Procesos de derivación

1. Derivación
Ing. Mg. Luis Gabriel Lescano Paredes

2. Definición
• La derivada de una función es un concepto local, es decir, se
calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la
función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado
para la variable independiente se torna cada vez más
pequeño.

3. Pendiente de la función
La recta 𝑥 = 𝑥1 si
𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0±
𝑓 𝑥1 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥1
∆𝑥
Es +∞ 𝑜 − ∞
Por lo tanto:
𝑚(𝑓 𝑥 ) = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥
∆𝑥
𝑓′
𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥
∆𝑥
P
𝑃 𝑥1, 𝑓 𝑥1
Q 𝑥2, 𝑓 𝑥2
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2
𝑥1
∆𝑥

4. Pendiente de la función
𝑓′ 𝑡 = lim
∆𝑡→0
𝑓 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑓 𝑡
∆𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2; s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
P
𝑃 𝑡1, 𝑓 𝑡1
Q 𝑡2, 𝑓 𝑡2
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
𝑓 𝑡2 − 𝑓 𝑡1
𝑡2
𝑡1
∆𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑠

5. Ejemplo velocidad:
𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2; s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
• s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
𝑠 𝑡+∆𝑡 −𝑠 𝑡
∆𝑡
• 𝑠 𝑡 + ∆𝑡 = ( 𝑡 + ∆𝑡 3−2 𝑡 + ∆𝑡 2)
• 𝑠 𝑡 = ( 𝑡 3−2 𝑡 2)
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
( 𝑡+∆𝑡 3−2 𝑡+∆𝑡 2) −( 𝑡 3−2 𝑡 2)
∆𝑡
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
((𝑡3+3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3)−(2 𝑡2+2𝑡.∆𝑡+∆𝑡2 )) −( 𝑡 3−2 𝑡 2)
∆𝑡

6. Ejemplo:
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
• s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
𝑠 𝑡+∆𝑡 −𝑠 𝑡
∆𝑡
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
((𝑡3+3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3)−(2 𝑡2+2𝑡.∆𝑡+∆𝑡2 )) −( 𝑡 3−2 𝑡 2)
∆𝑡
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
𝑡3+3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3−2𝑡2−4𝑡.∆𝑡−2∆𝑡2 −𝑡3+2𝑡2)
∆𝑡
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
+3𝑡2∆𝑡+3𝑡∆𝑡2+∆𝑡3−4𝑡.∆𝑡−2∆𝑡2
∆𝑡
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
∆𝑡(3𝑡2+3𝑡∆𝑡+∆𝑡2−4𝑡−2∆𝑡)
∆𝑡

7. Ejemplo:
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
• s 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
𝑠 𝑡+∆𝑡 −𝑠 𝑡
∆𝑡
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
1(3𝑡2+3𝑡∆𝑡+∆𝑡2−4𝑡−2∆𝑡)
1
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
3𝑡2 + 3𝑡∆𝑡 + ∆𝑡2 − 4𝑡 − 2∆𝑡
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = 3𝑡2 + 3𝑡(0) + 0 2 − 4𝑡 − 2(0)
• 𝑚(𝑠 𝑡 ) = 3𝑡2 − 4t
• 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t
• 𝑣𝑠(𝑡) = 3𝑡2
− 4t

8. Ejemplo Aceleración
• 𝑓 𝑡 = 𝑡3
− 2𝑡2
; s 𝑡 = 𝑡3
− 2𝑡2
• 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
• 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑠′′(𝑡)
• 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
• 𝑠′
𝑡 = 3𝑡2
− 4t
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
𝑠′ 𝑡+∆𝑡 −𝑠′ 𝑡
∆𝑡
• 𝑠′ 𝑡 + ∆𝑡 = 3(𝑡 + ∆𝑡)2
−4(𝑡 + ∆𝑡)
• 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
(3 𝑡+∆𝑡 2−4 𝑡+∆𝑡 )−(3𝑡2−4t)
∆𝑡

9. Ejemplo Aceleración
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
• 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑠′′(𝑡)
• 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
(3 𝑡+∆𝑡 2−4 𝑡+∆𝑡 )−(3𝑡2−4t)
∆𝑡
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
3 𝑡2+2𝑡.∆𝑡+∆𝑡2 −4𝑡−4∆𝑡 −3𝑡2+4t
∆𝑡
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
3𝑡2+6𝑡.∆𝑡+3∆𝑡2−4𝑡−4∆𝑡−3𝑡2+4t
∆𝑡
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
6𝑡.∆𝑡+3∆𝑡2−4∆𝑡
∆𝑡
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
∆𝑡(6𝑡+3∆𝑡−4)
∆𝑡

10. Ejemplo Aceleración
𝑣𝑠(𝑡) = 𝑠′(𝑡)
• 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑠′′(𝑡)
• 𝑠′ 𝑡 = 3𝑡2 − 4t
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
∆𝑡(6𝑡+3∆𝑡−4)
∆𝑡
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = lim
∆𝑡→0
6𝑡 + 3∆𝑡 − 4
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = 6𝑡 + 3(0) − 4
• 𝑚(𝑠′ 𝑡 ) = 6𝑡 − 4
• 𝑠′′ 𝑡 = 6𝑡 − 4
• 𝑎𝑠(𝑡) = 6𝑡 − 4
• 𝑎𝑠(𝑡) = 𝑣′𝑠(𝑡)

11. Formulas

12. Formulas

13. Formulas

14. Formulas
Funciones Transcendentes

15. Formulas

16. Formulas

17. Ejemplos:
• 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1
• 𝑦 = 𝑓 𝑥 ;𝑦 = 𝑉. 𝐷. ; 𝑥 = 𝑉. 𝐼.
• 𝑠 = 𝑡3 − 2𝑡2 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2
• 𝑠 = 𝑠 𝑡 ; 𝑠 = 𝑉. 𝐷. ; 𝑡 = 𝑉. 𝐼.
• 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 1
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
1
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
1
• 𝑠 = 𝑡3 − 2𝑡2 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2
•
𝑑
𝑑𝑡
𝑠 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑡3 −
𝑑
𝑑𝑡
2𝑡2 𝑑
𝑑𝑡
𝑠 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑡3 −
𝑑
𝑑𝑡
2𝑡2

18. Ejemplos:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0 ;
𝑑𝑐
𝑑𝑥
= 0; 𝑓′ 𝑐 = 0
• 𝑦 = 5 ; 𝑧 = 3 ; 𝑓 𝑡 = 7
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
5 ;
𝑑
𝑑𝑥
𝑧 =
𝑑
𝑑𝑥
3 ;
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
7
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 0 ;
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
= 0 ; f′ t = 0

19. Ejemplos:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = 1 ;
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 1 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥
• 𝑓′ 𝑥 = 1
• 𝑦 = 𝑥 + 1 ; 𝑧 = 3𝑥 − 2 ; 𝑓 𝑡 = 2𝑡 + 7
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
1 ;
𝑑
𝑑𝑥
𝑧 =
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
2 ;
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
2𝑡 +
𝑑
𝑑𝑡
7
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 0 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 3.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 − 0 ; 𝑓′ 𝑡 = 2.
𝑑
𝑑𝑡
𝑡 + 0
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 3. (1) ; 𝑓′
𝑡 = 2. (1)
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 3 ; 𝑓′
𝑡 = 2

20. Ejemplo
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 +
𝑑
𝑑𝑦
𝑦 +
𝑑
𝑑𝑧
𝑧
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 + ℎ′ 𝑥
• 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1 ; 𝑔 𝑥 = 9 ; ℎ 𝑥 = −2𝑥
•
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 + 1 + 9 + −2𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 10 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
10 = 1 + 0
•
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 + 1 + 9 + −2𝑥 = 1

21. Ejemplo
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑥𝑛 = 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑛. 𝑥𝑛−1
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓 𝑥 )𝑛= 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1. 𝑓′(𝑥)
• 𝑦 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 +
𝑑
𝑑𝑥
2𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
1
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4. 𝑥4−1
+ 2.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
+ 3.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 0
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4. 𝑥3
+ 2. 2𝑥2−1
+ 3. 1 + 0
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4. 𝑥3 + 4𝑥 + 3

22. Ejemplo
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑥𝑛
= 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛
= 𝑐. 𝑛. 𝑥𝑛−1
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛
= 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓 𝑥 )𝑛
= 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1
. 𝑓′
(𝑥)
• 𝑓 𝑥 =
3
𝑥3 − 2 𝑥 + 3𝑥−2 + 5𝑥1/7
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
3
𝑥3 −
𝑑
𝑑𝑥
2 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥−2 +
𝑑
𝑑𝑥
5𝑥1/7
• 𝑓′ 𝑥 = 3
𝑑
𝑑𝑥
1
𝑥3 − 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥−2
+ 5
𝑑
𝑑𝑥
𝑥1/7
• 𝑓′ 𝑥
= 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥−3
− 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
1
2 + 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥−2
+ 5
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
1
7
• 𝑓′(𝑥) = 3 −3 𝑥(−3−1) − 2 (
1
2
)𝑥(
1
2
−1)
+ (3)(−2)𝑥(−2−1) + (5)(
1
7
)𝑥(
1
7
−1)
• 𝑓′
𝑥 = −9𝑥 −4
− 1𝑥
−
1
2 − 6𝑥(−3)
+
5
7
𝑥(−
6
7
)
• 𝑓′ 𝑥 = −
9
𝑥4 −
1
2
−
6
𝑥3 +
5
7
7
𝑥6

23. Ejemplo
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑥𝑛 = 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = 𝑐. 𝑛. 𝑥𝑛−1
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛 = 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓 𝑥 )𝑛= 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1. 𝑓′(𝑥)
• ℎ 𝑥 = 3(𝑓 𝑥 )6 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 + 1
• 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥3−1 + 2𝑥2−1
• 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥
• ℎ′
𝑥 = 3.6 𝑓 𝑥
6−1
. (𝑓′
𝑥 )
• ℎ′ 𝑥 = 18 𝑥3 + 𝑥2 + 1 5. (3𝑥2 + 2𝑥)
• ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ); 𝑔 𝑥 = 3𝑥6
; 𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 𝑥2
+ 1
• ℎ 𝑥 = 3(𝑥3 + 𝑥2 + 1)6
•
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
((3(𝑥3 + 𝑥2 + 1 )6))

24. Ejemplo
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑐. (𝑓 𝑥 )𝑛
= 𝑐.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓 𝑥 )𝑛
= 𝑐. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1
. 𝑓′
(𝑥)
• ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ); 𝑔 𝑥 = 3𝑥6
; 𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 𝑥2
+ 1
• 𝑔′ 𝑥 = 18𝑥5
; 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
+ 2𝑥
• ℎ 𝑥 = 3(𝑥3
+ 𝑥2
+ 1)6
; ℎ 𝑥 = 𝑐(𝑓 𝑥 )𝑛
• ℎ′ 𝑥
= c. 𝑛. (𝑓 𝑥 )𝑛−1
. 𝑓′
(𝑥)
• ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛
• ℎ′ 𝑥
= 𝑔′
𝑓 𝑥 . 𝑓′
(𝑥)
•
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
( 3 𝑥3
+ 𝑥2
+ 1 6
)
• ℎ′ 𝑥 = 3.6 𝑥3 + 𝑥2 + 1 6−1. (3𝑥2 + 2𝑥)
• ℎ′
𝑥 = 18 𝑥3
+ 𝑥2
+ 1 5
. (3𝑥2
+ 2𝑥)

25. Ejemplo
• ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛
• ℎ′(𝑥) = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥)
• ℎ 𝑥 =
4
(2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2)3
• f 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2 ; g x =
4
𝑥3 = 𝑥
3
4
• 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 =
3
4
. 𝑥(
3
4
−1)
• 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 =
3
4
. 𝑥(−
1
4
)
• 𝑔′
𝑥 =
3
4𝑥
1
4
=
3
44
𝑥

26. Ejemplo
• ℎ 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]𝑛
• ℎ′(𝑥) = 𝑔′ 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥)
• ℎ 𝑥 =
4
(2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2)3
• f 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2 ; g x =
4
𝑥3 = 𝑥
3
4
•
• 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥 ; 𝑔′ 𝑥 =
3
44
𝑥
• ℎ′ 𝑥 =
3
4
4
2𝑥3+3𝑥4−𝑥2
. 6𝑥2 + 12𝑥3 − 2𝑥
• ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) Regla de la cadena
• ℎ′(𝑥) = 𝑓′ 𝑔 𝑥 . 𝑓′(𝑥)

27. Ejemplo:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑣. 𝑢 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
. 𝑢 +
𝑑𝑢
𝑑𝑥
. 𝑣
• ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . [𝑔 𝑥 ]
• ℎ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + [𝑔′ 𝑥 . 𝑓 𝑥 ]
• ℎ 𝑥 = [ 𝑥2 − 1 . 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 ]
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑔 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑑
𝑑𝑥
1 𝑔′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3 − 3.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 = 2x − 0 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥
• ℎ′ 𝑥 = 2x . 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + [ 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 . 𝑥2 − 1 ]
• ℎ′ 𝑥 = 2𝑥5 + 2𝑥4 − 6𝑥3 + [4𝑥5 + 3𝑥4 − 6𝑥3 − 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥]
• ℎ′ 𝑥 = 2𝑥5 + 2𝑥4 − 6𝑥3 + 4𝑥5 + 3𝑥4 − 6𝑥3 − 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥
• ℎ′ 𝑥 = 6𝑥5 + 5𝑥4 − 16𝑥3 − 3𝑥3 + 6𝑥

28. Ejemplo:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑣/𝑢 =
[ 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
]
𝑢2
• ℎ 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
; 𝑔 𝑥 ≠ 0
• ℎ′ 𝑥 =
[𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 .𝑓 𝑥 ]
[𝑔(𝑥)]2
• ℎ 𝑥 = [
𝑥2−1
𝑥4+𝑥3−3𝑥2]
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 1 𝑔 𝑥 = 𝑥4
+ 𝑥3
− 3𝑥2
• 𝑓′
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
−
𝑑
𝑑𝑥
1 𝑔′
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4
+
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3
− 3.
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 = 2x − 0 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥
• ℎ′
𝑥 =
[ 2x . 𝑥4+𝑥3−3𝑥2 − 4𝑥3+3𝑥2−6𝑥 .(𝑥2−1)]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
• ℎ′
𝑥 =
[ 2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3 − 4𝑥5+3𝑥4−6𝑥3−4𝑥3−3𝑥2+6𝑥 ]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2

29. Ejemplo:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑣/𝑢 =
[ 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
]
𝑢2
• ℎ 𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
; 𝑔 𝑥 ≠ 0
• ℎ′ 𝑥 =
[𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 .𝑓 𝑥 ]
[𝑔(𝑥)]2
• ℎ′ 𝑥 =
[ 2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3 − 4𝑥5+3𝑥4−6𝑥3−4𝑥3−3𝑥2+6𝑥 ]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
• ℎ′ 𝑥 =
[2𝑥5+2𝑥4−6𝑥3−4𝑥5−3𝑥4+6𝑥3+4𝑥3+3𝑥2−6𝑥]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2
• ℎ′
𝑥 =
[−2𝑥5−𝑥4+4𝑥3+3𝑥2−6𝑥]
[𝑥4+𝑥3−3𝑥2]2

30. Aplicaciones:
• En un circuito eléctrico, Si V volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms
es la resistencia, entonces de la ley de Ohms IR = V. Si se supone que V es una constante
positiva ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de I con respecto a R en un circuito eléctrico
de 90 volts cuando la resistencia es de 15 ohms? :
• 𝐼𝑅 = 𝑉; 𝐼 =
𝑉
𝑅
• V.I.=R (x)
𝑑
𝑑𝑥
;
𝑑
𝑑𝑅
; V.D.=I (y)
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
=
𝑑
𝑑𝑅
.
𝑉
𝑅
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
=
𝑑
𝑑𝑅
.
90
𝑅
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
= 90.
𝑑
𝑑𝑅
. 𝑅−1
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
= −1(90). 𝑅−1−1
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
= −1(90). 𝑅−2
I
R

31. Aplicaciones:
• En un circuito eléctrico, Si V volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms
es la resistencia, entonces de la ley de Ohms IR = V. Si se supone que V es una constante
positiva ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de I con respecto a R en un circuito eléctrico
de 90 volts cuando la resistencia es de 15 ohms? :
• 𝐼𝑅 = 𝐸; 𝐼 =
𝐸
𝑅
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
= −1(90). 𝑅−2
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
=
−90 𝑉𝑜𝑙𝑡
𝑅2𝑜ℎ𝑚2
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
=
−90
15 2
•
𝑑𝐼
𝑑𝑅
= −0.4
I
R

32. Aplicaciones:
• f(x)=x^(3)+3 x^(2)-x
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥
• 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3 + 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
• 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 1
• 3𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0
• 𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−43𝑐
23
• 𝑥 =
−6± 62−4(2)(−1)
2(2)
• 𝑥1 = 0.1547
• 𝑥2 = −2.154

33. Aplicaciones:
• f(x)=x^(3)+3 x^(2)-x
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥
• 𝑥1 = 0.1547
• 𝑥2 = −2.154
• 𝑓 𝑥1 = 𝑥1
3 + 3𝑥1
2 − 𝑥1
• 𝑓 0.1547 = 0.1547 3
+ (3)0.1547 2
− 0.1547
• 𝑓 0.1547 = −0.08
• 𝑓 𝑥2 = 𝑥2
3 + 3𝑥2
2 − 𝑥2
• 𝑓 −2.154 = −2.154 3
+ (3)(−2.154 )2
−(−2.154)
• 𝑓 −2.154 = 6.08

34. Aplicaciones:
• f(x)=x^(3)+3 x^(2)-x
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥
• 𝑥1 = 0.1547
• 𝑥2 = −2.154
• 𝑓 0.1547 = −0.08
• 𝑓 −2.154 = 6.08
x F(x)=y Max o Min
0.1547 −0.08 Min
−2.154 6.08 Max

35. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = cos 𝑓 𝑥 . (𝑓′(𝑥))
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cosx
• ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) ; 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥3 − 1)
• ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥3
− 1) ;𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 1
• ;𝑔′ 𝑥 = cos(𝑥) ; 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2
• ℎ′ 𝑥 = cos 𝑥3 − 1 . (3𝑥2)

36. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥 ; ℎ′
𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥))
• 𝑦 = cos(2𝑥5 + 𝑥)
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 2𝑥5 + 𝑥
• 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 2𝑥5 + 𝑥
• 𝑔′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 ; f′(x) = 10𝑥4 + 1
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛 2𝑥5 + 𝑥 . (10𝑥4 + 1)
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − 10𝑥4 + 1 . 𝑠𝑒𝑛 2𝑥5 + 𝑥

37. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥))
• ℎ 𝑥 = tan 𝑥 − 1
• 𝑔 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
• 𝑔′
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 ; f 𝑥 = 𝑥
1
2 − 1
• 𝑓′(𝑥) =
1
2
𝑥
1
2
−1
− 0
• 𝑓′(𝑥) =
1
2
𝑥−
1
2
• ℎ′
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1 . (
1
2
𝑥−
1
2)
• ℎ′ 𝑥 = (
1
2𝑥
1
2
). 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1
• ℎ′ 𝑥 = (
1
2 𝑥
). 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1

38. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑐𝑠𝑐2
𝑥; ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑓 𝑥 ; ℎ′
𝑥 = −𝑐𝑠𝑐2
(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥))
• 𝑦 = cot(𝑥
1
4 − 𝑥)
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
(cot 𝑥
1
4 − 𝑥 )
• 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥
1
4 − 𝑥
• 𝑔′ 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐2(𝑥) ; 𝑓′ 𝑥 =
1
4
𝑥−
3
4 − 1
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑐𝑠𝑐2
𝑥
1
4 − 𝑥 . (
1
4
𝑥−
3
4 − 1)
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
4𝑥
3
4
− 1 . 𝑐𝑠𝑐2 𝑥
1
4 − 𝑥

39. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥;
• ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑓 𝑥 . tan(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥))
• ℎ(𝑥) = sec(1 − 𝑥3)
• 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥3
• 𝑔′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2
• ℎ′ 𝑥 = sec 1 − 𝑥3 . tan 1 − 𝑥3 . (−3𝑥2)
• ℎ′
𝑥 =. −3𝑥2
. sec 1 − 𝑥3
. tan 1 − 𝑥3

40. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑐𝑠𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥;
• ℎ 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 𝑓 𝑥 ; ℎ′ 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 𝑓 𝑥 . 𝑐𝑜𝑡(𝑓 𝑥 ). (𝑓′(𝑥))
• ℎ(𝑥) = csc(𝑥7 − 𝑥3)
• 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥7
− 𝑥3
• 𝑔′ 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥 ; 𝑓′ 𝑥 = 7𝑥6 − 3𝑥2
• ℎ′ 𝑥 = − csc 𝑥7 − 𝑥3 . cot 𝑥7 − 𝑥3 . (7𝑥6 − 3𝑥2)
• ℎ′
𝑥 = − 7𝑥6
− 3𝑥2
. csc 𝑥7
− 𝑥3
. cot 𝑥7
− 𝑥3

41. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
; ℎ 𝑥 = ln(𝑓 𝑥 ) ; ℎ′ 𝑥 =
1
𝑓 𝑥
. (𝑓′ 𝑥 )
• ℎ 𝑥 = ln(𝑥2 − 1) ; ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 )
• 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 1
• 𝑔′ 𝑥 =
1
𝑥
; 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
• ℎ′ 𝑥 =
1
𝑥2−1
. (2𝑥)
• ℎ′
𝑥 =
2𝑥
𝑥2−1

42. Ejercicios
• 𝑦 = 𝑒𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 ; ℎ 𝑥 = 𝑒(𝑓(𝑥)); ℎ′ 𝑥 = 𝑒 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥)
• ℎ 𝑥 = 𝑒(𝑥2−2𝑥+1)
• 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
• 𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ; 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 2
• ℎ′
𝑥 = 𝑒 𝑥2−2𝑥+1
. (2𝑥 − 2)