เซต ระดับชั้น ม.4

1. เซต
เซต เป็ นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่ำง ๆ เรี ยกสิ่งที่อยูในเซตว่ำ สมาชิกของเซต
่
- เซตของสระในภำษำอังกฤษ หมำยถึง ………………………………………
- เซตของจำนวนนับที่นอยกว่ำ 10 หมำยถึง ………….………………………
้
กำรเขียนเซต มี 2 แบบ คือ เขียนแบบแจกแจงสมำชิก และแบบบอกเงื่อนไขของ
สมำชิก
กำรเขียนสมำชิกของเซต จะใช้ สัญลักษณ์ “ ” แทนคำว่ำเป็ นสมำชิกหรื ออยูใน และคำ
่
ว่ำ “ไม่เป็ นสมำชิกของ ” หรื อ “ไม่อยูใน” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “ ”
่
ตัวอย่างที่ 1
เป็ นสมำชิกของ A เขียนแทนด้วย .....................
- b ไม่เป็ นสมำชิกของ A เขียนแทนด้วย .....................
โดยทัวไปจะแทนเซตด้วยอักษรภำษำอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และแทน
่
สมำชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a, b, c
- a
ตัวอย่างที่ 2
ให้ A เป็ นเซตที่ประกอบด้วยสมำชิก
a, b, c
จะเขียนแบบแจกแจงสมำชิกได้ ดังนี้
A = {a, b, c}
ในกำรเขียนเซตแบบแจกแจงสมำชิกจะใช้จุดสำมจุด ( . . . ) เพื่อแสดงว่ำมีสมำชิกอื่น ๆซึ่ง
เป็ นที่เข้ำใจกันทัวไปว่ำมีอะไรบ้ำงอยูในเซต
่
่
ตัวอย่างที่ 3
ให้ B เป็ นเซตของจำนวนนับ จะเขียนเซต B แบบแจกแจงสมำชิกได้ ดังนี้
B = {1, 2, 3, . . . }
ให้
C เป็ นเซตของจำนวนนับที่นอยกว่ำ 50
้
C = {1, 2, 3, . . ., 49 }
จะเขียนเซต C แบบแจกแจงสมำชิกได้ ดังนี้
ข้ อสั งเกตในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
1. นิ ยมเขียนสมำชิกแต่ละตัวในเซตเพียงครั้งเดียวเท่ำนั้น
และจำนวนสมำชิกของ A
จะเขียนแทนด้วย n(A) เช่น
ตัวอย่างที่ 1
กำหนดให้
A = {1, 2, 2, 1, 2,1} จะได้ว่ำ A = {1, 2}
และ
n(A) = 2

2. 2
2. กำรสลับที่ระหว่ำงสมำชิกในเซตเดียวกันไม่ทำให้เซตเปลี่ยนแปลง
เช่น
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดให้
A = {1, 2, 3} จะได้ว่ำ
A = {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 3, 1} = {2, 1, 3} = {3, 2, 1} = {3, 1, 2}
กำรเขียนตัวแปรแทนสมำชิกทุกตัวของเซต และหลังตัวแปรจะใช้ เครื่ องหมำย “ | ” ซึ่ง
แทนคำว่ำ โดยที่ ตำมด้วยกำรบอกสมบัติของสมำชิก เรี ยกว่ำเป็ นกำรเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข
ดังนี้
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดให้ A เป็ นเซตของชื่อเดือนใน 1 ปี สำมำรถเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดงนี้
ั
A = {x x เป็ นชื่อเดือนใน 1 ปี } อ่ำนว่ำ เซตของ x โดยที่ x เป็ นชื่อเดือนใน 1 ปี
ตัวอย่างที่ 4
A = {1, 2, 3} เป็ นเซตที่สำมำรถระบุจำนวนสมำชิกได้
นันคือ n(A) = 3
่
B = {-1, -2, -3, . . . } เป็ นเซตที่ไม่สำมำรถระบุจำนวนสมำชิกได้
C = { } เป็ นเซตที่ไม่มีสมำชิกเลย
“เซตจากัด”
คือ เซตที่มีจำนวนสมำชิกเท่ำกับจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรื อศูนย์
ตัวอย่างที่ 5
ดังนั้น A เป็ นเซตจำกัด
n(B) = 0 ดังนั้น B เป็ นเซตจำกัด
A = {1, 2, 3, . . . , 10}, n(A) = 10
B = {x x 
และ 2  x  3 },
คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ซึ่งจะใช้จุดสำมจุดแทนสมำชิกอื่นซึ่งเป็ นที่เข้ำใจ
ว่ำยังมีสมำชิกใดอีกบ้ำงที่อยูในเซต
่
“เซตอนันต์”
ตัวอย่างที่ 6
A = {1, 2, 3, . . . }
B = {x x  และ 0  x  3 }
คือ เซตที่ไม่มีสมำชิกหรื อเซตที่มีจำนวนสมำชิกเท่ำกับศูนย์ จะใช้สญลักษณ์
ั
 หรื อ { } แทนเซตว่ำง
“เซตว่ าง”

3. 3
ใบงานที่ 1
ข้ อที่
1
2
คาถาม
จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมำชิก
1.1 เซตของจำนวนเต็มบวกที่หำรด้วย 5 ลงตัว
1.2 เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ข้ ึนต้นด้วยพยัญชนะ “ม”
1.3 เซตของจำนวนคู่บวกที่นอยกว่ำ 20
้
1.4 เซตของจำนวนเต็มที่มำกกว่ำ 2 แต่นอยกว่ำ 10
้
จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมำชิก
2.1
2.2
2.3
2.4
A
B
C
D
=
=
=
=
คาตอบ
{2, 4, 6, 8, 10}
{1, 3, 5, . . . , 99}
{1, 2, 3, . . . }
{1, 4, 9, 16, . . .}
จงบอกจำนวนสมำชิกของเซตต่อไปนี้
3
3.1 A = {2148}
3.2 B = {x | x เป็ นจำนวนเต็มบวกที่อยูระหว่ำง 20 และ 30}
่
คะแนนที่ได้ = ……………………
ผูตรวจ ………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……
ตั้งใจเรียนคณิตศาสตร์
จะปราดเปรื่องทุกวิชา
นะนักเรียน !

4. 4
ใบงานที่ 2
ให้นกเรี ยนพิจำรณำเซตในแต่ละข้อต่อไปนี้ขอใดเป็ นเซตว่ำง เซตจำกัด เซตอนันต์
ั
้
และเซตที่เท่ำกัน แล้วกำเครื่ องหมำย  ลงในช่องว่ำงให้ถูกต้อง
คาชี้แจง
ข้ อที่
1
2
3
4
5
6
คาตอบ
เซตว่าง เซตจากัด เซตอนันต์ เซตที่เท่ ากัน
เซตที่กาหนดให้
A
A
B
A
A
A
=
=
=
=
=
=
{1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}
{2, 4, 6, 8, 10},
{x | x เป็ นจำนวนนับที่นอยกว่ำ 5}
้
{2, 4, 6, 4, 2} , B = {4, 2, 2, 6, 6}
{1, 2, 3, . . .} , B = {x | x  2}
{x  I | 0 < x < 1} ,
B = {x  I | x เป็ นจำนวนคู่
4 < x < 6}
A = {x  R | x2 = 1} ,
B = {x  I | x2 < 1}
และ
คะแนนที่ได้ = ……………………
ผูตรวจ ………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน …………. พ.ศ. ……

5. 5
เซตที่เท่ ากัน สั บเซตและเพาเวอร์ เซต
เซตที่เท่ ากัน
เซต A เท่ำกับเซต B หมำยถึง สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมำชิกของเซต B และ
สมำชิกทุกตัวของเซต B เป็ นสมำชิกของเซต A เขียนแทนด้วย A  B
เซต A ไม่เท่ำกับเซต B หมำยถึง มีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็ น
สมำชิกของเซต B หรื อมีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต B ที่ไม่เป็ นสมำชิกของเซต A เขียน
แทนด้วย A  B
สับเซต
เซต A เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมำชิกของเซต
B เขียนแทนด้วย A  B
เซต A ไม่เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่
เป็ นสมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A  B
ถ้ำ A = B แล้ว จะเรี ยก A ว่ำเป็ นสับเซตไม่แท้ของ B
ถ้ำ A  B และ A  B แล้ว จะเรี ยก A ว่ำ เป็ นสับเซตแท้ของ B
เพาเวอร์ เซต
เพำเวอร์เซตของเซต
ตัวอย่างที่ 1
กำหนดให้
A
คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ
A
เขียนแทนด้วย
A  {a, b,c} จำนวนสมำชิกทั้งหมดของเซต A
1. {a}
6. {b, c}
3. {c}
7. {a, b, c}
4. {a, b}
มีดงนี้
ั
5. {a, c}
2. {b}
P(A)
8. 
สมำชิกทั้งหมดของเซต A เรี ยกอีกอย่ำงหนึ่งว่ำ สับเซต และ เซตว่ำง เป็ นสับเซตของทุก
เซต รวมถึงสับเซตทุกสับเซตเป็ นสับเซตแท้ ยกเว้นตัวมันเอง

6. 6
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดให้ A = {a, b, c}, B = {a, c, b, c}
จะเห็นว่ำ สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมำชิกของเซต B และสมำชิกทุกตัวของเซต
สมำชิกของเซต A เรี ยกว่ำ เซต A เท่ ากับเซต B เขียนแทนด้วย A  B
B
เป็ น
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดให้ A = {2, 4, 6}, B = {x x เป็ นจำนวนคู่บวก และน้อยกว่ำ 10 }
เขียน B แบบแจกแจงสมำชิก จะได้ B = {2, 4, 6, 8} จะเห็นว่ำ มีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต
A ที่ไม่เป็ นสมำชิกของเซต B หรื อมีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่ งตัวของเซต B ที่ไม่เป็ นสมำชิกของ
เซต A ในที่น้ ี คือ 8 ซึ่งสำมำรถเขียนแทนด้วย A  B
บทนิยาม สับเซต
เซต A เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็ น สมำชิกของ
เซต B เขียนแทนด้วย A  B
เซต A ไม่เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต A
ที่ไม่เป็ นสมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A  B
จำกบทนิยำมของ “สับเซต” จึงได้ว่ำ
สับเซตของตัวเอง”
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดให้
“
เป็ นสับเซตของทุกเซต” และ “เซตทุกเซตเป็ น
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} จะได้วำ A  B
่
แต่ B  A
ตัวอย่างที่ 5
กำหนดให้ S = {1, 2, 3} จะได้ว่ำ
สับเซตของเซต S ที่ไม่มีสมำชิกเลย ....................................................................
สับเซตของเซต S ที่มีสมำชิก 1 ตัว คือ ................................................................
สับเซตของเซต S ที่มีสมำชิก 2 ตัว คือ ................................................................
สับเซตของเซต S ที่มีสมำชิก 3 ตัว คือ ................................................................
ดังนั้น S มีสบเซต คือ................................................................................................
ั
…………………………………………………………………………………………..

7. 7
2k
ข้ อสังเกต
ถ้ำเซต A เป็ นเซตจำกัดและมีจำนวนสมำชิก k ตัว แล้ว เซต A มีสบเซตทั้งหมด
ั
เซต เช่น ถ้ำ n(A) = 4 เซต A จะมีจำนวนสับเซตทั้งหมดเท่ำกับ 24  16
“สับเซตแท้” และ “สับเซตไม่แท้”
จำนวนสับเซตแท้ และ จำนวนสับเซตไม่แท้
1.1 ถ้ำ A = B แล้ว จะเรี ยก A ว่ำเป็ นสับเซตไม่แท้ของ B
1.2 ถ้ำ A  B และ A  B แล้ว จะเรี ยก A ว่ำ เป็ นสับเซตแท้ของ B
1.3 ในกรณี ทวไป ถ้ำ A เป็ นเซตจำกัด และ n(A) = k แล้ว จำนวนสับเซตไม่แท้
ั่
ของ A และสับเซตแท้ของ A จะเป็ นดังนี้
1.3.1 จำนวนสับเซตของ A เท่ำกับ 2k เซต
1.3.2 จำนวนสับเซตไม่แท้ของ A เท่ำกับ 1 เซต
1.3.3 จำนวนสับเซตแท้ของ A เท่ำกับ 2k -1 เซต
ตัวอย่างที่ 5
กำหนดให้ A = {1, 2, 3} จะได้ว่ำ
A มีสบเซต คือ  , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
ั
สับเซตแท้ของ A คือ  , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
จำนวนสับเซตของ A ทั้งหมดเท่ำกับ 2k = 23 = 8 เซต
จำนวนสับเซตแท้ของ A เท่ำกับ 2k -1 = 23 - 1 = 8 – 1 = 7 เซต
สมบัตของสับเซต กำหนดให้ A, B, C เป็ นเซตใด ๆ
ิ
1. A  A
2.   A
3.
4.
ถ้ำ A  B และ B  C แล้ว A  C
ถ้ำ A  B และ B  A แล้ว A = B
บทนิยาม เพำเวอร์เซต
เพำเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย
P(A) นันคือ P(A) = {x x  A }
่
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ A = {a, b, c} จะได้ว่ำ
A มีสบเซตทั้งหมด คือ  , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
ั
P(A) คือ ............................................................................................................

8. 8
ตอนที่ 1 ให้นกเรี ยนกำเครื่ องหมำย
ั
ข้ อที่
1
2
3
4
5

ใบงานที่ 3
ลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้อง
ู
เซตที่กาหนดให้
A
A
A
A
A
=
=
=
=
=
ความสัมพันธ์ ของเซตที่
กาหนดให้
A เป็ นสั บเซต A ไม่ เป็ นสั บ
ของเซต B เซตของเซต B
{a, b, c} , B = {a, b, d, e, f}
{1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4, 5}
{ } , B = {1, 2, 3}
{a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f, g}
{1, 2, 3} , B = {1, 2, 3}
ตอนที่ 2 จงตอบคำถำมต่อไปนี้
1. เซตต่อไปนี้ มีเซตใดบ้ำงที่เท่ำกัน
(1) A = {x x สอดคล้องกับสมกำร x 2 - x = 1}
B = {x x สอดคล้องกับสมกำร x - 1 = 0}
(2) S = { n 
n  25 }, เป็ นเซตของจำนวนเต็ม
n  25 },
T = {n
เป็ นเซตของจำนวนเต็ม
ตอนที่ 3 ให้นกเรี ยนเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
ข้ อที่ เซตที่กาหนดให้
1
2
3
4
สับเซตทั้งหมดของเซตที่กาหนดให้
A={ }
A = {2}
A = {2, 3}
A = {2, 3, 4}
คะแนนที่ได้ = …………………
ผูตรวจ ……………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ……….. พ.ศ. ………
จานวนสับเซตทั้งหมด
ของเซตที่กาหนดให้

9. 9
ใบงานที่ 4
ตอนที่ 1 จงกำเครื่ องหมำย  หน้ำข้อที่เห็นว่ำถูก และกำเครื่ องหมำย  หน้ำข้อที่เห็นว่ำผิด
…………. 2.1 ถ้ำ A  B แล้ว B  A
…………..2.2 ถ้ำ A  B และ a  A แล้ว a  B
…………..2.3 ถ้ำ A  B และ B = C แล้ว A  C
…………..2.4 กำหนด A = {1, 2, {2, 5}} แล้ว {2, 5}  A
………….2.5 ถ้ำ A = {1, 3} แล้ว จำนวนสับเซตของ A เท่ำกับ 4 เซต
…………..2.6 ถ้ำ A = {a, b, c} แล้ว { }  A
ตอนที่ 2 จงเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ู
1. กำหนด A = {6} จะได้ P(A) = ……………………………………………..
2. กำหนด A = {7, 5} จะได้ P(A) = ………………………………………….
3. กำหนด B = {6, 7, 9} จะได้ P(B) = ………………………………………...
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
4. ถ้ำ A = {2} จงหำ P(P(A))
P(P(A)) = …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………
5.
ถ้ำ
A
เป็ นเซตที่มีสมำชิก
6
ตัวแล้ว
P(A)
คะแนนที่ได้ = …………………
ผูตรวจ ……………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ……….. พ.ศ. ………
จะมีสมำชิก ………………. ตัว

10. 10
ยูเนียนของเซต อินเตอร์ เซกชั นของเซต คอมพลีเมนต์ ของเซต และ
ผลต่ างของเซต
บทนิยาม ยูเนียน
ยูเนียนของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมำชิกของเซต A หรื อ
ของเซต B หรื อทั้งสองเซต ยูเนียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A  B สัญลักษณ์
ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ
A  B = {x | x  A หรื อ x  B หรื อ x เป็ นสมำชิกของทั้งสองเซต}
ตัวอย่าง กำหนดให้
A = {0, 1, 2, 3} และ B = {1, 3, 5, 7} จะได้ว่ำ
A  B = {0, 1, 2, 3, 5, 7}
บทนิยาม อินเตอร์เซกชัน
อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมำชิกที่อยูท้งใน
่ ั
เซต A และเซต B อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A  B สัญลักษณ์
อินเตอร์เซกชันของ A และ B คือ
A  B = {x | x  A และ x  B }
ตัวอย่าง กำหนดให้
A
A = {a, b, c } และ B = {d, e, f} จะได้ว่ำ A  B = 
บทนิยาม คอมพลีเมนต์
คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตของทุกสมำชิกในเอกภพสัมพัทธ์ U ที่ไม่อยูใน
่
เขียนแทนคอมพลีเมนต์ของเซต A ด้วย A/ สัญลักษณ์คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ
A = {x | x  U และ x  A}
ตัวอย่าง กำหนดให้
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } และ A = {2, 4, 6, 8}
จะได้ว่ำ A = {1, 3, 5, 7}
เซต B
B คือ
บทนิยาม ผลต่ำงของเซต
ผลต่ำงของเซต A และเซต B คือ เซตของทุกสมำชิกของเซต A ที่ไม่เป็ นสมำชิกของ
เขียนแทนผลต่ำงของเซต A และ B ด้วย A – B สัญลักษณ์ผลต่ำงของเซต A และเซต
A–B
= {x | x  A
และ
x  B}

11. 11
ใบงานที่ 5
ให้นกเรี ยนเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
คาชี้แจง
1)
กำหนด
U = {1, 2, 3, . . . , 30}
3)
เป็ นจำนวนที่ 8 หำรลงตัว }
B = {x | x เป็ นจำนวนที่ 7 หำรลงตัว }
จงหำ A  B และ B  A
วิธีทา A = …………………………...
กำหนด
A = {x | x
B
= …………………………..
A =
เป็ นจำนวนคู่บวกที่
น้อยกว่ำ 20}
{x | x เป็ นจำนวนคู่บวกที่อยูระหว่ำง
่
4 และ 16}
U = {x | x
B = {x | x2 = 16}
จงหำ A  B และ B  A
วิธีทา
B  A = …………………………..
= ………………………….
B
A  B = …………………………..
A
= ………………………….
A  B = ………………………….
B  A = ………………………….
กำหนด U
น้อยกว่ำ 9 }
2)
= {x | x
เป็ นจำนวนคี่บวกที่
4)
กำหนด
U = {1, 2, 3, . . . , 50}
A = {1, 2, 8} , B = {2, 4, 8, 10}
จงหำ A - B และ B - A
เป็ นจำนวนคี่บวกที่นอยกว่ำ 7}
้
B = {x | x เป็ นจำนวนคี่บวกที่นอยกว่ำ 10} วิธีทา
้
จงหำ A และ B
วิธีทา A = ………………………….
A = {x | x
B = ………………………….
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……
A-B
= …………………….
B-A
= …………………….

12. 12
แบบฝึ กทักษะ
จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. กำหนดให้ U = {{1, 2, 3, 4, . . . , 10}, A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 3, 5, 7} จงตอบ
คำถำมแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) A  A = …........................................ (2) A  A = ……………………………….
(3) B  B = …........................................ (4) B  B = ………………………………
(5) A  B = …........................................ (6) A  B = ……………………………...
(7) A
= …......................................... (8) B
= ……………………………...
(9) A - B = …........................................(10) B - A = ………………………….…..
(11) A  B = …......................................(12) A  B = …………………….……...
(13) (A  B) = ….....................................(14) (A  B) = …………………….…….
(15) (A  B) = …..................................... (16) A  B = …………………….…….
(17) B  A = …....................................... (18) (B  A) = ………….………….…..
(19) (A  B) = ….................................... (20) (B  A) = …………………….…...
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……

13. 13
แผนภาพของเวนน์ -ออยเลอร์
การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะต้องกำหนดเซตขึ้นมำหนึ่งเซต เรี ยกว่ำ
เอกภพสัมพัทธ์
การเขียนแผนภาพแทนเซต จะช่วยให้ควำมคิดเกี่ยวกับเซตชัดเจนขึ้น ซึ่งแผนภำพที่เขียน
แทนเซตนี้เรี ยกว่ำ แผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์
เซตที่กำหนดขึ้นโดยมีขอตกลงว่ำ จะไม่กล่ำวถึงสิ่งใดนอกเหนือไปจำกสมำชิกของเซตที่
้
กำหนดขึ้นนี้ เรี ยกว่ำ เอกภพสัมพัทธ์
ตัวอย่าง กำหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็ นจำนวนนับ และ A = { x x เป็ นจำนวนคู่}
จะได้ว่ำ A = {2, 4, 6, . . . } ใช้สญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์
ั
แผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ คือ แผนภำพที่ใช้แสดงควำมเกี่ยวข้องของเซต เพื่อช่วย
ในกำรคิดคำนวณหรื อแก้ปัญหำ ซึ่งตัวชื่อแผนภำพตำมชื่อของนักคณิ ตศำสตร์ คือ
เวนน์ และออยเลอร์ กำรเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ มีวิธีกำรเขียนดังนี้
ให้ เอกภพสัมพัทธ์ U แทนด้วยรู ปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำหรื อรู ปปิ ดใด ๆ
เซต A, B, C, . . . ซึ่งเป็ นสับเซตของ U แทนด้วยวงกลม วงรี หรื อรู ปปิ ดอื่น ๆ
โดยให้เซต A, B, C, . . . อยูใน U
่
B =
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด U = {1, 2, 3, . . .} , A = {1, 2, 3, 4, 5} และ
{2, 4, 6, 8} จงเขียนแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ แทนเซต
วิธีทา เซต A และเซต
แทนเซต A และ B ได้ดงนี้
ั
B
มีสมำชิกร่ วมกันคือ
2
และ
4
ซึ่งสำมำรถเขียนแผนภำพ
U
A
1
6
3
5
ตัวอย่างที่
และ
2.
C = {h, i, j, k}
2
4
8
กำหนด U = {a, b, c, . . . , z},
จงเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์
B
A = {a, b, c, d}, B = {e, f, g}

14. 14
วิธีทา เขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ แทน
a
b
c
A, B
C
A
ได้ดงน
ั
U
d
B
e
f
C
g
h
j
i
k
เป็ นจำนวนนับที่นอยกว่ำ 20}
้
A = {x | x เป็ นจำนวนนับที่นอยกว่ำ 10}
้
B = {x | x เป็ นจำนวนคี่บวกที่นอยกว่ำ 7}
้
จงเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์
วิธีทา จำก U = {x | x เป็ นจำนวนนับที่นอยกว่ำ 20}
้
จะได้ว่ำ U = {1, 2, 3, . . . , 19}
จำก
A = {x | x เป็ นจำนวนนับที่นอยกว่ำ 10}
้
จะได้ว่ำ A = {1, 2, 3, . . . , 9}
จำก
B = {x | x เป็ นจำนวนคี่บวกที่นอยกว่ำ 7}
้
จะได้ว่ำ
B = {1, 3, 5}
เขียนแผนภำพแทน A และ B ได้ดงนี้
ั
ตัวอย่างที่
3
กำหนด
และ
U = {x | x
U
A
2 4 8
7
1
5
3 B
6 9

15. 15
คาชี้แจง
ใบงานที่ 6
ให้นกเรี ยนเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ของเซตที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
ั
ข้ อที่
เซตที่กาหนดให้
1
กำหนด U = {ก, ข, ค, . . . ,
ฮ} , A = {ก, ข, ค, ง, จ}
และ B = {ก, ก, ข, ค, ง, จ}
2
กำหนด U =
จำนวนจริ ง}
{x | x
A = {x | x2 = 16}
B = {x | x2 = 1}
3
กำหนด
เป็ น
และ
U = {1, 2, 3, . . . } ,
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {2, 3, 5, 7}
4
แผนภาพของเวนน์ -ออยเลอร์
กำหนด U =
จำนวนคู่บวก}
A = {x | x
ที่นอยกว่ำ
้
และ
{x | x
เป็ น
เป็ นจำนวนคู่บวก
10}
เป็ นจำนวนคู่บวก
ที่อยูระหว่ำง 2 กับ 20}
่
B = {x | x
คะแนนที่ได้ =
…….…ผูตรวจ………..……….….วันที่….เดือน…………พ.ศ……….
้

16. 16
ถ้ำ
และ
A
B
เป็ นเซตจำกัด จำนวนสมำชิกของเซต
n(A  B)
ถ้ำ
A
และ
B
A, B
n(A  B  C)
เป็ นเซตจำกัดที่ไม่มีสมำชิกร่ วมกัน
(A  B = )
= n(A) + n(B)
และ C เป็ นเซตจำกัด จำนวนสมำชิกของเซต
จะหำได้จำก
n(A  B  C)
=
หรื อ n(A  B) หำได้จำก
= n(A) + n(B) – n(A  B)
n(A  B)
ถ้ำ
AB
ABC
หรื อ
n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C)
+ n(A  B  C)
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด U = {1, 2, 3, . . . , 10}, A = {1, 2, 3, 4} และ
B = {3, 4, 5, 6, 7} เขียนแผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ 2 แบบ คือ เขียนสมำชิกทุกตัว
U
A
8
1
2
3
4
6
5
7
9
10
B
และเขียนจำนวนสมำชิก
U
A
2
2
3
3
B
จำกแผนภำพ แสดงว่ำ n(A) = 4, n(B) = 5 และ n(U) = 10
โจทย์ปัญหำเกี่ยวกับจำนวนสมำชิกของเซตจำกัด นอกจำกจะหำ
จำนวนสมำชิกของเซตโดยกำรนับแล้ว ยังมีวิธีแก้โจทย์ปัญหำอีก 2 วิธี ดังนี้
1. โดยใช้แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์
2. โดยใช้สูตร

17. 17
ถ้ำ
หำได้จำก
2.1
n(A  B)
และ
A
B
เป็ นเซตจำกัด จำนวนสมำชิกของเซต
n(A  B)
ถ้ำ
และ
A
B
n(A  B  C)
ถ้ำ A, B และ
จะหำได้จำก
เป็ นเซตจำกัดที่ไม่มีสมำชิกร่ วมกัน
n(A  B  C)
= n(A) + n(B)
ABC
หรื อ
= n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C)
–
ตัวอย่างที่ 2 กำหนด
(A  B = )
เป็ นเซตจำกัด จำนวนสมำชิกของเซต
C
หรื อ
n(A) + n(B) – n(A  B)
=
n(A  B)
2.2
AB
n(B  C) + n(A  B  C)
A = {1, 2, 3, 4, 5}
และ
B = {3, 4, 6, 7, 8}
จงหำ n(A  B)
วิธีทา จำก n(A  B) =
n(A) + n(B) – n(A  B)
จำกโจทย์ จะได้ n(A) = 5 , n(B) = 5 , n(A  B) =
แทนค่ำ
n(A  B) = 5 + 5 – 2 = 8
2
ซึ่งเขียนแผนภำพได้ดงนี้
ั
U
B
A
1
2
5
3
4
6
7 8
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
n(A  B) = 8
ตัวอย่างที่ 3 กำหนด A = {1, 2, 3, 4} และ B = {5, 6 ,7} จงหำ
วิธีทา จำก
n(A  B) = n(A) + n(B)
จำกโจทย์ จะได้ n(A) = 4 , n(B) = 3
แทนค่ำ
n(A  B) = 4 + 3
= 7
n(A  B)

18. 18
เขียนแผนภำพได้ดงนี้
ั
A
1
3
n(A  B) = 7
2
4
5 6 7
กำหนด A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7} และ
{3, 6, 4, 8} จงหำ n(A  B  C)
วิธีทา จำก n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C)
ตัวอย่างที่
C =
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B
4
– n(B  C) + n(A  B  C)
จำกโจทย์ จะได้
n(A) = 5 , n(B) = 4 , n(C) = 4
A  B = {3, 5} , n(A  B) = 2
A  C = {3, 4} , n(A  C) = 2
B  C = {3, 6} , n(B  C) = 2
A  B  C = {3} , n(A  B  C) = 1
n(A  B  C) = 3 + 4 + 4 – 2 – 2 – 2 + 1 = 8
แทนค่ำ
เขียนแผนภำพได้ดงนี้
ั
A
B
1
2
5
U
7
3
4
6
8
จำกแผนภำพ
C
A  B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
n(A  B  C) = 8
20
ตัวอย่างที่ 5 นักเรี ยนชั้น ม. 5 โรงเรี ยนแห่งหนึ่ง จำนวน 100 คน ได้รับรำงวัลเรี ยนดี
คน ได้รับรำงวัลมำรยำทดี 30 คน ในจำนวนนี้ได้รับรำงวัลทั้งสองประเภท 10 คนจงหำ
1. จำนวนนักเรี ยนทั้งหมดที่ได้รับรำงวัล
2. จำนวนนักเรี ยนที่ไม่ได้รับรำงวัล

19. 19
วิธีทา ให้
แทน เซตของนักเรี ยนที่ได้รับรำงวัลเรี ยนดี
B แทน เซตของนักเรี ยนที่ได้รับรำงวัลมำรยำทดี
จำกโจทย์จะได้ n(A) = 20 , n(B) = 30 , n(A  B) = 10
จำก n(A  B)
= n(A) + n(B) + n(A  B)
แทนค่ำ n(A  B) = 20 + 30 – 10
A
=
40
จำนวนนักเรี ยนที่ไม่ได้รับรำงวัล =
จำนวนนักเรี ยนทั้งหมดที่ได้รับรำงวัล
100 – 40 = 60
= 40
ซึ่งเขียนแผนภำพได้ดงนี้
ั
U
A
B
60
10
10
20

20. 20
แบบฝึ กหัด
คาชี้แจง ให้นกเรี ยนเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
กำหนดแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมำชิก
ในเซตให้ จงหำ
1.
U
A
B
21
5
31
1.1 n(A) = ………………………………..…
1.2 n(B) = …………………………………....
1.3 n(A  B) = …………………………..….
1.4 n(A  B) = ………………………………
2.
U
B
A
13
5
C
6
12
2
3
10
กำหนดแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมำชิก
ในเซตให้ จงหำ
2.1 n(A) = ………
2.2 n(B) = ……….
2.3 n(C) = ………
2.4 n(A  B) = ……..
2.5 n(A  C) = ……. 2.6 n(B  C) = …….
2.7 n(A  B  C) = ………………………..
2.8 n(A  B  C) = ………………………..
3.
นักเรี ยนชั้น ม. 4 โรงเรี ยนแห่งหนึ่งมี 300 คน ชอบเรี ยนฟิ สิกส์ 150 คน ชอบเรี ยนเคมี
200 คน และชอบเรี ยนทั้งฟิ สิ กส์และเคมี 110 คน จงหำ
3.1 นักเรี ยนที่เรี ยนฟิ สิ กส์วิชำเดียว มี …………… คน
3.2 นักเรี ยนที่เรี ยนเคมีวิชำเดียว มี ………………. คน
3.3 นักเรี ยนที่ไม่เลือกเรี ยนทั้งสองวิชำ มี ………………… คน
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

21. 21
การให้ เหตุผลแบบอุปนัย หมำยถึง วิธีกำรสรุ ปผลในกำรค้นหำควำมจริ งจำกกำรสังเกต
หรื อกำรทดลองหลำยครั้งจำกกรณี ยอย ๆ แล้วนำมำสรุ ปเป็ นควำมรู้แบบทัวไป
่
่
การให้ เหตุผลแบบนิรนัย หมำยถึง กำรให้เหตุผลที่อำงว่ำสิ่งที่กำหนดให้ยนยันผลสรุ ป
้
ื
โดยกำหนดให้เหตุเป็ นจริ ง หรื อยอมรับว่ำเป็ นจริ ง แล้วใช้กฎเกณฑ์ต่ำง ๆ สรุ ปผลจำกเหตุที่
กำหนดให้
ประโยคที่ 1 เรำพบว่ำ ทุกเช้ำพระอำทิตย์จะขึ้นทำงทิศตะวันออกและตอนเย็นพระ
อำทิตย์จะตกทำงทิศตะวันตก จึงได้ขอสรุ ปว่ำ พระอำทิตย์ข้ ึนทำงทิศตะวันออก และตกทำงทิศ
้
ตะวันตก
ประโยคที่ 2 กำรทดลองนำลำยนิ้วมือของคนหนึ่งแสนคนมำเปรี ยบเทียบกัน พบว่ำ
ไม่มีลำยนิ้วมือของใครที่ซ้ ำกัน จึงได้ขอสรุ ปว่ำ ลำยนิ้วมือของแต่ละคนไม่เหมือนกัน ครู บอก
้
นักเรี ยนว่ำ ลำยนิ้วมือของแต่ละคนไม่เหมือนกัน
การให้ เหตุผลแบบอุปนัย หมำยถึง วิธีกำรสรุ ปผลในกำรค้นหำควำมจริ งจำกกำร
สังเกต หรื อกำรทดลองหลำยครั้งจำกกรณี ยอย ๆ แล้วนำมำสรุ ปเป็ นควำมรู้แบบทัวไป
่
่
ตัวอย่างที่ 1 จงใช้กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย เพื่อหำสมกำรหรื อคำตอบจำกแบบรู ปที่
กำหนดให้ต่อไปนี้
1.
(1 9)  2  11
(12  9)  3  111
(123  9)  4  1,111
.....................  ...........
1
 3
1 2  3
 6
1  2  3  4  10
.....................  ...........
2. 1
1 2
3.
1  1
1 3  4
1 3  5  6
...................  ...........

22. 22
ตัวอย่างที่ 2 จงหำว่ำ ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็ นจำนวนคู่จะเป็ นจำนวนคู่หรื อ
จำนวนคี่ โดยกำรใช้เหตุผลแบบอุปนัย
วิธีทา ในกำรหำคำตอบข้ำงต้นโดยใช้เหตุผลแบบอุปนัย ทำได้โดยพิจำรณำผลคูณของ
จำนวนนับที่เป็ นจำนวนคู่หลำย ๆ จำนวน ดังนี้
พิจารณาผลคูณของ
2 2
2 4


26
28
 12
 16
4 4
46
48
 16
 24
 32
6 6
68
 36
 48
4
8
6  10  60
จำกกำรหำผลคูณของจำนวนนับที่เป็ นจำนวนคู่ขำงต้น และใช้วิธีกำรสังเกต จะพบว่ำ ผล
้
คูณที่ได้จะเป็ นจำนวนคู่
สรุปว่า ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็ นจำนวนคู่ จะเป็ นจำนวนคู่ โดยกำรใช้กำร
ให้เหตุผลแบบอุปนัย
ตัวอย่างที่ 3 ให้เลือกจำนวนนับมำ 1 จำนวน และปฏิบติตำมขั้นตอนต่อไปนี้
ั
1) คูณจำนวนนับที่เลือกไว้ดวย 4
้
2) บวกผลลัพธ์ในข้อ 1) ด้วย 6
3) หำรผลบวกในข้อ 2) ด้วย 2
4) ลบผลหำรในข้อ 3) ด้วย 3
เช่ น ถ้ำเลือกจำนวนนับ 2
1) คูณจำนวนนับที่เลือกไว้ดวย 4 จะได้ 2  4  8
้
2) บวกผลลัพธ์ในข้อ 1) ด้วย 6 จะได้ 8  6  14
3) หำรผลบวกในข้อ 2) ด้วย 2
จะได้ 14  2  7
4) ลบผลหำรในข้อ 3) ด้วย 3
จะได้ 7  3  4
จะพบว่ำ จำกจำนวนที่เลือก คือ 2 จะได้คำตอบสุดท้ำย เท่ำกับ 10 ลองเลือกจำนวน
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 แล้วทำตำมวิธีที่กำหนดไว้ขำงต้น มีขอสรุ ปอย่ำงไร เมื่อใช้วิธีกำรใช้เหตุผล
้
้
แบบอุปนัย

23. 23
วิธีทา จำกกำรหำคำตอบโดยวิธีกำรที่กำหนดให้ ในตัวอย่ำงข้ำงต้น มีขอสังเกตว่ำ คำตอบ
้
สุดท้ำยจะเท่ำกับสองเท่ำของจำนวนที่เลือกไว้ครั้งแรกเสมอ
สรุปได้ ว่า เมื่อใช้กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย คำตอบสุดท้ำยจะเป็ นสองเท่ำของจำนวนที่เลือก
ไว้ครั้งแรก เมื่อได้ดำเนินกำรตำมวิธีที่กำหนดไว้
*** กำรหำข้อสรุ ปหรื อควำมจริ ง โดยใช้กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย ไม่จำเป็ นต้อง
ถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจำกกำรให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็ นกำรสรุ ปผลซึ่งเกิดจำกหลักฐำน ข้อเท็จจริ งที่
มีอยู่ ดังนั้น ข้อสรุ ปจะเชื่อถือได้มำกน้อยเพียงใดนั้น ขึ้นอยูกบลักษณะของข้อมูล หลักฐำนและ
่ ั
ข้อเท็จจริ งที่นำมำอ้ำง ซึ่งได้แก่
- จำนวนข้อมูล หลักฐำนหรื อข้อเท็จจริ งที่นำมำเป็ นข้อสังเกต หรื อข้ออ้ำงอิง มีมำกพอ
กับกำรสรุ ปควำมหรื อไม่
ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำไปรับประทำนที่ร้ำนแห่งหนึ่งแล้งเกิดท้องเสีย แล้วสรุ ปว่ำ อำหำร
ที่ร้ำนดังกล่ำวทำให้ทองเสีย กำรสรุ ปจำกเหตุกำรณ์ที่เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว ย่อมจะน่ำเชื่อถือได้นอย
้
้
กว่ำไปรับประทำนอำหำรที่ร้ำนดังกล่ำวบ่อย ๆ แล้วท้องเสียแทบทุกครั้ง
ตัวอย่างที่ 5 จำกแบบรู ปของจำนวน 2, 4, a a ควรเป็ นจำนวนใดคำตอบที่ได้
จำกกำรสังเกตแบบรู ปที่กำหนดให้ คือ 2, 4 มีได้ต่ำงกันดังนี้
ถ้ำ เหตุผล คือ 2  2  4 จะได้ว่ำ a  6
แต่ถำ เหตุผล คือ 2  21 และ 4  22 a จะเท่ำกับ 23  8
้
การให้ เหตุผลแบบนิรนัย หมำยถึง กำรให้เหตุผลที่อำงว่ำสิ่งที่กำหนดให้ยนยัน
้
ื
ผลสรุ ป
โดยกำหนดให้เหตุเป็ นจริ ง หรื อยอมรับว่ำเป็ นจริ ง แล้วใช้กฎเกณฑ์ต่ำง ๆ สรุ ปผลจำกเหตุที่
กำหนดให้
ผล
ตัวอย่างที่ 6
ตัวอย่างที่ 7
จำนวนคู่ หมำยถึง จำนวนที่หำรด้วย 2 ลงตัว
2) 6 หำรด้วย 2 ลงตัว
6 เป็ นจำนวนคู่
เหตุ
1)
เหตุ
ผล
1)
สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็ นสัตว์เลือดอุ่น
2) สุ นขเป็ นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
ั
สุนขเป็ นสัตว์เลือดอุ่น
ั

24. 24
ตัวอย่างที่ 8
เหตุ
ผล
นักเรี ยนชั้น ม.4 ทุกคนแต่งกำยถูกระเบียบ
2) ศศิธรเป็ นนักเรี ยน ม.4
ศศิธรแต่งกำยถูกระเบียบ
1)
จำกตัวอย่ำง กำรยอมรับควำมรู้พ้ืนฐำนหรื อควำมจริ งบำงอย่ำงก่อน แล้วหำ
ข้อสรุ ปจำกสิ่งที่ยอมรับนั้น จะเรี ยกว่ำ ผล กำรสรุ ปผลจะถูกต้อง ก็ต่อเมื่อ เป็ นกำรสรุ ปได้
อย่ำงสมเหตุสมผล (valid)
ตัวอย่างที่ 9
เรื อทุกลำลอยน้ ำได้
2) ถังน้ ำลอยน้ ำได้
ผล ถังน้ ำเป็ นเรื อ
เหตุ
1)
จำกตัวอย่ำง กำรสรุ ปผลข้ำงต้นไม่สมเหตุสมผล แม้ว่ำข้ออ้ำงหรื อเหตุท้งสองจะ
ั
เป็ นจริ ง แต่กำรที่เรำทรำบว่ำ เรื อทุกลำลอยน้ ำได้ ก็ไม่ได้หมำยควำมว่ำ สิ่งอื่น ๆ ที่ลอยน้ ำได้จะเป็ น
เรื อเสมอไป ข้อสรุ ปข้ำงต้นเป็ นกำรสรุ ปที่ไม่สมเหตุสมผล
สรุปว่า กำรให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรื อข้อสรุ ปจะถูกต้อง ก็ต่อเมื่อ
1) ยอมรับว่ำเหตุเป็ นจริ งทุกข้อ
2) กำรสรุ ปผลสมเหตุสมผล
ตอนที่ 1
ใบงานที่ 7
ให้นกเรี ยนใช้กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย เขียนผลสรุ ปจำกเหตุที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ
ั
ต่อไปนี้

25. 25
ข้ อที่
1
1.
2.
2
1.
2.
3.
3
1.
2.
เหตุ (หรือข้ ออ้าง) ที่กาหนดให้
6 หำรด้วย 2 ลงตัว
18 หำรด้วย 2 ลงตัว
15 หำรด้วย 3 ลงตัว
27 หำรด้วย 3 ลงตัว
39 หำรด้วย 3 ลงตัว
วันนี้ศรี นวลรักวุฒิพงษ์
วันพรุ่ งนี้ศรี นวลรักวุฒิพงษ์
ธนพลชอบใส่เสื้อผ้ำสีม่วง
ธนพลชอบปำกกำสีม่วง
4
1.
5
ผลสรุป
2.
1. 1 + 0 = 1
2. 12 + 0 = 12
3. 205 + 0 = 205
ตอนที่ 2
ต่อไปนี้
ข้ อที่
1
1.
2.
2
1.
2.
ให้นกเรี ยนใช้กำรให้เหตุผลแบบนิรนัย เขียนผลสรุ ปจำกเหตุที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ
ั
เหตุ (ข้ ออ้าง) ที่กาหนดให้
จำนวนคู่ หมำยถึง จำนวนที่ 2 หำรลงตัว
20 หำรด้วย 2 ลงตัว
นักกีฬำทุกคนต้องมีสุขภำพดี
สุเทพ เป็ นนักฟุตบอลทีมชำติไทย
ผลสรุป

26. 26
3
1.
2.
4
1.
2.
5
1.
2.
ต้นไม้ยนต้นทุกชนิดจะมีผล
ื
มะม่วงเป็ นไม้ยนต้น
ื
นักเรี ยนบำงคนเป็ นชำวเชียงใหม่
สุรศักดิ์เป็ นนักเรี ยน
คนขยันทุกคนต้องกำรเป็ นเศรษฐี
กมลเป็ นคนขยัน
การให้ เหตุผลที่สมเหตุสมผล คือ กำรให้เหตุผลซึ่งอ้ำงถึงเหตุที่กำหนดให้ เป็ นผลที่ทำให้
เกิดผลสรุ ปได้
การให้ เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผล คือ กำรให้เหตุผลซึ่งอ้ำงถึงเหตุที่กำหนดให้เป็ นผลที่ทำ
ให้เกิดผลสรุ ปไม่ได้
รู ปสี่เหลี่ยมด้ำนขนำนเป็ นรู ปสี่เหลี่ยมที่มดำนตรงข้ำมขนำนกันสองคู่
ี ้
2) รู ปสี่ เหลี่ยมด้ำนขนำนเป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมที่มดำนตรงข้ำมขนำนกันสองคู่ มีดำนแต่ละ
ี ้
้
ด้ำนยำวเท่ำกัน และไม่มีมุมใดเป็ นมุมฉำก
3) รู ปสี่ เหลี่ยมขนมเปี ยกปูนเป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมด้ำนขนำน
1)

27. 27
ข้อควำมหรื อประโยคใน ข้อ 1) และ 2) ว่ำ เหตุ หรือ สมมติฐาน และเรี ยกข้อควำมหรื อประโยค
ใน ข้อ 3) ว่ำ ผล จำกนั้น ครู สรุ ปให้นกเรี ยนฟังว่ำ ตัวอย่ำงข้ำงต้น เป็ นกำรสรุ ปข้อเท็จจริ งซึ่งเป็ น
ั
ผลมำจำกเหตุ
กำรตรวจสอบว่ำ ข้อสรุ ปสมเหตุสมผลหรื อไม่น้ น สำมำรถตรวจสอบได้หลำยวิธี แล้วแต่
ั
ลักษณะของข้อควำมที่กำหนดมำให้ วิธีกำรหนึ่ง คือ กำรวำดแผนภำพตำมสมมติฐำนที่เป็ นไปได้
แล้วจึงพิจำรณำว่ำแผนภำพแต่ละกรณี แสดงผลสรุ ปตำมที่สรุ ปไว้หรื อไม่ ถ้ าแผนภาพที่วาด กรณีที่
เป็ นไปได้ทุกกรณี แสดงผลตามที่กาหนด จึงกล่าวได้ ว่า การสรุปผล สมเหตุสมผล แต่ถ้ามีแผนภาพ
ที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล และวิธีกำรที่ใช้ตรวจสอบกำร
สมเหตุสมผลที่กล่ำวมำ เรี ยกว่ำ กำรอ้ำงเหตุผลโดยใช้ตรรกบทของตรรกศำตร์ (syllogistic logic)
ข้อควำมที่ใช้ในกำรอ้ำงเหตุผลที่ใช้กนมีอยูดวยกัน 4 แบบ คือ
ั
่ ้
1) สมำชิกของ A ทุกตัวเป็ นสมำชิกของ B
2) ไม่มีสมำชิกของ A ตัวใดเป็ นสมำชิกของ B
3) สมำชิกบำงตัวของ A เป็ นสมำชิกของ B
4) สมำชิกของ A บำงตัวไม่เป็ นสมำชิกของ B
หมายเหตุ แผนภำพที่ใช้ตรวจสอบควำมสมเหตุสมผลนั้นเป็ นแผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์
ตัวอย่างที่ 1 สมาชิกของ A ทุกตัวเป็ นสมาชิกของ B
ข้ อความ สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็ นสัตว์เลือดอุ่น จะเขียนแผนภำพได้ ดังนี้
A
ตัวอย่างที่ 2 ไม่มี
ของ B
B
สมาชิกของ A ตัวใดเป็ นสมาชิก

28. 28
ข้ อความ ไม่มีไก่ตวใดมีนม จะเขียนแผนภำพได้ ดังนี้
ั
A
B
ตัวอย่างที่ 3 สมาชิกบางตัวของ A เป็ นสมาชิกของ B
ข้ อความ รถโดยสำรบำงคันเป็ นรถประจำทำง จะเขียนแผนภำพได้ ดังนี้
A
B
ตัวอย่างที่ 4 สมาชิกของ A บางตัวไม่เป็ นสมาชิกของ B
ข้ อความ รถบำงคันไม่ได้เป็ นรถปรับอำกำศ จะเขียนแผนภำพได้ ดังนี้
A
B
ตำรวจทุกคนมีปืน
2) นำยแดงเป็ นตำรวจ
ผล นำยแดงมีปืน
ตัวอย่างที่ 5 เหตุ
1)
คนมีปืน
ตารวจ
 นายแดง
จำก
แดงมีปืน
ตัวอย่างที่ 6 เหตุ
1)
แผนภำพ ผลสรุ ปที่กล่ำวมำ นำย
สมเหตุสมผล
นักมวยทุกคนเป็ นคนที่มีสุขภำพดี
2) นำยดำเป็ นคนที่มีสุขภำพดี

29. 29
ผล นำยดำเป็ นนักมวย
เขียนแผนภำพเพื่อแสดงว่ำ นำยดำมีสุขภำพดี ได้ดงนี้
ั
คนมีสุขภาพดี
นักมวย
 นายดา
คนมีสุขภาพดี
หรื อ
นักมวย

นายดา
จำกแผนภำพด้ำนขวำ นำยดำไม่ได้เป็ นนักมวย ดังนั้น ผลสรุ ปที่ว่ำ นำยดำเป็ นนักมวย ไม่
สมเหตุสมผล
ลิงทุกตัวเป็ นแมว
2) แมวทุกตัวเป็ นเสื อ
ผล ลิงทุกตัวเป็ นเสือ
เขียนแผนภำพ ได้ดงนี้
ั
ตัวอย่างที่ 7 เหตุ
1)
เสือ
แมว
ลิง
จำกแผนภำพ
ผลสรุ ปที่ว่ำ
ลิงทุกตัวเป็ นเสือ
สมเหตุสมผล
ในกำรอ้ำงเหตุผลโดยใช้แผนภำพ ถ้ำไม่สมเหตุสมผลนั้น ไม่จำเป็ นต้องวำด
แผนภำพทั้งหมด เขียนแผนภำพเฉพำะที่ไม่สมเหตุสมผลเพียงแผนภำพเดียวก็ได้

30. 30
ใบงานที่ 8
คาชี้แจง
ข้ อที่
1
2
3
4
5
6
ให้นกเรี ยนกำเครื่ องหมำย
ั

ลงในช่องว่ำงแต่ละข้อให้ถกต้องสมบูรณ์
ู
การให้ เหตุผล
เหตุ 1. ปลำทุกตัวบินได้
2. ไส้เดือนทุกตัวเป็ นปลำ
ผลสรุป ไส้เดือนทุกตัวบินได้
เหตุ 1. นักเรี ยนที่เรี ยนดีและยำกจนจะได้รับทุน
กำรศึกษำ
2. บุศริ นเป็ นนักเรี ยนที่ยำกจน
ผลสรุป บุศริ นได้รับทุน
เหตุ 1. ชำวนำทุกคนอำยุยน
ื
2. คนอำยุยนบำงคนไม่ผอม
ื
ผลสรุป ไม่มีชำวนำคนใดผอม
เหตุ 1. ดอกกุหลำบทุกดอกมีสีแดง
2. ดอกไม้ในกระถำงนี้ เป็ นดอกกุหลำบ
ผลสรุป ดอกไม่ในกระถำงนี้มีสีแดง
เหตุ 1. สำวนครรำชสีมำเป็ นคนสวย
2. สุ ภำวดีเป็ นสำวนครรำชสี มำ
ผลสรุป สุภำวดีเป็ นคนสวย
เหตุ 1. PQR เป็ นสำมเหลี่ยมมุมฉำก
สมเหตุสมผล
ไม่สมเหตุสมผล

31. 31
มุม P กำง 70 องศำ
ผลสรุป มุม R กำง 20 องศำ
เหตุ 1. สุกรมี 4 ขำ
2. มลฤดี มี 4 ขำ
ผลสรุป มลฤดี เป็ นสุกร
2.
7
ข้ อที่
8
9
10
การให้ เหตุผล
เหตุ 1. สุทินได้ส่วนแบ่งเป็ น 3 เท่ำของทินกร
2. สุ ทินได้ส่วนแบ่ง 90 บำท
ผลสรุป ทินกรได้ส่วนแบ่ง 30 บำท
เหตุ 1. ช้ำงทุกตัวเป็ นอำหำรของเสือ
2. สิ งห์เป็ นช้ำง
ผลสรุป สิงห์เป็ นอำหำรของเสื อ
เหตุ 1. จะเข้เป็ นสัตว์เลื้อยคลำน
2. สัตว์เลื้อยคลำนออกลูกเป็ นไข่
ผลสรุป จะเข้ออกลูกเป็ นไข่
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………
สมเหตุสมผล ไม่สมเหตุสมผล

32. 32
จานวนตรรกยะ (Rational
เศษส่วน
a
b
number) คือ จำนวนที่สำมำรถเขียนให้อยูในรู ป
่
โดยที่ a, b เป็ นจำนวนเต็ม และ b  0 ใช้
นันคือ
่
 {x x 
a
b
แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
เมื่อ a, b  I และ b  0 }
ตัวอย่างจานวนตรรกยะ เช่น
- จำนวนเต็ม
-
1 1
5
,3 ,
2 6
4
เช่น 0.5, 2.43, 5.465
เศษส่วน เช่น
ทศนิยมซ้ ำ
จานวนอตรรกยะ (Irational number) คือ จำนวนที่ไม่เป็ นจำนวนตรรกยะ
ใช้  แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ
ตัวอย่างจานวนอตรรกยะ เช่น
- จำนวนที่อยูในรู ปกรณฑ์ ที่เมื่อหำค่ำแล้วไม่เป็ นจำนวนตรรกยะ เช่น 2, 5 3
่
- จำนวนที่อยูในรู ปทศนิ ยมไม่ซ้ ำ เช่น 0.125693..., 0.12122122212222...
่
-
- , e
จานวนจริง (Real Number) ประกอบด้วยเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของ
จำนวนอตรรกยะ ใช้สญลักษณ์ แทนเซตของจำนวนจริ ง นันคือ   
ั
่
แผนผังแสดงจานวนชนิดต่าง ๆ
จานวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะที่ไม่เป็ นจำนวนเต็ม
จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเต็ม
จำนวนเต็มลบ
ใบงานที่ 9
จำนวนเต็มศูนย์
จำนวนเต็มบวก

33. 33
คาชี้แจง ให้นกเรี ยนกำเครื่ องหมำย  ลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ตรงกับชนิดของ
ั
จำนวนนั้น ๆ ให้ถกต้อง
ู
ข้ อที่
จานวนที่กาหนดให้
1
2
จานวนจริง
จานวนนับ จานวนเต็ม จานวนเต็มลบ จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ
-8
3
4
5
6
7
8
9
10

0.3

13
2
125
3
1.41
15
3
4 2
 
0.234
( 6)2
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………
สมบัติของจำนวนจริ งเกี่ยวกับกำรบวก ว่ำในระบบจำนวนจริ ง จะเรี ยก จำนวนจริ งที่บวก
กับจำนวนจริ งจำนวนใดก็ตำมแล้วได้ผลลัพธ์เป็ นจำนวนจริ งนั้นว่ำ เอกลักษณ์การบวก
กล่ำวคือ ให้
จะได้ว่ำ
a, z
เป็ นจำนวนจริ งใด ๆ โดยที่ z เป็ นเอกลักษณ์กำรบวก
a z  za  a

34. 34
ในระบบจำนวนจริ ง มีเอกลักษณ์กำรบวกจำนวนเดียว คือ 0
นันคือ
0a  a 0  a
่
อินเวอร์ สการบวก ของจานวนจริง a ว่ำ หมำยถึง จำนวนจริ งที่บวกกับ a แล้วได้
ผลลัพธ์เป็ น 0 ใช้สญลักษณ์ -a แทนอินเวอร์สกำรบวก ของจำนวนจริ ง a กล่ำวคือ ถ้ำ a เป็ น
ั
จำนวนจริ งใด ๆ จะได้ว่ำ
a  (a)  (a)  a  0
นันคือ ถ้ำจำนวนสองจำนวนบวกกันได้ศนย์จะเรี ยกจำนวนทั้งสองว่ำเป็ นอินเวอร์สซึ่ง
ู
่
กันและกัน
จานวน (a)
อินเวอร์ สการบวก (-a)
5
0.3
- 3
2
1 1

2 3
1 2

2
-5
-0.3
3
-2 
1 1
-(  )
2 3
1 2
2
*** นอกจำก จำนวนจริ งจะมีเอกลักษณ์กำรบวก และอินเวอร์สกำรบวกแล้ว จำนวนจริ ง
ยังมีสมบัติอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับกำรบวก ดังนี้
สมบัติ
สมบัติปิด
สมบัติกำรสลับที่
สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่ม
สมบัติกำรมีเอกลักษณ์
สมบัตของการบวก
ิ
ถ้ำ a  และ b  แล้ว
ตัวอย่าง
ถ้ำ 1, 2 แล้ว
a  b
a b  ba
1 2 
1 2  2 1
(a  b)  c  a  (b  c)
(1  2)  3  1  (2  3)
มีจำนวนจริ ง 0 ซึ่ง
05  5  50

35. 35
0a  a  a 0
สมบัติกำรมีอินเวอร์ส
สำหรับจำนวนจริ ง a จะมี
จำนวนจริ ง –a ที่
3  (3)  (3)  3  0
a  (a)  (a)  a  0
ตัวอย่างที่ 1 ข้อควำมต่อไปนี้เป็ นจริ งตำมสมบัติของจำนวนจริ งข้อใด
1. 2  8 เป็ นจำนวนจริ ง เป็ นจริ งตำมสมบัติปิดของกำรบวก
เนื่องจำก 2  และ 8 ดังนั้น 2  8 
2. (3  1)  6  3  (1  6) เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่มของกำรบวก
3. 8  0  8 เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรมีเอกลักษณ์ของกำรบวก
4. (2)  2  0 เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรมีอินเวอร์ สของกำรบวก
สมบัติของระบบจำนวนจริ งเกี่ยวกับกำรคูณ ว่ำในระบบจำนวนจริ ง จะเรี ยก จำนวนจริ งที่
ไม่เป็ นศูนย์ซ่ึงคูณกับจำนวนจริ งใดก็ตำม ได้ผลลัพธ์เป็ นจำนวนจริ งจำนวนนั้น เรี ยกว่ำ เอกลักษณ์
การคูณ กล่ำวคือ
ba  a  ab
ในระบบจำนวนจริ ง มีเอกลักษณ์กำรคูณจำนวนเดียว คือ 1
นันคือ
1a  a  a1
่
ในระบบจำนวนจริ ง อินเวอร์ สการคูณของจานวนจริง a  0 หมำยถึง จำนวนจริ งที่คณกับ a
ู
แล้วได้ ผลลัพธ์เป็ น 1 ใช้สญลักษณ์ a 1 แทนอินเวอร์สกำรบวกของจำนวนจริ ง a
ั
กล่ำวคือ
a 1 a  1  a a 1
จำนวน (a)
อินเวอร์สกำรคูณ ( a 1 )
a 1 a  1  a a 1
8
1
8
1
1
8  1  8
8
8

1
2
2
-2
1
2
1
1
( )(2)  1  (2)( )
2
2
1
1
( )( 2)  1  ( 2)( )
2
2

36. 36
1.3
หรื อ 13
1
หรื อ 10
1.3
13
10
10 13
13 10
( )( )  1  ( )( )
13 10
10 13
ในระบบจำนวนจริ งยังมีสมบัติอื่น ๆ เกี่ยวกับกำรคูณอีก กล่ำวโดยสรุ ป สมบัติ
เกี่ยวกับกำรคูณของจำนวนจริ ง มีดงนี้
ั
สมบัติ
สมบัติปิด
สมบัตของการบวก
ิ
ถ้ำ a  และ b  แล้ว
ตัวอย่าง
ถ้ำ 1, 2 แล้ว
a b
ab  ba
(1 2) 
35  53
สมบัติกำรสลับที่
สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่ม (a b) c  a (b c)
สมบัติกำรมีเอกลักษณ์ มีจำนวนจริ ง 1 และ 1  0 ซึ่ง
(2 3) 4  2 (3 4)
17  7  71
1a  a  a1
สมบัติกำรมีอินเวอร์ส
สำหรับ a ที่ a  0 จะมีจำนวน
จริ ง a 1 โดยที่
1
1
3  1 3
3
3
a 1 a  1  a a 1
ในระบบจำนวนจริ งยังมีสมบัติที่เกี่ยวข้องกับกำรบวกและกำรคูณ สมบัติดงกล่ำว
ั
ได้แก่ สมบัตการแจกแจง กล่ำวคือ
ิ
a(b  c)  ab  ac และ (b  c) a  ba  ca
ตัวอย่างที่ 2 ข้อควำมต่อไปนี้เป็ นจริ งตำมสมบัติของจำนวนจริ งข้อใด
1. มีจำนวนจริ งที่คณกับ 0.9 แล้วได้ 1 เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรมีอินเวอร์ สของกำรคูณ
ู
2. 1 (8)   8 เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรมีเอกลักษณ์ของกำรคูณ
3. 98  (10  7)  980  686 เป็ นจริ งตำมสมบัติกำรแจกแจง
ให้
a, b, c 
สมบัติ
สมบัติปิด
สมบัติกำรสลับที่
สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่ม
จะได้ว่ำ
สมบัตของการบวก
ิ
สมบัตของการคูณ
ิ
a  b
a b
a b  ba
ab  ba
(a  b)  c  a  (b  c)
(a b) c  a (b c)

37. 37
สมบัติกำรมีเอกลักษณ์
มี 0 เป็ นเอกลักษณ์กำรบวก
มี 1 เป็ นเอกลักษณ์กำรคูณ
โดยที่ 0  a  a  0  a
โดยที่ 1 a  a 1  a
อินเวอร์สกำรบวกของ a คือ –a อินเวอร์สกำรคูณของ a คือ
1
โดยที่
โดยที่
สมบัติกำรมีอินเวอร์ส
a
a  (a)  (a)  a  0
1
1
  a  1, a  0
a
a
a(b  c)  ab  ac
a
สมบัติกำรแจกแจง
ตอนที่ 1
ใบงานที่ 10
ให้นกเรี ยนเติมคำตอบลงในช่องว่ำงให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
ข้ อที่
ข้ อความ
2
2, 6  R แล้ว 2 + 6  R
7+3 = 3+7
3
3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4
4
มีจำนวนจริ ง
1
5
6
7
8
ถ้ำ
0 ซึ่ง 0 + 3 = 3 = 3 + 0
(-7) + 7 = 0 = 7 + (-7)
6+3 = 3+6
10 + (2 + 8) = (10 + 2) + 8
ถ้ำ
4, -3  R
แล้ว
4 + (-3)  R
สมบัติ
ปิ ด
กำรสลับที่
กำรเปลี่ยนหมู่
กำรมีเอกลักษณ์
กำรมีอินเวอร์ส

38. 38
9
10
0+8 = 8 = 8+0
(-15) + 15 = 0 = 15 + (-15)
ตอนที่ 2
ให้นกเรี ยนเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
ข้ อที่
ข้ อความ
1
ถ้ำ
2
72 = 27
3
5  (4  3) = (5  4)  3
4
18 = 8 = 81
5
1
1
3 = 1 = 3
3
3
6
7
10  3 = 3  10
8
9
1  10 = 10 = 10  1
10
ถ้ำ
ถ้ำ
5, 3  R
6, 7  R
แล้ว
แล้ว
25R
76R
1
1
5 = 1 = 5
5
5
-2, 7  R
แล้ว
(-2)  7  R
สมบัติ
ปิ ด
กำรสลับที่
กำรเปลี่ยนหมู่
กำรมีเอกลักษณ์
กำรมีอินเวอร์ส

39. 39
สมบัตของการเท่ ากันของจานวนจริง
ิ
ให้ a, b  จะได้ว่ำ
1. สมบัตการสะท้ อน
ิ
aa
เช่น
22
2. สมบัตการสมมาตร
ิ
ถ้ำ a  b แล้ว b  a
เช่น
ถ้ำ 3  2  1 แล้ว 2  1  3
3. สมบัตการถ่ ายทอด
ิ
ถ้ำ a  b และ b  c แล้ว a  c
เช่น
22  4 และ 4  3  1 แล้ว 22  3  1
4. สมบัตการบวกด้ วยจานวนที่เท่ ากัน ถ้ำ a  b แล้ว a  c  b  c
ิ
เช่น
2  3  6 และ c  1 แล้ว (2  3)  1  6  1
5. สมบัตการคูณด้ วยจานวนทีเท่ ากัน ถ้ำ a  b แล้ว ac  bc
ิ
่
เช่น
4
2
2
และ c  3 แล้ว ( 4 )(3)  (2)(3)
2
สมบัตของการไม่เท่ ากันของจานวนจริง
ิ
ให้
a, b, c 
1. สมบัตการถ่ ายทอด
ิ
ถ้ำ a  b และ b  c แล้ว a  c เช่น 10  5 และ 5  1 แล้ว 10  1
2. สมบัตการบวกด้ วยจานวนที่เท่ ากัน
ิ
ถ้ำ a  b แล้ว a  c  b  c
เช่น 2 > 0 ให้ c = 1 จะได้ 2  1  0  1 หรื อ 3 > 1
ให้ c = -1 จะได้ 2  (1)  0  (1) หรื อ 1 > -1
3. สมบัตการคูณด้ วยจานวนเท่ ากันที่มากกว่ าศูนย์
ิ
ถ้ำ a  b และ c  0 แล้ว ac  bc

40. 40
เช่น 5 > 3 ให้ c = 2 จะได้ว่ำ 5  2
 3 2
หรื อ 10 > 6
ช่ วง คือ สับเซตของจำนวนจริ งที่ไม่สำมำรถเขียนแบบแจกแจงสมำชิกได้ ช่วงของ
จำนวนจริ ง a และ b เมื่อ a  b แบ่งเป็ น 2 แบบ ดังนี้ คือ
1. ช่วงจำกัด มี 4 แบบต่ำงกัน โดยมีควำมหมำยและเขียนแทนได้ดวยเส้นจำนวน ดังนี้
้
1) ช่วงเปิ ด (a, b) หมำยถึง {x a  x  b}
a
b
2) ช่วงปิ ด [a, b] หมำยถึง {x a  x  b}
a
b
3) ช่วงครึ่ งเปิ ด (a, b] หมำยถึง {x a  x  b}
a
4) ช่วงครึ่ งเปิ ด [a, b)
หมำยถึง {x
a  x  b}
a
2. ช่วงอนันต์
มี 5 แบบต่ำงกัน คือ
1) ช่วง (a, ) หมำยถึง {x x  a}
a
2) ช่วง [a, )
หมำยถึง {x
x  a}
a
3) ช่วง (, a)
หมำยถึง {x
b
x  a}
b

41. 41
a
4) ช่วง (, a]
หมำยถึง {x
x  a}
a
5) ช่วง (, )
หมำยถึง {x
x }
ตัวอย่างที่ 1
1) n > - 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
2
4
ในภำพเส้นทึบที่มีลกศรแทนจำนวนจริ งทุกจำนวนที่มค่ำมำกกว่ำ
ู
ี
สัญลักษณ์ “ O ” หมำยถึง ไม่รวมจำนวน -4
-4
2) n  2
3
-5
5
-4
-3 -2
-1
4
6
สัญลักษณ์ “” หมำยถึง รวมจำนวน 2 ด้วย
0

42. 42
คาชี้แจง
ใบงานที่ 11
ให้นกเรี ยนเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู
1. a
มีค่ำน้อยกว่ำ
-8
……………………………………………….
2. b
มีค่ำมำกกว่ำ
……………………………………………….
3. x
มีค่ำน้อยกว่ำหรื อเท่ำกับ
……………………………………
4. y
มีค่ำมำกกว่ำหรื อเท่ำกับ
……………………………………
แทนด้วยสัญลักษณ์
แทนด้วยสัญลักษณ์
10
5
แทนด้วยสัญลักษณ์
20
แทนด้วยสัญลักษณ์
5. a

4
จำนวนสำมจำนวนที่สอดคล้องกับอสมกำร
คือ
………………………………
6. a  -4 จำนวนสำมจำนวนที่สอดคล้องกับอสมกำร คือ ……………………………..
7. ถ้ำ
7
>
4
และ
4
………………………………………………………….
>
8. ถ้ำ
8
>
2
แล้ว
8
+
……………………………………………………………..
9. ถ้ำ
10
+
5
>
6
+
5
………………………………………………………………
10. ถ้ำ
12
>
7
แล้ว
………………………………………………………….
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………
12
แล้ว
2

6
>
แล้ว
3
>

43. 43
ตัวแปร คือ สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนจำนวน นิยมใช้ตวอักษรภำษำอังกฤษตัวเล็ก เช่น x, y แทน
ั
จำนวน
ค่าคงตัว คือ ตัวเลขที่แทนจำนวน เช่น 1, 2, 3
นิพจน์ คือ ข้อควำมในรู ปสัญลักษณ์ เช่น 2, 3x, 5  x, x  8
เอกนาม คือ นิพจน์ที่เขียนในรู ปกำรคูณของค่ำคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้กำลัง
ของตัวแปรเป็ นจำนวนเต็มบวกหรื อศูนย์ เช่น 3, 2x, 3xy, x 2
พหุนาม คือ นิพจน์ที่สำมำรถเขียนในรู ปเอกนำม หรื อกำรบวกเอกนำมตั้งแต่สองเอกนำมขึ้นไป
ให้นกเรี ยนแยกตัวประกอบของ 39 เนื่องจำก 39  13  3 เป็ นกำรแยกตัวประกอบ
ั
ของ 39 ในทำนองเดียวกัน อำจเขียนพหุนำมในรู ปกำรคูณของพหุนำม เช่น
x 2  4x  x(x  4)
ซึ่งเรี ยกว่ำ กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ กำรเขียน พหุนำมในรู ปกำรคูณของพหุนำมที่มดีกรี ต่ำกว่ำ
ี
ตัวอย่างที่ 1
1) 8x  6  2(4x)  2(3)  2(4x  3)
2) 2x3  3x 2  x  x(2x 2 )  x(3x)  x(1)
 x(2x 2  3x  1)
พหุนามดีกรีสอง ตัวแปรเดียว เป็ นพหุนำมที่เขียนได้ในรู ป ax 2  bx  c เมื่อ
ที่ a  0 และ x เป็ นตัวแปร
a, b, c เป็ นค่ำคงตัว
ตัวอย่างที่ 2
1) 3x 2  6x  1
2) 5x 2  8x  3
มี
มี
a = 3, b = -6
a = 5, b = 8
และ c = 1
และ c = -3
พิจำรณำ พหุนำมดีกรี สองตัวแปรเดียว ax 2  bx  c ในกรณี ที่ a = 1และ
จำนวนเต็ม และ c  0 ว่ำอยูในรู ปอย่ำงไร พร้อมยกตัวอย่ำงประกอบ ดังนี้
่
ตัวอย่างที่ 3
b, c เป็ น

44. 44
1) x 2  6x  1
2) x 2  8x  3
พิจำรณำ กำรหำผลคูณของพหุนำมดีกรี หนึ่งกับพหุนำมดีกรี หนึ่ง เพื่อเป็ นแนวทำงใน
กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี สองตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 4
(x  2)(x  3)  x(x  2)  3(x  2)
 (x 2  2x)  (3x  6)
 x 2  (2  3)x  6
 x 2  5x  6
เมื่อเขียน x 2  5x  6 ในรู ปของผลคูณของพหุนำมดีกรี หนึ่ง ซึ่งจะได้
x 2  5x  6  (x  2)(x  3)
ขั้นตอนในกำรแยกตัวประกอบ x 2  5x  6 โดยพิจำรณำ ย้อนกลับจำกกำรหำผลคูณข้ำงต้น
x 2  5x  6  x 2  (2  3)x  6
 x 2  (2x  3x)  6
 (x 2  2x)  (3x  6)
 x(x  2)  3(x  2)
 (x  2)(x  3)
กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรี สอง x 2  bx  c เมื่อ b และ c เป็ นจำนวนเต็ม จะทำได้
เมื่อสำมำรถหำจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และ บวกกันได้ b นันคือ
่
ถ้ำให้ m และ n แทนจำนวนเต็มสองจำนวนนั้น
mn  b
จะได้
m n  c
ดังนั้น
x  bx  c  x 2  (m  n)x  mn
2
 (x 2  mx)  (nx  mn)
 x(x  m)  n(x  m)
 (x  m)(x  n)
นันคือ
่
x  bx  c
2
แยกตัวประกอบได้เป็ น
ตัวอย่างที่ 5
1) x 2  7x  12  (x  3)(x  4)
2) x 2  7x  12  (x  3)(x  4)
(x  m)(x  n)

45. 45
3) x 2  x  12  (x  4)(x  3)
4) x 2  x  12  (x  3)(x  4)
กำรหำผลคูณของพหุนำมดีกรี หนึ่ง โดยใช้สมบัติกำรแจกแจง
ตัวอย่างที่ 6
(4x  3)(2x  1)  2x(4x  3)  (4x  3)
 (8x 2  6x)  (4x  3)
 8x 2  (6x  4x)  3
 8x 2  10x  3
ดังนั้น
1)
จำก
(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
จะได้ว่ำ หน้ำ  หน้ำ
2)
จำก
จำก
พจน์หน้ำของผลคูณ
(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
จะได้ว่ำ หลัง  หลัง
3)
=
=
พจน์หลังของผลคูณ
(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
จะได้ว่ำ (หน้ำ  หลัง) + (หลัง  หน้ำ)
=
พจน์กลำงของผลคูณ
พิจำรณำกำรแยกตัวประกอบ 8x 2  10x  3 โดยอำศัยสมบัติยอนกลับ ดังนี้
้
1) หำพหุ นำมดีกรี หนึ่ ง สองพหุ นำมที่คูณกันได้ 8x 2 แล้วเขียนไว้ในวงเล็บเป็ นคู่ ๆ
ดังนี้
(4x )(2x ) หรื อ (8x )(x
)
2)
หำจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้ + 3 ไปเขียนเป็ นพจน์หลังของพหุนำมในข้อ 1) ดังนี้
(4x  1)(2x  3) (4x  1)(2x  3)
(4x  3)(2x  1) (4x  3)(2x 1)
ตรวจสอบดูว่ำพจน์กลำงของพหุนำมที่เป็ นผลคูณของพหุนำมคู่ใดในข้อ 2) มีค่ำเท่ำกับ
10x (พจน์กลำงของ 8x 2  10x  3 ) โดยนำ (หน้ำ  หลัง) + (หลัง  หน้ำ) จะได้ว่ำ
(4x  3)(2x  1) มีพจน์กลำงเท่ำกับ 10x
3)

46. 46
ในกรณี ที่พหุนำมที่กำหนดให้ สำมำรถแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติกำรแจกแจงได้ ก็ให้ใช้
สมบัติกำรแจกแจงก่อน
ตัวอย่างที่ 7
5x 2  10x  5  5(x 2  2x  1)
 5(x  1)(x  1)
ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรี สองต่อไปนี้
1)
2)
3)
4)
12x 2  31x  9
12x 2  39x  9
14x 2  65x  9
221x 2  5x  6
พหุนำมดีกรี สองที่แยกประกอบ แล้วได้ตวประกอบ เป็ นพหุนำมดีกรี หนึ่งซ้ ำกัน เรี ยกว่ำ
ั
กาลังสองสมบูรณ์
ใบงานที่ 12

47. 47
คาชี้แจง จงแยกตัวประกอบพหุนำมต่อไปนี้
1) 3x2 + 6x2 =
…………………………………………………………………
2) 2x2 - x
…………………………………………………………………
=
3) 4x3 - 16x2 - 8x = ……………………………………………………………
4) x2 + 9x + 8 = ……………………………………………………….………
5) x2 - 10x + 24 = ………………………………………………..…………...
6) 3x2 + 4x - 15 = …………………………………………………………….
7) 2x2 - x - 1
= …………………………………………………………….
คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………
สมการกาลังสองตัวแปรเดียว
“ถ้ำ a, b เป็ นจำนวนจริ ง และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b อย่ำงน้อยหนึ่ งค่ำต้องเป็ นศูนย์”
วิธีหำคำตอบของสมกำรกำลังสอง สำมำรถใช้สูตรเพื่อ โดยกำรหำค่ำ x ได้ดงนี้
ั
x
b  b 2  4ac
2a

48. 48
อำศัยควำมรู้เกี่ยวกับจำนวนจริ งที่ว่ำ “ถ้ำ a, b เป็ นจำนวนจริ ง และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b
อย่ำงน้อยหนึ่งค่ำต้องเป็ นศูนย์” หำคำตอบของสมกำรโดยอำศัยควำมรู้จำกข้อควำมข้ำงต้น
จำก (x  3)(x  2)  0 จะได้ว่ำ (x  3)  0 หรื อ (x  2)  0
หำคำตอบของสมกำร (x  3)(x  2)  0 โดยหำค่ำ x ที่ทำให้ x – 3 = 0
หรื อ x + 2 = 0 ซึ่งจะได้ x = 3 หรื อ x = -2
ดังนั้น คำตอบของสมกำร (x  3)(x  2)  0 คือ 3, -2
ตัวอย่างที่ 1 จงหำคำตอบของสมกำร x 2  5x  6  0
วิธีทา
จำก
x 2  5x  6  0
จะได้
(x  3)(x  2)  0
ดังนั้น x  3  0 หรื อ x  2  0
x  3 หรื อ x  2
ตรวจสอบคำตอบ โดยแทนค่ำ
สมกำร x 2  5x  6  0 จะได้
x3
หรื อ
x2
ลงใน
ซึ่งเป็ นจริ ง
และ (2)2  5(2)  6  0 ซึ่งเป็ นจริ ง
ดังนั้น คำตอบของสมกำร x 2  5x  6  0 คือ 3 หรื อ 2
(3)2  5(3)  6  0
ตัวอย่างที่ 2 จงหำคำตอบของสมกำรกำลังสองต่อไปนี้
1) x 2  14x  24  0
2) 4x 2  17x  15  0
ตัวอย่างที่ 3
วิธีทา
จงหำคำตอบของสมกำร (4x  8)(x  5)  (5x  2)(x  2)
(4x  8)(x  5)  (5x  2)(x  2)
จำก
จะได้ 4x 2  12x  40  5x 2 12x  4

49. 49
0  5x 2  4x 2  12x  12x  4  40
0  x 2 24x  44
หรื อ
x 2 24x  44  0
(x  22)(x  2)  0
ดังนั้น
หรื อ x  2  0
x  22 หรื อ x  2
คำตอบของสมกำร คือ 22 หรื อ 2
x  22  0
4
5
3


x 1 x  2 x
ตัวอย่างที่ 4 จงหำคำตอบของสมกำร
วิธีทา
จำก
4
5
3


x 1 x  2 x
ทำส่วนให้หมดไปก่อน โดยกำรคูณทั้งสองข้ำงของสมกำรด้วย
x(x 1)(x  2) จะได้
4x(x  2)  5x(x  1)  3(x  1)(x  2)
4x 2  8x  5x 2  5x  3(x 2  x  2)
 x 2  13x  3x 2  3x  6
 4x 2  10x  6  0
หำรทั้งสองข้ำงของสมกำรด้วย (-2) จะได้
2x 2  5x  3  0
(2x  1)(x  3)  0
ดังนั้น
2x  1  0
x
หรื อ
1
2
x 3  0
หรื อ
x3
คำตอบของสมกำร คือ  1 หรื อ 3
2
ตัวอย่างที่ 5 จงหำคำตอบของสมกำร 5x 2  3x  0
วิธีทา
จำก 5x 2  3x  0
a  5, b  3 และ c = 0

50. 50
แยกตัวประกอบ โดยใช้สมบัติแจกแจง ได้ดงนี้
ั
5x 2  3x
จำก
5x 2  3x  0
x(5x  3)  0
จะได้
x0
หรื อ
x0
หรื อ
5x  3  0
x
3
5
ดังนั้น คำตอบของสมกำร คือ 0,  3
5
ตัวอย่างที่ 6 จงหำคำตอบของสมกำร
วิธีทา
จำก 9x 2  50
จะได้
x2 
9x 2  50
50
9
x2  
50
9

5 2
3
ดังนั้น คำตอบของสมกำร คือ 5
2
3
หรื อ  5
2
3
*** นอกจำกใช้วิธีแยกตัวประกอบดังที่กล่ำวมำแล้ว ยังสำมำรถใช้สูตร
เพื่อหำคำตอบของสมกำรกำลังสอง โดยกำรหำค่ำ x ได้ดงนี้
ั
x
b  b 2  4ac
2a
ตัวอย่างที่ 6 จงหำคำตอบของสมกำร x 2  2x 11  0 โดยใช้สูตร
x 2  2x  11  0
วิธีทา
จำก

51. 51
จะได้
a  1, b  2
และ
c = -11
b2  4ac  (2)2  4(1)(11)
 48
จำก
จะได้ว่ำ
หรื อ
4 3
b  b 2  4ac
2a
2  4 3
x
2
x
 1  2 3
คำตอบของสมกำร คือ
1  2 3
หรื อ
1  2 3
จงหาคาตอบของสมการต่อไปนี้
1) x 2  7x  12  0
2) x 2  16x  15
 0
3) x  x
 30
2
4) x
 5x  6
2
5) 5x  4x  1
0
6) 12x 2
 107x  9
7) 18m  8
  35m 2
8) 6  7x  x 2
0
2
9) 9  42y  49y 2  0
10) 16x 2
  1  8x
การแก้สมการและอสมการตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสอง
“ถ้ำ a, b เป็ นจำนวนจริ ง และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b อย่ำงน้อยหนึ่ งค่ำต้องเป็ นศูนย์”
วิธีหำคำตอบของสมกำรกำลังสอง สำมำรถใช้สูตรเพื่อ โดยกำรหำค่ำ x ได้ดงนี้
ั