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今日からはじめる微分方程式
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- 2. 自己紹介 • 高専 専攻科中退 → 会社員 • 科目等履修生(東工大) • 最近ほしいもの: • 単位(落としました……) • FPGAの勉強会の会場 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 3
- 3. 発表テーマの経緯 • 最初は制御工学の発表を想定していた。 • 以下の応用事例 •IoT : モータの回転量、トルク、電圧電流量の設計 • Web : サーバの負荷、メモリ利用量の調整 • しかし…… • 制御モデルの表現・解析で微分方程式が不可避 • まずは微分方程式に慣れてもらうことにした 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 4
- 4. 概要 • 目的 微分方程式がラプラス変換で解けることを知る ※ 条件:線形かつすべての係数が定数であること • 話すこと 1. 微分方程式の分類と代表的な解き方 2. 演算子法による解法 3. ラプラス変換による解法 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 5
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- 6. 微分方程式の分類(1/2) • 未知関数 𝑓(𝑥)とその導関数 𝑓 𝑛 (𝑥) を含む方程式 • 常微分方程式 : 𝑓(𝑥) が一変数関数 • ニュートンの運動方程式 𝑚𝒙′′ = 𝑭 • 偏微分方程式 : 二変数以上 • 波動方程式 1 𝑠2 𝜕2 𝑢 𝜕𝑡2 = 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝑢 𝜕𝑧2 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 7
- 7. 微分方程式の分類(2/2) • 線形: 以下の形で書けるもの 𝑦𝑛 + 𝑝 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝0 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 • 斉次: 𝑞(𝑥) = 0 • 非斉次: 𝑞(𝑥) ≠ 0 • 非線形: 線形でないもの • 例: Van der Pol 振動子 𝑥′′ − 𝜇 1 − 𝑥2 𝑥′ + 𝑥 = 0 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 8
- 8. 微分方程式の例(1/2) • 例: 2階線形 𝑦′′= −𝑦 • 一般解: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 • 任意定数𝐶1, 𝐶2を含む解 • 特殊解: 𝑦 𝑥 = sin 𝑥 • 方程式を満たす解の一つ↔ある任意定数における解 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 9
- 9. 微分方程式の例(2/2) • 例: 1階線形 𝑦′= 𝑎𝑦 • 一般解: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑎𝑥 • この例は置換積分法で計算できる • 特殊解: 𝑦 𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 10
- 10. 微分方程式の解法(1/4) • 一般解を求める手順 1. まず𝑦 𝑛 を 𝛼 𝑛 に置き換えた方程式を作る 2. 1. で作った方程式を解く 3. 関数 𝑦 = Const 𝑒 𝛼𝑥 の線形結合が一般解 • ※2. の解には重解がないものとする • (重解 → 線形独立でなくなる) 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 11
- 11. 微分方程式の解法(2/4) • 例: 1階線形 𝑎𝑦′+ 𝑏𝑦 = 0 1. 方程式 𝑎𝛼 + 𝑏 = 0 の解は 𝛼 = − 𝑏 𝑎 2. 一般解: 𝑦 𝑥 = (Const)𝑒− 𝑏 𝑎 𝑥 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 12
- 12. 微分方程式の解法(3/4) • 例: 2階線形 𝑎𝑦′′+ 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 1. 方程式 𝑎𝛼2 + 𝑏𝛼 + 𝑐 = 0 の二解を𝛼1, 𝛼2とする 2. 一般解: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝛼1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼2 𝑥 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 13
- 13. 微分方程式の解法(4/4) • 例: 2階線形非斉次 𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 𝑓(𝑥) 1. まず 𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 の解 𝑦0 を求める 2. 特殊解 𝑦𝑝 を(適当な方法で)見つける 3. 一般解は 𝑦0 + 𝑦𝑝 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 14
- 14. ここまでのまとめ • 微分方程式の種類と解法の一つを紹介した • 線形微分方程式 •斉次(𝑞(𝑥) = 0) → 代数方程式の解から一般解が求まる • 課題 • 非斉次の場合 → 特殊解を求める技術が要る • そもそも工学で必要なのは(ある条件下での)特殊解 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 15
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- 16. 例題 : RC回路 BySplash • 𝑉𝑖𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 ; 𝑢(𝑡) = 1 𝑡 > 0 0 𝑡 ≤ 0 • 条件:(𝑡 ≤ 0; 𝑉𝐶 = 0) のとき𝑉𝐶 𝑡 は？ 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 17
- 17. へヴィサイドの演算子法(1/3) • Oliver Heaviside(1850-1925)が発明 •線形微分方程式の解法に利用される • 𝑓 を微分する → 𝑝 を 𝑓 に乗じる • 𝑓′ → 𝑝𝑓 • 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0 → 𝑝(𝑎𝑦) + 𝑏𝑦 = 0 • 1 𝑝 → 積分する 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 18
- 18. へヴィサイドの演算子法(2/3) • 微分演算子 𝑝を使うと先のRC回路は…… 𝑢 𝑡 = 𝑅𝐼 + 𝑉𝐶 𝐼 = 𝐶(𝑉𝐶)′ → 𝑢 𝑡 = 𝑅𝐶(𝑉𝐶)′ + 𝑉𝐶 𝑢 𝑡 = 𝑝 𝑅𝐶𝑉𝐶 + 𝑉𝐶 • 解は次の計算で求まる • 𝑢 𝑡 = 𝑝𝑅𝐶 + 1 𝑉𝐶, → 𝑉𝐶 = 𝑢 𝑡 1+𝑝𝑅𝐶 • 𝑉𝐶 = 𝑥 1+𝑥 𝑢 𝑡 = 𝑥 1 − 𝑥 + 𝑥2 − ⋯ 𝑢 𝑡 𝑥 = 1 𝑝𝑅𝐶 • 𝑉𝐶 = 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 − ⋯ 𝑢 𝑡 • 𝑉𝐶 = 1 − 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + ⋯ 𝑢 𝑡 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 19
- 19. へヴィサイドの演算子法(3/3) • 1/𝑝 は積分を意味するので • 𝑥𝑢 𝑡 = 1 𝑝 1 𝑅𝐶 𝑢 𝑡 = 1 𝑅𝐶 0 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡𝑢(𝑡) 𝑅𝐶 • 𝑥2 𝑢 𝑡 = 1 2 𝑡2 𝑢(𝑡) 𝑅𝐶 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 𝑢 𝑡 = 1 𝑛! 𝑡 𝑛 𝑢(𝑡) 𝑅𝐶 𝑛 , ⋯ • 𝑉𝐶 = 1 − 1 − 𝑡 𝑅𝐶 + 1 2 𝑡 𝑅𝐶 2 − 1 3! 𝑡 𝑅𝐶 3 + ⋯ 𝑢 𝑡 • 𝑉𝐶 = 1 − 𝑒− 𝑡 𝑅𝐶 𝑢 𝑡 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 20
- 20. 演算子法の問題点 • 演算子 𝑝の曖昧さ • 代数のように扱っていいのか？ • そもそも 𝑝 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ 𝑓 𝑡 は収束するのか？ • しかし便利な手法だった…… • 後にラプラス変換として発展し、現在使われる • 演算子法自体も後に研究された(例: Mikusiński) 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 21
- 21. ラプラス変換(1/2) • 関数f(t)のラプラス変換 𝐹 𝑠= ℒ 𝑓 𝑡 = 0 ∞ 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 • 定義通り計算することは少ない • 積分に基づくので線形性がある • 逆変換は複素積分になる • 変換表が存在する 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 22
- 22. ラプラス変換(2/2) • 計算に最低限必要なもの 1. ℒ𝑢 𝑡 = 1 𝑠 2. ℒ 𝑓 𝑡 𝑒−𝑎𝑡 = 𝐹(𝑠 + 𝑎) 3. ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢(𝑡 − 𝑎) = 𝐹 𝑠 𝑒−𝑎𝑠 4. ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0 以上の組み合わせで例題は解ける 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 24
- 23. 例題 : RC回路(再掲) BySplash • 𝑉𝑖𝑛 𝑡 = 𝑢 𝑡 ; 𝑢(𝑡) = 1 𝑡 > 0 0 𝑡 ≤ 0 • 条件:(𝑡 ≤ 0; 𝑉𝐶 = 0) のとき𝑉𝐶 𝑡 は？ 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 25
- 24. ラプラス変換による解法 • 解くべき微分方程式 ;𝑢 𝑡 = 𝑅𝐶(𝑉𝐶)′ + 𝑉𝐶 1. 両辺をラプラス変換する ℒ 𝑢 𝑡 = 1 𝑠 = 𝑅𝐶 𝑠ℒ 𝑉𝐶 − 𝑉𝐶 0 + ℒ 𝑉𝐶 2. 式変形する(部分分数分解が必要) ℒ 𝑉𝐶 = 1 1 + 𝑠𝑅𝐶 1 𝑠 = 1 𝑠 − 1 𝑠 + 1/𝑅𝐶 3. 対応する関数を探す 𝑉𝐶 = 𝑢 𝑡 − 𝑒− 1 𝑅𝐶 𝑡 𝑢 𝑡 = 1 − 𝑒− 𝑡 𝑅𝐶 𝑢 𝑡 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 26
- 25. ラプラス変換による解法 • いいところ: 以下の計算で解が求まる •二次方程式 • 代数計算 • よくないところ: • 部分分数分解が面倒 • ラプラス逆変換: 𝑓 𝑡 = lim 𝑝→∞ 1 2𝜋𝑖 𝑐−𝑖𝑝 𝑐+𝑖𝑝 𝐹 𝑠 𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 27
- 26. まとめ • 微分方程式は次の場合において機械的に解ける • 常微分(一変数) •線形 • 定数係数 • ラプラス変換により微分積分なしに解が求まる • 非斉次方程式に対しても適用可能 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 28
- 27. 参考: • Maxima(Common Lisp製の数式処理ソフト) •ラプラス変換/逆変換が計算できます • URL: http://maxima.sourceforge.net/ 2015/7/24 プログラマのための数学勉強会 #4 29