1. ATGroup Page 1
ÔN TẬP CUỐI KỲ
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
I. Số gần đúng và sai số:
Sai số tương đối:  a
Sai số tuyệt đối:  a =  a . | a |
Số chữ số đáng tin: k  log ( 2 a )
Sai số luôn luôn làm tròn lên (bất kể quá bán hay không).
1 2( , ,..., )ny f x x x
 1 2
1
, ,...,
n
y n i
i i
f
x x x x
x


  
II. Phương pháp trình phi tuyến:
1. Sai số tổng quát:
| '( ) | 0f x m 
| ( *) |
| * |
f x
x x
m
 
2. Phương pháp chia đôi:
1
| |
| * |
2n
b a
x x 

  [a,b]
3. Phương pháp lặp đơn:
[a,b] g (x)
| g’(x) | ≤ q ; 0 ≤ q < 1 : hệ số co ( + x : lấy a , - x : lấy b )
 Sai số:
| xn – x | ≤
q
qn
1
| x1 – x0 | (công thức tiên nghiệm)
=> xác định số lần lặp n
| xn – x | ≤
q
q
1
| xn – xn-1 | (công thức hậu nghiệm)
 Tính sai số và nghiệm:
A = ( q ) B = ( x0 )
C = g (B) :
1
A
A
(C – B) : B = C
 Tính nghiệm:
( x0 ) = g (Ans) =
 Tính số lần lặp:
1 0log
log
nq x x
n
q
    

4. Phương pháp Newton :
 Điều kiện: f ‘(x) ≠ 0 trên [a,b]
f (x) f ’’(x)> 0
f ’(x) f ’’(x) < 0 => x0 = a
f ’(x) f ’’(x) > 0 => x0 = b

2. ATGroup Page 2
 Tổng quát:
xn = xn-1 –
)('
)(
1
1


n
n
xf
xf
| '( ) | 0f x m 
 Tính nghiệm:
( x0 ) = Ans -
( )
'( )
f Ans
f Ans
=
 Tính sai số và nghiệm:
A = ( x0 )
B = A -
( )
'( )
f A
f A
:
( )f B
m
: A = B
III. Phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss:
1. Phương pháp Jacobi:
 Khi n = 3:
A = ( x1
0
) B = ( x2
0
) C = ( x3
0
)
D =
11
1
a ( b1 – a12 B – a13 C ) :
E =
22
1
a ( b2 – a21 A – a23 C ) :
F =
33
1
a ( b3 – a31 A – a32 B ) :
A = D : B = E : C = F
 Sai số:
2. Phương pháp Gauss – Serdel:
 Khi n = 3:
B = ( x2
0
) C = ( x3
0
)
D =
11
1
a ( b1 – a12 B – a13 C ) :
E =
22
1
a ( b2 – a21 D – a23 C ) :
F =
33
1
a ( b3 – a31 D – a32 E ) :
B = E : C = F
( ) ( ) ( 1)|| ||
|| || || ||
1 || ||
m m mT
x x x x
T

  

1312
11 11
2321
22 22
31 32
33 33
0
0
0
aa
a a
aa
T
a a
a a
a a
 
  
 
 
   
 
 
   
 
( ) (1) (0)|| ||
|| || || ||
1 || ||
m
m T
x x x x
T
  


3. ATGroup Page 3
 Sai số: T = (D – L )-1
U . Công thức sai số như trên.
=> (D-L)-1
(bấm máy)
IV. Nhân tử LU:
1 1j ju a 1iil 
21
21
11
a
l
a

31 12
32
11
32
21 12
22
11
a a
a
a
l
a a
a
a



21 12
22 22
11
a a
u a
a
  21 13
23 23
11
a a
u a
a
  31
31
11
a
l
a

31 12 21 13
32 23
11 1131 13
33 33
21 1211
22
11
a a a a
a a
a aa a
u a
a aa a
a
  
   
    

u21 = u31 = u32 = 0
V. Phương pháp Choleski:
11 11b a
2
21
22 22
11
a
b a
a
  21
21
11
a
b
a
 31
31
11
a
b
a

31 21
32
11
32 2
21
22
11
a a
a
a
b
a
a
a
 
 
 

 2 2
33 33 31 32b a b b   12 13 23 0b b b  
VI. Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:
||A||1 : max tổng cột
||A||∞ : max tổng dòng.
k(A) = ||A|| ||A-1
|| : số điều kiện
k càng gần 1 : càng ổn định
k càng xa 1 : càng không ổn định.
VII. Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline:
1. Đa thức nội suy Largrange:
 Bài toán: cần tìm 1 đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa
n = số điểm – 1
11
21 22
31 32 33
0 0
0
a
D L a a
a a a
 
 
   
 
 
12 13
23
0
0 0
0 0 0
a a
U a
  
 
  
 
 

4. ATGroup Page 4
 Lập bảng:
x x0 x1 … xn Dk = tích theo hàng
x0 (x – x0) (x0 – x1) … (x0 – xn) D0
x1 (x1 – x0) (x – x1) … (x1 – xn) D1
… … … … … …
xn (xn – x0) (xn – x1) … (x – xn) Dn
w(x)
w(x) = 

n
k
kxx
0
)(
Ln(x) = w(x) 
n
k k
k
D
y
0
 Sai số:
Mn+1 = |max[f(n+1)
(x)]| ; x[x0, xn]
|f(x) – Ln(x)| ≤
)!1(
1


n
M n
|w(x)|
2. Đa thức nội suy Newton:
 Tổng quát: trường hợp các điểm nút cách đều với bước h:
Δyk = yk+1 – yk
Δp
yk = Δp-1
yk+1 – Δp-1
yk
N(1)
n(x) = y0 +
!1
0y
q +
!2
0
2
y
q(q – 1) +…+
!
0
n
yn

q(q – 1)…(q – n + 1) ;
q =
h
xx 0
(công thức Newton tiến)
N(2)
n(x) = yn +
!1
1 ny
p +
!2
2
2
 ny
p(p + 1) +…+
!
0
n
yn

p(p+1)…(p + n – 1) ;
p =
h
xx n
(công thức Newton lùi)
 Cách làm: lập bảng => N
xk yk Δ Δ2
x0 y0 Δ0= y1 – y0 Δ2
0 = Δ1 – Δ0
x1 y1 Δ1= y2 – y1 …
… … … …
 Chú ý: với cùng 1 bảng số: Ln(x) = N(1)
n(x) = N(2)
n(x) . Tuy nhiên, nếu bảng
số có tăng thêm hay giảm bớt biến, ta chỉ cần thêm hoặc bớt sô hạng cuối
trong Nn(x) thay vì làm lại từ đầu đối với Ln(x).
3. Spline bậc 3 tự nhiên:
 Trường hợp 3 số: 0 0a y 1 1a y

5. ATGroup Page 5
0 2 0c c 
   
 
2 1 1 0
2 1 1 0
1
2 0
3 3
2
y y y y
x x x x
c
x x
 

 


1 0 1 1 0
0
1 0
( )
3
y y c x x
b
x x
 
 

2 1 1 2 1
1
2 1
2 ( )
3
y y c x x
b
x x
 
 

1
0
1 03( )
c
d
x x


1
1
2 13( )
c
d
x x



g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2
+ d0(x-x0)3
x  [x0, x1]
g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2
+ d1(x-x1)3
x  [x1, x2]
VIII. Phương pháp bình phương bé nhất:
1. Tổng quát: cần tìm hàm F(x) “xấp xỉ tốt nhất bảng số đã cho”
g(f) = min))((
1
2

n
k
kk yxF
Điểm dừng:
.........
.........
.........
g
A
g
B
g
C








=> chuyển vế => giải hệ phương trình 3 ẩn (A, B, C)
Cách bấm máy:
Ví dụ: ta cần tính các giá trị: 4
1
n
k
k
x

 2
1
sin
n
k k
k
x y

 2
1
n
k k
k
x y

 2
1
sin
n
k
k
x

 1
sin
n
k k
k
y x


A=A+X4
:B=B+X2
sinY:C=C+X2
Y:D=D+(sinX)2
:E=E+YsinX
CALC
- Lần đầu nhập A, B, C, D, E là 0 để khởi tạo giá trị.
- Khi thấy X? và Y? thì sẽ nhập xk và yk tương ứng.
- Lần 2 bỏ qua khi được hỏi A? B? C? D? E?
2. Cách sử dụng máy tính đối với 1 số hàm:
 Bước 1: chọn chế độ clear all
 shift_9_3 đối với 570ES
 shift_mode_3 đối với 570MS
 Bước 2:
 chọn chế độ STAT : mode 3 đối với 570ES
 chọn chế độ REG : mode_mode_2 đối với 570MS

6. ATGroup Page 6
 Bước 3: chọn dạng của F(x)
Phím ấnDạng F(x)
570ES 570MS
F(x) = A+Bx 2 Lin
F(x) = _+Cx2
= A +B + Cx2
3 Quad
F(x) = ln(A + Bx) 4 Log
F(x) = AeBx
5 Exp
F(x) = A.Bx
6 không có
F(x) =A.xB
7 Pwr
F(x) =
BxA 
1 8 Inv
 Bước 4: nhập bảng giá trị
 nhập vào bảng như trong màn hình đối với 570ES
 nhập xk , yk (dấu , ) M+
cho đến khi hết bảng đối với 570MS
 Bước 5: tính giá trị A, B
 shift_1_7_1(tính A)/2(tính B) đối với 570ES
 shift_2 _►_►_1 (tính A) / 2 (tính B) đối với 570MS
IX. Tính gần đúng đạo hàm:
1. Bảng 2 điểm:
 Sai phân tiến (x0, x0+h)
0 0( ) ( )
'( )
f x h f x
f x
h
 

 Sai phân lùi (x0-h, x0)
0 0( ) ( )
'( )
f x f x h
f x
h
 

 Sai số :
2
2
M h
  2
[ , ]
max ''( )
x a b
M f x


2. Bảng 3 điểm:
 Đạo hàm cấp 1
 Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h)
0 0 03 ( ) 4 ( ) ( 2 )
'( )
2
f x f x h f x h
f x
h
    

 Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h)
0 0( 2 ) ( )
'( )
2
f x h f x
f x
h
 

 Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0)
0 0 0( ) 4 ( ) 3 ( 2 )
'( )
2
f x f x h f x h
f x
h
   

 Sai số :
2
3
6
M h
  3
[ , ]
max '''( )
x a b
M f x



7. ATGroup Page 7
 Đạo hàm cấp 2
0 0 0
2
( ) 2 ( ) ( )
''( )
f x h f x f x h
f x
h
   

Sai số:
2
4
12
M h
  (4)
4
[ , ]
max ( )
x a b
M f x


X. Công thức hình thang (xấp xỉ tích phân):
 Bài toán cần xấp xỉ tích phân 
b
a
dxxfI )(
 Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia
b a
h
n

 . Ta
có công thức sau:
0 1 2 1[ 2( ... ) ]
2
n n
h
I y y y y y     
 Sai số:
2
2
( )
12
M h
b a   2
[ , ]
max ''( )
x a b
M f x


XI. Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân):
 Bài toán: cần xấp xỉ tích phân 
b
a
dxxfI )(
 Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n = 2m đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia
m
ab
h
2

 . Ta có công thức sau:
0 1 3 2 1 2 4 2 2 2[ 4( ... ) 2( ... ) ]
3
m m m
h
I y y y y y y y y          
 Sai số:
4
4
( )
180
M h
b a   )(max )4(
],[
4 xfM
bax

XII. Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ:
1. Bài toán: tìm yk và sai số.
 
0 0
' ( , )
,
( )
y f x y
x a b
y x y

 

2. Công thức Euler:
1 ( , )k k k ky y hf x y  
b a
h
n


Có nghiệm chính xác là ( )ky x .

8. ATGroup Page 8
Khi đó sai số : | ( ) |k ky x y
Bấm máy:
A = (x0) B = (y0)
y(xkA) – B : B = B + h y’(A, B) : A = A + h
3. Công thức Euler cải tiến:
 1 1 2
1
2
k ky y k k   
b a
h
n


 1 ,k kk hf x y  2 1,k kk hf x h y k  
Có nghiệm chính xác là ( )ky x .
Khi đó sai số : | ( ) |k ky x y
Bấm máy nghiệm và sai số:
A = (x0) B = (y0)
y(xkA) – B : C = h y’(A, B) : D = h y’(A+h, B+C) : B = B +
1
2
(C+D) : A = A + h
Trường hợp:  
0 0 0 0
''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )
,
( ) '( ) '
x t f t x t g t x t h t
t a b
x t x x t x
  
 
 
Cách giải:
0 0
0 0
( ) ( ) '( )
'( ) '( ) ''( )
x t x t hx t
x t x t hx t
 

 
XIII. Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1
Cách giải: Trường hợp xấp xỉ tại x1 = x0 + h ( n = 1)
 
 
 
1 0 0
1
2 0 0
2
3 0 0
4 0 0 3
0 1 0 1 2 3 4
,
,
2 2
,
2 2
,
1
( ) 2 2
6
K hf x y
Kh
K hf x y
Kh
K hf x y
K hf x h y K
y x h y y K K K K


       

  
    
 
   


      

Cách bấm máy:
 Tính K1:
A = hf(X, Y) CALC X? (nhập x0) = Y? (nhập y0) =
 Tính K2:
► thay A bằng B CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+A/2) =
 Tính K3:
► thay B bằng C CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+B/2) =
 Tính K4:
► thay C bằng D CALC X? (nhập x0+h) = Y? (nhập y0+C) =
 Tính y1:
y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D) =

9. ATGroup Page 9
XIV. Bài toán biên tuyến tính cấp 2:
1. Bài toán: tìm hàm y = y(x):





bxabyay
xfxyxrxyxqxyxp
;)(;)(
)()()()(')()('')(

2. Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn
 Đặt y(x0) = y(a) = α = y0
y(xn) = y(b) = β = yn
pk = p(xk); qk = q(xk); rk = r(xk); fk = f(xk)
 Công thức:
1 12 2 2
2
2 2
k k k k k
k k k k k
p q p p q
y r y y f
h h h h h
 
     
          
     
Giải hệ phương trình tìm ra các giá trị y1,…..,yn-1
XV. Phương trình Elliptic:
1. Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định trên miền D





dyc
bxa
thỏa:
















)(),();(),(
)(),();(),(
),(),(
21
21
2
2
2
2
xdxuxcxu
yybuyyau
Dyxyxf
y
u
x
u


2. Cách giải: chia đều đoạn [a,b] thành n đoạn với
x
b a
n



chia đều đoạn [c,d] thành m đoạn với
y
b a
m



 Đặt uij là giá trị xấp xỉ của hàm u(xi, yj): uij u(xi, yj) 0, ; 0,i n j m   
 Công thức tổng quát:
1, , 1, , 1 , , 1
2 2
2 2
1, 1; 1, 1
i j i j i j i j i j i j
ij
x y
u u u u u u
f
h h
i n j m
      
 


   
 Trường hợp ∆x = ∆y = h
2
, 1, 1, , 1 , 14
1, 1; 1, 1
i j i j i j i j i j iju u u u u h f
i n j m
   
     

   
Giải hệ tính được giá trị của các ui,j.
XVI. Phương trình Parabolic:
1. Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x là biến không gian; t là biến thời gian xác định
trong miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa

10. ATGroup Page 10
2
2
2
1 2
( , ) ( , )
( , ) ( ); ( , ) ( ) 0
( ,0) ( ) [ , ]
u u
f x t x t D
t x
u a t t u b t t t
u x x x a b

 

 
     
   
   


2. Cách giải: chia đều [a,b] thành n đoạn với
x
b a
n



chọn bước thời gian 0;t j tt j   
đặt uij = u(xi, tj); fij = f(xi, tj);
2
2
t
x





 Sơ đồ hiện:
, 1 1, , 1,(1 2 )
0,1,2,.....; 1,2,..., 1
i j i j i j i j t iju u u u f
j i n
         

  
 Sơ đồ ẩn:
1, , 1, , 1(1 2 )
1,2,...; 1,2,..., 1
i j i j i j t ij i ju u u f u
j i n
          

  
 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j
XVII. Các đạo hàm cấp cao (phụ lục):
  
   
 
( 1)
( ) 1 1 !
ln
n n
n
n
n a
f ax b
ax b

 
 

 
 
( )
1
1 !1
n n
n
n
a n
f
ax b ax b

 
 
  
 ( )
sin sin
2
n n
f ax a ax n
 
  
 
   
1
( ) 1 1 1 1
1 2 ... 1
nn kk kf ax b n a ax b
k k k k
 
 
 
    
          
    