1. Фрактали. ГеФрактали. Геоометричнаметрична
природа дивних атракторів.природа дивних атракторів.
Фрактальна розмірність вФрактальна розмірність в
біологічних системах.біологічних системах.
Підготувала
Карпа Наталія
ПМІ-53м

2. ““Холодна” і “суха” геометріяХолодна” і “суха” геометрія
Основний принцип: все
повинно бути регулярно,
рівно, правильно..

3. Абсолютно інший рівень складностіАбсолютно інший рівень складності

4. Бенуа МандельбротБенуа Мандельброт
 Помер 14 жовтня 2010 року в США в віці 85 років

5. Давайте обчислимо береговуДавайте обчислимо берегову
лінію Британії!лінію Британії!
Новий підхід до вимірювання
складних природніх об’єктів
Нова Геометрія Природи
Сімейство фігур “фракталами”.

6. Отже, що таке “Фрактал”?Отже, що таке “Фрактал”?
Фракта́л (лат. fractus — подрібнений,
дробовий) — нерегулярна, самоподібна
структура. (1975 р.)

7. Звідки беруться фрактали?Звідки беруться фрактали?
“Коли ви дивитесь на поверхність, ви бачите
всю її складність і вона здається вам дуже
нематематичним об’єктом.Треба думати не
про то, що ви бачите, а про те, як можна
отримати те, що ви бачите”.
(Бенуа Мандельброт)
А отримати можна шляхом безкінечного
повторення.

8. Зірка КохаЗірка Коха
 Отримаємо специфічну криву , яку називали «дефектною» чи
кривою -«монстром»

9. Повертаючись до берегової лінії..Повертаючись до берегової лінії..
 З геометричної точки зору берегова
лінія Британії – фрактал.
 Мандельброт знав, що не зможе
виміряти довжину цієї лінії.
 Але припустив, що зможе виміряти
дещо інше – її нерівність.
 Щоб зробити це, необхідно було
переглянути одне з основноположних
понять в геометрії – розмірність.

10. Розмір і МіраРозмір і Міра
 1. Розмір
(характеризує величину
об’єкта)
 2. Міра
(характеризує кількісну
величину об’єкта)
Міра суми рівна сумі
мір.

11. РозмірністьРозмірність
Введемо позначення:
D — розмірність,
M — міра
L — розмір.
Формула, що пов’язуватиме ці три величини:
M = LD
Отже,розмірністьDприйматимезначення{0,1,2,3,… }

12. Якщо фігуру зменшити в N раз, то вона
вкладеться в початкову рівно ND
разів.
Вірне і наступне твердження: якщо при
зменшенні фігури в N раз, вона вкладається в
початкову n разів, то розмірність можна
обчислити за формулою:
D = ln(n)/ln(N)
Якщо куб (D=3)
зменшими в 2 рази, то він
вкладеться в початковий
8 раз (23
=8).
Якщо трикутник (D=2)
зменшити в 3 рази, то він
вкладеться в
початковому рівно 9
разів.(32
=9).

13. Поговоримо про розмірності…Поговоримо про розмірності…
D = 0 D = 1 D = 2 D = 3
Чи існує дробова розмірність?

14. Існує!Існує!
 Фрактальна розмірність —
поняття, що означає
величину, яка говорить про
те, наскільки повно фрактал
заповнює простір, коли
збільшувати його до
дрібніших деталей.

15.  Розіб’ємо весь n-вимірний простір на
куби з довжиною ребра ε і об’ємом εn
.
 Хай N(ε) — мінімальне число кубів, які
в покривають фрактальну множину,
тоді:
 Існування такої границі означає
скінченність об’єма фрактала в
D – вимірному просторі.
 При малому ε: N(ε)≈ Vε–D
де V = const. Отже, N(ε) не що інше, як
число D-вимірних кубиків, що
покривають об’єм V.Так як такі
кубики можуть бути майже
порожніми, то D<n
Фрактальна розмірністьФрактальна розмірність
)1ln(
)(ln
lim)( 0
a
aN
Ad a→=

16. До слова про дивні атрактори..До слова про дивні атрактори..
Чим дивні атрактори відрізняються від
інших атракторів?

17. Геометрична будова дивних атракторівГеометрична будова дивних атракторів
Розмірність дивного атрактора єдробовою.
Значення розмірності - критерій відмінності
простих атракторів від дивних.
Термін "дивний" атрактор був уведений саме
для того, щоб підкреслити, що такі атрактори
не є гладкими множинами.

18. Фрактальна розмірністьФрактальна розмірність
 Через надзвичайну важливість фрактальної розмірності
виникає питання про явне її обчислення для тих або
інших атракторів динамічних систем.
 Гіпотеза Каплана – Йорке: фрактальна розмірність
пов'язана з характеристичними показниками Ляпунова .
Ця гіпотеза припускає, що фрактальна розмірність dF
збігається з ляпуновскою розмірністю dL.
 Для того, щоб встановити геометричну структуру
дивного атрактора, необхідно взяти яку-небудь малу
область фазового простору й простежити, як із часом
вона еволюціонує.
 Інформацію про зміну малого елемента фазового об'єму
динамічної системи дають характеристичні показники
Ляпунова.

19. Розмірність фрактала КантораРозмірність фрактала Кантора
 k – число ітерацій .
 N – к-сть кубів, що покривають атрактор
 a – сторона куба
631,0
3ln
2ln
3ln
2ln
lim === ∞→ m
m
mFd
При к=0: N=1, a=1.
При к=1: N=2, a=1/3
При к=2: N=4, a=1/9
При k = m m
N 2= m
a
3
1
=

20. ЗадачаЗадача Gaston JuliaGaston Julia
Що отримаємо після великої
кількості ітерацій?

21. 1980 р. Мандельброт написав власну формулу , що
об’єднала всі множини Жюля в одне зображення.
Проітерував формулу при різних значеннях
параметра і спостерігав як змінюються множини
Жюля.

22. Фрактал Мандельброта ставФрактал Мандельброта став
емблемою фрактальної геометріїемблемою фрактальної геометрії

23. Класифікація фракталівКласифікація фракталів
Точна самоподібність —фрактал виглядає
однаково при різних збільшеннях.
Майже самоподібність —фрактал виглядає
приблизно (але не точно) самоподібним при
різних збільшеннях.
Статистична самоподібність —що зберігаються
при збільшенні.
Слід зазначити, що не всі самоподібні об'єкти є
фракталами; наприклад, числова вісь є точно
самоподібною, але, оскільки її розмірність рівна
одиниці, вона не є фракталом.