1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNG
Phương pháp 1: H s b t ñ nh.
Nguyên t c chung:
+) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c
f(x) = ax2+ bx + c.
+) ð ng nh t h s ñ tìm f(x).
+) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y ) + x ) = xy + f ( x ) ∀x, y ∈ R (1) .
L i gi i:
x = 1
Thay  vào (18) ta ñư c: f ( f ( y ) + 1) = y + f (1) ( a ) .
y∈R
( )
Thay y = − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f f ( − f (1) − 1) + 1 = −1 . ð t a = f ( − f (1) − 1) + 1 ta
ñư c: f ( a ) = −1 .
y = a
Ch n  ta ñư c: f ( x f ( a ) + x ) = xa + f ( x ) ⇒ xa + f ( x ) = f ( 0 ) .
x ∈ R
ð t f ( 0 ) = b ⇒ f ( x ) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c:
a = 1
a 2 = 1   f ( x) = x
 ⇒   a = −1 ⇒ 
 .
− a b − a = −a   f ( x) = −x

b = 0
V y có hai hàm s c n tìm là f ( x ) = x và f ( x ) = − x .
Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x ) + y ) = y f ( x − f ( y ) ) ∀x, y ∈ R ( 2 ) .
L i gi i:
Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x ) ) = 0 ∀x ∈ R ( a ) .
( )
Cho x = f ( y ) : (2) ⇒ f f ( f ( y ) ) + y = y f ( 0 ) ( a ' ) .
( a ) + ( a' ) ⇒ f ( y ) = y f ( 0) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( y ) = ay ∀y ∈ R . Th l i (2) ta ñư c:
a 2 ( x 2 + y 2 ) + a ( y − x y ) = 0 ∀x, y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x ) = 0 ∀x ∈ R . V y có duy nh t hàm s
f ( x ) = 0 th a mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn:
2 f ( x ) − g ( x ) = f ( y ) − y ∀x, y ∈ R
 (a)
 .
 f ( x) g ( x) ≥ x +1
 ∀x ∈ R (b )
L i gi i:
Cho x = y ∈ R khi ñó ( a ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) − x .Thay l i (a) ta ñư c:
1

2. g ( x ) = 2 x − 2 y + g ( y ) ∀x, y ∈ R (c).
Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x ) = 2 x + g ( 0 ) . ð t g ( 0 ) = a ta ñư c:
g ( x ) = 2 x + a , f ( x ) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c:
2 x + a = 2 x + a

(a), (b) ⇔  ( ∀x ∈ R ) ⇔ 2 x 2 + ( 3a − 1) x + a 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R
(
 x + a )( 2 x + a ) ≥ x + 1
2
⇔ ( a − 3) ≤ 0 ⇔ a = 3 . V y f ( x ) = x + 3 ; g ( x ) = 2 x + 3 .
Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n:
2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ (1). Tìm f(x).
L i gi i:
Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2.
V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c.
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ℝ do ñó:
3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ℝ
 1
a = 3
3a = 1 
  2
ð ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b =
a + b + 3c = 0  3
  1
c = − 3

1
V y: f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1)
3
Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Do f(x) không trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ ℝ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) .
Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ℝ
Thay x b i x0 ta ñư c: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2
Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2
1
T hai h th c này ta ñư c: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 )
3
ði u này mâu thu n v i g ( x0 ) ≠ f ( x0 )
1
V y phương trình có nghi m duy nh t là f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1)
3
2

3. Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các
hàm s tìm ñư c.
Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n:
f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝ
Hãy tìm hai hàm s như th .
L i gi i:
Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1).
V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm
có d ng: f(x) = ax + b.
Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ ℝ
 
a 2 − a = 1 a = 1 + 5 a = 1 − 5 1± 5
ñ ng nh t h s ta ñư c:  ⇔ 2 ∨ 2 ⇒ f ( x) = x.
ab = 0 b = 0 b = 0 2
 
Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dành
cho ngư i ñ c).
Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
a ) f ( f ( n)) = n, ∀n ∈ ℤ (1)
b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ ℤ (2)
c) f (0) = 1 (3)
Tìm giá tr f(1995), f(-2007).
L i gi i:
Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b.
Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ ℤ
a 2 = 1 a = 1 a = −1
ð ng nh t các h s , ta ñư c:  ⇔ ∨
ab + b = 0 b = 0 b = 0
a = 1
V i  ta ñư c f(n) = n. Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2).
b = 0
a = −1
V i  ta ñư c f(n) = -n + b. T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1.
b = 0
V y f(n) = -n + 1.
Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán.
T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0.
S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ℤ .
3

4. do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ℤ .
Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f (n0 ) ≠ g (n0 )
Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có:
g (n0 − 2) = g (n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2)
⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2)
Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5).
V y f(n) = g(n), ∀n ∈ ℕ
Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm.
V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t.
T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007).
BÀI T P
Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ℝ → ℝ th a mãn ñi u ki n:
f ( x + y ) + f ( x − y ) − 2 f ( x) f (1 + y ) = 2 xy (3 y − x 2 ), ∀x, y ∈ ℝ .
ðáp s : f(x) = x3.
Bài 2: Hàm s f : ℕ → ℕ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ℕ. Tìm f(2005).
ðáp s : 2006.
Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ℕ → ℕ sao cho: f ( f (n)) + ( f (n))2 = n 2 + 3n + 3, ∀n ∈ ℕ.
ðáp s : f(n) = n + 1.
 x −1   1− x  8  2 
Bài 4: Tìm các hàm f : ℝ → ℝ n u: 3 f  −5f  = , ∀x ∉ 0, − ,1, 2 
 3x + 2   x − 2  x −1  3 
28 x + 4
ðáp s : f ( x) =
5x
Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ ℝ [ x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y),
∀x , y ∈ ℝ
ðáp s : P(x) = x3 + cx.
Phương pháp 2: phương pháp th .
2.1. Th n t o PTH m i:
 2x +1 
Ví d 1: Tìm f: R{2} → R th a mãn: f   = x + 2 x ∀x ≠ 1 (1) .
2
 x −1 
 2x +1 
L i gi i: ð t t =   ⇒ MGT t = R {2} (t p xác ñ nh c a f). Ta ñư c:
 x −1  x ≠1
t +1 3t 2 − 3
x= th vào (1): f (t ) = 2
∀t ≠ 2 . Th l i th y ñúng.
t−2 (t − 2)
4

5. 3x 2 − 3
V y hàm s c n tìm có d ng f ( x) = 2
.
( x − 2)
Nh n xét:
+ Khi ñ t t, c n ki m tra gi thi t MGT t ⊃ D . V i gi thi t ñó m i ñ m b o tính ch t: “Khi
x∈Dx
t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t cũng ch y kh p t p xác ñ nh c a f”.
 3x 2 − 3
 2 ( x ≠ 2)
+ Trong ví d 1, n u f: R → R thì có vô s hàm f d ng: f ( x) =  ( x − 2 ) (v i a∈R

a ( x = 2)
tùy ý).
Ví d 2: Tìm hàm f : ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] → R th a mãn:
f ( x − x 2 − 1) = x + x 2 − 1 ∀ x ≥ 1 ( 2 ) .
x − t ≥ 0

L i gi i: ð t t = x − x 2 − 1 ⇔ x 2 − 1 = x − t ⇔  2 2
x −1 = ( x − t )

x ≥ t
x ≥ t  t2 +1 t ≤ −1
⇔ 2 2 2
⇔ 2
t +1 . H có nghi m x ⇔ ≥t ⇔ 
 x − 1 = x − 2 xt + t x = 2t 0 < t ≤ 1
 2t
⇒ t ∈ ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] . V y MGT t = D = ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] .
x ≥1
1 1
V i t = x − x 2 − 1 thì x + x 2 − 1 = ⇒ f (t ) = th a mãn (2).
t t
1
V y f ( x) = là hàm s c n tìm.
x
2   3x − 1  x + 1
Ví d 3: Tìm f : R  ;3 → R th a mãn: f  = ∀x ≠ 1, x ≠ −2 ( 3) .
3   x + 2  x −1
3x − 1 2  2t + 1 t+4
L i gi i: ð t t = ⇒ MGT t = R  ;3 ⇒ x = th vào (4) ta ñư c: f (t ) =
x+2 ( x ≠2)
x ≠1
3  3−t 3t − 2
x+4
th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f ( x) = .
3x − 2
Ví d 4: Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:
x f ( x f ( y )) = f ( f ( y )) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (4) .
L i gi i:
Cho y = 1, x ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: x f ( x f (1)) = f ( f (1)) .
1 1
Cho x = ta ñư c: f ( f (1) = 1⇒ x f ( x f (1)) = 1 ⇒ f ( x f (1)) = . ð t:
f (1) x
5

6. f (1) a
t = x. f (1) ⇒ f (t ) = ⇒ f (t ) = (v i a = f (1) ). Vì f (1) ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ MGT t = ( 0; + ∞ ) .
t t x∈( 0; +∞ )
a a
V y f ( x) = . Th l i th y ñúng ( a > 0 ) . Hàm s c n tìm là: f ( x) = v i ( a > 0 ) .
x x
Ví d 5: Tìm hàm f: ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:
1 3 3
f (1) = ; f ( xy ) = f ( x). f   + f ( y ). f   ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) ( 5 ) .
2  y x
L i gi i:
1
Cho x = 1; y = 3 ta ñư c: f ( 3) = .
2
3
Cho x = 1; y ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: f ( y ) = f   . Th l i (5) ta ñư c:
 y
3
f ( xy ) = 2 f ( x) f ( y ) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (5') . Thay y b i ta ñư c:
x
2
3 1 2
f ( 3) = 2 f ( x )) f   ⇒   = ( f ( x ) ) . Th l i th y ñúng.
x 2
1
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = ∀x > 0 .
2
Ví d 6: Tìm hàm f: R → R th a mãn:
( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy ( x 2 + y 2 ) ∀x, y ∈ R ( 6) .
L i gi i: Ta có:
( 6) ⇔ ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) =
1 2 1 2
= ( x + y ) − ( x − y )  + ( x + y ) + ( x − y )   ( x + y ) + ( x − y )  −  ( x + y ) − ( x − y )  
    4  4 
 
u = x − y 1
ð t 
v = x + y
2
(
ta ñư c: v f ( u ) − u f ( v ) = ( u + v )( u − v ) ( u + v ) − ( u − v )
4
2
)
⇒ v f ( u ) − u f ( v ) = u 3v − v 3u ⇔ v ( f ( u ) − u 3 ) = u ( f ( v ) − v3 )
+ V i uv ≠ 0 ta có:
f ( u ) − u 3 f ( v ) − v3 f (u ) − u3
= ∀u , v ∈ R* ⇒ = a ⇒ f ( u ) = au + u 3 ∀u ≠ 0 .
u v u
+ V i u = 0; v ≠ 0 suy ra: f ( u ) − u 3 = 0 ⇔ f ( u ) = u 3 ⇒ f ( 0 ) = 0 .
Hàm f ( u ) = au + u 3 th a mãn f ( 0 ) = 0 . V y f ( u ) = au + u 3 ∀u ∈ R
Hàm s c n tìm là: f ( x ) = ax + x3 ( a ∈ R ) . Th l i th y ñúng.
2.2. Th n t o ra h PTH m i:
6

7. Ví d 1: Tìm hàm f: R → R th a mãn: f ( x ) + x f ( − x ) = x + 1 ∀x ∈ R (1) .
L i gi i:
ð t t = − x ta ñư c: f ( −t ) − t f ( t ) = −t + 1 ∀t ∈ R (1) . Ta có h :
 f ( x) + x f (−x) = x +1

 ⇒ f ( x ) = 1 . Th l i hàm s c n tìm là: f ( x ) = 1 .
− x f ( x ) + f ( − x ) = − x + 1

 x −1 
Ví d 2: Tìm hàm s f : R { 0,1 } → R Th a mãn: f ( x ) + f   = 1 + x ∀x ∈ R
*
( 2) .
 x 
x −1
L i gi i: ð t x1 = , ( 2 ) ⇔ f ( x ) + f ( x1 ) = 1 + x .
x
x1 − 1 1
ð t x2 = = , ( 2 ) ⇔ f ( x1 ) + f ( x2 ) = 1 + x1 .
x1 x −1
x2 − 1
ð t x3 = = x, ( 2 ) ⇔ f ( x2 ) + f ( x ) = 1 + x2 .
x2
 f ( x1 ) + f ( x ) = 1 + x
 1 + x − x1 + x2 1  1 1 
Ta có h  f ( x2 ) + f ( x1 ) = 1 + x1 ⇒ f ( x ) = = x+ +  . Th l i th y
 2 2 x 1− x 
 f ( x ) + f ( x2 ) = 1 + x2
1 1 1 
ñúng. V y hàm s c n tìm có d ng: f ( x ) =  x + + .
2 x 1− x 
 x −1 
Ví d 3: Tìm hàm s f : R { − 1;0;1 } → R th a mãn: x f ( x ) + 2 f   = 1 ∀x ≠ −1 ( 3) .
 x +1 
L i gi i:
x −1
ð t x1 = , ( 3) ⇒ x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1 .
x +1
x1 − 1 1
ð t x2 = = − , ( 3) ⇒ x 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 .
x1 + 1 x
x2 − 1 x + 1
ð t x3 = = , ( 3) ⇒ x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 .
x2 + 1 x − 1
x3 − 1
ð t x4 = = x , ( 3) ⇒ x3 f ( x3 ) + 2 f ( x ) = 1 .
x3 + 1
 x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1

 x1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 4 x2 − x + 1
Ta có h  ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.
 x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 5 x ( x − 1)
x f x + 2 f x = 1
 3 ( 3) ( )
7

8. 4 x2 − x + 1
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = .
5 x ( x − 1)
BÀI T P
 1
1) Tìm f : R { 1 } → R th a mãn: f  1 +  = x 2 + 1 ∀x ∈ R .
 x
 a  b − ax  x2 a
2) Tìm f : R  −  → R th a mãn: f  = 4 ∀x ≠ − (a, b là h ng s cho
 b  bx + a  x + 1 b
trư c và ab ≠ 0 ).
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 2002 x − f ( 0 ) ) = 2002 x 2 ∀x ∈ R .
1  1 
4) Tìm f : R { 0 } → R th a mãn: f ( x ) + f  = 1 ∀x ∈ R { 0;1} .
2x  1 − x 
1− x 
5) Tìm f : R { ± 1; 0} → R th a mãn: ( f ( x ) ) f   = 64 x ∀x ∈ R {−1} .
 1+ x 
2  2x  2
6) Tìm f : R   → R th a mãn: 2 f ( x ) + f  = 996 x ∀x ≠ .
3  3x − 2  3
 x −3  x+3
7) Tìm f : R { ± 1 } → R th a mãn: f  + f  = x ∀x ≠ ±1 .
 x +1   1− x 
8) Tìm f : R → R th a mãn: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 ∀x ∈ R .
1
9) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f   = x 2008 ∀x ∈ R* .
x
 1  x −1  1
10) Tìm f : R ±  → R th a mãn: f ( x ) + f   = x ∀x ≠ .
 3  1 − 3x  3
 a2 
11) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f   = x ∀x ≠ a ( a > 0) .
a−x
f ( 2 x + 1) + 2 g ( 2 x + 1) = 2 x

12) Tìm f , g : R { 1 } → R th a mãn:   x   x  ∀x ≠ 1 .
f  + g =x
  x −1   x −1 
Phương pháp 3: Phương pháp chuy n qua gi i h n.
 2 x  3x
Ví d 1: Tìm hàm s f : R → R liên t c, th a mãn: f ( x ) + f   = ∀x ∈ R (1) .
 3  5
L i gi i:
2x 3
ð t x1 = ; (1) ⇒ f ( x ) + f ( x1 ) = x .
3 5
2 x1 3
ð t x2 = ; (1) ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) = x1 .
3 5
8

9. 2 xn 3
ð t xn +1 = , n ∈ N * ; (1) ⇒ f ( xn ) + f ( xn +1 ) = xn .
3 5
 3
 f ( x ) + f ( x1 ) = 5 x (1)

 f (x )+ f (x ) = 3 x
 ( 2)
1 2 1
Ta có h  5
……

f x + f x 3
 ( n ) ( n+1 ) = xn ( n + 1)
 5
Nhân dòng phương trình th (i) v i (-1)i+1 r i c ng l i ta ñư c:
3  2  2  2 
2 n
n+2
f ( x ) + ( −1) f ( xn +1 ) = x 1 − +   − ⋯ +  −   ( *) .
5  3  3
  3  
( f l.tôc )
Xét lim ( −1) f ( xn +1 )  = lim  f ( xn +1 )  =
n+ 2
  f ( lim xn +1 ) = f ( 0 ) .
 
n+ 2
M t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim ( −1) f ( xn +1 ) = 0 .
3 1 9x
L y gi i h n hai v c a (*) ta ñư c: f ( x ) = x = . Th l i th y ñúng.
5 1 + 2 25
3
9x
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = .
25
Ví d 2: Tìm hàm s f liên t c t i xo= 0 th a mãn:
f : R → R và 2 f ( 2 x ) = f ( x ) + x ∀x ∈ R ( 2) .
L i gi i:
t t
ð t t = 2 x ta ñư c: 2 f ( t ) = f   + ∀t ∈ R ( 2' ) .
2 2
 1 *
tn +1 = 2 tn , ∀n ∈ N

Xét dãy:  . Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñư c:
t = 1 t
1 2

 1 1
 f ( t ) = 2 f ( t1 ) + 4 t (1)

 f (t ) = 1 f (t ) + 1 t
 1 ( 2 ) . Th
 2
2
4
1
(n) vào ( n − 1) → ( n − 2 ) → ⋯ ta ñư c:
⋯⋯

f t 1 1
 ( n −1 ) 2 ( n ) 4 n −1 (n)
= f t + t

1 1 1 1
f (t ) =
2 n
f ( tn ) + n +1 f ( tn −1 ) + n f ( tn − 2 ) + ⋯ + 2 t
2 2 2
(* ) .
'
9

10. n
1 1  1 1 1 
Thay tn =   t vào (*’) ta ñư c: f ( t ) = n f ( tn ) + t  2 + 4 + ⋯ + 2 n 
2 2 2 2 2 
(* ) .
"
 1  t
Vì f liên t c t i xo = 0 nên lim  n f ( tn )  = 0 . L y gi i h n 2 v (*”) suy ra: f ( t ) = . Th
2  3
l i th y ñúng.
Nh n xét:
+) N u dãy {xn} tu n hoàn thì ta gi i theo phương pháp th r i quy v h pt hàm.
+) N u dãy {xn} không tu n hoàn nhưng f liên t c t i xo = 0 và {xn} → 0 thì s d ng
gi i h n như VD1.
+ N u {xn} không tu n hoàn, không có gi i h n thì ph i ñ i bi n ñ có dãy {tn} có
gi i h n 0 và làm như ví d 1.
BÀI T P
1) Tìm f : R → R th a mãn:
a) f liên t c t i xo = 0,
b) n f ( nx ) = f ( x ) + nx ∀n ∈ N , n ≥ 2; ∀x ∈ R .
 x  10
2) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: f ( 3 x ) + f   = x .
3 3
3) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn:
m f ( mx ) − n f ( nx ) = ( m + n ) x ∀m, n ∈ N * , m ≠ n , ∀x ∈ R .
Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr .
+) ðây là phương pháp cơ s c a m i phương pháp khác.
+) Khi v n d ng phương pháp c n chú ý s d ng k t qu v a có ñư c.
( a ) f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R

Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn:  .
( b ) f ( x + y ) ≥ f ( x ) + f ( y ) ∀x, y ∈ R

L i gi i:
x = 0  f ( 0) ≥ 0

Cho  suy ra  ⇒ f (0) = 0 .
y = 0  f ( 0) ≥ 2 f ( 0)

 f ( 0) ≥ f ( x ) + f ( − x )  f ( x) + f ( − x ) ≤ 0
 
Cho y = − x ⇒  ⇒
 f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0
  f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0

⇒ f ( x ) = f ( − x ) = 0 ∀x ∈ R . V y f ( x ) = 0 . Th l i th y ñúng.
Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn:
1 1 1
f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ ∀x, y, z ∈ R ( 2) .
2 2 4
L i gi i:
10

11. 2
2 1  1 1
Cho x = z , y = 1 ta ñư c: f ( x ) − ( f ( x ) ) ≥ ⇔  f ( x ) −  ≤ 0 ⇔ f ( x ) = . Th l i th y
4  2 2
ñúng.
Ví d 3: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ∀x ∈ R ( 3) .
y∈R
L i gi i: ( 3) ⇒ f ( x ) ≥ xy − f ( y ) ∀x, y ∈ R .
t2
Cho x = y = t ∈ R ⇒ f ( t ) = ∀t ∈ R (a) .
2
T (a) suy ra:
y2 x2 1 2 x2 x2
xy − f ( y ) ≤ xy − = − ( x − y) ≤ ⇒ f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ≤ ∀x ∈ R (b )
2 2 2 2 y∈R 2
x2
( a ) + (b) ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.
2
Ví d 4: Tìm f : R → R th a mãn:
f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) ≥ 2008x + y ∀x, y ∈ R ( 4) .
L i gi i:
2
Cho x = y = 0 ⇒ f ( 0 ) ≥ ( f ( 0 ) ) ≥ 1 ⇒ f ( 0 ) = 1 .
Cho
1
x = − y ∈ R ⇒ 1 = f ( 0 ) ≥ f ( x ) f ( − x ) ≥ 1⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1⇒ f ( x ) = ∀x ∈ R (a) .
f ( −x)
 f ( x ) ≥ 2008 x > 0

Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) ≥ 2008 ⇒  x
(b) .
 f ( − x ) ≥ 2008 > 0
−x

1 1
Theo ( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = ≤ = 2008x ( c ) . ( b ) + ( c ) ⇒ f ( x ) = 2008x . Th l i
f ( − x ) 2008− x
th y ñúng.
Ví d 5: Tìm f : [ a; b ] → [ a ; b ] th a mãn:
f ( x ) − f ( y ) ≥ x − y ∀x, y ∈ [ a ; b ] (a < b cho trư c) (5).
L i gi i:
Cho x = a ; y = b ⇒ f ( a ) − f ( b ) ≥ a − b = b − a ( a ) .
vì f ( a ) , f ( b )∈ [ a ; b ] nên f ( a ) − f ( b ) ≤ a − b = b − a ( b ) .
11

12.  f
 (a) = a

 f (b) = b
( a ) + ( b ) ⇒ f ( a ) − f ( b ) = b − a ⇔  .

 f (a) = b
 f

 (b) = a
 f (a) = a

+) N u  thì:
 f (b) = b

Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≤ x ( c ) .
Ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≥ x ( d ) .
(c) + (d ) ⇒ f ( x) = x .
 f (a) = b

+) N u  thì:
 f (b) = a

Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] r i ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] như trên ta ñư c: f ( x ) = a + b − x . Th
l i th y ñúng.
Nh n xét:
+) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nói chung là tìm các giá tr ñ c bi t – có
th tính ñư c trư c. Sau ñó t o ra các BðT “ngư c nhau” v hàm s c n tìm ñ ñưa ra k t
lu n v hàm s .
+) Vi c ch n các trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”. T c là cái ch n sau ph i
d a vào cái ch n trư c nó và th các kh năng có th s d ng k t qu v a có ñư c.
Ví d 6: Tìm f : R → R th a mãn:
 π 
 f ( 0 ) = a ; f   = b ( a, b cho tr−íc )
 2 (6) .
 f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) cos y ∀x, y ∈ R

L i gi i:
π  π  π
Cho y = ; x ∈ R ta ñư c: f  x +  + f  x −  = 0 (a) .
2  2  2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y ) + f ( − y ) = 2a cos y (b) .
π π  π 
Cho x = ; y ∈ R ta ñư c: f  + y  + f  − y  = 2b cos y (c) .
2 2  2 
12

13.   π  π
f x+ + f x− =0
  2  2
  π π   π
( a ) + (b) + ( c ) ⇒  f x− + f  − x  = 2a cos  x −  .
  2 2   2
  π π 
f  x +  + f  − x  = 2b cos x
  2 2 
Gi i h ta ñư c: f ( x ) = a cos x + b sin x . Th l i th y ñúng.
Ví d 7: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + sin x sin y ∀x, y ∈ R (7) .
L i gi i: Ta th y f ( x ) = cos x là m t hàm s th a mãn.
2  f (0) = 0
Cho x = y = 0 ⇔ ( f ( 0 ) ) = f ( 0 ) ⇔  .
 f (0) = 1

N u f ( 0 ) = 0 thì: Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) = − f ( 0 ) = 0 ∀x ∈ R . Th l i ta ñư c:
sin x sin y = 0 ∀x, y ∈ R ⇒ vô lý. V y f ( x ) = 0 không là nghi m (7).
N u f ( 0 ) = 1 thì cho
x = − y ⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1 + ( − sin 2 x ) = cos 2 x ⇒ f ( x ) f ( − x ) = cos 2 x ( a ) .
 π 
f  =0
π 2
Cho x = ⇒  .
2   π
f −  = 0
  2
π  π
N u f   = 0 thì: Cho x = ; y ∈ R th vào (7) suy ra:
2 2
 π
f  y +  + sin y = 0 ⇒ f ( y ) = cos y ∀y ∈ R . Th l i th y ñúng.
 2
 π
N u f  −  = 0 tương t như trên ta ñư c: f ( y ) = cos y ∀y ∈ R .
 2
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = cos x .
Ví d 8: Tìm f , g : R → R th a mãn: f ( x ) − f ( y ) = cos ( x + y ) g ( x − y ) ∀x, y ∈ R ( 8) .
L i gi i:
π π  π 
Ch n x = − y; y∈ R (8) ⇒ f  − y  − f ( y) = 0 ⇔ f  − y  = f ( y) (a) .
2  2   2 
π π  π 
Ch n x = + y ; y ∈ R ( 8 ) ⇒ f  + y  − f ( y ) = − sin 2 y.g   ( b ) .
2 2  2
13

14. π  π  π 
( a ) + (b) ⇒ f  + y− f  − y  = − sin 2 y. g   ( c ) .
2  2  2
π  π 
Theo (8): f  + y  − f  − y  = − g (2y) (d ) .
2  2 
( c ) + ( d ) ⇒ g ( 2 y ) = sin 2 y. g 
π
  ∀y ∈ R ⇒ g ( 2 x ) = a sin 2 x ⇒ g ( x ) = a sin x ∀x ∈ R .
2
π 
(v i a = g   cho trư c.)
2
a
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) − f ( 0 ) = cos x. g ( x ) ⇒ f ( x ) = sin 2 x + b (b = f ( 0 )) , ∀x ∈ R .
2
 a
 f ( x ) = sin 2 x + b
Th l i 2 hàm s :  2 (V i a, b là h ng s cho trư c). Th a mãn (8).
 g ( x ) = a sin x


f ( − x ) = − f ( x ) ∀x ∈ R ( a )


Ví d 9: Tìm f : R → R th a mãn:  f ( x + 1) = f ( x ) + 1 ∀x ∈ R ( b ) .

f  1  f ( x)
   = 2 ∀x ≠ 0 ( c )
  x x
L i gi i:
 x +1 
Ta tính f   ñ n f ( x ) theo hai cách:
 x 
 x +1   1 1 f ( x)
f  = f 1 +  = 1 + f   = 1 + 2 ∀x ≠ 0 ( a ) .
 x   x x x
 x   1 
f  f 1 −  2
 x +1  x +1   x +1    1 
= 
x +1
f  2
=  2
=  1 + f −  =
 x   x   x   x    x +1 
   
 x +1  x +1 
 x +1
2
   1     x +1 
2
 f ( x + 1) 
=  1 +  − f   =   1 − =
 x     x +1    x   ( x + 1) 
2
 
 x +1 
2
 1+ f ( x) 
  1 −  ∀x ≠ 0, x ≠ 1 ( b ) .
 x   ( x + 1) 
2
 
( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = x ∀x ≠ 0; x ≠ 1 .
V i x = 0; ( a ) ⇒ f ( 0 ) = 0 th a mãn f ( x ) = x .
V i x = 1; ( a ) ⇒ f ( −1) = − f (1) :
Cho x = 0; ( b ) ⇒ f (1) = 1 ⇒ f ( −1) = −1 th a mãn f ( x ) = x .
14

15. V y f ( x ) = x ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng .
Ví d 10: Tìm f : R { 0 } → R th a mãn:
 f (1) = 1 ( a )

  1  1 1
f   = f   . f   ∀x, y ≠ 0 ( b ) .
  x+ y x  y
( x + y ) f ( x + y ) = xy f ( x ) f ( y ) ∀x, y tháa m n xy ( x + y ) ≠ 0 ( c )

L i gi i:
 1  1
Cho x = y ∈ R* , ( b ) ta ñư c: f   = 2 f   ⇒ f ( x ) = 2 f ( 2 x ) ∀x ≠ 0 (*)
 2x   x
2 2
Cho x = y ∈ R* , ( c ) ta ñư c: 2 x f ( 2 x ) = x 2 ( f ( x ) ) ⇔ 2 f ( 2 x ) = x ( f ( x ) ) ∀x ≠ 0 (*' ) .
2
Th (*) vào (*’) suy ra: f ( x ) = x ( f ( x ) ) (* ) .
"
Gi s : ∃ xo ≠ 1, xo ∈ R* sao cho: f(xo) = 0. Thay x = 1 − xo ; y = xo vào (*”) ta ñư c: f(1) = 0
trái v i gi thi t f(1) = 1. V y f ( x ) ≠ 0 ∀x ≠ 1; x ≠ 0 .
1
Vì f (1) = 1 ≠ 0 nên t (*”) suy ra f ( x ) = ∀x ≠ 0 . Th l i th y ñúng.
x
Ví d 11: Tìm f : R → R th a mãn:

f (1) = 1 ( a )


f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy ∀x, y ∈ R ( b ) .

f  1  f ( x)
   = 4 ∀x ≠ 0 ( c )
 x x
L i gi i:
Cho x = y = 0, ( b ) ⇔ f ( 0 ) = 0
Cho x = y = t ≠ 0, ( b ) ⇔ f ( 2t ) − 2 f ( t ) = 2t 2 (1) .
1 1 1 1
Cho x = y = , (b) ⇔ f   − 2 f   = 2 ( *)
2t t  2t  2t
1  f (t )  1  f ( 2t ) f (t ) f ( 2t )
(c) ⇒ f 
1
T  = 4 ; f  = 4
. Th vào (*) ta ñư c: 4 − 2 4
= 2 ( 2) .
t  t  2t  ( 2t ) t ( 2t ) 2t
(1) + ( 2 ) ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ≠ 0 . T f ( 0 ) = 0 ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ∈ R . Th l i th y ñúng.
Ví d 12: Cho hàm s f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:
 f ( x) 
f  = y f ( y ) f ( f ( x ) ) ∀x, y ∈( 0; + ∞ ) (12 ) .
 y 
15

16. L i gi i: Cho:
x = y = 1 ⇒ f ( f (1) ) = f (1) . f ( f (1) ) ⇒ f (1) = 1 vì f ( f (1) ) ≠ 0 ⇒ f ( f (1) ) = 1 .
1
f 
 f (1)   y a .
x = 1; y ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ f   = y f ( y ) f ( f (1) ) = y f ( y ) ⇔ f ( y ) = ( )
 y  y
M t
 1   
 f    f ( y) 
  1 
khác: f ( f ( y ) ) = f     = y f ( y ) f  f    = y f ( y ) f ( y f ( y ) ) = y f ( y )
y
f 
 y    y   1 

 
  y 
   
1 1
= y f ( y) f   f ( f ( y )) .
y  y
1 1 1
Vì f ( f ( y ) ) ≠ 0 nên y f ( y ) f   = 1 ⇔ f ( y) f   = 1 (b) .
y  y  y
1
( a ) + (b) ⇒ f ( y ) = ∀y ∈( 0; + ∞ ) . Th l i th y ñúng.
y
Ví d 13: Tìm f : R → R th a mãn:
 1
 f ( 0) = ( a )
 2 .
∃ a ∈ R : f ( a − y ) f ( x ) + f ( a − x ) f ( y ) = f ( x + y ) ∀x, y ∈ R ( b )

L i gi i:
1
Cho x = y = 0, ( b ) ⇒ f ( a ) = .
2
Cho y = 0; x ∈ R ta ñư c: f ( x ) = f ( x ) . f ( a ) + f ( 0 ) . f ( a − x ) ⇒ f ( x ) = f ( a − x ) ( c ) .
2 2
Cho y = a − x ; x ∈ R ta ñư c: f ( a ) = ( f ( x ) ) + ( f ( a − x ) ) (d ) .
 1
2 1  f ( x) = 2
( c ) + ( d ) ⇒ 2 ( f ( x )) = ⇔ .
2  f ( x) = − 1

 2
1
N u ∃ xo ∈ R sao cho: f ( xo ) = − thì:
2
2
1 (b)
x x  x   x  (c)   x  
− = f ( xo ) = f  o + o  = 2 f  o  . f  a − o  = 2  f  o   ≥ 0 ⇒ Vô lí.
2  2 2  2  2   2 
1
V y f ( x) = ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng.
2
16

17. Ví d 14: (VMO.1995)
Tìm f : R → R th a mãn: f (( x − y ) ) = x
2 2 2
− 2 y f ( x ) + ( f ( y ) ) ∀x, y ∈ R (14 ) .
L i gi i:
2  f ( 0) = 0
Cho x = y = 0 ⇒ f ( 0 ) = ( f ( 0 ) ) ⇔  .
 f ( 0) = 1

y = 0
N u f ( 0 ) = 0 : Cho  ta ñư c: f ( x 2 ) = x 2 ⇒ f ( t ) = t ∀t ≥ 0
x ∈ R
2 2
Cho x = y ∈ R ta ñư c: f ( 0) = x2 − 2 x f ( x ) + ( f ( x ) ) ⇔ ( f ( x ) − x ) = 0 ⇔ f ( x ) = x .
Th l i th y ñúng.
y = 0
N u f ( 0 ) = 1: Cho  ta ñư c: f ( x 2 ) = x 2 + 1 ⇔ f ( t ) = t + 1 ∀t ≥ 0 .
 x∈R
2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y 2 ) = −2 y + ( f ( y ) ) ⇒ ( f ( y ) ) = f ( y 2 ) + 2 y
2  f ( y) = y +1
= y 2 + 1 + 2 y = ( y + 1) ⇒  .
 f ( y) = − y −1

Gi s ∃ yo ∈ R sao cho: f ( yo ) = − yo − 1 . Ch n x = y = yo ta ñư c:
2  f ( yo ) = yo − 1
1 = yo − 2 yo f ( yo ) + ( f ( yo ) ) ⇔ 
2
.
 f ( yo ) = yo + 1

N u f ( yo ) = yo − 1 ⇒ − yo − 1 = yo − 1 ⇒ yo = 0 v f ( 0 ) = −1 (lo¹i) .
N u f ( yo ) = yo + 1 ⇒ − yo − 1 = yo + 1 ⇒ yo = −1 ⇒ f ( −1) = 0 .
Th a mãn: f ( yo ) = yo + 1 . V y f ( y ) = y + 1 ∀y ∈ R . Th l i th y ñúng.
Ví d 15: (VMO.2005)
Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x − y ) ) = f ( x ) f ( y ) − f ( x ) + f ( y ) − xy ∀x, y ∈ R (15 ) .
L i gi i:
2
Cho x = y = 0 ⇒ f ( f ( 0 ) ) = ( f ( 0 ) ) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( a ) = a 2 .
2 2
Cho x = y ∈ R ⇒ ( f ( x ) ) = x 2 + f ( a ) ⇒ ( f ( x ) ) = x 2 + a 2 (*) .
2 2  f ( x) = f (−x)
⇒ ( f ( x )) = ( f ( − x )) ⇒  .
 f ( x) = − f (−x)

N u ∃ xo ∈ R* sao cho f ( xo ) = f ( − xo ) :
+ Ch n x = 0; y = − xo ⇒ f ( f ( xo ) ) = a f ( − xo ) − a + f ( − xo ) ( a ) .
17

18. + Ch n y = 0; x = − xo ⇒ f ( f ( xo ) ) = a f ( xo ) + a − f ( xo ) ( b ) .
( a ) + ( b ) ⇒ a ( f ( xo ) − f ( − xo ) ) − ( f ( xo ) + f ( − xo ) ) + 2a = 0 ( c ) .
(*) 2
Vì f ( xo ) = f ( − xo ) nên f ( xo ) = a ⇒ ( f ( xo ) ) = x0 + a 2 ⇒ a 2 = x0 + a 2 ⇒ xo = 0 trái v i
2 2
gi thi t xo ∈ R* .
V y f ( x ) = − f ( − x ) ∀x ∈ R . Ta th y (c) không ph thu c vào xo nên ta có:
a ( f ( x ) − f ( − x ) ) − ( f ( x ) + f ( − x ) ) + 2a = 0 ( c ) . Thay f ( x ) = − f ( − x ) suy ra:
a = 0
a ( f ( x ) + 1) = 0 ⇔  .
 f ( x ) = −1
(*) 2  f ( x) = x
+ N u a = 0 ⇒ ( f ( x )) = x2 ⇔  .
 f ( x) = −x

Gi s t n t i xo ∈ R* ñ f ( xo ) = xo . Khi ñó (b) suy ra:
xo = f ( xo ) = a xo + a − xo ⇒ xo = 0 trái gi thi t xo ∈ R* .
V y f ( x ) = − x ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng
+ N u f ( x ) = −1 ∀x ∈ R . Th l i ta ñư c (15 ) ⇔ xy = 2 ∀x, y ∈ R . Vô lí.
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = − x .
Nh n xét: Có m t suy lu n hay nh m l n ñư c s d ng các VD:
  1 
 2 1  f ( x) = 2   2 2  f ( y ) = y +1 
VD13  ( f ( x ) ) = ⇔   ; VD14  ( f ( y ) ) = ( y + 1) ⇔  ;
 4  f ( x) = − 1    f ( y ) = − y − 1
    
 
 2
 2  f ( x) = x 
VD15  ( f ( x ) ) = x 2 ⇔   , ñó là hi u sai:
  f ( x) = −x 
  
 1
2 1  f ( x ) = 2 ∀x ∈ R
( f ( x )) = ⇔  ;
4  f ( x ) = − 1 ∀x ∈ R

 2
2 2  f ( y ) = y + 1 ∀x ∈ R
( f ( y ) ) = ( y + 1) ⇔  ;
 f ( y ) = − y − 1 ∀x ∈ R

2  f ( x ) = x ∀x ∈ R
( f ( x )) = x2 ⇔  .
 f ( x ) = − x ∀x ∈ R

18

19. 2 1
Th c t thư ng là như v y nhưng v m t logic thì không ñúng. ( f ( x ) ) = thì f ( x ) có th
4
1  1
 2 ( x ≥ 0)
 2 1  f ( x) = 2
là hàm khác n a như f ( x ) =  . Như v y ( f ( x )) = ⇔  ch
− 1 ( x < 0 ) 4  f ( x) = − 1
 2
 
 2
1
ñúng v i m i x c th ch không th k t lu n ch có hai hàm s f ( x) = ∀x ∈ R ho c
2
1
f ( x) = − ∀x ∈ R .
2
1 1
ð gi i quy t v n ñ này ta thư ng “th ” f ( x ) = ∀x ∈ R ho c f ( x ) = − ∀x ∈ R vào ñ
2 2
1
bài ñ tìm hàm s không th a mãn (trong VD13 thì f ( x ) = không th a mãn) sau ñó l p
2
1
lu n ph ñ nh là ∃ xo : f ( xo ) = − ñ d n ñ n vô lí!
2
Ví d 16: Tìm f : (0,1) → ℝ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y , z ∈ (0,1) .
L i gi i:
Ch n x = y = z: f(x3) = 3xf(x).
Thay x, y, z b i x2: f(x6) = 3 x2 f(x2).
M t khác: f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3).
⇒ 3 x2 f(x2) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) ⇔ 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x)
3x3 + 1
⇒ f ( x2 ) = f ( x), ∀x ∈ ℝ
2
Thay x b i x3 ta ñư c :
3 x9 + 1
f ( x6 ) = f ( x 3 ), ∀x ∈ ℝ
2
3x9 + 1
⇒ 3x 2 f ( x 2 ) = 3 xf ( x), ∀x ∈ ℝ
2
3x3 + 1 3x9 + 1
⇒ 3x 2 f ( x) = 3 xf ( x), ∀x ∈ ℝ
2 2
⇒ f ( x) = 0, ∀x ≠ 0
V y f(x) = 0 v i m i x ∈(0; 1).
BÀI T P
5
1) Tìm f : N → R th a mãn: f ( 0 ) ≠ 0; f (1) = ;
2
f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x − y ) ∀x, y ∈ N , x ≥ y .
2) Tìm f : N → R th a mãn: f ( m + n ) + f ( n − m ) = f ( 3n ) ∀m, n ∈ N , n ≥ m .
19

20. 3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y ) ) = y f ( x ) x, y ∈ R .
4) Tìm f : R → R th a mãn: f ( ( x + 1) f ( y ) ) = y ( f ( x ) + 1) x, y ∈ R .
5) Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:
f ( x ) = Max  x 2 y + y 2 x − f ( y )  ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) .
y∈( 0; +∞ )  
6) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy ) − f ( x − y ) + f ( x + y + 1) = xy + 2 x + 1 ∀x, y ∈ R .
 f ( xy ) = f ( x ) f ( y )

7) Tìm f : [ 1; + ∞ ) → [ 1; + ∞ ) th a mãn:  ∀x, y ∈ [ 1; + ∞ ) .
 f ( f ( x )) = x

8) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) − f ( x + y ) + 1 ∀x, y ∈ R .
9) Tìm f : R → R th a mãn:
( f ( x ) + f ( z ) ) ( f ( y ) + f ( t ) ) = f ( xy − zt ) + f ( xt + zy ) ∀x, y, z , t ∈ R .
10) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x 2 − y 2 ) = x f ( y ) − y f ( x ) ∀x, y ∈ R .
11) Tìm f : N → [ 0; + ∞ ) th a mãn:
1
f (1) = 1; f ( m + n ) + f ( m − n ) =
2
( f ( 2m ) + f ( 2n ) ) ∀m, n ∈ N , m ≥ n .
 x + y  f ( x) + f ( y)
12) Tìm f : Z → R th a mãn: f  = ∀x, y ∈ Z ; ( x + y )⋮ 3 .
 3  2
13) Tìm f : N → N th a mãn: 3 f ( n ) − 2 f ( f ( n ) ) = n ∀n ∈ N .
14) Tìm f : Z → Z th a mãn:
f (1) = a ∈ Z ; f ( m + n ) + f ( m − n ) = 2 ( f ( m ) + f ( n ) ) ∀m, n ∈ Z .
15) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x 3 + 2 y ) = f ( x + y ) + f ( 3 x + y ) + 1 ∀x, y ∈ R .
16) Tìm f : R → R th a mãn: x 2 f ( x ) + f (1 − x ) = 2 x − x 4 ∀x ∈ R .
Phương pháp 4: S d ng tính ch t nghi m c a m t ña th c.
Ví d 1: Tìm P(x) v i h s th c, th a mãn ñ ng th c:
( x3 + 3 x 2 + 3 x + 2) P( x − 1) = ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 2) P( x), ∀x (1)
L i gi i:
(1) ⇔ ( x + 2)( x 2 + x + 1) P ( x − 1) = ( x − 2)( x 2 − x + 1) P( x), ∀x
Ch n: x = −2 ⇒ P ( −2) = 0
x = −1 ⇒ P(−1) = 0
x = 0 ⇒ P(0) = 0
x = 1 ⇒ P(1) = 0
V y: P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x).
20

21. Thay P(x) vào (1) ta ñư c:
( x + 2)( x 2 + x + 1)( x − 1)( x − 2) x( x + 1)G ( x − 1) = ( x − 2)( x 2 − x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2)G ( x), ∀x
⇒ ( x 2 + x + 1) G ( x − 1) = ( x 2 − x + 1)G ( x), ∀x
G ( x − 1) G ( x)
⇔ 2
= 2 , ∀x
x − x +1 x + x +1
G ( x − 1) G ( x)
⇔ 2
= 2 , ∀x
( x − 1) + ( x − 1) + 1 x + x + 1
G ( x)
ð t R( x) = 2
(x ≠ 0, ± 1, -2)
x + x +1
⇒ R ( x) = R ( x − 1) (x ≠ 0, ± 1, -2)
⇒ R( x) = C
V y P( x) = C ( x 2 + x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2)
Th l i th y P(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Chú ý: N u ta xét P(x) = (x3 + 1)(x – 1) thì P(x + 1) = (x3 + 3x2 + 3x + 2)x.
Do ñó (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1). T ñó ta có bài toán sau:
Ví d 2: Tìm ña th c P(x) v i h s th c, th a mãn ñ ng th c:
(x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) v i m i x.
Gi i quy t ví d này hoàn toàn không có gì khác so v i ví d 1.
Tương t như trên n u ta xét: P(x) = (x2 + 1)(x2 – 3x + 2) thì ta s có bài toán sau:
Ví d 3: Tìm ña th c P(x) v i h s th c th a mãn ñ ng th c:
(4 x 2 + 4 x + 2)(4 x 2 − 2 x ) P ( x) = ( x 2 + 1)( x 2 − 3 x + 2) P(2 x + 1), ∀x ∈ ℝ
Các b n có th theo phương pháp này mà t sáng tác ra các ñ toán cho riêng mình.
Phương pháp 5: S d ng phương pháp sai phân ñ gi i phương trình hàm.
1. ð nh nghĩa sai phân:
Xét hàm x(n) = xn:
Sai phân c p 1 c a hàm xn là: △ xn = xn+1 − xn
Sai phân câp 2 c a hàm xn là: △2 xn =△ xn +1 −△ xn = xn + 2 − 2 xn +1 + xn
k
Sai phân câp k c a hàm xn là: △k xn = ∑ (−1)i Cki xn + k −i
i =0
2. Các tính ch t c a sai phân:
+) Sai phân các c p ñ u ñư c bi u th qua các giá tr hàm s .
+) Sai phân có tính tuy n tính: ∆ k (af + bg ) = a∆ k f + b∆ k g
+) N u xn ña th c b c m thì ∆ k xn :
Là ña th c b c m – k n u m > k.
Là h ng s n u m = k.
Là 0 n u m < k.
21

22. 3. N i dung c a phương pháp này là chuy n bài toán phương trình hàm sang bài toán dãy
s và dùng các ki n th c dãy s ñ tìm ra các hàm s c n tìm.
Ví d 1: Tìm f: N → R tho mãn : f(1) = 1 và
2f(n).f(n+k) = 2f(k-n) + 3f(n).f(k) ∀ k, n∈N, k≥ n.
L i gi i:
 f (0) = 0
Cho n = k = 0 ta ñư c: (f(0))2 + 2f(0) = 0 ⇔  .
 f (0) = −2
+ N u f(0) = 0 thì ch n n = 0, k∈ N ta ñư c: f(k) = 0 trái gi thi t f(1) = 1.
+ N u f(0) = - 2 thì ch n n = 1, k∈ N* ta ñư c: 2.f(k+1) - 3.f(k) - 2.f(k-1) = 0.
u0 = −2; u1 = 1

ð t uk = f(k) ta ñư c dãy s :  *
.
2uk +1 − 3uk − 2uk −1 = 0 ∀k ∈ ℕ

1
T ñây tìm ñư c uk = f(k) = −2.(− ) k ∀k ∈ N . Th l i th y ñúng.
2
Ví d 2 (D tuy n IMO 1992): Cho a, b> 0. Tìm f: [0; +∞) → [0; +∞) tho mãn :
f(f(x))+a.f(x) = b.(a+b).x ∀x∈ [0; +∞) (2)
L i gi i:
C ñ nh x∈ [0; +∞) và ñ t u0 = x, u1 = f(x), un+1 = f(un). T (2) ta ñư c :
un+2 + a.un+1 - b.(a + b).un = 0. Gi i dãy s trên ta ñư c: un = c1.bn + c2.(-a -b)n (*).
un b n b
Vì un ≥ 0 ∀n∈N nên ta có: 0 ≤ n
= c1.( ) + c2 .(−1) n . M t khác: 0 < < 1 nên
( a + b) a+b a+b
b n un
lim ( ) = 0 . Do ñó, n u c2 > 0 thì khi n l và n ñ l n thì < 0 vô lí !; còn n u
n →+∞ a+b ( a + b) n
un
c2 < 0 thì khi n ch n và n ñ l n thì < 0 vô lí !. V y c2 = 0. Thay vào (*) ta ñư c
( a + b) n
un = c1.bn. T u0 = x suy ra c1 = x và f(x) = bx. Do ñó f(x) = bx ∀x∈[0;+∞). Th l i th y ñúng.
Ví d 3: Tìm t t c các hàm f : ℝ → ℝ th a mãn:
f(f(x)) = 3f(x) – 2x , ∀x ∈ ℝ
L i gi i :
Thay x b i f(x) ta ñư c:
f(f(f(x))) = 3f(f(x)) – 2f(x) , ∀x ∈ ℝ
………………………..
f (... f ( x)) = 3 f (... f ( x)) − 2 f (... f ( x))
n+ 2 n +1 n
Hay f n+ 2 ( x) = 3 f n+1 ( x) − 2 f n ( x), n ≥ 0
ð t xn = f n ( x ), n ≥ 0 ta ñư c phương trình sai phân: xn+ 2 = 3 xn +1 − 2 xn
Phương trình ñ c trưng là: λ 2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ = 1 ∨ λ = 2
22

23. V y xn = c1 + c2 2 n
 x0 = c1 + c2 = x
Ta có: 
 x1 = c1 + 2c2 = f ( x )
T ñó ta ñư c c1 = 2 x − f ( x), c2 = f ( x) − x
V y f ( x) = x + c2 ho c f ( x) = 2 x − c1
Phương pháp 6: Phương pháp s d ng ánh x .
Ví d 1: Tìm f: N*→ N* tho mãn:
f(f(n)+m) = n+f(m+2007) ∀ m, n∈N* (1).
L i gi i:
Trư c h t ta ch ng minh f là ñơn ánh.
Th t v y: f(n1) = f(n2) ⇒ f(f(n1)+1) = f(f(n2)+1) ⇒ n1 + f(1+2007) = n2 + f(1+2007) ⇒
n1 = n2. V y f là ñơn ánh.
M t khác t (1) suy ra: ∀ m, n ∈ N*, f(f(n) + f(1)) = n + f(f(1) + 2007) ⇒ f(f(n)+f(1)) = n + 1
+ f(2007+2007) = f(f(n+1)+2007). Vì f là ñơn ánh nên ta có: f(n) + f(1) = f(n+1) + 2007 ⇒
f(n+1) - f(n) = f(1) - 2007. ð t f(1) - 2007 = a. Khi ñó ta có f(n) = n.a + 2007. Thay l i (10) ta
ñư c a2n = n ∀n∈N* ⇒ a2 = 1 ⇒ a = 1 ⇒ f(n) = n+2007.
Ví d 2: Tìm f: R → R tho mãn: f(xf(x)+f(y)) = (f(x))2+y ∀ x, y∈R (2).
L i gi i:
D ràng ch ng minh f là ñơn ánh.
M t khác, c ñ nh x thì ∀t∈R t n t i y = t - (f(x))2 ñ f(xf(x) + f(y)) = t. V y f là toàn ánh,
do ñó f là song ánh. Suy ra t n t i duy nh t a∈R sao cho f(a) = 0.
Cho x = y = a ta ñư c f(0) = a.
Cho x = 0, y = a ta ñư c f(0) = a2 + a. V y a = a2 + a hay a = 0 ⇒ f(0) = 0.
Cho x = 0, y∈R ta ñư c f(f(y)) = y (a).
Cho y = 0, x∈R ta ñư c f(x.f(x)) = (f(x))2 ⇒ f(f(x).f(f(x))) = (f(f(x)))2. Theo (a) ta ñư c
f(f(x).x)) = x2 ⇒ (f(x))2 = x2 ⇒ f(x) = x ho c f(x) = -x.
Gi s t n t i a, b∈R* ñ f(a) = a, f(b) = -b. Khi ñó thay x = a, y = b thì t (2) suy ra: f(a2 - b)
= a2 + b. Mà (a2 + b)2 ≠ (a2 - b)2 v i a, b∈ R* trái v i kh ng ñ nh (f(x))2 = x2. V y có hai hàm
s là f(x) = x, ∀x∈R ho c f(x) = -x ∀x∈R. Th l i th y ñúng.
Phương pháp 7: phương pháp ñi m b t ñ ng.
1. ð c trưng c a hàm:
Như ta ñã bi t, phương trình hàm là m t phương trình thông thư ng mà nghi m c a
nó là hàm. ð gi i quy t t t v n ñ này, c n phân bi t tính ch t hàm v i ñ c trưng hàm.
Nh ng tính ch t quan tr c ñư c t ñ i s sang hàm s , ñư c g i là nh ng ñ c trưng hàm.
+) Hàm tuy n tính f(x) = ax , khi ñó f(x + y) = f(x) + f(y). V y ñ c trưng hàm tuy n tính là:
f(x + y) = f(x) + f(y) v i m i x, y.
23

24. x+ y
+) Hàm b c nh t f(x) = ax + b, khi ñó f(x) + f(y) = 2 f ( ) . V y ñ c trưng hàm ñây là
2
 x + y  f ( x) + f ( y )
f = , ∀x, y ∈ ℝ
 2  2
ð n ñây thì ta có th nêu ra câu h i là: Nh ng hàm nào có tính ch t
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℝ . Gi i quy t v n ñ ñó chính là d n ñ n phương trình hàm.
V y phương trình hàm là phương trình sinh b i ñ c trưng hàm cho trư c.
+) Hàm lũy th a f ( x) = x k , x > 0 ð c trưng là f(xy) = f(x)f(y).
+) Hàm mũ f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1) ð c trưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ ℝ
+) Hàm Lôgarit f ( x) = log a x (a>0,a ≠ 1) ð c trưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y).
+) f(x) = cosx có ñ c trưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y).
Hoàn toàn tương t ta có th tìm ñư c các ñ c trưng hàm c a các hàm s f(x) =sinx,
f(x) = tanx và v i các hàm Hypebolic:
e x − e− x
+) Sin hypebolic shx =
2
e x + e− x
+) cos hypebolic chx =
2
shx e x − e − x
+) tan hypebolic thx = =
chx e x + e − x
chx e x + e − x
+) cot hypebolic cothx = =
shx e x − e − x
+) shx có TXð là ℝ t p giá tr là ℝ
chx có TXð là ℝ t p giá tr là [1, +∞ )
thx có TXð là ℝ t p giá tr là (-1,1)
cothx có TXð là ℝ {0} t p giá tr là (−∞, −1) ∪ (1, +∞ )
Ngoài ra b n ñ c có th xem thêm các công th c liên h gi a các hàm hypebolic, ñ th c a
các hàm hypebolic.
2. ði m b t ñ ng:
Trong s h c, gi i tích, các khái ni m v ñi m b t ñ ng, ñi m c ñ nh r t quan tr ng
và nó ñư c trình bày r t ch t ch thông qua m t h th ng lý thuy t. ñây, tôi ch nêu ng
d ng c a nó qua m t s bài toán v phương trình hàm.
Ví d 1: Xác ñ nh các hàm f(x) sao cho: f(x+1) = f(x) + 2 ∀x ∈ ℝ.
L i gi i:
Ta suy nghĩ như sau: T gi thi t ta suy ra c = c + 2 do ñó c = ∞
Vì v y ta coi 2 như là f(1) ta ñư c f(x + 1) = f(x) + f(1) (*)
Như v y ta ñã chuy n phép c ng ra phép c ng. D a vào ñ c trưng hàm, ta ph i tìm a:
f(x) = ax ñ kh s 2. Ta ñư c (*) ⇔ a ( x + 1) = ax + 2 ⇔ a = 2
V y ta làm như sau: ð t f(x) = 2x + g(x). Thay vào (*) ta ñư c:
24

25. 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, ∀x ∈ ℝ
ði u này tương ñương v i g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ ℝ V y g(x) là hàm tu n hoàn v i chu kì 1.
ðáp s f(x) = 2x + g(x) v i g(x) là hàm tu n hoàn v i chu kì 1.
Nh n xét: Qua ví d 1, ta có th t ng quát ví d này, là tìm hàm f(x) th a mãn:
f(x + a) = f(x) + b, ∀x ∈ ℝ , a, b tùy ý.
Ví d 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, ∀x ∈ ℝ (2).
L i gi i:
ta cũng ñưa ñ n c = -c + 2 do ñó c = 1.
v y ñ t f(x) = 1 + g(x), thay vào (2) ta ñư c phương trình: g(x + 1) = - g(x), ∀x ∈ ℝ
 1
 g ( x + 1) = − g ( x)  g ( x ) = [ g ( x) − g ( x + 1)]
Do ñó ta có:  ⇔ 2 ∀x ∈ ℝ (3).
 g ( x + 2) = g ( x)  g ( x + 2) = g ( x)

1
Ta ch ng minh m i nghi m c a (3) có d ng: g ( x) = [ h( x) − h( x + 1) ] , ∀x ∈ ℝ ñó h(x) là
2
hàm tu n hoàn v i chu kì 2.
Nh n xét: Qua ví d này, ta có th t ng quát thành: f(x + a) = - f(x) + b, ∀x ∈ ℝ , a, b tùy ý.
Ví d 3: Tìm hàm f(x) th a mãn: f(x + 1) = 3f(x) + 2, ∀x ∈ ℝ (3).
Gi i:
Ta ñi tìm c sao cho c = 3c + 2 d th y c = -1. ð t f(x) = -1 + g(x). Lúc ñó (3) có d ng:
g(x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ℝ
Coi 3 như g(1) ta ñư c: g(x + 1) = g(1).g(x) ∀x ∈ ℝ (*).
T ñ c trưng hàm, chuy n phép c ng v phép nhân, ta th y ph i s d ng hàm mũ:
a x +1 = 3a x ⇔ a = 3
V y ta ñ t: g ( x) = 3x h( x) thay vào (*) ta ñư c: h(x + 1) = h(x) ∀x ∈ ℝ .
V y h(x) là hàm tu n hoàn chu kì 1.
K t lu n: f ( x) = −1 + 3x h( x) v i h(x) là hàm tu n hoàn chu kì 1.
Nh n xét: ví d 3 này, phương trình t ng quát c a lo i này là: f(x + a) = bf(x) + c ∀x ∈ ℝ ;
a, b, c tùy ý.
+) V i 0< b ≠ 1: chuy n v hàm tu n hoàn.
+) V i 0< b ≠ 1: chuy n v hàm ph n tu n hoàn.
Ví d 4: Tìm hàm f(x) th a mãn f(2x + 1) = 3f(x) – 2 ∀x ∈ ℝ (4)
Gi i:
Ta có: c = 3c – 2 suy ra c = 1. ð t f(x) = 1 + g(x). Khi ñó (4) có d ng:
g(2x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ℝ (*)
Khi bi u th c bên trong có nghi m ≠ ∞ thì ta ph i x lý cách khác.
T 2x + 1 = x suy ra x = 1. V y ñ t x = -1 + t ta có 2x + 1 = -1 + 2t. Khi ñó (*) có d ng:
g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t ) ∀t ∈ ℝ .
ð t h(t) = g(-1 + 2t), ta ñư c h(2t) = 3h(t) (**). Xét 2t = t ⇔ t = 0 , (2t ) m = 3.t m ⇔ m = log 2 3
Xét ba kh năng sau:
25

26. +) N u t = 0 ta có h(0) = 0.
+) N u t> 0 ñ t h(t ) = t log2 3ϕ (t ) thay vào (3) ta có: ϕ (2t ) = ϕ (t ), ∀t > 0 . ð n ñây ta ñưa v ví
d hàm tu n hoàn nhân tính.
ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < 0
+) N u t < 0 ñ t h(t ) =| t |log2 3 ϕ (t ) thay vào (3) ta ñư c ⇔ 
ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < 0
 1
ϕ (t ) = [ϕ (t ) − ϕ (2t )] , ∀t < 0
⇔ 2 .
ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < 0

Nh n xét: Bài toán t ng quát c a d ng này như sau: f (α x + β ) = f (ax ) + b α ≠ 0, ± 1 . Khi
ñó t phương trình α x + β = x ta chuy n ñi m b t ñ ng v 0, thì ta ñư c hàm tu n hoàn nhân
tính.
+) N u a = 0 bài toán bình thư ng.
+) N u a = 1 ch ng h n xét bài toán sau: “Tìm f(x) sao cho f(2x + 1) = f(x) – 2, ∀x ≠ -1 (1)”.
Xét: 2x + 1 = x ⇔ x = −1 nên ñ t x = -1 + t thay vào (1) ta ñư c: f(-1 + 2t) = f(-1 + t) + 2,
∀t ≠ 0 . ð t g(t) = f( - 1 + t) ta ñư c: g(2t) = g(t) + 2 ∀t ≠ 0 (2). T tích chuy n thành t ng
nên là hàm logarit.
1
Ta có log a (2t ) = log a t − 2 ⇔ a = . V y ñ t g (t ) = log 1 t + h(t ) . Thay vào (2) ta có
2 2
h(2t ) = h(t ), ∀t ≠ 0 . ð n ñây bài toán tr nên ñơn gi n.
Phương pháp 8: phương pháp s d ng h ñ m.
Ta quy ư c ghi m = (bibi-1...b1)k nghĩa là trong h ñ m cơ s k thì m b ng bibi-1...b1.
Ví d 1 (Trích IMO năm 1988):
Tìm f: N*→ N* tho mãn: f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n),
f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n); f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n) ∀n∈N* (12).
L i gi i:
Tính m t s giá tr c a hàm s và chuy n sang cơ s 2 ta có th d ñoán ñư c:
“∀n∈N*, n = (bibi-1...b1)2 thì f(n) = (b1b2 ...bi)2” (*). Ta s ch ng minh (*) b ng quy n p.
+ V i n = 1, 2, 3, 4 d ki m tra (*) là ñúng.
+ Gi s (*) ñúng cho k < n, ta s ch ng minh (*) ñúng cho n (v i n ≥ 4). Th t v y, ta xét các
kh năng sau:
• N u n ch n, n = 2m. Gi s m = (bibi-1...b1)2, khi ñó n = 2m = (bibi-1...b10)2 ⇒
f(n) = f((bibi-1...b10)2) = f(2m) = f(m) = f((bibi-1...b1)2) = (b1b2 ...bi)2 = (0b1b2 ...bi)2 ⇒ (*)
ñúng.
• N u n l và n = 4m + 1. Gi s m = (bibi-1...b1)2, khi ñó n = (bibi-1...b101)2 ⇒
f(n) = f((bibi-1...b101)2) = f(4m+1) = 2.f(2m+1) - f(m) = 2.f((bibi-1...b11)2) - f((bibi-1...b1)2) =
(10)2.(1b1b2 ...bi)2 - ( b1b2 ...bi)2 = (1b1b2 ...bi0)2 - ( b1b2 ...bi)2 = (10b1b2 ...bi)2 ⇒ (*) ñúng.
26

27. • N u n l và n = 4m + 3. Gi s m = (bibi-1...b1)2, khi ñó n = (bibi-1...b111)2 ⇒
f(n) = f((bibi-1...b111)2) = f(4m+3) = 3f(2m+1) - 2f(m) = 3f((bibi-1...b11)2) - 2f((bibi-1...b1)2) =
(11)2.(1b1b2 ...bi)2 - (10)2.(b1b2 ...bi)2 = (11b1b2 ...bi)2 ⇒ (*) ñúng.
V y (*) ñúng và hàm f ñư c xác ñ nh như (*).
Ví d 2 (Trích ñ thi c a Trung Qu c):
Tìm hàm s f: N* → N* th a mãn:
1) f(1) =1;
2) f(2n) < 6f(n);
3) 3f(n)f(2n+1) = f(2n)(3f(n)+1) ∀n∈N*.
L i gi i:
Vì f(n)∈N* nên (3f(n), 3f(n)+1) = 1. T 3) suy ra 3f(n) | f(2n). K t h p v i 2) suy ra
*
f(2n) = 3f(n) và f(2n+1) = 3f(n)+1 ∀n∈N .
Th m t s giá tr ta th y f(n) ñư c xác ñ nh như sau:
“V i n = (b1b2…bi)2 thì f(n) = (b1b2…bi)3 ∀n∈N*” (*). Ta ch ng minh (*) b ng quy n p.
+ V i n = 1, 2, 3, 4 thì hi n nhiên (*) ñúng.
+ Gi s (*) ñúng cho k < n (v i n ≥ 4). Ta ch ng minh (*) ñúng cho n.
• N u n ch n: n = 2m. Gi s m = (c1c2…cj)2 thì n = 2m = (c1c2…cj0)2. Khi ñó:
f(n) = f(2m) = 3f(m) = 3.f((c1c2…cj)2) = (10)3.(c1c2…cj)3 = (c1c2…cj0)3 ⇒ (*) ñúng cho n
ch n.
• N u n l : n = 2m + 1 ⇒ n = (c1c2…cj1)2. Khi ñó:
f(n) = f(2m+1) = 3f(m) + 1 = 3f((c1c2…cj)2) + 1 = (10)3.(c1c2…cj)3 + 13 = (c1c2…cj1)3 ⇒ (*)
ñúng cho n l .
V y (*) ñúng cho m i n∈N* và f(n) ñư c xác ñ nh như (*).
Phương pháp 9: phương pháp s d ng ñ o hàm.
Ví d 1: Tìm f: R → R tho mãn: | f(x)- f(y)|2 ≤ | x- y|3 ∀x, y∈R (14).
L i gi i: C ñ nh y, v i x∈R, x ≠ y t (14) ta ñư c:
2
f ( x) − f ( y ) f ( x) − f ( y )
≤ x− y ⇒0≤ ≤ x − y . Vì lim 0 = lim x − y = 0 nên suy ra
x− y x− y x→ y x→ y
f ( x) − f ( y )
lim = 0 ⇒ f’(y) = 0 ⇒ f(y) = c ∀y∈R (v i c là h ng s ). Th l i th y ñúng.
x→ y x− y
Ví d 2: Tìm f: R → R có ñ o hàm trên R và tho mãn:
f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy ∀x, y∈R (15)
L i gi i:
+ Cho x = y = 0 ta ñư c f(0) = 0.
27

28. f ( x + y ) − f ( x) f ( y ) + 2 xy f ( y ) − f (0)
+ V i y ≠ 0, c ñ nh x ta ñư c: = = + 2 x (*). Vì f(x)
y y y −0
có ñ o hàm trên R nên t (*), cho y → 0, suy ra f’(x) = f’(0) + 2x = 2x + c ⇒ f(x) = x2+cx+b
∀x∈R; b, c là các h ng s th c. Th l i th y ñúng.
Phương pháp 10: phương pháp ñ t hàm ph .
M c ñích chính c a vi c ñ t hàm ph là làm gi m ñ ph c t p c a phương trình
hàm ban ñ u và chuy n ñ i tính ch t hàm s nh m có l i hơn trong gi i toán.
Ví d 1: Tìm f: R → R tho mãn: f(x) ≥ 2007x và f(x+y) ≥ f(x)+f(y) ∀x, y∈R (1).
L i gi i:
D th y f(x) = 2007x là m t hàm s tho mãn (1). ð t g(x) = f(x) - 2007x và thay vào (1) ta
ñư c: g(x) ≥ 0 (a) và g(x+y) ≥ g(x) + g(y) (b) ∀x, y∈R.
+ Cho x = y = 0, t (b) ta ñư c g(0) ≤ 0, k t h p v i (a) suy ra g(0) = 0.
+ Cho x = -y, x∈R, t (a) và (b) ta ñư c g(x) ≥ 0, g(-x) ≥ 0, 0 ≥ g(x) + g(-x); suy ra :
g(x) = g(-x) = 0 ⇒ h(x) = 2007x, ∀x∈R. Th l i th y ñúng.
Ví d 2: Tìm f: R → R liên t c trên R tho mãn:
f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) ∀x, y∈ R (2).
L i gi i:
Xét phương trình: λ = 2λ + λ2 có nghi m λ = -1 khác 0.
ð t g(x) = f(x) - (-1) = f(x) + 1. Th vào (18) ta ñư c:
g(x+y) = g(x).g(y) ∀x, y∈R (*).
t
Cho x = y = ta ñư c g(t) ≥ 0 ∀t∈R.
2
Cho x = y = 0 ta ñư c: g(0) = 0 ho c g(0) = 1.
+ N u g(0) = 0 thì (*) suy ra g(x) = 0 ∀x∈R ⇒ f(x) = -1 ∀x∈R. Th l i th y ñúng.
+ N u g(0) = 1: Gi s t n t i a ñ g(a) = 0 thì (*) suy ra g(x) = 0 ∀x∈R. Trái v i gi thi t
g(0) = 1. V y g(x) > 0 ∀x∈R. ð t h(x) = lng(x) ta ñư c :
h(x+y) = h(x) + h(y) (**). T f(x) liên t c trên R suy ra h(x) liên t c trên R. Theo phương
trình hàm Côsi ta ñư c h(x) = cx (v i c là h ng s ) ⇒ f(x) = ecx - 1 ∀x∈R. Khi c = 0 thì
f(x) = -1. V y trong m i trư ng h p f(x) = ecx - 1 ∀x∈R th l i th y ñúng.
Phương pháp 11: S d ng tính liên t c c a hàm s .
S d ng tính liên t c c a hàm s có 3 con ñư ng chính: Xây d ng bi n t N ñ n
R, ch ng minh hàm s là h ng s , s d ng phương trình hàm Côsi.
Ví d 1 (xây d ng bi n t N ñ n R):
Tìm hàm f : R → R th a mãn:
1) f(x) liên t c trên R;
2) f(1) = 2;
28

29. 3) f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1 ∀x,y∈R.
L i gi i:
Cho x = y = 0 ta ñư c: f(0) = 1.
Cho x = 1, y∈R ta ñư c: f(y+1) = f(y) +1 (a).
T f(0) = 1, f(1) = 2 và (a) quy n p ta suy ra f(n) = n+1 ∀n∈N.
V i n∈N, (a) ⇒ f(-n) = f(-n+1) - 1 = f(-n+2) - 2 =…= f(0) -n = -n + 1.
V y f(z) = z +1 ∀z∈Z.
1 1 1
V i ∀n∈N*, 2 = f(1) = f (n. ) = f (n) f ( ) − f (n + ) + 1 (b). M t khác t (a) ta có:
n n n
1 1 1 1
f (n + ) = 1 + f (n − 1 + ) = 2 + f (n − 2 + ) = ... = n + f ( ) . Th vào (b) ta ñư c:
n n n n
1 1
f ( ) = + 1.
n n
m m 1 1 1
V i q ∈ ℚ, q = , m ∈ ℤ, n ∈ ℕ* ta có: f (q ) = f ( ) = f (m. ) = f (m) f ( ) − f (m + ) + 1 =
n n n n n
1 1
= (m + 1)( + 1) − f (m + ) + 1 (c). T (a) ta d dàng ch ng minh ñư c:
n n
1 1
f (m + ) = m + f ( ) . Th vào (c) ta ñư c f(q) = q +1 ∀q∈Q.
n n
V i r∈R, t n t i dãy {rn} v i rn∈Q th a mãn lim rn = r . Khi ñó, do f liên t c nên ta có:
f(r) = f(limrn) = limf(rn) = lim(rn+1) = limrn + 1 = r + 1. V y f(x) = x + 1 ∀x∈R. Th l i th y
ñúng.
Ví d 2 (ch ng minh hàm s là h ng s ):
1 1
Tìm hàm f: [0; ] → [0; ] th a mãn:
2 2
1
1) f(x) liên t c trên [0; ]
2
1  1
2) f ( x ) = f ( x 2 + ) ∀x ∈  0;  .
4  2
L i gi i:
 x0 = a
1 
V i a∈[0; ], xét dãy s :  2 1 .
2  xn+1 = xn + ∀n ∈ ℕ
 4
D ch ng minh {xn} không âm (a).
1 1 1 1
x0 ≤ ⇒ x1 ≤ x0 + ≤ . Quy n p suy ra xn ≤ (b).
2
2 4 2 2
29

30. 1
xn +1 − xn = ( xn − ) 2 ≥ 0 ⇒ xn +1 ≥ xn ∀n ∈ ℕ (c).
2
1 1
T (a), (b), (c) suy ra xn∈[0; ] và {xn} có gi i h n h u h n là limx n = .
2 2
1 1
V y v i m i a∈[0; ], f(a) = f(x1) = f(x2) =…= limf(xn) = f(limxn) = f( ) = c (c là h ng s ).
2 2
Th l i th y ñúng.
Ví d 3 (s d ng phương trình hàm côsi - VMO năm 2006(b ng B)):
Tìm f: R → R liên t c trên R tho mãn: f(x-y).f(y-z).f(z-x)+8 = 0 ∀x, y, z∈R (3).
L i gi i:
−8
Cho x = t, z = -t, y = 0, x∈ R ta ñư c: f(t).f(t).f(-2t) = -8 ⇒ f (−2t ) = < 0 ⇒ f(t) < 0
( f (t )) 2
∀t∈R. ð t g(x) = ln(
f ( x)
) ⇒ f ( x) = −2.e
g ( x) . Th vào (3) ta ñư c:
−2
g(x-y)+g(y-z)+g(z-x)
-8.e = -8 ⇔ g(x-y) + g(y-z) + g(z-x) = 0 (*).
+ Cho x = y = z = 0, t (*) ta ñư c g(0) = 0 (a).
+ Cho y = z = 0, x∈R, t (a) ta ñư c g(x) = g(-x) (b).
T (*) và (b) suy ra g(x-y) + g(y-z) = -g(z-x) = -g(x-z) = g(x-y+y-z) ⇒ g(t+t’) = g(t) + g(t’)
∀t, t’∈R (**). Vì f liên t c trên R nên g(x) cũng liên t c trên R. T (**), theo phương trình
hàm Côsi ta ñư c g(x) = ax ⇒ f(x) = -2.eax = -2.bx (V i b = ea > 0). Th l i th y ñúng.
------------------------------------------------------H t-------------------------------------------------------
30