latihan soal kalkulus integral mencari luas daerah

1. Nama : Nurkhalifah Anwar
NIM : 1911041007
Kelas : A1
Tanggal : 21 April 2020
Tugas Kalkulus Integral Luasan Daerah
1. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva𝑦 = 𝑥2 − 2 dan 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 − 4
Jawab :
Mencari batas atas dan bawahnya
𝑥2 − 2 = 2𝑥2 + 𝑥 − 4
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = −2 atau 𝑥 = 1
Sehingga diperoleh
∆𝐴 ≈ [(𝑥2 − 2) − (2𝑥2 + 𝑥 − 4)]∆𝑥
∆𝐴 ≈ (−𝑥2 − 𝑥 + 2)∆𝑥
𝐴(𝑅) = ∫ (−𝑥2 − 𝑥 + 2) 𝑑𝑥
1
−2
= [−
1
3
𝑥3 −
1
2
𝑥2 + 2𝑥]
−2
1
= (−
1
3
(1)3 −
1
2
(1)2 + 2(1)) − (−
1
3
(−2)3 −
1
2
(−2)2 + 2(−2))
= (−
1
3
−
1
2
+ 2) − (
8
3
− 2 − 4)
=
9
2
𝐴(𝑅) =
9
2
≈ 𝟒.𝟓 satuan luas.

2. 2. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva-kurva𝑦 = 𝑥,𝑦 = 2𝑥 dan 𝑦 = 5 − 𝑥
Jawab:
Mencari batas atas dan bawahnya,
Diperoleh titik potongnya 𝑎 = 0, 𝑏 =
5
3
, 𝑐 =
5
2
.
Sehingga diperoleh
𝐴(𝑅) = ∫ (2𝑥 − 𝑥) 𝑑𝑥
5/3
0 + ∫ (5 − 𝑥
5/2
5/3 − 𝑥)𝑑𝑥
= [
1
2
𝑥2]
0
5/3
+ [5𝑥 − 𝑥2]5/3
5/2
= (
1
2
(
5
3
)
2
) − (0) + (5 (
5
2
) − (
5
2
)
2
) − (5(
5
3
) − (
5
3
)
2
)
= (
25
18
) + (
25
36
)
=
25
12
𝐴(𝑅) =
25
12
≈ 𝟐.𝟎𝟖𝟑̇ satuan luas.
2𝑥 = 5 − 𝑥
𝑥 =
5
3
𝑥 = 5 − 𝑥
𝑥 =
5
2

3. 3. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva𝑦 = √𝑥 dan 𝑦 = −𝑥 + 6
Jawab:
Mencari batas atas dan bawahnya
(Titik-titikpotong yang diperoleh)
√𝑥 = −𝑥 + 6
𝑥 = 𝑥2 − 12𝑥 + 36
𝑥2 − 13𝑥 + 36 = 0
(𝑥 − 9)(𝑥 − 4)
𝑥 = 9 (tidak memenuhi) atau 𝑥 = 4
Titik potong pada sumbu x, y=0
−𝑥 + 6 = 0 √𝑥 = 0
−𝑥 = −6 𝑥 = 0
𝑥 = 6
Didapatkan (0,0); (4,2);(6, 0) .
Daerah pada grafik di atas terdapat dua daerah, yaitu dari 𝑥 = 0 sampai 𝑥 = 4 dan dari 𝑥 = 4
sampai 𝑥 = 6.
Sehingga diperoleh
𝐴(𝑅)1 = ∫ √𝑥
4
0
𝑑𝑥 = [
2
3
𝑥
3
2]
0
4
= (
2
3
(4)
3
2) − (0) =
16
3
≈ 5.3̇ satuan luas.
𝐴(𝑅)2 = ∫ (−𝑥 + 6)
6
4 𝑑𝑥 = [−
𝑥2
2
+ 6𝑥]
4
6
= (−
(6)2
2
+ 6(6)) − (−
(4)2
2
+ 6(4)) = 2 satuan luas.

4. Diperoleh :
∆𝐴 ≈ 𝐴(𝑅)1 + 𝐴(𝑅)2
Jadi, luasnya adalah :
5. 3̇ + 2 ≈ 𝟕. 𝟑̇ satuan luas.
4. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva-kurva𝑦 = 𝑥 + 6, 𝑦 = 𝑥3 dan 2𝑦 + 𝑥 = 0. Kemudian
hitunglah luasnya.
Jawab:
Mencari batas atas dan bawahnya
(Titik-titikpotong yang diperoleh)
- Titik potong antara garis 𝑦 = 𝑥 + 6 dan 2𝑦 + 𝑥 = 0 atau 𝑦 = −
𝑥
2
.
𝑥 + 6 = −
𝑥
2
2𝑥 + 12 = −𝑥
3𝑥 = −12
𝑥 = −4
yaitu di titik (-4, 2).
- Titik potong antara kurva 𝑦 = 𝑥3 dan garis 2𝑦 + 𝑥 = 0 atau 𝑦 = −
𝑥
2
.
𝑥3 = −
𝑥
2

5. 2𝑥3 = −𝑥
2𝑥3 + 𝑥 = 0
𝑥(2𝑥2 + 1) = 0
𝑥 = 0 atau 2𝑥2 + 1 = 0 → 2𝑥2 = −1 → 𝑥2 = −
1
2
(tidak terdefenisi) di titik (0,0)
- Titik potong antara garis 𝑦 = 𝑥 + 6 dan kurva 𝑦 = 𝑥3.
Yaitu berpotongan di titik (2, 8) dengan 𝑥 = 2.
Didapatkan (−4,2); (0,0);(2, 8).
Daerah pada grafik di atas terdapat dua daerah, yaitu dari 𝑥 = −4 sampai 𝑥 = 0 dan dari 𝑥 = 0
sampai 𝑥 = 2.
Sehingga diperoleh :
𝐴(𝑅)1 = ∫ (𝑥 + 6) − (−
𝑥
2
)
0
−4
𝑑𝑥
= ∫ (
3
2
𝑥 + 6)𝑑𝑥
0
−4
= [
3
4
𝑥2 + 6𝑥]
−4
0
= (
3
4
(0)2 + 6(0)) − (
3
4
(−4)2 + 6(−4))
= 0 − (−12)
= 12
𝐴(𝑅)2 = ∫ (𝑥 + 6) − 𝑥3
0
2
𝑑𝑥
= [
𝑥2
2
+ 6𝑥 −
𝑥4
4
]
2
0
=(
02
2
+ 6(0) −
04
4
) − (
22
2
+ 6(2) −
24
4
)
= −10 (abaikan tanda negatif)
Diperoleh :
∆𝐴 ≈ 𝐴(𝑅)1 + 𝐴(𝑅)2
Jadi, luasnya adalah :
12 + 10 ≈ 𝟑𝟐 satuan luas.