
 
استعمال خاصية التوزيع
byng1234567ng
 
ضرب كثيرات الحدود
bynoojy66666
 
المعادلات التربيعية
bynoojynoojyyynn
 
المعادلات التربيعية
byng1234567ng
 
المعادلات التربيعية الفرق بين مربعين
byng1234567ng
 
1 حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام
byng1234567ng
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
bynoojy66666
 
1 حل المعادلات التربيعية بيانياً
byng1234567ng
 
تحليل وحيدات الحد
byng1234567ng
 
1 تمثيل الدوال التربيعية بيانياً
byng1234567ng
 
قسمة وحيدات الحد
bynoojy66666
 
المعادلات التربيعية المربعات الكاملة
bynoojynoojyyynn
 
جمع كثيرات الحدود وطرحها
bynoojy66666
 
التهيئة للفصل 6
bymansour1911
 

Similar to تمارين3متوسط رياضيات ف2

DOC
ثامن مراجعه
byfatima harazneh
 
PDF
مراجعة الرياضيات 1ث
byMotafawkeen
 
PDF
مراجعة الجبر 1ث
byMotafawkeen
 
PPT
المعادلة التربيعية1
byfatima harazneh
 
DOC
درس نموذجى للصف الأول الإعدادى
byguest82cc1f2
 
PDF
أسئلة مراجعة على الباب السادس للصف الثالث الثانوى
byهانى الريس
 
RTF
جبر 1
byashraf selim
 
DOC
الدالة الأسية واللوغاريتمية
byalmizjaji
 
PPT
أنظمة المعادلات الخطية
byFatima Abu-baker
 
PPT
المعادلات
byYousuf Salim
 
DOC
المراجعة النهائية للصف الثامن الفصل الثاني
byfatima harazneh
 
DOC
المراجعة النهائية للصف الثامن الفصل الثاني
byfatima harazneh
 
PPT
الدرس السابع
byfatima harazneh
 
PPS
حل المعادلات من الدرجة الثانيه
byteacher
 
PDF
Math 2nd-preparatory-2nd-term- (9)
bykhawagah
 
PDF
مراجعة حساب المثلثات 1ث
byMotafawkeen
 
PDF
3 الاتصال
byMohammed Alkadri
 
PPT
درس المعادلات الأسية
byFatima Abu-baker
 
DOC
أسئلة مراجعة على الباب السادس للصف الثالث الثانوى
byهانى الريس
 
PPT
المشروع
byomarsaper
 
ثامن مراجعه
byfatima harazneh
 
مراجعة الرياضيات 1ث
byMotafawkeen
 
مراجعة الجبر 1ث
byMotafawkeen
 
المعادلة التربيعية1
byfatima harazneh
 
درس نموذجى للصف الأول الإعدادى
byguest82cc1f2
 
أسئلة مراجعة على الباب السادس للصف الثالث الثانوى
byهانى الريس
 
جبر 1
byashraf selim
 
الدالة الأسية واللوغاريتمية
byalmizjaji
 
أنظمة المعادلات الخطية
byFatima Abu-baker
 
المعادلات
byYousuf Salim
 
المراجعة النهائية للصف الثامن الفصل الثاني
byfatima harazneh
 
المراجعة النهائية للصف الثامن الفصل الثاني
byfatima harazneh
 
الدرس السابع
byfatima harazneh
 
حل المعادلات من الدرجة الثانيه
byteacher
 
Math 2nd-preparatory-2nd-term- (9)
bykhawagah
 
مراجعة حساب المثلثات 1ث
byMotafawkeen
 
3 الاتصال
byMohammed Alkadri
 
درس المعادلات الأسية
byFatima Abu-baker
 
أسئلة مراجعة على الباب السادس للصف الثالث الثانوى
byهانى الريس
 
المشروع
byomarsaper
 

More from رشاد نجيب

DOCX
The quran on clouds
byرشاد نجيب
 
DOCX
Scientists’ comments on the scientific miracles in the holy quran
byرشاد نجيب
 
DOCX
Belief in god
byرشاد نجيب
 
DOCX
The quran on the origin of the universe
byرشاد نجيب
 
PPT
G7 s-ch1
byرشاد نجيب
 
DOC
الفيزياء الصف الثانى
byرشاد نجيب
 
DOCX
بحث كامل
byرشاد نجيب
 
DOCX
مشروع مهارات الاتصال العرض التقديمي
byرشاد نجيب
 
DOCX
مشروع مهارات الاتصال الديكور
byرشاد نجيب
 
DOCX
مشروع مهارات الاتصال المنشورات
byرشاد نجيب
 
DOCX
النتائج والتحليل والاقتراحات الخاص بالاستبانة
byرشاد نجيب
 
PPTX
خطوات عمل الاستبانه
byرشاد نجيب
 
The quran on clouds
byرشاد نجيب
 
Scientists’ comments on the scientific miracles in the holy quran
byرشاد نجيب
 
Belief in god
byرشاد نجيب
 
The quran on the origin of the universe
byرشاد نجيب
 
G7 s-ch1
byرشاد نجيب
 
الفيزياء الصف الثانى
byرشاد نجيب
 
بحث كامل
byرشاد نجيب
 
مشروع مهارات الاتصال العرض التقديمي
byرشاد نجيب
 
مشروع مهارات الاتصال الديكور
byرشاد نجيب
 
مشروع مهارات الاتصال المنشورات
byرشاد نجيب
 
النتائج والتحليل والاقتراحات الخاص بالاستبانة
byرشاد نجيب
 
خطوات عمل الاستبانه
byرشاد نجيب
 

تمارين3متوسط رياضيات ف2

  • 1.
    ‫حل تمارين كتابالرياضيات للصف الثالث متوسط ) ف ٢ (‬ ‫تمارين ) ٥ - ١ (‬ ‫س ١:‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫} ٣ {‬ ‫س٢ -٢ = ٠‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫٩ – س٢ = ٠‬ ‫} + ٣ ، - ٣ {‬ ‫)سس + ٣ ( ) س – ١ ( = ٠‬ ‫} ٠ ، {‬ ‫) ٢ س – ٦ (٢ = ٠‬ ‫} - ٣ ،+ ١ {‬ ‫س ) ٢ س – ٣ ( = ٠‬ ‫} + ٣ ، -١ {‬ ‫ب( ٣‬ ‫س ٢: أ ( ٣ س ) س + ١ ( = ٠‬ ‫س٢ – س = ٠‬ ‫س‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫٣ س= ٠‬ ‫) ٣ س – ١ ( = ٠‬ ‫س‬ ‫س= - ١‬ ‫س= ٠‬ ‫٣ س – ١ = ٠‬ ‫= ٠‬ ‫ح = } ٠ ، -١ {‬ ‫٣ س = -١‬ ‫العبارة صحيحة‬ ‫س=‬ ‫ح= } ٠ ، {‬ ‫العبارة خاطئة‬ ‫ج ( س ٢ + ٥ =٠‬ ‫د ( ٥ س ٢ + ٣١ س – ٦ = ٠‬ ‫) ٥‬ ‫س٢ = - ٥‬ ‫س – ٢ ( ) س+ ٣ ( = ٠‬ ‫المعادلة مستحيلة الحل في ح‬ ‫س+ ٣ = ٠‬ ‫٥ س – ٢ = ٠‬ ‫٥‬ ‫العبارة خاطئة‬ ‫س= - ٣‬ ‫س= ٢‬ ‫س=‬ ‫1‬
  • 2.
    ‫العبارة صحيحة‬ ‫- ٣ {‬ ‫ح= } ،‬ ‫س ٢ – ٣ س – جس = ٠‬ ‫س ٣: ٢‬ ‫) ٣ ( ٢ – ٣ ) ٣ ( – جس = ٠‬ ‫٢‬ ‫× ٩ – ٩ – جس = ٠‬ ‫٢‬ ‫٨١ – ٩ = جس‬ ‫٩ = جس‬ ‫س ٤:‬ ‫٤ س ٢ – ٥١ س + ٩ = ٠‬ ‫٥ س٢ – ٧ س – ٦ = ٠‬ ‫) س – ٧ ( ) س+ ١ (‬ ‫) ٤ س - ٣ ( ) س –‬ ‫) ٥ س+ ٣ ( ) س –‬ ‫= ٠‬ ‫٣ ( = ٠‬ ‫٢ ( = ٠‬ ‫س – ٣ = ٠‬ ‫س‬ ‫٤ س+ ٣ = ٠‬ ‫س‬ ‫٥ س+ ٣ = ٠‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫– ٣ = ٠‬ ‫– ٢ = ٠‬ ‫س= ٢‬ ‫٤ س= - ٣‬ ‫٥ س= - ٣‬ ‫س= - ١‬ ‫س= ٣‬ ‫س= ٢‬ ‫س٢ + ٧ س + ٦ = ٠‬ ‫س=‬ ‫س=‬ ‫) س+ ١ ( ) س+ ٦ ( =‬ ‫ح= } ، ٣ {‬ ‫ح= } ، ٢ {‬ ‫٠‬ ‫س‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫+ ٦ = ٠‬ ‫٣ س + ٥ = ٠‬ ‫٢‬ ‫2‬ ‫س ٥: س = - ١‬ ‫س2 – 94 = 0‬ ‫٣ س٢ = - ٥‬ ‫–8 =0‬ ‫س )س = – ١١ ( = ٠‬ ‫س - ٦‬ ‫س2 = 94‬ ‫س =‬ ‫٢‬ ‫س – 63 = 0‬‫2‬ ‫س -‬ ‫س= ٠‬ ‫س -= 7‬ ‫+‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫س2 = 63‬ ‫١١ = ٠‬ ‫ح =}+7 ، -7‬ ‫س = 6‬ ‫س=‬ ‫{‬ ‫+= } + 6 ، - 6‬ ‫ح‬ ‫١١‬ ‫{ -‬ ‫٢ ح = } ٠ ، ١١ {‬ ‫حل آخر‬ ‫٢‬ ‫٢ س ٢ - ٥٤ = - ٣ س‬ ‫٢ س + ٧ س= ٠‬ ‫س – ٩٤ = ٠‬ ‫٢‬ ‫٢ س + ٣ س = ٥٤‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫س ) ٢ س+ ٧ ( = ٠‬ ‫) س+ ٣ ( ) س – ٣ (‬ ‫٥ س = ٥٤‬ ‫٢‬ ‫٢ س+ ٧‬ ‫س= ٠‬ ‫= ٠‬ ‫س = ٥٤ ÷ ٥‬ ‫٢‬ ‫= ٠‬ ‫س –‬ ‫س+ ٣ = ٠‬ ‫س = ٩‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٣ = ٠‬ ‫س= ± ٣‬ ‫س= - ٧‬ ‫+‬ ‫س‬ ‫س= - ٣‬ ‫ح = } + ٣ ، - ٣{‬ ‫س=‬ ‫= ٣‬ ‫ح= } ٠ ، {‬ ‫ح= } - ٣ ،+ ٣ {‬ ‫2‬
  • 3.
    ‫س ٢ =- ٣ س + ٠١‬ ‫) س+ ٣ ( – ٤ = ٠‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٣ س – ٠١ = ٠‬ ‫) س+ ٣ (٢ = ٤‬ ‫س ٦:‬ ‫) س+ ٢ ( ) س – ٥ ( =‬ ‫) س+ ٣ ( =± ٢‬ ‫٠‬ ‫س+‬ ‫س+ ٣ = ٢‬ ‫س‬ ‫س+ ٢ = ٠‬ ‫٣ =- ٢‬ ‫– ٥ = ٠‬ ‫س=‬ ‫س= ٢ - ٣‬ ‫س‬ ‫س= - ٢‬ ‫-٢ - ٣‬ ‫= ٥‬ ‫س= - ١‬ ‫ح = } - ٢ ، ٥{‬ ‫س )سس + ٢ ( = ٨‬ ‫= - ٥‬ ‫) س - ٤ ( )سس + ١ ( = ٦‬ ‫ح ٢ + } - س، = ٨{‬ ‫س = ٢ ١ - ٥‬ ‫س٢ – ٣ س – ٤ – ٦ = ٠‬ ‫س٢ + ٢ س – ٨ = ٠‬ ‫س ٢ – ٣ س – ٠١ = ٠‬ ‫) س - ٢ ( ) س+ ٤ ( = ٠‬ ‫) س+ ٢ ( ) س – ٥ ( =‬ ‫س+‬ ‫س - ٢ = ٠‬ ‫٠‬ ‫٤ = ٠‬ ‫س‬ ‫س+ ٢ = ٠‬ ‫س‬ ‫س= ٢‬ ‫– ٥ = ٠‬ ‫تمارين ) ٥ –= ٢ (٤‬ ‫-‬ ‫س= - ٢‬ ‫ح = } ٢ ، - ٤{‬ ‫س ١ : فقرة س = ٥‬ ‫ب‬ ‫ح = } - ٢ ، ٥{‬ ‫س ٢:‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫3=9‬ ‫=3‬ ‫9 = 18‬ ‫=9‬ ‫العبارة هي س2 + 6 س + 9 =‬ ‫العبارة هي س2 - 81 س + 18 =‬ ‫2‬ ‫) س +3(‬ ‫) س – 29 (‬ ‫) (2 =‬ ‫=‬ ‫2‬ ‫6 = 63‬ ‫=6‬ ‫العبارة هي س - 7 س + = ) س‬ ‫2‬ ‫العبارة هي س + 21 س + 63 = )‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫– (‬ ‫2‬ ‫س ٣: س + 6 (‬ ‫س٢ – ٦ س = ٨‬ ‫س٢ – ٦ = ٠‬ ‫س٢ – ٧ س – ٨ = ٠‬ ‫س ٢ – ٦ س + ٣٢ = ٨ + ٣٢‬ ‫س٢ = ٦‬ ‫) س+ ١ ( ) س – ٨ (‬ ‫) س – ٣ ( ٢ = ٧١‬ ‫س= ±‬ ‫= ٠‬ ‫س – ٣ =±‬ ‫س ح= } ، - {‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫س – ٣ = -‬ ‫س -٣ = +‬ ‫– ٨ = ٠‬ ‫س= - +‬ ‫س=+ + ٣‬ ‫س= - ١‬ ‫٣‬ ‫س= ٨‬ ‫ح= }+ + ٣ ، - + ٣ {‬ ‫ح = } - ١ ، ٨{‬ ‫٢ ) س – ٣ ( ٢ = ٢١‬ ‫س٢ – ٦ س – ٨ = ٠‬ ‫) س – ٣ (٢ =‬ ‫س٢ - ٦ س = ٨‬ ‫) س – ٣ (٢ = ٦‬ ‫٢‬ ‫س ٢ - ٦ س + ٣٢ = ٨ + ٣‬ ‫٢ س =٣ ٣ س - ٥‬ ‫– - =±‬ ‫٢‬ ‫) س - ٢ ٣–( ٢ ٤= ٧١ – ٥ = ٠‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س – ٣ = -‬ ‫س +٣ ٣= + = - ٥‬ ‫س‬ ‫س -‬ ‫٢‬ ‫س -س = ± ٤ س = ٥‬ ‫٣ –‬ ‫٢‬ ‫س = س =٣‬ ‫س + + +‬ ‫س - ٣ – +٤ س + ٢ = ٥س - ٣ = -‬ ‫+ ٢‬ ‫س =‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫س= - +‬ ‫٢‬ ‫٣ ٢ + ٢ س + ) (٢ = + ) (‬ ‫س‬ ‫س= -+ ٣‬ ‫س = س+ – ٢ ( ٢ = ٩‬ ‫) + ٣‬ ‫) س + – ( ٢ ٦=س – ٨ = ٠‬ ‫٢ س‬ ‫س – ٢ =± ٣‬ ‫ح٢ = } + + ٣ ، - + ٣ {‬ ‫س – ح س‪٠ = ٤ – Ø‬‬ ‫=‬ ‫٣‬ ‫س‬ ‫س –ح = س + ٣ ، - + ٣ {‬ ‫س - ٢ = } + ٣= ٠‬ ‫٦ +‬ ‫٢‬ ‫) س+ ١ ( ) س – ٤ ( =‬ ‫{ س ٢ س- ٣ ٦ ( = ٠‬ ‫– ) = –‬ ‫٠‬ ‫س=‬ ‫س – ٦‬ ‫س ==٠ + ٣ + ٢‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫س ٤:‬ ‫=- ٠ ٣ + ٢‬ ‫– ٤ = ٠‬ ‫س3‬ ‫س=‬ ‫س= ٥‬ ‫س= - ١‬ ‫٦= - ١‬ ‫س= ٤‬ ‫ح = } ٠ ، ٦{ ح = } + ٥ ، - ١ {‬
  • 4.
    ‫- س٢ –٤ س = ٣‬ ‫س٢ + ٤ س = - ٣‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٤ س + ٢٢ = - ٣ + ٢‬ ‫) س+ ٢ (٢ = ١‬ ‫س+ ٢ =± ١‬ ‫س‬ ‫س +٢ = + ١‬ ‫- 4 س2 + 3 س = - 2‬ ‫+ ٢ = - ١‬ ‫4 س2 - 3 س = 2‬ ‫س‬ ‫س=+ ١ - ٢‬ ‫س2 - س =‬ ‫= - ١ - ٢‬ ‫2‬ ‫س2 - س + ) (2= + ) (‬ ‫س= - ١‬ ‫) س - (2 =‬ ‫س= - ٣‬ ‫س -=±‬ ‫ح= } - ١ ، - ٣ {‬ ‫س -=-‬ ‫س -=+‬ ‫س =-+‬ ‫س =++‬ ‫{‬ ‫، -‬ ‫ح =}‬ ‫4‬
  • 5.
    ‫س٢ + ٣س = - ٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٣ س ) (٢ = - ٢ + ) (‬ ‫) س + (٢ =‬ ‫س+= ±‬ ‫س+=‬ ‫س+= +‬ ‫س2 – س - 3 = 0‬ ‫-‬ ‫س2 - س = 3‬ ‫س= - -‬ ‫س=+ -‬ ‫2‬ ‫س 2 - س + ) ( 2= 3 + ) (‬ ‫س= - ١‬ ‫) س - (2 =‬ ‫س= - ٢‬ ‫س -=±‬ ‫ح= } - ١ ، - ٢ {‬ ‫س -=-‬ ‫س -=+‬ ‫+‬ ‫س =-‬ ‫+‬ ‫س =+‬ ‫{‬ ‫، -‬ ‫ح =}‬ ‫س٢ + ٢ س + ٣ = ٠‬ ‫س٢ + ٢ س = - ٣‬ ‫س ٢ + ٢ س ١٢ = - ٣‬ ‫٢‬ ‫+ ١‬ ‫) س+ ١ ( =- ٢‬ ‫٢‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫س ٥: س + ٦ س + ٩ = - ٤) ٢ س + ٣ ( ٢ + ٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ - ٤ س + ٤ = ٦١‬ ‫) س - ٢ ( ٢ = ٦١‬ ‫= ٠‬ ‫) س+ ٣ (٢ =- ٤‬ ‫س – ٢ =± ٤‬ ‫)٢ س+ ٣ (٢ =-‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫س‬ ‫س – ٢ = ٤‬ ‫٢‬ ‫– ٢ =- ٤‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫) ٦ س + ١ ( ٢ + ٢ = ٦٤١‬ ‫س‬ ‫س= ٤ + ٢‬ ‫) ٦ س + ١ ( ٢ = ٦٤١ – ٢‬ ‫=- ٤ + ٢‬ ‫) ٦ س + ١ ( ٢ = ٤٤١‬ ‫س= ٦‬ ‫٦ س + ١ = ± ٢١‬ ‫) س – ٣ ٢( ) س – ٣ (‬ ‫س = -‬ ‫٦ س+‬ ‫٦ س + ١ = ٢١‬ ‫ح = }٦،-٢{‬ ‫= ٩٤‬ ‫١ = - ٢١‬ ‫) س - ٣ ( = ٩٤‬ ‫٢‬ ‫٦ س=‬ ‫٦ س = ٢١ - ١‬ ‫س – ٣ =± ٧‬ ‫- ٢١ – ١‬ ‫س‬ ‫س – ٣ = ٧‬ ‫٦ س‬ ‫٦ س = ١١‬ ‫– ٣ =- ٧‬ ‫= - ٣١‬ ‫س‬ ‫س= ٧ + ٣‬ ‫س= -‬ ‫س=‬ ‫= س ٢ + ٣س - = ٠‬ ‫٢ - ٧ -‬ ‫ب(‬ ‫س ٦:‬ ‫٢‬ ‫أ ( ) سح+=١} (، -) ٢ س + ٣ ( = س‬ ‫{‬ ‫سس ٢ – ١١ س – ٣ = ٠‬ ‫٠٢ = ٠١‬ ‫– ١‬ ‫) س س- – ٣ ( ) ٥ س + ١ (‬ ‫٤ = ٤‬ ‫) س+ ١ ( ) ٢ س+ ٣ (= ) س‬ ‫= ٠‬ ‫+ ١ ( ) س – ١ (‬ ‫٥‬ ‫٤ س – ٣ = ٠‬ ‫بقسمة الطرفين على ) س + ١ (‬ ‫س+ ١ = ٠‬ ‫٢ س+ ٣= س – ١‬ ‫٥‬ ‫٤ س= ٣‬ ‫٢ س – س= - ١ – ٣‬ ‫س= - ١‬ ‫س= - ٤‬ ‫س‬ ‫س=‬ ‫ح = }-٤{‬ ‫=‬ ‫ح= } ، {‬ ‫5‬
  • 6.
    ‫تمارين ) ٥– ٣ (‬ ‫س ٢ : العدد الول = س‬ ‫س ١ : العدد الول = س‬ ‫العدد الثاني = س – ٢‬ ‫العدد الثاني = س +‬ ‫٢‬ ‫مربع العدد الول = س‬ ‫٥‬ ‫٢‬ ‫مربع العدد الثاني = ) س – ٢ (‬ ‫العدد الول × العدد الثاني‬ ‫مربع الول + مربع الثاني = ٠٠١‬ ‫= ٤٢‬ ‫س ٢ + ) س - ٢ ( ٢ = ٠٠١‬ ‫س ) س + ٥ ( = ٤٢‬ ‫س ٢ + س ٢ - ٤ س + ٤ = ٠٠١‬ ‫س ٢ + ٥ س = ٤٢‬ ‫٢ س ٢ - ٤ س = ٠٠١ – ٤‬ ‫س ٢ + ٥ س – ٤٢ =‬ ‫٢ س ٢ – ٤ س = ٦٩‬ ‫٠‬ ‫٢ س ٢ – ٤ س – ٦٩ = ٠‬ ‫) س – ٣ ( ) س+‬ ‫س ٢ – ٢ س – ٨٤ = ٠‬ ‫٨ ( = ٠‬ ‫) س – ٨ ( ) س+ ٦ ( = ٠‬ ‫س – ٣ = ٠‬ ‫س+‬ ‫س – ٨ = ٠‬ ‫س+ ٨ = ٠‬ ‫٦ = ٠‬ ‫س= ٣‬ ‫س=‬ ‫س= ٨‬ ‫س= - ٨‬ ‫- ٦‬ ‫مقبول‬ ‫مقبول‬ ‫مقبول‬ ‫العدد‬ ‫العدد الول = ٨‬ ‫الول = - ٦‬ ‫العدد‬ ‫العدد الثاني = ٨ - ٢ = ٦‬ ‫الثاني = - ٦ - ٢ = - ٨‬ ‫6‬
  • 7.
    ‫س ٤:‬ ‫س ٣ : العدد الول = س‬ ‫الول = س‬ ‫العدد الثاني = س + ٢‬ ‫الثاني = س + ١‬ ‫ناتج ضربهما = س ) س + ٢ ( =‬ ‫٢‬ ‫مربع الول = س‬ ‫س٢ + ٢ س‬ ‫٢‬ ‫مربع الثاني = ) س + ١ ( = س‬ ‫٢‬ ‫مجموعهما = س + ) س + ٢ ( = ٢‬ ‫+ ٢ س+ ١‬ ‫س+ ٢‬ ‫س ٢ – ) س + ٢ س + ١ ( = ٥١‬ ‫٢‬ ‫ثلثة أمثال مجموعهما = ٣ ) ٢ س‬ ‫س ٢ – س ٢ - ٢ س - ١ = ٥١‬ ‫+ ٢ ( = ٦ س+ ٦‬ ‫- ٢ س – ١ = ٥١‬ ‫٦ س+ ٦ – ) س + ٢ س (= ٦‬ ‫٢‬ ‫٢ س + ١ = - ٥١‬ ‫٦ س + ٦ - س٢ - ٢ س = ٦‬ ‫٢ س = - ٥١ - ١‬ ‫- س٢ + ٤ س = ٦ – ٦‬ ‫٢ س = - ٦١‬ ‫س٢ – ٤ س = ٠‬ ‫س= - ٨‬ ‫س ) س – ٤ ( = ٠‬ ‫الول = - ٨‬ ‫س‬ ‫س= ٠‬ ‫الثاني = - ٨ + ١ = - ٧‬ ‫- ٤ = ٠‬ ‫س‬ ‫س= ٣‬ ‫س ٦ : الطول = ط‬ ‫س٤٥ : العدد = س‬ ‫=‬ ‫العرض = ع‬ ‫معكوسه الضربي =‬‫مقبول‬ ‫٢ × ) ط + ع ( = ٦٧‬ ‫مقبول أمثال معكوسه الضربي =‬ ‫ثمانية‬ ‫ط + ع = ٦٧ ÷ ٢ = ٨٣‬ ‫الول‬ ‫س+==‬ ‫الول ٢ ٠‬ ‫ع = ٨٣ - ط‬ ‫س٢ + ٢ س = ٨‬ ‫ط × ع = ٠٦٣‬ ‫س٢ + ٢ س – ٨ = ٠‬ ‫ط ) ٨٣ – ط ( = ٠٦٣‬ ‫) س – ٢ ( ) س+ ٤ ( = ٠‬ ‫٨٣ ط – ط ٢ = ٠٦٣‬ ‫س - ٢ = ٠‬ ‫ط ٢ – ٨٣ ط + ٠٦٣ = ٠‬ ‫س+ ٤ = ٠‬ ‫) ط – ٨١ ( ) ط – ٠٢ ( = ٠‬ ‫س= ٢‬ ‫ط - ٨١ = ٠‬ ‫س= - ٤‬ ‫ط - ٠٢ = ٠‬ ‫مقبول‬ ‫ط = ٨١‬ ‫مرفوض‬ ‫ط = ٠٢‬ ‫العدد = ٢‬ ‫مرفوض‬ ‫س ٨ : ] م ن [ محصورة بين منتصفي‬ ‫مقبول‬ ‫ضلعي المثلث أ ب جس‬ ‫س ٧ : القاعدة = ق‬ ‫أي أن │ = ٠٢│ = │ ب جس│‬ ‫طم ن‬ ‫│ ب جس│ = ٨٣ –م ٠٢ = ٨١‬ ‫الرتفاع = ع‬ ‫ع= ٢ │ ن │‬ ‫ق= ٢ ع‬ ‫= ٢ × ٢‬ ‫س٢ + ٦ س‬ ‫= ١٢١‬ ‫= ٤‬ ‫س٢ + ٦ س‬ ‫= ١٢١‬ ‫+ ٣٢ = ٤ + ٣٢‬ ‫س٢ + ٦ س‬ ‫ع ٢ = ١٢١‬ ‫= ٣١‬ ‫٢‬ ‫) س+ ٣ (‬ ‫ع = ± ١١‬ ‫س+ ٣ =±‬ ‫ع = ١١‬ ‫س= - -‬ ‫س= - ٣‬ ‫ق = ٢ × ١١ = ٢٢‬ ‫٣‬ ‫مقبول‬ ‫مرفوض‬ ‫س =7 - ٣‬
  • 8.
    ‫س ٠١ :عدد الفقراء = س‬ ‫س ٩ : عدد السنوات المطلوبة = س‬ ‫نصيب الفقير الواحد =‬ ‫عمر الب بعد س سنة = س + ٢٣‬ ‫عدد الفقراء بعد الزيادة = س + ٥‬ ‫عمر البن بعد س سنة = س + ٢‬ ‫نصيب الفقير الواحد بعد الزيادة =‬ ‫مربع عمر البن = ) س + ٢ ( ٢‬ ‫نصيب الفقير قبل الزيادة – ٤ = نصيب‬ ‫مربع عمر البن = عمر الب‬ ‫الفقير بعد الزيادة‬ ‫) س + ٢ ( ٢ = س + ٢٣‬ ‫- ٤ =‬ ‫س ٢ + ٤ س + ٤ = س + ٢٣‬ ‫٠٠٤ س - ٤ س – ٠٢ س + ٠٠٠٢ =‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٣ س – ٨٢ = ٠‬ ‫٠٠٤ س‬ ‫) س+ ٧ ( ) س – ٤ ( = ٠‬ ‫٤ س ٢ + ٠٢ س – ٠٠٠٢ = ٠‬ ‫س‬ ‫س+ ٧ = ٠‬ ‫س ٢ + ٥ س – ٠٠٥ = ٠‬ ‫– ٤ = ٠‬ ‫) س + ٥٢ ( ) س – ٠٢ ( = ٠‬ ‫س‬ ‫س= - ٧‬ ‫س‬ ‫س + ٥٢ = ٠‬ ‫= ٤‬ ‫– ٠٢ = ٠‬ ‫مرفوض‬ ‫س‬ ‫س = - ٥٢‬ ‫مقبول‬ ‫= ٠٢‬ ‫عد السنوات المطلوبة = ٤ سنوات‬ ‫مرفوض‬ ‫مقبول‬ ‫عد الفقراء = ٠٢ فقيرا‬ ‫عدد الفقراء الذين وزع عليهم المبلغ =‬ ‫٠٢ + ٥ = ٥٢ فقيرا‬ ‫س11: السرعة فبل الزيادة = س‬ ‫الزمن =‬ ‫الزمن =‬ ‫السرعة بعد الزيادة = س + 5‬ ‫الزمن قبل الزيادة - 2 = الزمن بعد الزيادة‬ ‫-2=‬ ‫003 س – 2 س + 0051 – 01 س = 003 س‬ ‫2‬ ‫- 2 س2 + 091 س + 0051 – 003 س = 0‬ ‫2 س2 + 01 س – 0051 = 0‬ ‫س2 + 5 س – 057 = 0‬ ‫) س - 52 ( ) س + 03 ( = 0‬ ‫س + 03 = 0‬ ‫س - 52 = 0‬ ‫س = - 03‬ ‫س = 52‬ ‫مرفوض‬ ‫مقبول‬ ‫السرعة قبل الزيادة = 52 كم / ساعة‬ ‫تمارين ) ٥ – ٤ (‬ ‫السرعة بعد الزيادة = 52 + 5 = 03 كم / ساعة‬ ‫أول :‬ ‫الجابة الصحيحة‬ ‫رقم‬ ‫السؤال‬ ‫١‬ ‫} ٠ ، ٢ {‬ ‫٢‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫٣‬ ‫8‬
  • 9.
    ‫س٢ + ٤س + ٤ = ٠‬ ‫٤‬ ‫٩‬ ‫٥‬ ‫} ٤ ، - ٤ {‬ ‫٦‬ ‫٤ س + ٦ = ٠٥‬ ‫٧‬ ‫) ٢ ( ) س – ٣ ( ) س‬ ‫س٢ + ٢ =‬ ‫ثاني ا : ) ١ (‬ ‫+ ٣ ( = ٤‬ ‫٠‬ ‫س٢ – ٩ = ٤‬ ‫س + ٤ = ٠‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٣١‬ ‫س٢ = - ٤‬ ‫س= ± س ) ٢ – س (‬ ‫) ٤ (‬ ‫) ٣ ح = س٢ + ٢ س +‬ ‫‪Ø‬‬ ‫(‬ ‫ح = ٣} ، - {‬‫=‬ ‫٤ = ٠‬ ‫٢ س – س = ٣‬ ‫٢‬ ‫س٢ + ٢ س = - ٤‬ ‫س٢ - ٢ س = - ٣‬ ‫س ٢ + ٢ س + ١ ٢= - ٤ +‬ ‫س ٢ – ٢ س + ١٢ = - ٣‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫٢‬ ‫+ ١‬ ‫) س+ ١ (٢ =- ٣‬ ‫) س – ١ ( =- ٢‬ ‫٢‬ ‫ح= ‪Ø‬‬ ‫- = ٢‬ ‫ح) =٦‪Ø‬‬ ‫(‬ ‫س – ٠١ + = ٠‬ ‫) ٥ (‬ ‫س ٢ – ٠١ س + ٧ = ٠‬ ‫س ) س+ ١ ( – ٢ ) س – ٣ (‬ ‫س ٢ – ٠١ س = - ٧‬ ‫= ٦ × ٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ – ٠١ س + ٥ ٢ = - ٧ + ٥‬ ‫س ٢ + س – ٢ س + ٦ = ٢١‬ ‫) س – ٥ ( ٢ = ٨١‬ ‫س٢ – س - ٦ = ٠‬ ‫س – ٥ =±‬ ‫) س – ٣ ( ) س+ ٢ ( = ٠‬ ‫س- ٥ = -‬ ‫س – ٥=‬ ‫س+‬ ‫س – ٣ = ٠‬ ‫س= - + ٥‬ ‫س= + ٥‬ ‫٢ = ٠‬ ‫ح= } + ٥ ، - + ٥ {‬ ‫س=‬ ‫س= ٣‬ ‫ح= } ٣ + ٥ ، - ٣ + ٥ {‬ ‫- ٢‬ ‫عدد الباريق التي‬ ‫) ١ (‬ ‫ح= } ٣ ، - ٢ {‬ ‫اشتراها = س‬ ‫س+ = ٣‬ ‫) ٢ (‬ ‫ثالث ا :ثمن شراء البريق =‬ ‫بتربيع الطرفين‬ ‫عدد الباريق بعد نقلها = س - ٢‬ ‫٢‬ ‫) س + (٢ = ) ٣ (‬ ‫ثمن بيع البريق =‬ ‫س ٢ + ٤ + = ٨١‬ ‫ثمن شراء البريق = ثمن بيع‬ ‫س ٢ + = ٨١ _ ٤‬ ‫البريق + ٣‬ ‫س ٢ + = ٤١‬ ‫= + ٣‬ ‫٣ س ٢ – ٠٨ س + ٠٠٥ = ٠‬ ‫) ٣ س – ٠٥ ( ) س - ٠١ ( = ٠‬ ‫س‬ ‫٣ س – ٠٥ = ٠‬ ‫- ٠١ = ٠‬ ‫س=‬ ‫س=‬ ‫٠١‬ ‫عدد الباريق التي اشتراها = ٠١‬ ‫أباريق‬ ‫9‬
  • 10.
    ‫عرض الممر =س‬ ‫) ٣ (‬ ‫عرض البركة والممر = ٢ س + ٢١‬ ‫طول البركة والممر = ٢ س + ٠٢‬ ‫الطول × العرض = ٠٦٥‬ ‫) ٢ س + ٠٢ ( ) ٢ س + ٢١ ( =‬ ‫٠٦٥‬ ‫٤ س + ٤٦ س + ٠٤٢ = ٠٦٥‬ ‫٢‬ ‫س ٢ + ٦١ س + ٠٦ = ٠٤١‬ ‫س ٢ + ٦١ س – ٠٨ = ٠‬ ‫)سس – ٤ ( ) س + ٠٢ ( = ٠‬ ‫س+‬ ‫س – ٤ = ٠‬ ‫٠٢ = ٠‬ ‫س = تمارين ) ٦ – ١ (‬ ‫-‬ ‫س= ٤‬ ‫هـ‬ ‫ص‬ ‫أ‬ ‫س٠٢:‬ ‫١‬ ‫عرض الممر = ٤ م‬ ‫81‬ ‫14‬ ‫9‬ ‫21‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫س‬ ‫ع‬ ‫جـ‬ ‫│ هس ز│ ٢ = │ 6 و│ ٢- │ و ز‬ ‫هس‬ ‫│ ع س │ ٢ = │ ع ص │ ٢- │ س‬ ‫│ أ جس │ ٢ب= │ أ ب │ ٢+│ ب‬ ‫61‬ ‫٢‬ ‫│‬ ‫٢‬ ‫ص │‬ ‫٢‬ ‫جس │‬ ‫٢‬ ‫│ هس ز│ = ٨١ - ) ٦ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫- ٩‬ ‫٢‬ ‫│ ع س│ = ١٤‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫+ ٦١‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس │ = ٢١‬ ‫٢‬ ‫│ هس ز│ ٢ = ٤٢٣ - ٠٨١‬ ‫│ ع س│ ٢ = ١٨٦١ - ١٨‬ ‫│ أ جس │ ٢ = ٤٤١ + ٦٥٢‬ ‫│ هس ز│ ٢ = ٤٤١‬ ‫│ ع س│ ٢ = ٠٠٦١‬ ‫│ أ جس │ ٢ = ٠٠٤‬ ‫ط‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫للطرفين‬ ‫للطرفين‬ ‫للطرفين‬ ‫ي‬ ‫7‬ ‫ح‬ ‫│ هس ز│ = ٢١‬ ‫│ ع س│ = ٠٤‬ ‫│ أ جس │ = ٠٢‬ ‫ق‬ ‫ن‬ ‫7‬ ‫ط‬ ‫│ م ق│ ٢ = │ ن ق│ ٢- │ م ن│‬ ‫7‬ ‫٢‬ ‫│ ط ي│ ٢ = │ ح ط│ ٢+│ ح‬ ‫│ ط ك│ ٢ = │ ك ل│ ٢+│ ل‬ ‫٢‬ ‫ي│‬ ‫٢‬ ‫- م ) ٧(‬ ‫│ م ق│ = ) (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ل‬ ‫ك‬ ‫2‬ ‫٢‬ ‫ط│‬ ‫٢‬ ‫│ ط ي│ = ٧ + ٧‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢ │ م ق│ = ٣٥ - ٩٤‬ ‫٢‬ ‫│ ط ك│ = ) ٢ ( + ) (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ ط ي│ ٢ = ٩٤ + ٩٤‬ ‫│ م ق│ ٢ = ٤‬ ‫│ ط ك│ ٢ = ٢١ + ٣١‬ ‫^ بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫│ ط ي│ = ٨٩أ م د قائم‬ ‫٢‬ ‫المثلث‬ ‫^‬ ‫أ م د = ٠٩‬ ‫│ ط ك│ ٢ = ٥٢‬ ‫س ٢: قطرا المعين متعامدانللطرفين‬ ‫٥‬ ‫بأخذ الجذر أالتربيعي‬ ‫الزاوية في التربيعي‬ ‫بأخذ الجذر م‬ ‫للطرفين‬ ‫│٢ م ق│ = ٢‬ ‫للطرفينم د│ ٢ = │ أ د│ ٢- │ أ م│‬ ‫│‬ ‫│ ط ي│ = 2.4 ٧‬ ‫=‬ ‫7‬ ‫٢‬ ‫│ م د│ = ٧ - ) ٢.٤ (‬ ‫٢‬ ‫│ ط ك│ = ٥ ٢‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫د‬ ‫│ م د│ ٢ = ٩٤ - ٤٦.٧١‬ ‫2.4‬ ‫│ م د│ ٢ = ٦٣.١٣‬ ‫أ‬ ‫01‬ ‫جـ‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫جـ‬ ‫│ م د│ = ٦.٥ سم‬ ‫│ ب د│ = ٢ × ٦.٥ = ٢.١١ سم‬ ‫61‬ ‫س ٣ : المثلث أ ب جس قائم الزاوية‬ ‫01‬ ‫ب‬
  • 11.
    ‫│ ب جس│٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦١ ٢ + ٠١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦٥٢ + ٠٠١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦٥٣‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ ب جس│ ≈ ٩.٨١‬ ‫بعد الشخص عن نقطة النطلق ≈ ٩.٨١ م‬ ‫^ المثلث أ ب جس قائم الزاوية‬ ‫٥‬ ‫أ ب جس = ٠٩‬ ‫س ٤: زوايا المربع قوائم‬ ‫^‬ ‫في ب‬ ‫│ أ جس│ = │ أ ب│ +│ ب جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫د‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥ ٢ + ٥‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥٢ + ٥٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٠٥‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫5‬ ‫│ أ جس│ = = ٥‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫س ٥ : نفرض أن طول ضلع المربع = س‬ ‫٥‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│‬ ‫د‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫٠١٢ = س ٢ + س‬ ‫٢‬ ‫٠٠١ = ٢ س‬ ‫س ٢ = ٠٥‬ ‫01‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫س‬ ‫س = = ٥‬ ‫^‬ ‫س ٦ : نرسم م ن عمودي على الوتر ] أ ب [ فنحصل على المثلث أأ ن م القائم الزاوية في‬ ‫4 جـ ب‬ ‫ن‬ ‫س‬ ‫4‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫وحيث أن الفطر العمودي على وتر في دائرة يمر في منتصف ذلك الوتر فإن │ أ ن│=‬ ‫5‬ ‫×م‬ ‫٤ سم‬ ‫٢‬ ‫│ م ن│ = │ أ م│ - │ أ ن│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ م ن│ ٢ = ٥ ٢ - ٤‬ ‫│ م ن│ ٢ = ٥٢ - ٦١‬ ‫│ م ن│ ٢ = ٩‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ م ن│ = ٣‬ ‫أي أن مركز الدائرة يبعد عن الوتر مسافة ٣ سم ٠‬ ‫س ٧: المثلث أ ن م قائم الزاوية في ن‬ ‫^‬ ‫ب‬ ‫٣‬ ‫ن‬ ‫٣‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ م│ ٢ = │ أ ن│ ٢+│ م ن│‬ ‫٤‬ ‫٢‬ ‫│ أ م│ ٢ = ٣ ٢ + ٤‬ ‫٤‬ ‫│ أ م│ ٢ = ٩ + ٦١‬ ‫×م‬ ‫│ أ م│ ٢ = ٥٢‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫11‬
  • 12.
    ‫│ أ م│= ٥‬ ‫أي أن طول نصف قطر الدائرة = ٥ سم ٠‬ ‫س ٨ : المثلث أ هس د قائم الزاوية في هس‬ ‫^‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ هس│ ٢+│ هس د│‬ ‫ب‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٨ ٢ + ٦‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٤٦ + ٦٣‬ ‫8‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٠٠١‬ ‫أ‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ أ د│ = ٠١‬ ‫جـ‬ ‫مساحة المثلث = = ٤٢ سم ٢‬ ‫8‬ ‫مساحة المستطيل = ٠١ × ٨ = ٠٨ سم ٢‬ ‫مساحة الشكل = ٤٢ + ٠٨ = ٤٠١ سم ٢‬ ‫د‬ ‫هـ‬ ‫6‬ ‫س ٩: المثلث الموجود على الشكل قائم الزاوية لن البرج عمودي على سطح الرض‬ ‫س‬ ‫05‬ ‫س ٢ = ٠٢١٢ + ٠٥٢‬ ‫س ٢ = ٠٠٤٤١ + ٠٠٥٢‬ ‫021‬ ‫س ٢ = ٠٠٩٦١‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫س = ٠٣١‬ ‫021‬ ‫طول السلك = ٠٣١ م‬ ‫٢‬ ‫س ٠١: │ ب جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ) ٢│ أ جس│ (٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٤│ أ جس│ ٢+│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٥│ أ جس│‬ ‫جس ^ ^‬ ‫س ١١ : أول : المثلثان أ ب جس ، د أ ^ متشابهان لن د = أ ، جس = جس‬ ‫^‬ ‫أ‬ ‫│ب جـ │‬ ‫│أ ب │‬ ‫│أ جـ │‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫│أ جـ │‬ ‫│أ د │‬ ‫│جـ د │‬ ‫نجد أن :‬ ‫│ب جـ │‬ ‫=‬ ‫من المساواة‬ ‫│أ جـ │‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫│أ جـ │‬ ‫│جـ د │‬ ‫د‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ جس د│×│ ب جس│‬ ‫^ ^ ^‬ ‫وكذلك المثلثان أ ب جس ، د ب أ متشابهان لن د = أ ، ب = ب‬ ‫^‬ ‫│ب جـ │‬ ‫│أ ب │‬ ‫│أ جـ │‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫│أ ب │‬ ‫│ب د │‬ ‫│أ د │‬ ‫21‬ ‫│ب جـ │‬ ‫│أ ب │‬ ‫=‬ ‫│أ ب │‬ ‫│ب د │‬
  • 13.
    ‫نجد أن :‬ ‫من المساواة‬ ‫│ أ ب│ ٢ = │ ب د│×│ ب جس│‬ ‫ثاني ا :‬ ‫│ أ جس│ = │ جس د│×│ ب‬ ‫٢‬ ‫المثلث أ ب جس قائم الزاوية │ أ ب│ = │ ب د│×│ ب جس│‬ ‫٢‬ ‫جس│‬ ‫٦١٢ = │ ب د│ × ٠٢‬ ‫في أ‬ ‫٢١ = │ جس د│ × ٠٢‬ ‫٢‬ ‫٦٥٢ = ٠٢ │ ب د│‬ ‫│ ب جس│ = │ أ ب│ +│ أ جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٤٤١ = ٠٢ │ جس د│‬ ‫│ ب د│ = ٨.٢١ سم‬ ‫٢‬ ‫│ جس د│ = ٢.٧ سم‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦١ ٢ + ٢١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٦٥٢ + ٤٤١‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٠٠٤‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫للطرفين‬ ‫تمارين ) ٦ – ٢ (‬ ‫س ١: أ (‬ ‫٢‬ ‫٤‬ ‫١١ = ١٢١‬ ‫٢‬ ‫= ٦١‬ ‫) (٢ = ٣‬ ‫٠٦ = ٠٠٦٣‬ ‫٢‬ ‫) ٣ ( ٢ = ٧٢‬ ‫١٦ ٢ = ١٢٧٣‬ ‫٧٢ ≠ ٦١ + ٣‬ ‫١٢٧٣ = ١٢١ + ٠٠٦٣‬ ‫٢‬ ‫) ٣ ( ٢ ≠ ٤٢ + ) (‬ ‫٢‬ ‫١٦ ٢ = ١١ ٢ + ٠٦‬ ‫و حسب‬ ‫وحسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫فإن الطوال‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫ليست لمثلث قائم الزاوية‬ ‫) .٤‬ ‫٦ ٢ = ٦٣‬ ‫٥ ( ٢= ٥٢.٠٢‬ ‫) .٧‬ ‫٣٢ = ٩‬ ‫٥ ( ٢= ٥٢.٦٥‬ ‫٦٢ =‬ ‫= ٧٢‬ ‫٢‬ ‫) ٣ (‬ ‫٦٣‬ ‫٥٢.٦٥ =‬ ‫٦٣ = ٩ + ٧٢‬ ‫٥٢.٠٢ + ٦٣‬ ‫) ٥.٧ ( = ) .٤‬‫٢‬ ‫٢‬ ‫٦ = ٣ +) ٣ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٥ (٢ + ٦‬ ‫٢‬ ‫و‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫31‬
  • 14.
    ‫فإن الطوال لمثلثقائم الزاوية‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫^‬ ‫← المثلث أ د ب قائم الزاوية في د‬ ‫٥‬ ‫س ٢ : أ ب ┴ ب جس ← أ د ب = ٠٩‬ ‫٢‬ ‫│ أ ب│ ٢ = │ أ د│ ٢+│ د ب│‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٦ ٢ + ٢١‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٦٣ + ٤٤١‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٠٨١‬ ‫6‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫جـ‬ ‫│ أ ب│ = ٦‬ ‫ب‬ ‫قائم الزاوية في د‬ ‫21‬ ‫^ أ د جس = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د جس 3 د‬ ‫أ ب ┴ ب جس ←‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ د│ +│ د جس│‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦ ٢ + ٣‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦٣ + ٩‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥٤‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ أ جس│ = ٣‬ ‫في المثلث أ ب جس نجد أن :‬ ‫│ ب جس│ = ٥١ = ٥٢٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫،‬ ‫، │ أ ب│ = ) ٦ ( = ٠٨١‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ) ٣ ( ٢ = ٥٤‬ ‫٥٢٢ = ٥٤ + ٠٨١‬ ‫٢‬ ‫٥١ ٢ = ) ٣ ( ٢ + ) ٦ (‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = │ أ جس│ ٢+│ أ ب│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ ب جس قائم الزاوية في ب‬ ‫^‬ ‫أ‬ ‫٥‬ ‫أي أن ب أ جس = ٠٩‬ ‫1‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ د│‬ ‫س ٣ : من المثلث أ ب جس‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫│ ب د│ = ١٢ + ) ( ٢‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = ١ + ٣‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٤‬ ‫د‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ ب د│ = ٢‬ ‫│ب‬ ‫،‬ ‫، │ د جس│ = ) ( = ٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫في المثلث ب جس د نجد أن : │ ب جس│ = ) ( = ٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫د│ ٢ = ٢ ٢ = ٤‬ ‫٤ = ٢ + ٢‬ ‫٢‬ ‫٢٢ = ) ( ٢ + ) (‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ ب جس│ ٢+│ د جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث ب جس د قائم الزاوية في جس‬ ‫^ ^‬ ‫^ ^‬ ‫^‬ ‫أ ، جس متكاملتان‬ ‫أ + جس = ٠٩ ٥ + ٠٩ ٥ = ٠٨١ ٥ ←‬ ‫جس = ٠٩ ٥ ←‬ ‫أي أن‬ ‫س ٤ : في المثلث أ ب جس نجد أن :‬ ‫41‬
  • 15.
    ‫│ ب جس│٢ = ٥١ ٢ = ٥٢٢‬ ‫،‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٨ ٢ = ٤٦‬ ‫،‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٧١ ٢ = ٩٨٢‬ ‫ب‬ ‫8‬ ‫٩٨٢ = ٤٦ + ٥٢٢‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫٧١ ٢ = ٨ ٢ + ٥١‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ ب جس قائم الزاوية في71 ب‬ ‫51‬ ‫^‬ ‫٥‬ ‫أي أن ب أ جس = ٠٩‬ ‫وبما أن الشكل متوازي أضلع إحدى زواياه قائمة فإن الشكل مستطيل‬ ‫جـ‬ ‫د‬ ‫س ٥ : أ ^جس ب = ٠٩ ٥ ← المثلث أ جس ب قائم الزاوية في جس‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢- │ ب جس│‬ ‫أ‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ) ٥.٧ ( ٢ - ) ٥.٤ (‬ ‫5.7‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٥٢.٦٥ - ٥٢.٠٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦٣‬ ‫ب‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫8.4‬ ‫│ أ جس│ = ٦‬ ‫5.4‬ ‫د‬ ‫في المثلث أ د جس نجد أن :‬ ‫٢ جـ‬ ‫= ٩.٢١‬ ‫٢‬ ‫6.3 جس│ = ) ٦.٣ (‬ ‫│د‬ ‫،‬ ‫، │ أ د│ = ) ٨.٤( = ٤٠.٣٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٦ ٢ = ٦٣‬ ‫٦‬ ‫٦٣ = ٤٠.٣٢ + ٦٩.٢١‬ ‫٦ ٢ = ) ٨.٤( ٢ + ) ٦.٣ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ د│ ٢+│ د جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ د جس قائم الزاوية في د‬ ‫٥‬ ‫أي أن أ د جس = ٠٩‬ ‫^‬ ‫تمارين ) ٦ – ٣ (‬ ‫أ ( مثلث قائم الزاوية‬ ‫ب ( مثلث قائم الزاوية ومتطابق الضلعين‬ ‫ج ( مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫س ٢ : أ ( س = ٠١‬ ‫ب ( س= ٢ × ٣ = ٦‬ ‫ج ( س = ٣٢‬ ‫س ٣ : أ ( طول الضلع المواجه للزاوية ٠٣ ٥ = = ٤‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ ٥ = × = ٤‬ ‫ب ( طول الوتر = ٢ × ٥ = ٠١‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ = × = ٥‬ ‫٥‬ ‫ج ( طول الوتر = × × طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ = × × ٠١ = ×‬ ‫٥‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٣ ٥ = × طول الوتر = × × = ×‬ ‫س ٤ : في المثلث أ ب جس‬ ‫│ أ ب│ = = ٥‬ ‫في المثلث أ ب د نجد أن :‬ ‫51‬
  • 16.
    ‫│ د ب│٢ = ٤ ٢ = ٦١‬ ‫،‬ ‫│ أ ب│ ٢ = ٥ ٢ = ٥٢‬ ‫،‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٣ ٢ = ٩‬ ‫أ‬ ‫٥٢ = ٩+ ٦١‬ ‫جـ‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫٢‬ ‫٥ ٢ = ٣ ٢+ ٤‬ ‫03‬ ‫د‬ ‫٢‬ ‫│ أ ب│ ٢ = │ أ د│ ٢+│ د ب│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث أ د ب قائم الزاوية 01 د‬ ‫في‬ ‫4‬ ‫ب‬ ‫س ٥ : أ ب ┴ ب جس ← أ د ب = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د ب قائم الزاوية في د‬ ‫^‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫جـ‬ ‫٥‬ ‫إذن ^ د أ ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫إذن المثلث أ د ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫│ أ ب│ = × × ٢ = ٤‬ ‫│ د ب│ = × ٤ = ٢‬ ‫أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب جس قائم الزاوية في أ‬ ‫د‬ ‫2‬ ‫٥‬ ‫^بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫إذن ^أ جس ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫ب‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫إذن المثلث أ ب جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫أ‬ ‫أ ب ┴ ب جس ← أ د جس = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د جس قائم الزاوية في د‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫^ د أ جس = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٣ ٥ ( = ٠٦‬ ‫إذن‬ ‫إذن المثلث أ د جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫│ أ جس│ = ٢ × ٢ = ٤‬ ‫│ د جس│ = × ٤ × = ٦‬ ‫│ ب جس│ = ٢ + ٦ = ٨‬ ‫^ أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب جس قائم الزاوية في أ‬ ‫س ٦:‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫إذن ^أ جس ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫إذن المثلث أ ب جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫أ ب ┴ ب جس ←^ أ د جس = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د جس قائم الزاوية في د‬ ‫جـ‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫إذن^ د أ جس = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٣ ٥ ( = ٠٦‬ ‫إذن المثلث أ د جس مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫^ أ د ب = ٠٩ ٥ ← المثلث أ د ب قائم الزاوية في د‬ ‫أ ب ┴ ب جس ←‬ ‫4‬ ‫٥‬ ‫بما أن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫د‬ ‫٥‬ ‫إذن ^ د أ ب = ٠٨١ ٥ – ) ٠٩ ٥ + ٠٦ ٥ ( = ٠٣‬ ‫إذن المثلث أ د ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫│ جس د│ = × ٤ × = ٢‬ ‫من المثلث أ د جس نجد أن‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫│ جس ب│ = × × ٤ =‬ ‫من المثلث أ ب جس نجد أن‬ ‫│ جس د│ = - ٢ =‬ ‫س ٧: │ أ جس│ = ×‬ ‫61‬
  • 17.
    ‫│ أ جس│=‬ ‫ب‬ ‫س ٨ : المثلث أ هس ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫أ‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫│ أ ب│ = ٢ × ٤ = ٨‬ ‫أ ب ⁄ ⁄ جس د لن المستطيل متوازي أضلع‬ ‫4‬ ‫بالتبادل‬ ‫٥‬ ‫^ أ جس = أ جس د = ٠٣‬ ‫^‬ ‫ب‬ ‫لن زوايا المستطيل قوائم‬ ‫٥‬ ‫ب جس د = ٠٩‬ ‫^‬ ‫هـ‬ ‫٥‬ ‫هس^ جس ب = ٠٩ – ٠٣ = ٠٦‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫جـ‬ ‫د‬ ‫^ هس جس = ٠٩ ٥ لن ب هس ┴ أ جس‬ ‫ب‬ ‫٥‬ ‫لن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫هس^ ب جس = ٠٨١ – ) ٠٩ + ٠٦ ( = ٠٣‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫إذن المثلث ب هس جس ثلثيني ستيني‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫│ ب جس│ = × × ٤ =‬ ‫مساحة المستطيل = ٨ × =‬ ‫5‬ ‫603‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫٥‬ ‫س ٩: أ ب جس = ٠٩‬ ‫هـ‬ ‫٥‬ ‫أ ^ ب هس = ٠٩ – ٠٣ = ٠٦‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫^‬ ‫^‬ ‫٥‬ ‫هس أ ب = ٠٨١ – ) ٠٩ + ٠٦ ( = ٠٣ لن مجموع زوايا المثلث = ٠٨١‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫إذن المثلث أ هس ب ثلثيني ستيني‬ ‫جـ‬ ‫و‬ ‫د‬ ‫│ أ ب│ = ٢ × ٦ = ٢١ سم‬ ‫محيط المربع = ٤ × ٢١ = ٨٤ سم‬ ‫تمارين ) ٦ – ٤ (‬ ‫س ١ : أ ( طول ضلع المثلث = نسق = ٥‬ ‫ب ( طول ضلع السداسي = نسق = ٥‬ ‫ج ( طول ضلع المربع = نسق = ٥‬ ‫س ٢ : أ ( طول نصف قطر الدائرة = × طول ضلع المثلث × = × ٥ × =‬ ‫ب ( طول نصف قطر الدائرة = طول ضلع السداسي = ٣‬ ‫ج ( طول نصف قطر الدائرة = × طول ضلع المربع × = × ٤ × = ٢‬ ‫س ٣ : طول ضلع المثلث المتطابق الضلع = نسق = ٤‬ ‫03‬‫5‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٣ ٥ = × طول الوتر‬ ‫4‬ ‫×٤ = ٢‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫طول الضلع المواجه للزاوية ٠٦ ٥ = ع = × طول الوتر ×‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫ع = ×٤ × =٦‬ ‫مساحة المثلث = × طول الفاعدة × طول الرتفاع = × ٤ × ٦ = ٢١ سم ٢‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫س ٤: ١ – نرسم دائرة طول نصف قطرها = ٢ سم ٠‬ ‫٢ - نعين نقطة س على الدائرة ٠‬ ‫٣ - نفتح الفرجار فتحة مقدارها ٢ سم ونركز الفرجار في س ونرسم قوس يتقاطع‬ ‫مع الدائرة في نقطة ولتكن ص ٠‬ ‫71‬
  • 18.
    ‫– بنفس الفتحةنركز الفرجار في ص ونرسم قوس يتقاطع مع الدائرة في نقطة‬ ‫٤‬ ‫٠‬ ‫ولتكن ع‬ ‫– وهكذا نكرر العملية حتى نصل إلى النقطة س ٠‬ ‫٥‬ ‫– نصل النقاط فنحصل على السداسي المطلوب ٠‬ ‫٦‬ ‫س ٥ : طول ضلع المربع = نسق = ٨ سم‬ ‫محيط المربع = ٤ × ٨ = ٢٣ سم‬ ‫مساحة المربع = ٨ × ٨ = ٨٢١ سم ٢‬ ‫س ٦ : على الرسم المقابل أ ب م مثلث متطابق الضلع طول ضلعه = ٦ سم لن طول‬ ‫ضلع السداسي = طول نصف قطر الدائرة = ٦‬ ‫المثلث أ ن ب مثلث ثلثيني ستيني‬ ‫و‬ ‫أ‬ ‫│ أ ن│ = × ٦ × = ٣ سم‬ ‫مساحة المثلث أ ب م = × ٦ × ٣ = ٩ سم ٢‬ ‫6‬ ‫يوجد داخل السداسي ٦ مثلثات متطابقة مع المثلث أ ب م 6‬ ‫مساحة السداسي = ٦ × ٩ = ٤٥ سم ٢‬ ‫هـ‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫ن 3‬ ‫3‬ ‫تمارين ) ٦ – ٥ (‬ ‫جـ‬ ‫س ١:‬ ‫د‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫52‬ ‫31‬ ‫5‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫42‬ ‫21‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫5‬ ‫03‬ ‫03‬ ‫8‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫5‬ ‫06‬ ‫06‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫) ٥.٤‬ ‫س ٢: ٣١ ٢ = ٩٦١‬ ‫( ٢ = ٥٢.٠٢‬ ‫) ٨.٠١ ( ٢ =‬ ‫٤٨ ٢ = ٦٥٠٧‬ ‫٤٦.٦١١‬ ‫) ٧.١١ ( ٢ =‬ ‫٥٨ = ٥٢٢٧‬ ‫٢‬ ‫٩٨.٦٣١‬ ‫٩٨.٦٣١= ٢.٠٢‬ ‫٥٢٢٧ = ٩٦١ + ٦٥٠٧‬ ‫٥+ ٤٦.٦١١‬ ‫81‬
  • 19.
    ‫) ٧.١١ (٢ =‬ ‫٥٨ ٢ = ٣١ ٢ + ٤٨‬ ‫٢‬ ‫وحسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫٢‬ ‫) ٥.٤ ( ٢ + ) ٨.٠١ (‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫فإن‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫٤١ ٢ = ٦٩١‬ ‫١= ١‬ ‫)( = ٢‬ ‫٢‬ ‫٨٤ = ٤٠٣٢‬ ‫٢‬ ‫)( ٢ =‬ ‫٠٥ ٢ = ٠٠٥٢‬ ‫٣‬ ‫٣= ١ +‬ ‫٠٠٥٢ = ٦٩١ + ٤٠٣٢‬ ‫٢‬ ‫)( = ١ +‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٤١ = ٨٤ + ٠٥‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫)(‬ ‫و‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫حسب عكس نظرية فيثاغورس‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫فإن الطوال لمثلث قائم الزاوية‬ ‫أ‬ ‫المثلث أ م د قائم الزاوية في م‬ ‫←‬ ‫٥‬ ‫أ م د = ٠٩‬ ‫←‬ ‫س ٣ : قطرا المعين متعامدان‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ م│ ٢+│ م د│‬ ‫٢‬ ‫7‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٧ ٢ + ٤٢‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫د‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٩٤ + ٦٧٥‬ ‫42‬ ‫42‬ ‫7‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٥٢٦‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫جـ‬ ‫│ أ د│ = ٥٢ سم‬ ‫طول ضلع المعين = ٥٢ م‬ ‫س ٤ : المستطيل زواياه الربع قوائم ← المثلث المظلل قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٦١ ٢ + ٠٣‬ ‫س‬ ‫س ٢ = ٦٥٢ + ٠٠٩‬ ‫61‬ ‫س ٢ = ٦٥١١‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫03‬ ‫س = ٤٣‬ ‫طول قطر الرض = ٤٣ م‬ ‫س ٥ : المثلث الخضر قائم الزاوية المثلث الصفر قائم‬ ‫الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥١ ٢ – ٢١‬ ‫٢‬ ‫ص = ٠٢ – ١‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥٢٢ - ٤٤١‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ١٨‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫21‬ ‫ص = ٠٠٤ -‬‫٢‬ ‫91‬ ‫٤٤١‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫ص = ٦٥٢‬ ‫٢‬ ‫بأخذ الجذر‬
  • 20.
    ‫بأخذ الجذر التربيعيللطرفين‬ ‫س= ٩‬ ‫س ٦ : ^أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب جس قائم الزاوية في أ‬ ‫ب‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ ب جس│ ٢- │ أ ب│‬ ‫٢‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٣١ ٢ - ٥‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٩٦١ - ٥٢‬ ‫31‬ ‫5‬ ‫│ أ جس│ ٢ = ٤٤١‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫أ‬ ‫جـ‬ ‫│ أ جس│ = ٢١‬ ‫د‬ ‫بما أن د منتصف ] أ جس [‬ ‫│ أ د│ = = ٦ سم‬ ‫تابع س ٦:‬ ‫^أ = ٠٩ ← المثلث أ ب د قائم الزاوية في أ‬‫٥‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ د│‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٥ ٢ + ٦‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٥٢ + ٦٣‬ ‫│ ب د│ ٢ = ١٦‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫│ ب د│ =‬ ‫المثلث الخضر قائم‬‫س ٧: المثلث الصفر قائم الزاوية‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٦٢ – ٤‬ ‫٢‬ ‫ص ٢ =) ٢ ( ٢ + ٥‬ ‫س ٢ = ٦٣ - ٦١‬ ‫س‬ ‫ص ٢ = ٠٢ + ٥٢‬ ‫س ٢ = ٠٢‬ ‫ص‬ ‫6‬ ‫ص ٢ = ٥٤‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫س= ٢‬ ‫للطرفين‬ ‫ص= ٣‬ ‫س ٨ : أ ( طول نصف قطر الدائرة = ٨ ÷ ٢ = ٤‬ ‫طول ضلع المثلث = نسق = ٤ × = ٢١ سم‬ ‫طول ضلع السداسي = نسق = ٤‬ ‫طول ضلع المربع = نسق = ٤ × = ٤ سم‬ ‫س ٩: من الرسم المقابل : المثلث قائم الزاوية‬ ‫س‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٨٢ + ٤‬ ‫8‬ ‫س ٢ = ٤٦ + ٦١‬ ‫س ٢ = ٠٨‬ ‫4‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫س = ٤ ≈ ٩.٨ م‬ ‫21‬ ‫21‬ ‫طول الحبل ≈ ٩.٨ م‬ ‫02‬ ‫4‬
  • 21.
    ‫^‬ ‫س ٠١: : أ = ٠٩ ٥ ← المثلث أ ب د قائم الزاوية في أ‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ أ د│‬ ‫جـ‬ ‫٢‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٤ ٢ + ) ٤ (‬ ‫01‬ ‫ب‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٦١ + ٨٤‬ ‫│ ب د│ ٢ = ٤٦‬ ‫6‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫4‬ ‫│ ب د│ = ٨‬ ‫د‬ ‫4‬ ‫أ‬ ‫في المثلث ب د جس نجد أن :‬ ‫│ د جس│ = ٦ = ٦٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫،‬ ‫│ ب د│ = ٨ = ٤٦‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫،‬ ‫│ ب جس│ ٢ = ٠١ ٢ = ٠٠١‬ ‫٠٠١ = ٤٦ + ٦٣‬ ‫٢‬ ‫٠١ ٢ = ٨ ٢ + ٦‬ ‫٢‬ ‫│ ب جس│ ٢ = │ ب د│ ٢+│ د جس│‬ ‫و حسب عكس نظرية فيثاغورس فإن المثلث ب د جس قائم الزاوية في د‬ ‫أي أن ^ب د جس = ٠٩ ٥ ← ب د ┴ جس د‬ ‫لنه ارتفاع في شبه المنحرف‬ ‫س ١١: أ ن ┴ جس د‬ ‫ب‬ ‫7‬ ‫أ‬ ‫نرسم ب م ┴ جس د‬ ‫لن القاعدتين في شبه المنحرف متوازيتان‬ ‫أ ب أ ⁄ جس د‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫لنهما عموديان على جس د‬ ‫أ ن أ ⁄ ب م‬ ‫جـ‬ ‫لن المسافة بين المتوازيين ثابتة‬ ‫د‬ ‫│ م ن│ = │ أ ب│ = ٧‬ ‫م 3‬ ‫7‬ ‫3 ن‬ ‫نطبق المثلثان أ ن د ، ب م جس‬ ‫لن المسافة بين المتوازيين ثابتة‬ ‫│ أ ن│ = │ ب م│‬ ‫^ د = جس لنهما زاويتان مجاورتان لقاعدة في شبه المنحرف المتطابق الساقين‬ ‫^‬ ‫زاويتان قائمتان‬ ‫أ^ ن د ^ ب م جس‬ ‫=‬ ‫إذن المثلثان متطابقان وينتج من تطابقهما أن المثلث أ ن د قائم‬ ‫:‬ ‫الزاوية في ن‬ ‫│ ن د│ = │ م جس│‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ ن│ +│ ن د│‬ ‫٢‬ ‫│ ن د│ + │ ن م│ │ م جس│ = │ جس د│‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ = ٦ + ٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٣١‬ ‫+ │ م جس│ =‬ ‫٧‬ ‫│ ن د│ +‬ ‫│ أ د│ = ٦٣ + ٩‬ ‫٢‬ ‫│ ن د│ + │ م جس│ = ٣١ - ٧‬ ‫│ أ د│ ٢ = ٥٤‬ ‫│ ن د│ + │ م جس│ = ٦‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي‬ ‫│ ن د│ = │ م جس│ = ٣‬ ‫للطرفين‬ ‫│ أ د│ = ٣‬ ‫إذن طول ساق شبه المنحرف‬ ‫س ٢١: المثلث الصفر قائم الزاوية المثلث الخضر‬ ‫قائم الزاوية = ٣ سم‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥٣ ٢ – ٥٢‬ ‫٢‬ ‫ص ٢ = ٠٤ ٢ – ٢‬ ‫س ٢ = ٥٢٢١ - ٥٢٦‬ ‫٥‬ ‫س ٢ = ٠٠٦‬ ‫04‬ ‫53‬ ‫52‬ ‫ص ٢ = ٠٠٦١ -‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫٥٢٦‬ ‫س = ٠١‬ ‫ص = ٥٧٩‬‫٢‬ ‫س ≈ ٥.٤٢ م‬ ‫بأخذ الجذر‬ ‫12‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫التربيعي للطرفين‬ ‫ص= ٥‬
  • 22.
    ‫إذن البعد بيننقطتي تثبيت السلكين ≈ ٥.٤٢ + ٢.١٣ ≈ ٧.٥٥ م‬ ‫س ٣١: │ أ هس│ = ٠٥٣ – ٥٣١ = ٥١٢ م‬ ‫د 531م هـ‬ ‫│ أ و│ = ٠٥٣ – ٥٩ = ٥٥٢ م‬ ‫أ‬ ‫│ ل ب│ = ٠٥٣ – ٥٨٢ = ٥٦ م‬ ‫041م‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫│ م جس│ = ٠٥٣ – ٠٤١ = ٠١٢ م‬ ‫ص‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث م د هس قائم الزاوية‬ ‫ك‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٠٤١ ٢ + ٥٣١‬ ‫و‬ ‫ع‬ ‫س ٢ = ٠٠٦٩١ + ٥٢٢٨١‬ ‫59م‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫س ٢ = ٥٢٨٧٣‬ ‫ل‬ ‫582م‬ ‫س ≈ ٥.٤٩١‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث ل ب و قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫ع ٢ = ٥٩ ٢ + ٥٦‬ ‫ع ٢ = ٥٢٠٩ + ٥٢٢٤‬ ‫ع ٢ = ٠٥٢٣١‬ ‫ع ≈ ١.٥١١‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث أ هس و قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫س ٢ = ٥١٢ ٢ + ٥٥٢‬ ‫س ٢ = ٥٢٢٦٤ + ٥٢٠٥٦‬ ‫س ٢ = ٠٥٢١١١‬ ‫س ≈ ٥.٣٣٣‬ ‫لن زوايا المربع قوائم‬ ‫المثلث م جس ل قائم الزاوية‬ ‫٢‬ ‫ك ٢ = ٥٨٢ ٢ + ٠١٢‬ ‫ك ٢ = ٥٢٢١٨ + ٠٠١٤٤‬ ‫ك ٢ = ٥٢٣٥٢١‬ ‫ك ≈ ١٠.٤٥٣‬ ‫طول السياج = ٥.٤٩١ + ١.٥١١ + ٥.٣٣٣ + ١٠.٤٥٣ = ١١.٧٩٩ م‬ ‫س ٤١ : المثلث أ ب جس قائم الزاوية في ب‬ ‫│ أ جس│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│ ٢ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) ١ (‬ ‫جـ‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ ب│ ٢+│ ب جس│ ٢ + │ جس د│ ٢ .. . . . . . . . . . . ) ٢ ب‬ ‫(‬ ‫بالتعويض من ) ١ ( في ) ٢ ( نحصل على :‬ ‫٢‬ ‫│ أ د│ ٢ = │ أ جس│ ٢+│ جس د│‬ ‫وحسب عكس نظرية فيثاغورث‬ ‫د‬ ‫أ‬ ‫فإن المثلث أ جس د قائم الزاوية في جس‬ ‫٥‬ ‫إذن أ جس د = ٠٩‬ ‫س ٥١ : أ ( أ = ٥٢ – ١ = ٤٢‬ ‫ب = ٢ × ٥ × ١ = ٠١‬ ‫ج = ٥٢ + ١ = ٦٢‬ ‫ب ( أ = ٦٣ – ٩ = ٧٢‬ ‫ب = ٢ × ٦ × ٣ = ٦٣‬ ‫ج = ٦٣ + ٩ = ٥٤‬ ‫22‬
  • 23.
    ‫ج ( أ= ٦١ – ٤ = ٢١‬ ‫ب = ٢ × ٤ × ٢ = ٦١‬ ‫ج = ٦١ + ٤ = ٠٢‬ ‫32‬