xử lý tín hiệu số

1. ChChương 3ương 3::
BIBIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONGỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤCMIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
Bài 1 BIBài 1 BIẾN ĐỔIẾN ĐỔI FOURIERFOURIER
Bài 2 CBài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔIÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIERFOURIER
Bài 3 QUAN HBài 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & FỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
Bài 4 BIBài 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
Bài 5 LBài 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆUẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

2. Ký hiệu:Ký hiệu:
x(n) X(x(n) X(ωω) hay X() hay X(ωω) = F{x(n)}) = F{x(n)}
X(X(ωω) x(n) hay x(n) = F) x(n) hay x(n) = F-1-1
{X({X(ωω)})}
BÀI 1 BIBÀI 1 BIẾẾNN ĐỔIĐỔI FOURIERFOURIER
1.1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔIĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:FOURIER:
→←F
 →←
−1
F
Trong đó:Trong đó: ωω - tần số của tín hiệu rời rạc,- tần số của tín hiệu rời rạc, ωω == ΩΩ TTss
ΩΩ -- tần số của tín hiệu liên tụctần số của tín hiệu liên tục
TTss - chu kỳ lấy mẫu- chu kỳ lấy mẫu
BiBiến đổi Fourier củaến đổi Fourier của x(n):x(n): ∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX ω
ω )()(

3. X(X(ωω) bi) biểu diễn dưới dạng modun & argument:ểu diễn dưới dạng modun & argument:
NhNhận thấy X(ận thấy X(ωω) tuần hoàn với chu kỳ 2) tuần hoàn với chu kỳ 2ππ, thật vậy:, thật vậy:
)(
)()( ωϕ
ωω j
eXX =
Trong đó:Trong đó:
)(ωX - phổ biên độ của x(n)- phổ biên độ của x(n)
)](arg[)( ωωϕ X= - phổ pha của x(n)- phổ pha của x(n)
∑
∞
−∞=
+−
=+
n
nj
enxX )2(
)()2( πω
πω )()( ωω
Xenx
n
nj
== ∑
∞
−∞=
−
Áp dụng kết quả:Áp dụng kết quả:



≠
=
=∫
−
0:0
0:2
k
k
dke jk ππ
π
Biểu thức biến đổi F ngược:Biểu thức biến đổi F ngược:
∫
−
=
π
π
ω
ωω
π
deXnx nj
)(
2
1
)(

4. Ví dụ 1Ví dụ 1:: Tìm biTìm biến đổi Fến đổi F của ccủa các dãyác dãy::
1:)()(1 <= anuanx n
GiGiải:ải:
nj
n
n
enuaX ω
ω −
∞
−∞=
∑= )()(1 ( )∑
∞
=
−
=
0n
nj
ae ω
ωj
ae−
−
=
1
1
1:)1()(2 >−−−= anuanx n
nj
n
n
enuaX ω
ω −
∞
−∞=
∑ −−−= )1()(2 ( )∑
−∞
−=
−−
−=
1
1
n
nj
ea ω
( )∑
∞
=
−
−=
1
1
m
mj
ea ω
( ) 1
0
1
+−= ∑
∞
=
−
m
mj
ea ω
ωj
ea 1
1
1
1 −
−
−= ωj
ae−
−
=
1
1

5. ∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX ω
ω )()(
2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
∑
∞
−∞=
−
≤
n
nj
enx ω
)( ∑
∞
−∞=
=
n
nx )(
Vậy, đểVậy, để X(X(ωω)) hội tụ thì điều kiện cần là:hội tụ thì điều kiện cần là: ∞<∑
∞
−∞=n
nx )(
Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ làCác tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng,tín hiệu năng lượng,
thật vậythật vậy::
∑
∞
−∞=
=
n
x nxE
2
)(
2
)( 





≤ ∑
∞
−∞=n
nx
Nếu:Nếu: ∞<∑
∞
−∞=n
nx )( ∞<= ∑
∞
−∞=n
x nxE
2
)(

6. Ví dụ 2Ví dụ 2:: XXét sự tồn tại biến đổi Fét sự tồn tại biến đổi F của ccủa các dãyác dãy::
)()5.0()(1 nunx n
=
GiGiải:ải:
∑
∞
−∞=n
nx )(1
)(2)(2 nunx n
=
)()(3 nunx = )()(4 nrectnx N=
∑
∞
−∞=
=
n
n
nu )()5.0( ∑
∞
=
=
0
)5.0(
n
n
2
5.01
1
=
−
=
∑
∞
−∞=n
nx )(2 ∑
∞
−∞=
=
n
n
nu )(2 ∞== ∑
∞
=0
2
n
n
∑
∞
−∞=n
nx )(3 ∑
∞
−∞=
=
n
nu )(
∑
∞
−∞=n
nx )(4 ∑
∞
−∞=
=
n
N nrect )(
∞== ∑
∞
=0
)(
n
nu
∑
−
=
=
1
0
)(
N
n
N nrect N=
XX22((ωω) không tồn tại) không tồn tại
XX33((ωω) không tồn tại) không tồn tại

7. BÀIBÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
a)a) Tuyến tínhTuyến tính
)()( 11 ωXnx F
→←
)()()()( 22112211 ωω XaXanxanxa F
+→←+
Nếu:Nếu:
Thì:Thì:
)()( 22 ωXnx F
→←
b)b) Dịch theo thời gianDịch theo thời gian
)()( ωXnx F
→←Nếu:Nếu:
Thì:Thì: )()( 0n-j
0 ωω
Xennx F
→←−

8. )2();( −nn δδVí dụ 1Ví dụ 1:: Tìm biến đổi F của dTìm biến đổi F của dãyãy::
GiGiảiải::
1)()()()( ==→←= ∑
∞
−∞=
−
n
njF
enXnnx ω
δωδ
c)c) Liên hiệp phứcLiên hiệp phức
)()( ωXnx F
→←Nếu:Nếu:
)(*)(* ω−→← Xnx F
ThThìì::
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
ωω
ωδ 22
1)()2()2( jjF
eXenxn −−
=→←−=−

9. d)d) Đảo biến sốĐảo biến số
)()( ωXnx F
→←
)()( ω−→←− Xnx F
Giải:Giải:
NNếu:ếu:
ThThì:ì:
Ví dụ 2Ví dụ 2:: TTììm bim biến đổi F của dãy:ến đổi F của dãy: )(2)( nuny n
−=
)(
2
1
)( nunx
n






=
( ) )(2)()( nunxny
n
−=−=
Theo vTheo ví dụ 1 Bài 1, có kết quả:í dụ 1 Bài 1, có kết quả:
suy ra:suy ra:ω
ω j
F
e
X −
−
=→←
)2/1(1
1
)(
ω
ω j
F
e
X
)2/1(1
1
)(
−
=−→←

10. e)e) Vi phân trong miền tần sốVi phân trong miền tần số
1);()( <= anunang n
1a;
1
1
)()()( <
−
=→←= − ω
ω j
Fn
ae
Xnuanx
)()( ωXnx F
→←
)(
ω
ω
d
)dX(
jnxn F
→←
)()( nnxng =
( )
1;
1
)(
)( 2
<
−
==→←
−
−
a
ae
ae
d
dX
jG
j
j
F
ω
ω
ω
ω
ω
Giải:Giải:
Theo vTheo ví dụ 1 Bài 1:í dụ 1 Bài 1:
NNếu:ếu:
Ví dụ 3Ví dụ 3:: TTìmìm biến đổi F của:biến đổi F của:
Suy ra:Suy ra:
ThThì:ì:

11. f)f) Dịch theo tần sốDịch theo tần số
1);()cos()( 0 <= anunany n
ω
1a;
1
1
)()()( <
−
=→←= − ω
ω j
Fn
ae
Xnuanx
)()( ωXnx F
→←
)-()( 0
0
ωωω
Xnxe Fnj
→←
Giải:Giải:
Theo vTheo ví dụ 1 Bài 1:í dụ 1 Bài 1:
NNếu:ếu:
Ví dụ 4Ví dụ 4:: TTìmìm biến đổi F của:biến đổi F của:
ThThì:ì:
)cos()()( 0nnuany n
ω= [ ]njnjn
eenua 00
2
1
)( ωω −
+=
[ ]njnj
eenx 00
)(
2
1 ωω −
+=

12. g)g) Tích 2 dãyTích 2 dãy
)()( 11 ωXnx F
→←
∫−
−→←
π
π
ωωωω
π
')'()'(
2
1
)(.)( 2121 dXXnxnx F
Thì:Thì:
Nếu:Nếu:
[ ])()(
2
1
)( 00 ωωωωω ++−= XXY






−
+
−
= +−−−
)1(
1
)1(
1
2
1
)( )()( 00 ωωωω
ω jj
aeae
Y
)()( 22 ωXnx F
→←
∫−
−=
π
π
ωωωω
π
')'()'(
2
1
12 dXX
→← F

13. g)g) Tổng chập 2 dãyTổng chập 2 dãy
)()( 11 ωXnx F
→←
)()()(*)( 2121 ωω XXnxnx F
→←Thì:Thì:
Nếu:Nếu: )()( 22 ωXnx F
→←
Ví dụ 5Ví dụ 5:: TTìmìm y(n)=x(n)*h(n), biy(n)=x(n)*h(n), biết:ết: x(n)=h(n)=x(n)=h(n)=δδ(n+2)+(n+2)+δδ(n-2)(n-2)
Giải:Giải:
ωω
ωω 22
)()( jj
eeHX −
+==
Theo ví dụ 1, có kết quả:Theo ví dụ 1, có kết quả:
222
)()()()( ωω
ωωω jj
eeHXY −
+== ωω 44
2 jj
ee −
++=
)]([)(*)()( 1
ωYFnhnxny −
==
)4()(2)4()( −+++= nnnny δδδ

14. - gọi là phổ mật độ năng lượng- gọi là phổ mật độ năng lượng
g)g) Quan hệ ParsevalQuan hệ Parseval
)()( 11 ωXnx F
→←
ωωω
π
π
π
dXXnxnx
n
∫∑ −
∞
−∞=
= )()(
2
1
)()( *
21
*
21Thì:Thì:
Nếu:Nếu: )()( 22 ωXnx F
→←
(*)
Biểu thức (*) còn gọi làBiểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parsevalquan hệ Parseval
Nhận xét:Nhận xét:
Nếu:Nếu: )()()( 21 nxnxnx ==
Theo quan hệ Parseval, ta có:Theo quan hệ Parseval, ta có:
ωω
π
π
π
dXnx
n
∫∑ −
∞
−∞=
=
22
)(
2
1
)(
Với:Với:
2
)()( ωω XSxx =

15. TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FTỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F
x(n)x(n) X(X(ωω))
aa11xx11(n)+a(n)+a22xx22(n)(n) aa11XX11((ωω)+a)+a22XX22((ωω))
x(n-nx(n-n00)) ee-j-jωωnn00
X(X(ωω))
eejjωω00nn
x(n)x(n) X(X(ωω-- ωω00))
nx(n)nx(n) jdX(jdX(ωω)/d)/dωω
x(-n)x(-n) X(-X(- ωω))
x*(n)x*(n) X*(-X*(- ωω))
xx11(n)x(n)x22(n)(n)
xx11(n)*x(n)*x22(n)(n) XX11((ωω)X)X22((ωω))
( ) ''
2
'
1 )(
2
1
ωωωω
π
dXX
j C
−∫
ωωω
π
π
π
dXXnxnx
n
∫∑ −
∞
−∞=
= )()(
2
1
)()( *
21
*
21

16. BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & ZBÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
Hay biến đổi Fourier chính là
biến đổi Z được lấy trên vòng
tròn đơn vị theo biến số ω
∑
∞
−∞=
ω−
=ω→←
n
njF
e)n(x)(X)n(x
∑
∞
−∞=
−
=→←
n
nZ
znxzXnx )()()(
ωω j
ez
zXX =
= )()(
/z/=1
Re(z)
ROC X(z)ROC X(z)
Im(z)
/z/=1
ω
• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
⇒X(ω)=X(z) với z=ejω
• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
⇒X(ω) không hội tụ

17. Ví dụ 1Ví dụ 1:: TTììmm biến đổi Z & Fbiến đổi Z & F của ccủa các dãyác dãy::
GiGiải:ải:
)(2)(2 nunx n
=
5.0;
5.01
1
)( 11 >
−
= −
z
z
zX
)()5.0()(1 nunx n
=
Do ROCDo ROC[X[X11(z)] có chứa /z/=1, nên:(z)] có chứa /z/=1, nên:
ωωω jez
e
zXX j −=
−
==
5.01
1
)()( 11
2;
21
1
)( 12 >
−
= −
z
z
zX
Do ROCDo ROC[X[X22(z)] không chứa /z/=1, nên X(z)] không chứa /z/=1, nên X22((ωω) không tồn tại) không tồn tại

18. BÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠCBÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐTRONG MIỀN TẦN SỐ
1. Định nghĩa đáp ứng tần số1. Định nghĩa đáp ứng tần số
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền ω: H(ω)X(ω) Y(ω)=X(ω)H(ω)
F
h(n) F
H(ω)=Y(ω)/X(ω): gọi là đáp ứng tần số hệ thống
)(j
e)(H)(H ωφ
ω=ω
Nếu H(ω) biểu diễn dạng môdun và pha:
)(ωH
)(ωφ
- Đáp ứng biên độ
- Đáp ứng pha

19. Ví dụ: 1Ví dụ: 1:: Tìm H(Tìm H(ωω), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
GiảiGiải::
Biến đổi Fourier củaBiến đổi Fourier của h(n)h(n)::
h(n)=recth(n)=rect33(n)(n)
nj
n
enrectH ω
ω −
∞
−∞=
∑= )()( 3 ω
ω
ω
j
j
n
nj
e
e
e −
−
=
−
−
−
== ∑ 1
1 32
0
)(
)(
2/2/2/
2/32/32/3
ωωω
ωωω
jjj
jjj
eee
eee
−−
−−
−
−
=
ω
ω
ω j
e−
=
)2/sin(
)2/3sin(
)2/sin(
)2/3sin(
)(
ω
ω
ω =A
)2/sin(
)2/3sin(
)(
ω
ω
ω =H



<ωπ+ω−
>ωω−
=ωφ
0
0
)(A:
)(A:
)( VớiVới

20. -π -2π/3 0 2π/3 π
ω
π/2
argH(ω)
-π/2-π -2π/3 0 2π/3 π
ω
1
/H(ω)/

21. 2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp
 Miền ω :
h2(n)x(n) y(n)h1(n)
x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)
≡
 Miền n:
H2(ω)X(ω) Y(ω)H1(ω)
X(ω) Y(ω)H(ω)=H1(ω)H2(ω)
≡
Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) F
H1(ω)H2(ω)

22. b. Ghép song song
 Miền ω:
≡
h2(n)
x(n) y(n)
h1(n)
+
x(n) y(n)h1(n)+h2(n)
 Miền n:
≡H2(ω)
X(ω) Y(ω)
H1(ω)
+
X(ω) Y(ω)H1(ω)+H2(ω)

23. 3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
)()()(*)()(*)()( mnxmhnxnhnhnxny
m
−=== ∑
∞
−∞=
)(
)()( mnj
m
Aemhny −
∞
−∞=
∑= ω
)(H)n(xe)m(hAe mj
m
nj
ωωω
== −
∞
−∞=
∑
Ví dụ: 2Ví dụ: 2:: Tìm y(n) biết:Tìm y(n) biết:
nj
enx 3
2
π
=)( )()( nunh
n






=
2
1
3
2
1
1
1
2)()()( 3
π
ω
ω
ω
π
=











−
==
− j
nj
e
eHnxny
3
3
2
1
1
2 π
π
j
nj
e
e
−
−
=
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức:Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aex(n)=Aejjωωnn

24. 4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin
( )njnj
ee
A
)ncos(A)n(x 00
2
0
ω−ω
+=ω=
[ ]njnj
e)(He)(H
A
)(H)n(x)n(y 00
000
2
ω−ω
ω−+ω=ω=
[ ] { }njnjnj
e)(HRe.Ae)(*He)(H
A
)n(y 000
000
2
ωω−ω
ω=ω+ω=
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
)(j
e)(H)(H ωφ
ω=ω

25. { } [ ])(ncos)(HAe)(HRe.A)n(y nj
0000
0
ωφ+ωω=ω= ω
( )njnj
ee
j
A
)nsin(A)n(x 00
2
0
ω−ω
−=ω=
Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:
Ta cũng được kết quả:Ta cũng được kết quả:
{ } [ ])(nsin)(HAe)(HIm.A)n(y nj
0000
0
ωφ+ωω=ω= ω

26. BÀI 5. LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆUBÀI 5. LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU
1. Khái niệm lấy mẫu tín hiệu1. Khái niệm lấy mẫu tín hiệu
Mã hóa xd(n)Rời rạc
hóa
xa(t) x(n) Lượng
tử hóa
xq(n)
Chuyển xung
-> mẫu
xa(nTs)
= x(n)
xa(t) X
sa(t)
xs(t)
Quá trình lấy mẫu tín hiệuQuá trình lấy mẫu tín hiệu

27. Tín hiệu tương tựTín hiệu tương tự
xa(t)
t
0
xa(nTs)
n
0 Ts 2Ts …
Tín hiệu rời rạcTín hiệu rời rạcTín hiệu được lấy mẫuTín hiệu được lấy mẫu
xs(t)
n
0 Ts 2Ts …
t
0
Chuỗi xung lấy mẫuChuỗi xung lấy mẫu
Ts 2Ts …
∑
∞
−∞=
−=
n
sa nTtts )()( δ
Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xácTốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xác

28. 2. Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự2. Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự
( ) tAtxa Ω= cos ( ) )cos( ssa TnAnTx Ω=
Lấy mẫu
t = nTs
( ) )cos()cos()( nATnAnTxnx ssa ω=Ω== sTΩ=ω⇒
Trong đó:Trong đó: ωω - tần số của tín hiệu rời rạc- tần số của tín hiệu rời rạc
ΩΩ -- tần số của tín hiệu tương tựtần số của tín hiệu tương tự
TTss - chu kỳ lấy mẫu- chu kỳ lấy mẫu

29. 3. Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và3. Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và
phổ tín hiệuphổ tín hiệu tương tựtương tự
( ) ∑
∞+
−∞=
−=





=
m
sas
s
)mFF(XF
F
F
XfX
Ví dụ: 1Ví dụ: 1:: Hãy vẽ phổ biên độ tínHãy vẽ phổ biên độ tín
hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tínhiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín
hiệu tương tự cho như hình vẽ,hiệu tương tự cho như hình vẽ,
với các tốc độ lấy mẫu:với các tốc độ lấy mẫu:
a)a)FFss>2F>2FMM b)b) FFss=2F=2FMM c)c) FFss<2F<2FMM
Trong đó:Trong đó: X(f)X(f) –– phổ của tín hiệu rời rạcphổ của tín hiệu rời rạc
XXaa(F)(F) –– phổ của tín hiệu tương tựphổ của tín hiệu tương tự
/Xa(F)/
F
0-FM FM
1

30. /X(F/Fs)/
F
0-FM FM
-Fs Fs
Fs
a)
F
0-FM FM
-Fs Fs
/X(F/Fs)/
Fs
b)
F
0-FM FM
-Fs Fs
/X(F/Fs)/
Fs
2Fs-2Fs
c)

31. 4. Định lý lấy mẫu4. Định lý lấy mẫu
““Tín hiệu tương tự xTín hiệu tương tự xaa(t) có dải phổ hữu hạn (-F(t) có dải phổ hữu hạn (-FMM ,F,FMM) chỉ) chỉ
có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xcó thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xaa(nT(nTss))
nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fnếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fss ≥ 2F≥ 2FMM””
Ví dụ 2Ví dụ 2:: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự:Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự:
FFss =2F=2FMM=F=FNN: Tốc độ (tần số) Nyquist: Tốc độ (tần số) Nyquist
ttttxa πππ 12000cos106000sin52000cos3)( ++=
ttttxa πππ 12000cos106000sin52000cos3)( ++=
GiảiGiải::
Tín hiệu có các tần số:Tín hiệu có các tần số: FF11=1 kHz,=1 kHz, FF22=3 kHz,=3 kHz, FF33=6 kHz=6 kHz
FFMM=max{=max{FF11,, FF22, F, F33}=6 kHz}=6 kHz ⇒⇒ FFNN =2F=2FMM = 12 kHz= 12 kHz

32. 5. Khôi phục lại tín hiệu tương tự5. Khôi phục lại tín hiệu tương tự
Để khôi phục lại tín hiệu tương tựĐể khôi phục lại tín hiệu tương tự xxaa(t)(t) thì phổ của tín hiệuthì phổ của tín hiệu
được khôi phục phải giống với phổ ban đầu củađược khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xxaa(t)(t)..
Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tínVì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín
hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người tahiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta
cho các mẫucho các mẫu xxaa(nT(nTss)) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởngđi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng
trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số:trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số:




≤≤
=
laïicoønsoátaàncaùcôû:
2
f
2
f
-: ss
0
)(
fT
fH s
lp

33. )(
])(sin[
)()()()(
ss
ss
n
salpsaa
nTtF
nTtF
nTxthnTxtx
−
−
=∗= ∑
∞
−∞= π
π
Low pass Filter
hlp(t)
xa(nTs) xa(t)=xa(nTs)*hlp(t)
( )
tf
tf
dfefHdeHth
s
sftj
lp
tj
lplp
π
π
π
π sin
)()(
2
1
)( 2
==ΩΩ= ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
Ω
Công thức nội suy, cho phép khôi phục xa(t) từ xa(nTs)