Sistemas de primer, segundo orden y de orden superior
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
ASIGNATURA: TEORÍA DE CONTROL
EXTENSIÓN BARINAS
PROFESORA: INTEGRANTE:
AMDIE CHIRINOS CI-24.823.606
JOSÉ MARTÍNEZ
ING. ELECTRÓNICA
Junio, 2021
2. Para analizar el comportamiento de un sistema se toma como punto de
partida la representación matemática del mismo.
Respuesta del sistema ante una entrada
La respuesta transitoria se entiende al comportamiento del sistema que
va del estado inicial al estado final.
El sistema puede ser excitado con distintas señales de entrada r(t). Las más utilizadas
son: las funciones impulso, escalón, rampa y sinusoidal de amplitud unidad.
3. Función Rampa. Se emplea cuando se supone que las entradas
para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian
en forma gradual.
Función Escalón. Es emplea cuando se supone que el
un sistema estará sujeto a perturbaciones repentinas.
Función Impulso. Esta señal se prueba es adecuada si se
supone que el sistema estará para un sistema sujeto a entradas
de choque.
Podemos distinguir tres tipos de sistemas en cuanto a su numero de polos (polos=
raíces del denominador de la función de transferencia), tenemos:
SISTEMAS DE PRIMER
ORDEN.
SISTEMAS DE SEGUNDO
ORDEN.
SISTEMAS DE ORDEN
4.
5. La función de transferencia G(s) de un sistema es una expresión racional de
polinomios en s. Las raíces del denominador se llaman polos y las raíces del
numerador se llaman ceros. Un sistema de primer orden se define como aquel
que posee un único polo.
𝐾
1 + 𝑇𝑠
𝐺(𝑆)
𝑅 𝐶 K= ganancia del
sistema
T= constante de
tiempo
Polo en -1/T
Respuesta ante entrada impulso
La salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada impulso
unidad es:
donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicial
de la curva se puede calcular a partir de la expresión general de la derivada:
6. Estos resultados se pueden obtener a través de las propiedades de las
transformadas de Laplace, sin necesidad de obtener la salida temporal del sistema:
Ejemplo de respuesta ante entrada impulso.
7. Respuesta ante entrada escalón
La salida temporal del sistema de primer orden ante una entrada
escalón unidad es:
Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida.
La pendiente inicial de la curva es:
La respuesta ante entrada escalón unidad del mismo ejemplo
que el apartado anterior. Ahora el valor final es K, mientras que
recta que sale del origen con pendiente K T toma el valor K para t
= T.
Por tanto, el valor de la respuesta en régimen permanente coincide
con la ganancia estática K. Cuanto menor sea la constante de
tiempo T más rápidamente tiende la respuesta del sistema a su
valor en régimen permanente.
8. La constante de tiempo da una idea de la duración del
régimen transitorio del sistema. Aproximadamente la salida llega al
62 % del régimen permanente en el instante de tiempo igual a la
constante de tiempo del sistema:
𝑐(𝑇) ≈ 0.62𝐾
Respuesta de un sistema de primer orden ante entrada
escalón
9. Respuesta rampa unitaria
Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es
1
𝑆2 , se
obtiene la salida del sistema.
𝐶 𝑠 =
1
𝑇𝑠 + 1
; R s =
1
𝑇𝑠 + 1
×
1
𝑠2
=
1
𝑠2(𝑇𝑠 + 1)
Se procede a aplicar separación en fracciones
parciales:
𝐶 𝑠 =
1
𝑠2
−
𝑇
𝑠
+
𝑇2
(𝑇𝑠 + 1)
Finalmente se obtiene la respuesta en el
tiempo, aplicando la transformada inversa de
Laplace:
𝐶 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−
𝑡
𝑇
para t ≥ 0
10. Respuesta ante entrada sinusoidal
La salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada sinusoidal de
amplitud unidad y frecuencia ω es:
Se observa que la salida c(t) posee dos sumandos: el primero es transitorio,
desaparece prácticamente después de T segundos, y el segundo es una sinusoidal
de frecuencia igual a la de la señal de entrada, pero con una amplitud y un retraso
que dependen tanto de la frecuencia ω de entrada como de las características del
sistema de primer orden.
11.
12. Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos.
Este tipo se sistemas se suele representar de la siguiente forma:
La constante K es la ganancia estática del sistema, ζ es el
amortiguamiento y ωn es la frecuencia natural. Dependiendo del
carácter de los polos, el sistema de segundo orden puede ser:
Sistema subamortiguado. El amortiguamiento posee un valor
entre 0 y 1 y los polos del sistema de segundo orden son
complejo-conjugados.
Sistema sobreamortiguado. El amortiguamiento es mayor que la
unidad y los polos del sistema de segundo orden son reales
localizados en:
13. Sistema críticamente amortiguado. El amortiguamiento es igual a la
unidad y los polos son reales e iguales:
Cualquiera que sea el amortiguamiento del sistema, existen tres
puntos clave de la respuesta temporal que siempre cumplen los
sistemas de segundo orden ante una entrada escalón unidad:
Es decir, la respuesta temporal de todos los sistemas de
segundo orden comienzan en el origen con pendiente nula, y
alcanzan en régimen permanente el valor de la ganancia
estática K.
14. Respuesta subamortiguado ante entrada escalón
La respuesta de un sistema subamortiguado (ζ < 1) ante una entrada escalón
unidad es:
15. Respuesta
sobreamortiguada
ante entrada escalón
La respuesta de un sistema
sobreamortiguado (ζ > 1) ante una entrada
escalón unidad es:
Respuesta críticamente
amortiguada ante
entrada escalón
La respuesta de un sistema críticamente
amortiguado (ζ = 1) ante una entrada
escalón unidad es:
16. Respuesta ante entrada impulso
La respuesta de un sistema ante una entrada impulso se puede
obtener a partir de la respuesta ante una entrada escalón.
Se puede conseguir derivando directamente la respuesta del
sistema con entrada escalón unidad.
17.
18. El comportamiento de los sistemas de orden superior, es
decir, de aquellos que poseen tres o más polos, depende
fundamentalmente del carácter de los polos más lentos del
sistema.
Sea un sistema de tercer orden, en el que existe un polo real y
dos complejo-conjugados. La respuesta temporal, depende de la
posición relativa de los tres polos del sistema.
19. Por tanto, la inclusión de polos adicionales a un determinado sistema no influye
en la respuesta temporal del mismo mientras los nuevos polos se encuentren
suficientemente alejados del eje imaginario del plano complejo S respecto a los
que ya tenia el sistema.
Se muestra un caso particular en el que el polo real es el más lento. La
respuesta se asemeja a la del sistema de primer orden, con un retraso
adicional y pendiente inicial nula.
