Ingeniería de control: Tema 3. El método del espacio de estados

w w w . m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional
de México
Instituto Tecnológico
de Matamoros
CONTROL II
TEMA III: EL MÉTODO DEL ESPACIO DE ESTADOS

Utiliza la representación en espacio de estado
para modelar y analizar sistemas físicos, y diseñar
compensadores que mejore la respuesta de
sistemas de control.
Competencia Específica

SUBTEMAS
3.1 Conceptos básicos.
3.2 Modelación mediante variables de estado.
3.3 Relación entre la función de transferencia y el
modelo de estado.
3.4 Transformaciones de semejanza.
3.5 Solución de la ecuación de estado lineal e
invariante en el tiempo.
3.6 Análisis de Estabilidad, controlabilidad y
observabilidad.
3.7 Diseño de compensadores.

Introducción al modelado en el
espacio de estados
La Teoría de Control consiste en estudiar las
propiedades de los sistemas a partir de su
comportamiento entrada-salida.
La teoría de control clásica se basa en el estudio
de sistemas de una entrada y una salida (SISO) y el
modelo matemático utilizado es la función de
transferencia (dominio de la frecuencia).
La teoría de control moderna, puede analizar
sistemas con múltiples entradas y múltiples
salidas (MIMO) y utiliza como modelo matemático
la representación en el espacio de estados de un
sistema (dominio del tiempo).

Con la llegada de la exploración espacial, los
requerimientos de los sistemas de control
aumentaron su alcance. El modelado de sistemas
mediante ecuaciones diferenciales lineales e
invariantes con el tiempo se hizo inadecuado.
El modelado en el espacio de estados es un
método unificado para modelar, analizar y diseñar
una amplia variedad de sistemas, es decir, éste
método se puede utilizar para describir, con un
sistema de ecuaciones diferenciales de primer
orden, a un sistema lineal o no lineal variante o
invariante en el tiempo.

3.1 Conceptos Básicos
1. Combinación Lineal.- Es una combinación de
n variables xi, para i=1, 2, …, n que cumplen con:
S = Knxn + Kn−1xn−1 + ⋯ + K1x1
Donde Ki es una constante.
2. Independencia Lineal.- Se dice que un
conjunto de variables es linealmente
independiente, si no se puede escribir ninguna
de las variantes como una combinación lineal
de las otras. Formalmente se dice que las
variables xi son linealmente independientes si
su combinación lineal S es igual a cero, sólo si
toda Ki es cero y ninguna xi es cero.

3. Variables del sistema.- Cualquier variable que
responda a una entrada o condiciones iniciales
de un sistema.
4. Variables de estado.- Es el conjunto más
pequeño de variables de un sistema
linealmente independiente, tales que los
valores de los miembros del conjunto en un
tiempo t0, junto con las funciones de
excitación, determinan por completo el valor
de todas las variables del sistema para toda
t0.
5. Vector de estado.- Es un vector cuyos
elementos son las variables de estado.

6. Espacio de estados.- Es un espacio n
dimensional cuyos ejes son las variables de
estado.
7. Ecuaciones de estado.- Es un conjunto de n
ecuaciones diferenciales simultáneas de
primer orden con n variables, donde las n
variables al ser despejadas son las variables de
estado.
8. Ecuación de salida.- Es la ecuación algebraica
que expresa las variables de salida de un
sistema como combinaciones lineales de las
variables de estado y las entradas.

Un sistema está representado en el espacio de
estados por las siguientes ecuaciones:
𝐱 = A𝐱 + B𝐮
𝐲 = C𝐱 + D𝐮
Donde:
𝐱  Vector de estado.
𝐱  Derivada del vector de estado con respecto al tiempo.
𝐲  Vector de salida.
𝐮  Vector de entrada o de control.
A  Matriz del sistema.
B  Matriz de entrada.
C  Matriz de salida.
D  Matriz de prealimentación o transmisión directa.

De la representación en el espacio de estados
puede obtenerse un diagrama a bloques del
sistema, tal y como se muestra a continuación:

3.2 Modelación en el espacio de
estados
Para representar un sistema físico en el espacio
de estados, lo primero es seleccionar un vector de
estado, el cual se puede elegir tomando en
cuenta lo siguiente:
1. Se debe escoger un número mínimo de
variables de estado como las componentes del
vector de estado. Este número debe ser
suficiente para describir por completo el
estado del sistema.
2. Las componentes del vector de estado deben
ser linealmente independientes.

EJEMPLO 1 (Modelado en el espacio de estados
sistema eléctrico simple)
Dada la red eléctrica mostrada en la figura,
encuentre la representación en el espacio de
estados si la salida es la corriente que pasa por la
resistencia.
SOLUCIÓN:
1. Se marcan todas las corrientes de rama de la
red, tal y como se muestra a continuación:

2. Se seleccionan las variables de estado al escribir
la ecuación de la derivada para cada uno de los
elementos que almacenan energía.
Las variables de estado son las cantidades que
están en las derivadas, es decir, vC e iL.

La representación en el espacio de estados se
completa cuando los segundos miembros de las
ecuaciones anteriores se pueden escribir como
combinaciones lineales de las variables de estado
y la entrada.
3. Se aplica LVK y LCK para obtener vC e iL en
términos de las variables de estado y la entrada:
Nodo 1 (LCK) 
Con este análisis, tenemos iC en términos de vC e
iL.
Si analizamos la malla exterior (LVK):

Con esto obtuvimos vL en términos de la variable
de estado vC y la entrada v(t).
4. Sustituimos los resultados obtenidos en el
análisis en la primera ecuación de estado:
O bien
5. Para la salida tenemos:
El resultado final de la representación en el
espacio de estados es:

El diagrama a bloques del sistema es:
𝟏
𝑳 +
-
+
-
iR
𝟏
𝑳
𝐝𝐭
𝟏
𝑪
𝟏
𝑹𝑪
𝐝𝐭 𝟏
𝑹
vC
iL
v(t)

sistema eléctrico con fuente dependiente)
Dada la red eléctrica mostrada en la figura,
encuentre la representación en el espacio de
estados si las salidas son VR2 e iR2.
SOLUCIÓN:
1. Se marcan todas las corrientes de rama de la
red, tal y como se muestra a continuación:

2. Se seleccionan las variables de estado al escribir
las relaciones voltaje-corriente de los elementos
que almacenan energía.
Las variables de estado son las cantidades que
están en las derivadas, es decir, iL y vC.

3. Se aplica LVK y LCK para escribir vL e iC como
combinaciones lineales de las variables de estado
y la entrada:
Aplicamos LVK en la malla que contiene a L Y C.
En el Nodo 2: 
Sustituyendo iR2 tenemos:
Despejando vL tenemos:
vC es variable de estado, solo falta expresar iC en
términos de dichas variables.

Analizando el Nodo 1 tenemos:
pero
Las ecuaciones obtenidas para vL e iC las podemos
escribir como un par de ecuaciones simultáneas
de la siguiente manera:
Si se resuelve este sistema podemos escribir vL e iC
en términos de las variables de estado iL e vC.

∆=
(1 − 4R2) −R2
−
1
R1
−1
= − 1 − 4R2 −
R2
R1
= − 1 − 4R2 +
R2
R1
vL =
vc −R2
iL − i(t) −1
∆
=
1
∆
−vc + iLR2 − i(t)R2
iC =
(1 − 4R2) vc
−
1
R1
iL − i(t)
∆
=
1
∆
1 − 4R2 iL − 1 − 4R2 i t +
1
R1
vc
Es decir:
iL =
1
L∆
R2iL − vc − R2i(t)
vC =
1
C∆
1 − 4R2 iL +
1
R1
vc − 1 − 4R2 i t

4. Para las salidas, analizamos la malla que pasa
por L y C:
vL = vC + vR2
→ vR2
= vL − vC
vR2
=
1
∆
−vc + iLR2 − i(t)R2 − vC
vR2
=
R2
∆
iL − 1 +
1
∆
vC −
R2
∆
i(t)
Y el Nodo 2
iR2
= iC + 4vL
iR2
=
1
∆
1 − 4R2 iL − 1 − 4R2 i t +
1
R1
vc +
4
∆
−vc + iLR2 − i(t)R2
iR2
=
1
∆
iL +
1 − 4R1
R1∆
vc −
1
∆
i(t)

5. Finalmente la representación en el espacio de
estados para esta red eléctrica es:

El diagrama a bloques queda como:

sistema mecánico traslacional)
Dado el sistema mecánico translacional mostrado
en la figura, encuentre su representación en el
espacio de estados considerando como salidas la
fuerza del resorte y la fuerza del amortiguador fk y
fD.
SOLUCIÓN:
1. En este caso las variables de estado serían:

s1 = x1, s2 = x1, s3 = x2, s4 = x2
Una variable de estado para la posición y otra para
la velocidad de cada elemento inercial.
2. Luego, el vector de las derivadas de las variables
de estado tendría los siguientes elementos:
s1 = x1 = s2, s2 = x1, s3 = x2 = s4, s4 = x2
Vemos que s1 y s3 ya están en términos de
variables de estado, pero s2 y s4 requieren análisis
para expresarlos como combinación lineal de
variables de estado y la entrada.
3. Análisis: Para M1:
M1 M1
M1𝑥1
K x2 − x1
fvx1

K x2 − x1 − fvx1 = M1𝑥1
x1 =
K
M1
x2 − x1 −
fv
M1
x1 → x1 = −
K
M1
s1 −
fv
M1
s2 +
K
M1
s3 = s2
Análisis: Para M2:
f t − K x2 − x1 = M2𝑥2
x2 = −
K
M2
x2 − x1 +
1
M2
f t → x2 =
K
M2
s1 −
K
M2
s3 +
1
M2
f t = s4
4. Análisis para las salidas:
La fuerza del resorte es:
fk = K x2 − x1 → fk = −Ks1 + Ks3
M2𝑥2
K x2 − x1 f(t)
M2 M2

La fuerza del resorte es:
fD = fvx1 → fD = fvs2
La representación del sistema en el espacio de estados
es:
s1
s2
s3
s4
=
0 1
−K
M1
−fv
M1
0 0
K
M1
0
0 0
K
M2
0
0 1
−K
M2
0
s1
s2
s3
s4
+
0
0
0
1
M2
f(t)

fK
fD
=
−K 0 K
0 fv 0
0
0
s1
s2
s3
s4
+
0
0
f(t)
El diagrama bloques es:

3.3 Relación entre la función de
transferencia y el espacio de estados
Consideremos un sistema cuya función de
transferencia se obtiene mediante:
G s =
Y(s)
U(s)
Este sistema se representa en el espacio de
estados mediante las ecuaciones siguientes:
La transformada de Laplace con condiciones
iniciales cero de las ecuaciones de estado son:
s𝐗 𝐬 = A𝐗 𝐬 + B𝐔(𝐬)
𝐘 𝐬 = C𝐗 𝐬 + D𝐔(𝐬)

De la primera ecuación tenemos
s𝐗 𝐬 − A𝐗 𝐬 = B𝐔 𝐬 → sI − A 𝐗 𝐬 = B𝐔(𝐬)
Para despejar X(s) se utiliza el concepto de matriz
inversa, es decir:
𝐗 𝐬 = 𝑠I − A −𝟏
B𝐔(𝐬)
Este resultado se sustituye en la ecuación de
salida.
𝐘 𝐬 = C sI − A −1
B + D 𝐔(𝐬)
Por tanto:
G s =
Y(s)
U(s)
= C sI − A −1
B + D
Como el segundo miembro de la ecuación
contiene el término sI − A −1
, entonces G(s) se
puede escribir como:

G s =
Q(s)
sI − A
Donde Q(s) es un polinomio de s y sI − A es igual
al polinomio característico de G(s), esto significa
que los valores propios de A son idénticos a los
polos de G(s).
EJEMPLO 1
Para el siguiente sistema mecánico, encuentre:
a) El modelo en el espacio de estados
considerando la fuerza f(t) como entrada y el
desplazamiento x(t) como salida.
b) A partir del modelo en el espacio de estados
obtenga la función de transferencia
G(s)=Y(s)/F(s).

SOLUCIÓN:
1. En este caso las variables de estado serían:
s1 = x, s2 = x
2. El vector de las derivadas de las variables de
estado tendría los siguientes elementos:
s1 = x = s2, s2 = x
3. Análisis: Para M
M M
Mx
f(t)
fv𝑥
Kx

f t − fvx − Kx = Mx → x = s2 =−
K
M
s1 −
fv
M
s2 +
1
M
f(t)
4. Para la salida:
x t = s1
5. La representación en el espacio de estados es:
𝑠1
𝑠2
=
0 1
−
K
M
−
fv
M
𝑠1
𝑠2
+
0
1
M
f(t)
x(t) = 1 0
s1
s2

b) Para encontrar la función de transferencia a
partir del espacio de estados tenemos:
G s = C sI − A −1
B + D
G s = 1 0
s 0
0 s
−
0 1
−
K
M
−
fv
M
−1
0
1
M
G s = 1 0
s −1
K
M
s +
fv
M
−1
0
1
M
NOTA: Para obtener la inversa de una matriz la
fórmula es:
A−1
=
adjA T
A

La matriz adjunta de A, tiene la misma dimensión
que A y si denotamos por adi,j al elemento de la
fila i y columna j de adj(A), entonces:
adji,j = −1 i+j
Ai,j
donde Ai,j es la matriz que se obtiene al eliminar
la fila i y columna j de A.
Por último la traspuesta de una matriz es aquella
que resulta de cambiar renglones por columnas y
columnas por renglones de una matriz original.
Entonces:
s −1
K
M
s +
fv
M
= 𝑠2
+
fv
M
𝑠 +
K
M

adj
s −1
K
M
s +
fv
M
= s +
fv
M
−
K
M
1 s
𝐴1,1 = −1 2
s +
fv
M
= s +
fv
M
→ 𝐴1,2 = −1 3
K
M
= −
K
M
A2,1 = −1 3
−1 = 1 → A2,2 = −1 4
s = s
Asimismo:
s +
fv
M
−
K
M
1 s
T
=
s +
fv
M
1
−
K
M
s
Entonces:
s −1
K
M
s +
fv
M
−1
=
1
𝑠2 +
fv
M
𝑠 +
K
M
s +
fv
M
1
−
K
M
s

Finalmente tenemos:
G s =
1
s2 +
fv
M s +
K
M
1 0
s +
fv
M
1
−
K
M
s
0
1
M
G s =
1
s2 +
fv
M
s +
K
M
s +
fv
M
1
0
1
M
→ G s =
1
M
s2 +
fv
M
s +
K
M
G s =
1
M
Ms2 + fvs + K
M
→ G s =
1
Ms2 + fvs + K

EJEMPLO 2:
Obtenga las funciones de transferencia
G1(s)=IR(s)/V(s) y G2(s)=IC(s)/V(s) del sistema
eléctrico mostrado en la figura a partir de su
representación en el espacio de estados
SOLUCIÓN:
Del ejemplo anterior la ecuación de estado está
dada por:

vC
iL
=
−
1
RC
1
C
−
1
L
0
vC
iL
+
0
1
L
v(t)
Como las salidas son iR e iC, tenemos:
iR =
1
R
vC → iC = −
1
R
vC + iL
Entonces:
iR
iC
=
1
R
0
−
1
R
1
vC
iL

Para encontrar la función de transferencia a partir
del espacio de estados tenemos:
G s = C sI − A −1
B + D
G s =
1
R
0
−
1
R
1
s 0
0 s
−
−
1
RC
1
C
−
1
L
0
−1
0
1
L
G s =
1
R
0
−
1
R
1
s +
1
RC
−
1
C
1
L
s
−1
0
1
L

s +
1
RC
−
1
C
1
L
s
= s2
+
1
RC
s +
1
LC
adj
s +
1
RC
−
1
C
1
L
s
=
s −
1
L
1
C
s +
1
RC
𝐴1,1 = −1 2
𝑠 = s → 𝐴1,2 = −1 3
1
L
= −
1
L
A2,1 = −1 3
−
1
𝐶
=
1
𝐶
→ A2,2 = −1 4
𝑠 +
1
RC
= 𝑠 +
1
RC

Asimismo:
s −
1
L
1
C
s +
1
RC
T
=
s
1
C
−
1
L
s +
1
RC
Entonces:
s +
1
RC
−
1
C
1
L
s
−1
=
1
s2 +
1
RC s +
1
LC
s
1
C
−
1
L
s +
1
RC
Por tanto:
G s =
1
s2 +
1
RC
s +
1
LC
1
R
0
−
1
R
1
s
1
C
−
1
L
s +
1
RC
0
1
L

G s =
1
s2 +
1
RC
s +
1
LC
1
R
s
1
RC
−
1
R
s +
1
L
s
0
1
L
G s =
1
s2 +
1
RC
s +
1
LC
1
RLC
1
L
s
Entonces:
G1 s =
IR(s)
V(s)
=
1
RLC
s2 +
1
RC
s +
1
LC
→ G1 s =
1
RLCs2 + Ls + R
G2 s =
IC(s)
V(s)
=
1
L
𝑠
s2 +
1
RC
s +
1
LC
→ G2 s =
RC𝑠
RLCs2 + Ls + R

Conversión de la función de
transferencia al espacio de estados
Para convertir una función de transferencia en
ecuaciones de estado, primero se convierte la
función de transferencia a una ecuación
diferencial por multiplicación cruzada y aplicación
de la transformada inversa de Laplace,
suponiendo condiciones iniciales iguales a cero.
Una vez con la ecuación diferencial del sistema, se
procede a diseñar la matriz en espacio de estados
del sistema.
Para ver el proceso, consideremos la ecuación
diferencial:

Se encoge la salida y(t) y sus (n-1) derivadas como
las variables de estado. Esta es la selección de las
variables de fase. Al escoger las variables de
estado xi obtenemos:
Derivando ambos lados resulta

Las ecuaciones de estado quedarían como:
La forma matricial de las ecuaciones de estado es:

Por último, como la solución de la ecuación
diferencial es y(t), o x1, la ecuación de salida es:
EJEMPLO 3:
Encuentre el modelo en el espacio de estados de
un sistema representado por la siguiente función
de transferencia:
C(s)
R(s)
=
24
s3 + 9s2 + 26s + 24

SOLUCIÓN:
1. Multiplicamos en forma de cruz y resulta:
Aplicando transformada inversa de Laplace con
condiciones iniciales cero obtenemos la ecuación
diferencial.
2. Se escogen las variables de estado como
derivadas sucesivas:

Al derivar las ecuaciones anteriores obtenemos la
ecuación de estados:
3. La ecuación de salida es:
4. La forma matricial queda como:

Si la función de transferencia cuenta con un
polinomio de s en el numerador que sea de orden
menor que el polinomio del denominador,
entonces el numerador y el denominador se
pueden manejar por separado. La función de
transferencia se separa en dos en cascada; la
primera es el denominador y la segunda es el
numerador.

La primera función de transferencia con sólo el
denominador se convierte en la representación de
las variantes de fase en el espacio de estados. Por
tanto, la variante de fase x1 es la salida y el resto de
las variantes de fase son la integral del primer
bloque. La segunda función de transferencia con
sólo el numerador produce:
Donde, después de obtener la transformada
inversa de Laplace con condiciones iniciales cero.
Los términos derivados son las definiciones de las
variantes de fase obtenidas en el primer bloque.

Escribiendo los términos en orden inverso se
conforma una ecuación de salida.
En consecuencia, el segundo bloque forma una
combinación lineal de las variables de estado
creadas en el primer bloque.
En resumen, el denominador de la función de
transferencia produce las ecuaciones de estado;
mientras el numerador, produce la ecuación de
salida.
EJEMPLO 4
Encuentre la representación en el espacio de
estados de la función de transferencia del sistema
mostrado en la figura:

SOLUCIÓN
1. Se separa el sistema en dos bloques en
cascada:
2. Encontramos las ecuaciones de estado para el
bloque que contiene el denominador:
X1(s)
R(s)
=
1
s3 + 9s2 + 26s + 24

s3
+ 9s2
+ 26s + 24 X1 s = R s
condiciones iniciales cero:
x1 + 9x1 + 26x1 + 24x1 = r(t)
Como x1 es una variable de estado tenemos:
x1 = x2, x1 = 𝑥2 = x3, x1 = 𝑥3 = −9x3 − 26x2 − 24x1 + r(t)
Así la ecuación de estado queda como:
3. Para el bloque del numerador tenemos:

condiciones iniciales cero:
Pero: Entonces:
Por tanto, la ecuación de salida es:

Transformación de modelos con
Matlab
MATLAB es bastante útil para transformar el
modelo del sistema de función de transferencia al
espacio de estados y viceversa.
Para transformar de la función de transferencia al
espacio de estados tenemos:
Una vez que se tiene esta expresión de la función
de transferencia, la instrucción en MATLAB:
calculará la representación en el espacio de
estados.

EJEMPLO 5
Utilice Matlab para encontrar la representación en
el espacio de estados de un sistema cuya función
de transferencia está dada por:
SOLUCIÓN:
Código de Matlab
Matrices obtenidas

Para obtener la función de transferencia a partir
de las ecuaciones en el espacio de estados, se
utiliza la siguiente instrucción:
iu se debe especificar para sistemas con más de
una entrada. Por ejemplo, si el sistema tiene tres
entradas (u1, u2, u3), entonces iu debe ser o 1, 2 o 3.
Si el sistema sólo tiene una entrada, entonces se
puede utilizar:
o bien
EJEMPLO 6:
Obtenga la función de transferencia del sistema
definido por las siguientes ecuaciones en el
espacio de estados:

SOLUCIÓN:
Código de Matlab
Resultado obtenido
Función de transferencia

3.4 Transformaciones de semejanza
FORMAS CANÓNICAS:
Considere un sistema definido mediante la
siguiente ecuación diferencial:
Donde u es la entrada e y es la salida. Esta
ecuación también se puede escribir como:
Este sistema se puede representar en el espacio
de estados en diferentes formas canónicas:
controlable, observable, diagonal (de Jordan).

Forma Canónica Controlable:
La siguiente representación en el espacio de
estados se denomina forma canónica controlable:
Esta forma es importante cuando se analiza el
método de asignación de polos para el diseño de
sistemas de control.

Forma Canónica Observable:
La siguiente representación en el espacio de
estados se denomina forma canónica observable:
Se observa que la matriz A de la forma canónica
observable es la transpuesta de la matriz A
obtenida en la forma canónica controlable.

Forma Canónica Diagonal:
Si la función de transferencia que representa a un
sistema contiene en el denominador un
polinomio con raíces distintas. Entonces:
La forma canónica diagonal de la representación
en el espacio de estados de este sistema viene
dada por:

Forma Canónica de Jordan:
Si el polinomio del denominador de la Función de
Transferencia contiene raíces múltiples. En este
caso la forma canónica diagonal anterior debe
modificarse a la forma canónica de Jordan.
La expansión en fracciones parciales es:

Una representación en el espacio de estados de
este sistema en su forma canónica de Jordan se
obtiene mediante:

EJEMPLO 1
Considere un sistema definido por la siguiente
función de transferencia:
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
𝑠 + 3
𝑠2 + 3𝑠 + 2
Encuentre las representaciones en el espacio de
estados en forma canónica controlable,
observable y diagonal.
SOLUCIÓN:
Para la forma canónica controlable tenemos:
a1=3, a2=2, b0=0, b1=1 y b2=3
Entonces:

x1
x2
=
0 1
−2 −3
x1
x2
+
0
1
u
y = 3 1
x1
x2
Forma canónica observable:
x1
x2
=
0 −2
1 −3
x1
x2
+
3
1
u
y = 0 1
x1
x2
Forma canónica diagonal:
Se requieren las raíces del denominador

Entonces:
Y(s)
U(s)
=
c1
s + 1
+
c2
s + 2
c1 = s + 1
s + 3
s + 2 s + 1 s=−1
=
−1 + 3
−1 + 2
= 2
c2 = s + 2
s + 3
s + 2 s + 1 s=−2
=
−2 + 3
−2 + 1
= −1
La forma canónica diagonal está dada por:
x1
x2
=
−1 0
0 −2
x1
x2
+
1
1
u
y = 2 −1
x1
x2

Valores propios de una matriz nxn
Los valores propios de una matriz A de nxn son las
raíces de la ecuación característica:
Los valores propios también se denominan raíces
características. Por ejemplo, considérese la matriz
A siguiente:
La ecuación característica es:

Resolviendo el determinante:
I − A =  2
+ 6 + 11 + 1 6 = 3
+ 62
+ 11 + 6
Las raíces del determinante son:
Los valores propios de A son las raíces de la
ecuación característica: -1, -2 y -3.
Diagonalización de una matriz nxn
Si una matriz A de nxn con valores propios
distintos, está dada por:

La transformación x=Pz, donde:
Donde 1, 2, ..., n=n son los valores propios
distintos de A. Transformará P-1AP en la matriz
diagonal o:

Si la matriz A contiene valores propios múltiples,
la diagonalización es imposible. Por ejemplo, si la
matriz A de 3x3, donde:
tiene los valores propios 1, 1, 3 la transformación
x=Sz, donde:

Producirá:
Que está en la forma canónica de Jordan.
EJEMPLO 2:
Considere un sistema con la siguiente
representación en el espacio de estados:

La representación en el espacio de estado en
forma estándar está dada por:
Donde:
Los valores propios de la matriz A son:
Por tanto, los tres valores propios son distintos. Si
se define un nuevo conjunto de variables de
estado z1, z2 y z3 mediante la transformación:

Donde:
Entonces:
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de
estado tenemos:
Multiplicando ambos lados por P-1 tenemos:
Calculando la inversa de P en Matlab tenemos:

Entonces:
Al simplificar se obtiene:

Esta última ecuación es también una ecuación de
estado que describe el mismo sistema definido en
el problema, por tanto, lo que se hizo fue una
Transformación de Semejanza.
Por último, la ecuación de salida, se modifica a:

3.5 Solución de la ecuación de estado
invariante con el tiempo
Introducción:
Consideremos primero la ecuación diferencial
escalar
Al resolver esta ecuación, se supone una solución
x(t) de la forma
Sustituyendo esta solución supuesta en la
ecuación diferencial, se obtiene

Si la solución supuesta se quiere que sea la
solución verdadera, la ecuación anterior debe ser
válida para cualquier t. Por tanto, igualando los
coeficientes de las potencias iguales de t, se
obtiene
El valor de b0 se determina sustituyendo t=0 en la
ecuación de x(t)

Por tanto, la solución x(t) se escribe como
Continuemos ahora en resolver la ecuación
diferencial matricial
donde x=vector de dimensión n
A=matriz de coeficientes constantes de nxn
Por analogía con el caso escalar, se supone que la
solución está en la forma de una serie de
potencias vectorial en t, o

Al sustituir la solución supuesta en la ecuación
diferencial matricial tenemos:
Del mismo modo que se hizo para el caso escalar,
igualando potencias iguales de t tenemos:

Al sustituir t=0 en la ecuación de x(t), se obtiene:
Así, la solución x(t) se escribe como
La expresión entre paréntesis en el segundo
miembro de esta última ecuación es una matriz
de nxn. Debido a su similitud con la serie infinita
de potencias para una exponencial escalar, se la
denomina matriz exponencial y se escribe como:
Por tanto:

Matriz exponencial: La matriz exponencial de una
matriz A de nxn.
Converge absolutamente para todo t finito,
debido a esto, puede diferenciarse término a
término para producir:

La matriz exponencial tiene las siguientes
propiedades:
En particular, si s=-t
Por tanto, la inversa de eAt es e-At. Como la inversa
de eAt siempre existe, eAt es no singular. Es muy
importante recordar que:
Método de la transformada de Laplace para la
solución de las ecuaciones de estado en el caso
homogéneo: Primero se considera el caso escalar:
Tomando la transformada de Laplace de la
ecuación anterior se obtiene:

Al despejar X(s) en la ecuación anterior se deduce:
La transformada inversa de Laplace de esta última
ecuación da la solución
El método anterior para la solución de la ecuación
diferencial escalar homogénea se extiendea la
ecuación de estado homogénea:
Tomando la transformada de Laplace de ambos
miembros:

Por tanto:
Premultiplicando ambos miembros de esta
última ecuación por (sI - A)-1, se obtiene:
La transformada inversa de Laplace de X(s)
produce la solución x(t). Así:
Donde:
Por tanto, la transformada inversa de Laplace de
(sI - A)-1 produce:

A partir de los resultados anteriores la solución de
la ecuación diferencial matricial, se obtiene como:
Matriz de transición de estados.- Se puede
escribir la solución de la ecuación de estado
homogénea
Como:
donde (t) es una matriz de nxn y es la solución
única de:
Para verificar esto, se observa que:
Y

Con esto se confirma que la ecuación de x(t) es la
solución de la ecuación de estado homogénea.
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
Se observa que:
La matriz única (t) se denomina matriz de
transición de estados.
Si los valores propios 1, 2, ..., n de la matriz A son
distintos, entonces (t) contendrá las n
exponenciales:
En particular, si la matriz A es diagonal, entonces:

Si hay una multiplicidad en los valores
característicos, por ejemplo, si los valores
característicos de A son:
Entonces (t) contendrá, además de las
exponenciales e1t, e4t, e5t, ..., ent, términos como
te1t y t2e1t.
Propiedades de la matriz de transición de
estados. Las propiedades más importantes de la
matriz de transición de estados (t), son:

EJEMPLO 1:
Obtenga la matriz de transición de estados (t)
del sistema siguiente
Obtenga también la inversa de la matriz de
transición de estados, -1(t).
SOLUCIÓN

Para este sistema:
La matriz de transición de estados (t) se obtiene
mediante
Es decir:
la inversa de (sI-A) se obtiene mediante:

Por tanto:
Si se tiene en cuenta que -1(t)=(-t), se obtiene la
inversa de la matriz de transición de estados del
modo siguiente:
Solución de ecuaciones de estado para el caso
no homogéneo. Se comenzará considerando el
caso escalar:
Reescribiendo la ecuación tenemos:

Multiplicando ambos miembros de esta ecuación
por e-at, se obtiene:
Al integrar esta ecuación entre 0 y t se obtiene
O bien:
El primer término del segundo miembro es la
respuesta a las condiciones iniciales y el segundo
término es la respuesta a la entrada u(t).

Ahora se considera la ecuación de estado descrita
por:
Que podemos escribir como:
Premultiplicando ambos lados por e-At se obtiene:
Al integrar la ecuación anterior entre 0 y t se
obtiene
O bien:

Esta última ecuación también se puede escribir
como:
donde (t)=eAt. Las últimas ecuaciones obtenidas
son la solución de la ecuación de estado no
homogénea. La solución x(t) es la suma de un
término formado por la transición del estado
inicial y un término que surge del vector de
entradas.
Método de la transformada de Laplace para la
solución de ecuaciones de estado del caso no
homogéneo. La solución de la ecuación de estado
no homogénea

También puede obtenerse mediante el método
de la transformada de Laplace. La transformada
de Laplace de esta última ecuación es:
O bien:
Premultiplicando ambos miembros de esta
última ecuación por (sI-A)-1, obtenemos:
O bien:
La transformada inversa de Laplace de esta última
ecuación es:

La ecuación anterior es válida para cuando el
tiempo inicial es cero, en caso de que el tiempo
inicial sea diferente de cero tenemos:
EJEMPLO 2:
Obtenga la respuesta en el tiempo del sistema
siguiente:
donde u(t) es la función escalón unitario que se
presenta en t=0

SOLUCIÓN:
Para este sistema:
La matriz de transición de estados (t)=eAt se
obtuvo en el ejemplo anterior como:
La respuesta a la entrada escalón unitario se
obtiene entonces como:
O bien:

Si el estado inicial es cero, o x(0)=0, entonces x(t)
se puede simplificar a:

3.6 Controlabilidad y observabilidad
Controlabilidad completa del estado de
sistemas en tiempo continuo. Sea el sistema en
tiempo continuo
Se dice que el sistema descrito mediante la
ecuación anterior es de estado controlable en t=t0,
si es posible construir una señal de control sin
restricciones que transfiera un estado inicial a
cualquier estado final en un intervalo de tiempo
finito t0tt1. Si todos los estados son controlables,
se dice que el sistema es de estado
completamente controlable.

Para obtener la condición de controlabilidad
completa del estado, supongamos que el estado
final es el origen en el espacio de estados y que el
tiempo inicial es cero, o t0=0.
Sabemos que la solución de ecuación de estado
está dada por:
Aplicando la definición de controlabilidad
completa del estado recién establecida, se tiene
que:
O bien:

e-At se puede escribir como:
Sustituyendo esta última ecuación en la anterior
tenemos:
Si se define:
entonces la ecuación para x(0) se convierte en:

Si el sistema es de estado completamente
controlable, entonces, dado cualquier estado
inicial x(0), la ecuación anterior debe satisfacerse.
Esto requiere que el rango de la matriz nxn
sea n.
El resultado recién obtenido se extiende al caso
en el que el vector de control u es de dimensión r.
Si el sistema se describe por
donde u es un vector de dimensión r, se
demuestra que la condición para controlabilidad
completa del estado es que la matriz nxnr

sea de un rango n, o que contenga n vectores
columna linealmente independientes. La matriz
se conoce comúnmente como matriz de
controlabilidad.
Finalmente afirmamos que si la matriz de
controlabilidad no es singular entonces el sistema
es controlable.
EJEMPLO 1:
Determine si el sistema definido por la siguiente
ecuación de estado es controlable:

SOLUCIÓN:
Para este caso:
para probar que la matriz de controlabilidad no es
singular bastará con que su determinante sea
diferente de cero, entonces si calculamos el
determinante del sistema dado:
Det
0 1
1 −1
= 0 − 1 = −1 → no singular
podemos concluir que el sistema es controlable.
Controlabilidad de la salida. En el diseño práctico
de un sistema de control, se puede necesitar
controlar la salida en lugar del estado del sistema.

Una controlabilidad completa del estado no es
condición necesaria ni suficiente para controlar la
salida del sistema. Por esta razón, es conveniente
definir de forma independiente la controlabilidad
completa de la salida.
Sea el sistema descrito mediante:
Se dice que el sistema descrito mediante las
ecuaciones anteriores es de salida
completamente controlable si es posible construir
un vector de control sin restricciones u(t) que
transfiera cualquier salida inicial y(t0) a cualquier
salida final y(ti) en un intervalo de tiempo finito
t0tt1.

Es posible demostrar que la condición para
controlabilidad completa de la salida es la
siguiente. El sistema descrito mediante las
ecuaciones de estado es de salida
completamente controlable si y sólo si la matriz
mx(n+1)r
es de rango m.
La presencia del término Du en la ecuación de
salida siempre ayuda a establecer la
controlabilidad de salida.
Sistema no controlable. Es aquel que tiene un
subsistema que está desconectado físicamente
de la entrada.

Observabilidad. Sea el sistema no forzado
descrito mediante las ecuaciones siguientes:
Se dice que el sistema es completamente
observable si el estado x(t0) se determina a partir
de la observación de y(t) durante un intervalo de
tiempo finito, t0tt1. Por tanto, el sistema es
completamente observable si todas las
transiciones del estado afectan eventualmente a
todos los elementos del vector de salida.
El concepto de observabilidad es útil al resolver el
problema de reconstruir variables de estado no
medibles a partir de variables que sí lo son en el
tiempo mínimo posible.

Observabilidad completa de sistemas en
tiempo continuo. Sea el sistema descrito
mediante las ecuaciones de estado sin excitación.
El vector de salida y(t) es
Se tiene que:
Donde n es el grado del polinomio característico.
Por tanto, se obtiene:
o bien:

Así, si el sistema es completamente observable,
dada la salida y(t) durante un intervalo de tiempo
t0tt1, x(0) se determina únicamente a partir de la
ecuación anterior. Se demuestra que esto
requiere que el rango de la matriz nmxn.
sea n.
A partir de este análisis, se puede expresar la
condición para observabilidad completa del modo
siguiente. El sistema descrito por las ecuaciones
de estado es completamente observable si y sólo
si la matriz nxnm.

Es de rango n, o tiene n vectores columna
linealmente independientes. Esta matriz se
denomina matriz de observabilidad.
Entonces se dice que el sistema es totalmente
observable si la matriz de observabilidad no es
singular, lo que implica que su determinante es
diferente de cero.
EJEMPLO 2:
Sea el sistema descrito por:
Determine si es observable.

SOLUCIÓN:
Para este caso:
Veamos su determinante:
Podemos concluir que el sistema no es
observable, la matriz de observabilidad es
singular.

3.7 Diseño de controladores
Un sistema de control realimentado de n-ésimo
orden tiene una ecuación característica de n-
ésimo grado de la forma:
Como el coeficiente de la más alta potencia de s
es la unidad, hay n coeficientes cuyos valores
determinan las ubicaciones de polos en lazo
cerrado del sistema. Entonces, si podemos
introducir n parámetros ajustables en el sistema
para relacionarlos con los coeficientes de la
ecuación característica, todos los polos del
sistema en lazo cerrado se pueden poner en
cualquier posición.

Topología para la ubicación de polos
Consideremos una planta representada en el
espacio de estados por:
Su diagrama a bloques es:
En un sistema típico de control, la salida y, se
retroalimenta al punto de suma. Es ahora que
cambia la topología del diseño. En lugar de
retroalimentar y, retroalimentamos las variables
de estado al control, u, por medio de ganancias ki.

Entonces habría n ganancias ki que se podrían
ajustar para obtener valores requeridos de polos
en lazo cerrado.
Las ecuaciones de estado del sistema de lazo
cerrado mostrado en la figura se pueden escribir
como:

Supongamos una gráfica de flujo de señales de
una planta en forma de fase variable:
Cada variable de estado se realimenta, entonces a
la entrada de la planta, u, por medio de una
ganancia ki

El diseño mediante realimentación de variables
de estado para ubicación de polo de lazo cerrado
consiste en igualar la ecuación característica de
un sistema en lazo cerrado, con una ecuación
característica deseada y luego hallar los valores de
las ganancias de realimentación ki.
Ubicación de polos para plantas en forma de
variables de fase. Para aplicar la metodología de
ubicación de polos a plantas representadas en
forma de variables de fase se realizan los
siguientes pasos:
1. Representar la planta en forma de variables de
fase.

2. Realimentar cada variable de fase a la entrada
de la planta por medio de una ganancia ki.
3. Hallar la ecuación característica para el sistema
en lazo cerrado, representado en el paso 2.
4. Determinar todas las ubicaciones de polo en
lazo cerrado y establecer una ecuación
característica equivalente.
5. Igualar los coeficientes semejantes de las
ecuaciones características de los pasos 3 y 4 y
despejar ki.
Siguiendo los pasos anteriores, la representación
de las variables de fase de la planta está dada por
la ecuación de estado con:

La ecuación característica de la planta es:
Ahora formamos el sistema en lazo cerrado al
realimentar cada variable de estado a u, formando
Donde:
Las ki son las ganancias de realimentación de las
variables de fase.

La matriz del sistema A – BK, para el sistema de
lazo cerrado es.
La ecuación característica del sistema en lazo
cerrado se puede escribir por inspección como:
Ahora supongamos que la ecuación característica
deseada para una apropiada ubicación de polo es:

Donde di son los coeficientes deseados.
Igualando estas ecuaciones características
tenemos:
De donde:
Una vez hallado el denominador de la función de
transferencia se puede hallar el numerador.
Para los sistemas representados en términos de
variables de fase, sabemos que el polinomio del
numerador está formado por los coeficientes de la
matriz de acoplamiento de salida C.

EJEMPLO 1
Dada la planta:
Diseñe las ganancias de realimentación de las
variables de fase para obtener 9.5% de sobrepaso
y tiempo de asentamiento de 0.74 segundos.
SOLUCIÓN:
Primero veamos las características originales de la
planta usando el comando zpk de Matlab.
CARACTERÍSTICAS DE LA PLANTA
Ubicación de los polos en lazo
cerrado: -0.224  j4.68,
= 0.047 y n=4.69 rad/s
Mp=0.817 y ts=16.9 seg

Mp = e
−

1−2
π
= 0.095

1 − 2
=
ln 0.095
−𝜋
= 0.7492 →  = 0.7492 1 − 2
2 = 0.5614 1 − 2 →  =
0.5614
1.5614
= 0.6
Asimismo:
ts =
4
ωn
= 0.74 → ωn =
4
0.74(0.6)
= 9 rad/s
Entonces:
𝑠2 + 2𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 = 𝑠2 + 10.8𝑠 + 81
Por tanto la ubicación de los polos requerida es:

Como el sistema es de tercer orden se debe
seleccionar otro polo en lazo cerrado. El sistema
en lazo cerrado tendrá un cero en -5 al igual que
el sistema en lazo abierto. Se puede seleccionar el
tercer polo en -5 para que se cancele con el cero,
sin embargo, para ver el efecto de este tercer polo
lo seleccionaremos en -5.1.
Tracemos el diagrama de flujo de señales para la
planta original:
Ecuación característica requerida:
𝑠3 + 15.9𝑠2 + 136.08𝑠 + 413.1 = 0

A continuación se retroalimentan todas las
variables de estado al control u, por medio de
ganancias ki:
Las ecuaciones de estado del sistema mostrado
en la figura son:

Entonces la matriz del sistema en lazo cerrado
está dada por:
Para hallar la ecuación característica del sistema
en lazo cerrado tenemos:
sI − A − BK =
s 1 0
0 s 1
−k1 − 4 + k2 s + 5 + k3
Entonces:
Esto se debe comparar con la ecuación
característica deseada:

𝑠3 + 15.9𝑠2 + 136.08𝑠 + 413.1 = 𝑠3 + 5 + 𝑘3 𝑠2 + 4 + 𝑘2 𝑠 + 𝑘1
Igualando término a término tenemos:
5 + k3 = 15.9 → k3 = 15.9 − 5 = 10.9
4 + k2 = 136.08 → k2 = 136.08 − 4 = 132.08
k1 = 413.1
Por último el cero de la función de transferencia
de lazo cerrado es igual al término del sistema en
lazo abierto, o sea, (s+5).
Con estos valores la representación en el espacio
de estados del sistema en lazo cerrado es:

La función de transferencia de lazo cerrado es:
La respuesta al escalón de este sistema es:
Se observa que el estado
estable se aproxima a 0.24
en lugar de la unidad, por lo
tanto hay un error grande
en estado estable, el cual,
se puede reducir
mejorando las técnicas de
diseño.

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