Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil, yang terdiri dari bilangan rasional dan irasional. Bilangan riil dapat ditulis dalam bentuk desimal dan memiliki sifat tertentu terhadap operasi penjumlahan, perkalian, dan pembagian.

1. SYSTEM BILANGAN RIIL
• Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan
yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka
desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari
angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika
mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol ℝ.

2. • Dalam sistem bilangan pada ilmu matematika, bilangan real
terdiri dari 2 sistem bilangan yaitu:
• Bilangan Rasional
• Seperti penjelasan di atas, bilangan rasional adalah sistem
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b
dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.
• Misalnya: -1,25; 0; 23; 1,25; dan lain-lain.
• Bilangan Irasional
• Bilangan irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b namun dapat ditulis dalam
bentuk desimal. Misalnya:
• π (phi) = 3,14159 26535 89793 …
• e (euler) = 2,7182818….

3. Sifat Sistem Bilangan Real
• TERHADAP OPERASI PENJUMLAHAN (+)
• 1) Sifat Tertutup Untuk setiap 𝑎,𝑏∈ℝ berlaku
𝑎+𝑏∈ℝ.
• 2) Sifat Komutatif Untuk setiap 𝑎,𝑏∈ℝ
berlaku 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎
• 3) Sifat Asosiatif (Pengelompokan) Untuk
setiap 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ berlaku (𝑎+𝑏)+𝑐=𝑎+(𝑏+𝑐)
• 4)Terdapat 0∈ℝ sehingga untuk setiap 𝑎∈ℝ
berlaku 𝑎+0=𝑎
• 5)Setiap 𝑎∈ℝ terdapat −𝑎∈ℝ sehingga 𝑎+(−𝑎
)=0
NOTASI
1). Untuk setiap 𝑎,𝑏∈ℝ⇒𝑎+(−𝑏)=𝑎−𝑏
.(Pengurangan)
2).Untuk setiap 𝑎,𝑏∈ℝ, 𝑏≠0⇒𝑎𝑏=𝑎∶𝑏
(Pembagian)
3). Untuk setiap 𝑎,𝑏∈ℝ⇒𝑎×𝑏=𝑎.𝑏
(Perkalian)

4. • TERHADAP OPERASI PERKALIAN (×)
• 1) Sifat Tertutup Untuk setiap 𝑎,𝑏∈ℝ
berlaku 𝑎 × 𝑏∈ℝ.
• 2) Sifat Komutatif Untuk setiap 𝑎,𝑏∈ℝ
berlaku 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
• 3) Sifat Asosiatif (Pengelompokan)Untuk
setiap 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ berlaku (𝑎 × 𝑏) × 𝑐= 𝑎 ×(𝑏×𝑐)
• 4) Terdapat 1∈ℝ sehingga untuk setiap 𝑎∈ℝ
berlaku 𝑎×1=𝑎
• 5) Setiap 𝑎∈ℝ, 𝑎≠0 terdapat 1𝑎∈ℝ sehingga
𝑎×(1𝑎)=1
CATATAN:
1)Untuk 𝑎,𝑏∈ℝ,𝑏≠0⇒𝑎×(1𝑏)=𝑎𝑏.
2)Untuk setiap 𝑎∈ℝ,𝑎0tidak
didefinisikan (Pembagian dengan
nol tidak didefinisikan)

5. • SIFAT DISTRIBUTIF:
• Untuk setiap 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ berlaku:
• 1). 𝑎×(𝑏+𝑐)=(𝑎×𝑏)+(𝑎×𝑐).2).𝑎×(𝑏−𝑐)=(𝑎×𝑏)−(𝑎×𝑐)

6. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
• Koordinat Cartesius juga sering disebut sebagai koordinat persegi.
Istilah dari kata Cartesius yang dipakai adalah guna mengenang seorang
ahli matematika sekaligus seorang filsuf dari Perancis yang bernama
Rene Descartes.
• Beliau merupakan seorang ahli yang memiliki peran yang besar dalam
menggabungkan aljabar dan geometri.
• Hasil penemuan descartes, koordinat cartesius ini sangat berpengaruh
dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.
• Awal dari pemikiran dasar pemakaian sistem ini dikembangkan di tahun
1637 dalam dua tulisan dari karya Descartes.
• Dalam karyanya Descartes Discourse on Method, beliau
memperkenalkan saran baru guna menunjukan keadaan atau posisi titik
dari suatu obyek pada sebuah permukaan.
• Cara atau metode tersebut dengan memafaatkan dua sumbu yang saling
tegak lurus antar satu dengan yang lain.

7. • JARAK
• Contoh
• Hitunglah jarak dari A(3,-5) ke B(4,2)
• Jawab:
• A(3,-5) maka x1 = 3 dan y1 = -5
• B(4,2) maka x2 = 4 dan y2 = 2
• Sehingga
• D(A,B) = AKAR (X2 – X1) PANGKAT 2 = AKAR ( 4- 3) PANGKAT 2 +
(2(-5)) PANGKAT 2 = AKAR 1 PANGKAT 2 + 7 PANGKAT 2 = AKAR 50

8. • Persamaan Lingkaran
•
• Persamaan lingkaran
dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r adalah:

9. • Titik Tengah

10. • Kemiringan Garis Lurus

11. SISTEM PERSAMAAN
• DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN
LINEAR KUADRAT
• Sistem persamaan linear kuadrat adalah sistem persamaan
yang terdiri dari sebuah fungsi linear dan sebuah fungsi
kuadrat yang masing-masing mempunyai dua variabel. Bentuk
umum sistem persamaan linear kuadrat dapat dituliskan
sebagai berikut.
• y = ax pangkat 2 + bx + c,a ≠ 0 - FUNGSI KUADRAT
• y = mx + n - FUNGSI LINEAR

12. • Contoh:
• 1. y = 2x + 3
• y = x2– 3x+ 7
• 2. x+ y= 7
• y= x2+ 10x+ 14
• 3.4x– y– 9 = 0
• y2– 4y– 5 – x= 0
• 4. x2 + y2= 25 (walaupun kedua variabel berpangkat dua, akan
tetapi langkah
• 2x+ 3y= 18 penyelesaiannya mirip)
• Keempat bentuk sistem persamaan di atas adalah bentuk sistem
persamaan linear kuadrat

13. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
KUADRAT
• Sistem persamaan linear kuadrat dapat diselesaikan dengan teknik
substitusi. Langkah-langkah teknik substitusi untuk menentukan
solusi sistem persamaan linear kuadrat adalah sebagai berikut.
• 1.Substitusikan nilai y pada fungsi linear ke y pada fungsi kuadrat
atau sebaliknya. Jika langkah tersebut sulit dilakukan, kamu bisa
menggunakan cara lain, yaitu dengan mensubstitusikan nilai x
pada fungsi linear ke x pada fungsi kuadrat atau sebaliknya.
• 2.Sederhanakan persamaan satu variabel hingga terbentuk
persamaan kuadrat dengan bentuk umum berikut.
• ax2+ bx+ c= 0, a≠0 atau ay2+ by+ c= 0, a≠0
• 3.Tentukan akar dari persamaan kuadrat dengan teknik faktorisasi
atau rumus abc. Jika yang diminta oleh soal hanya banyak solusi
realnya, maka gunakan analisis diskriminan.
• Jika D > 0, maka sistem memiliki dua solusi real
•Jika D = 0, maka sistem memiliki satu solusi real
•Jika D < 0, maka sistem tidak memiliki solusi real
• 4.Substitusi balik untuk mencari nilai variabel lainnya

14. • Contoh soal
• Tentukan solusi real dari sistem persamaan berikut.
• y = x2+ 4x+ 3
• y = 2x+ 6
• Pembahasan:
• Misal:
• y1 = x2+ 4x+ 3
• y2= 2x+ 6
• Substitusikan y2 ke y1 sehingga diperoleh:
• x2 + 4x + 3 = 2x + 6
• ⇔ x2 + 2x -3 = 0
• ⇔ (x+3)(x-1)=0
• x = -3 atau x =1
• substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = 2x+ 6.
• Untuk x = –3, diperoleh:
• 1. y = 2(–3) + 6
• = –6 + 6
• = 0
• Solusi (–3, 0)
• Untuk x = 1, diperoleh:
• 2. y = 2(1) + 6
• = 2 + 6
• = 8
• Solusi (1, 8)

15. SISTEM PERTIDAKSAMAAN

16. SATU VARIABEL
• BENTUK PERTIDAKSAMAAN DENGAN MEMUAT SATU
PEUBAH (VARIABEL) DENGAN PANGKAT TERTINGGINYA
ADALAH SATU LINEAR
• Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear 1 Variabel
• ax + b > c
• ax + b < c
• ax + b ≥ c
• ax + b ≤ c
• Keterangan:
• a : koefisien variabel x
• x : variabel
• b, c : konstanta
• <, >, ≤, ≥ : tanda pertidaksamaan

17. DUA VARIABEL
• BENTUK PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT DUA PEUBAH
DENGAN PANGKAT TERTINGGI VARIABEL TERSEBUT
ADALAH SATU
• Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear 1 Variabel
• ax + b > c
• ax + b < c
• ax + b ≥ c
• ax + b ≤ c
• Keterangan:
• a : koefisien variabel x
• x : variabel
• b, c : konstanta
• <, >, ≤, ≥ : tanda pertidaksamaan

18. CONTOH PERTIDAKSAMAAN LINEAR
1.Tentukan solusi pertidaksamaan linear berikut ini untuk
nilai variabel merupakan bilangan bulat positif.
• 3x < 12
• 2y > 6
• Pembahasan
1. 3x < 12
• x < 12/3
• x < 4
• Solusi: {1, 2, 3}
2. 2y > 6
• y > 6/2
• y > 3
• Solusi : {4, 5, 6, . . .}

19. SISTEM HIMPUNAN
• Himpunan didefinisikan sebagai
• kumpulan dari objek tertentu yang
• memiliki definisi yang jelas dan dianggap
• sebagai satu kesatuan.
Coba perhatikan contoh
• berikut ini.
• Himpunan hewan
• berkaki dua
• Himpunan
• bilangan asli
• Himpunan lukisan yang bagus
• Himpunan orang yang pintar
•

20. CARA MENYATAKAN HIMPUNAN
• Secara umum, himpunan disimbolkan dengan huruf kapital dan jika anggota
himpunan tersebut berupa huruf maka anggotanya dituliskan dengan huruf
kecil. Terdapat beberapa cara penulisan himpunan, yaitu
• Dengan kata-kata
• yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat dari anggota himpunan
tersebut di dalam kurung kurawal.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40
Ditulis menjadi A = {bilangan asli antara 10 dan 40}
• Dengan notasi pembentuk himpunan
• yaitu dengan menyebutkan semua sifat dari anggota himpunan tersebut,
dengan anggotanya dinyatakan dalam suatu variabel dan dituliskan di dalam
kurung kurawal.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40
Ditulis menjadi A= {x |10 < x < 40, x ϵ bilangan prima}
• Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya
• yaitu dengan menuliskan semua anggota dari himpunan tersebut di
dalam kurung kurawal dan tiap anggotanya dibatasi dengan tanda koma.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40
Ditulis menjadi A={11, 13, 17, 19,

21. MACAM MACAM HIMPUNAN
• Himpunan Semesta
• Himpunan Semesta didefinisikan sebagai himpunan yang memuat semua anggota ataupun
objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S.
Sebagai contoh, misalkan A = { 3, 5, 7, 9} maka kita bisa menuliskan himpunan semesta yang
mungkin adalah S = {bilangan ganjil} atau S = {bilangan asli} atau S = {Bilangan Cacah} atau S =
{bilangan real}. Tetapi kita tidak menuliskannya sebagai S = {bilangan prima} karena ada angka
9 yang bukan termasuk bilangan prima.
• Himpunan Kosong
• Himpunan kosong didefinisikan sebagai himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan
kosong disimbolkan dengan Ø atau { }.
Sebagai contoh, misalkan B adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua. Karena
tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi dua, maka A tidak memiliki anggota sehingga
merupakan himpunan kosong. Ditulis menjadi B = { } atau B = Ø.
• Himpunan Bagian
• Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga anggota B dan
dinotasikan A ⊂ B atau B ⊃ A.
Contoh soal:
P = {1, 2, 3}
Q = {1, 2, 3, 4, 5}
Maka P ⊂ Q atau Q ⊃ P

22. FUNGSI EKSPONEN DAN
LOGARITMA
• FUNGSI EKSPONEN
• DINOTASIKAN DALAM BENTUK a PANGKAT n DAN n ITU DISEBUT EKSPONEN ATAU PANGKAT
•
• CONTOHNYA SEPERTI
• A. 3 PANGKAT 3 *3 PANGKAT 2 = 3 PANGKAT 3 -2 = 3
• B.A pangkat 0 = 1
• Jadi kalau 2019 pangkat 0 maka nilainya sama dengan 1
•
• LOGARITMA
• KEBALIKAN DARI EKSPONEN ATAU DAPAT DIKATAKAN INVERS DARI EKSPONEN (PERPANGKATAN)
RUMUS DASARNYA SEPERTI : A LOG B = C
• DAN B = A PANGKAT C
•
• CONTOHNYA SEPERATI
• A.8 = 2 PANGKAT 3 = 2 LOG 8 = 3
• B. 81 = 3 PANGKAT 4 = 3 LOG 81 =4
• C. 8 LOG 2 PANGKAT 5 MAKA = 2 PANGKAT 3 LOG 2 PANGKAT 5 = 5 PER 3 2 LOG 2 = 5 PER 3
•

23. PERSAMAAN GARIS LURUS DAN GRAFIKNYA
• SUATU PEMETAAN PERSAMAAN MATEMATIKA DALAM BIDANG KORDINAT YANG MEMBENTUK GRAFIK BERUPA GARIS LURUS BENTUK UMUM : AX
+BY+C=0
• 1.PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI DUA TITIK (X1,Y1) DAN(X2,Y2) DAPAT DICARI
DENGAN RUMUS
• Y – Y1 DIBAGI X - X1 = Y2 – Y1 DIBAGI X2 – X1
2. GRADIEN PERSAMAAN GARIS
• GARIS LURUS YG MEMPUNYAI KEMIRINGAN(SLOPE) DAN UKURAN KEMIRINGAN ( M) YANG DAPAT DIRUMUSKAN :
• M = DELTA Y DIBAGI DELTA X = Y2 – Y1 DIBAGI X2 – X1
3. GARIS PARALEL
• GARIS GARIS PARALEL YANG
• MEIMILIKI SUDUT KEMIRINGAN
• YG SAMA
• CONTOH :
• GARIS K MELALUI (5,-1) DAN PARALEL DENGAN GARIS 2X + 5Y-15 = 0 TENTUKAN PERSAMAAN GARIS X MAKA :
• M = -A DIBAGI B = M = -2 DABAGI 5
• KEMEMUDAI DICARI GARIS K
• Y –Y1=M(X-X1)
• Y - -1 = -2 DIBAGI 5(X-5)
• Y +1 = -2 DIBAGI 5X=2 2X +5Y-5 = 0
•
4. GARIS SALING TEGAK LURUS
• GARIS GARIS YG SALINMG TEAGK LURUS MEMILIKI SUDUT 90 DERAJAT SEHINGGA MEREKA MEMPUNYAI GRADIEN KEBALIKAN YAITU
• M2 = -1 DIBAGI M1 ATAU M = -A DIBAGI B

24. PERSAMAAN LINGKARAN
• LINGKARAN MERUPAKAN TEMPAT KEDUDUKAN TITIK TITIK PADA
SEBUAH BIDANG DENGAN JARAK SAMA TERHADAP SUATU TITIK
TERTENTU
• A.PERSAMAAN LINGKARAN BERPUSAT 0 (0,0) DAN JARI JARI r
•
• D.MENCARI PUSAT DAN JARI JARI DARI PERSAMAAN LINGKARAN
DALAM BENTUK
•
• C.PERSAMAAN LINGKARAN BERPUSAT P(A,B) DAN BERJARI JARI r
•
• B.PERSAMAAN LINGKARAN BERPUSAT 0 (0,0)DAN MELALUI A(X,Y)
•

25. CONTOH SOAL
• A.TENTUKAN PERSAMAAN LINGKARAN YG BERPUSAT 0 (0,0)DAN JARI JARI 7
• MAKA : X2 + Y2 = r2 = X2+Y2+72 = X2+Y2 =49
• B.LINGKARAN BERPUSAT 0(0,0) MELALUI A(2,3) BERAPA JARI JARI TSB?
• JAWAB: X2+Y2=r2 = 22+33 =r2 = 13 = r2 =r = AKAR 13
• C.RUMUS DARI PERSAMAAN LINGKARAN BERPUSAT P(A,B) DAN BERJARI JARI R ADALAH
• (X-A)2 + (Y-B)2 = R2
• D.RUMUS PUSAT DAN JARI JARI DARI PERSAMAAN LINGKARAN DALAM BENTUK
• X2+Y2+AX+BY+C= 0
•
•

26. FUNGSI DAN GRAFIKNHYA
• PENGERTIAN:
• FUNGSI MERUPAKAN HAL PENTING DALAM
KALKULUS KARNA FUNGSI MENGGAMBARKAN
HUBUNGAN HUBUNGAN DALAM DUNIA NYATA
YG DINYATAKAN DALAM BENTUK MATEMATIKA
MISALKAN TEMPERATUR DIDIH AIR
TERGANTUNG DARI KETINGGIAN DAERAH

27. MACAM MACAM FUNGSI :
• A. FUNGSI LINEAR MEMPUNYAI RUMUS SBB:
• F(X) = AX + B
• B.FUNGSI KUADRAT MEMPUNYAI RUMUS SBB :
• F(X) =AX2+BX+C

28. JENIS FUNGSI MENURUT RELASI
• A.FUNGSI F DIKATAKAN SURJEKTIF JIKA SETIAP
ANGGOTA KODOMAIN MEMPUNYAI KAWAN
DENGAN SETIDAKNYA SATU ANGGOTA
• CONTOHNYA SEPERTI A={1,2,3,4} DAN
B={A,B,C,D} MAKA F = {1,A,2,B,3,C,4,D}
• B.DIAKATAKAN FUNGSI INJEKTIF JIJKA ANGGOTA
KODOMAINNYA HANYA BERKAWANAN DENGAN
TEPAT SATU ANGGOTA DOMAIN
• C. DIKATAKAN FUNGSI BIJEKTIF JIKA FUNGSI
MEMENUHI SIFAT FUNGSI SURJEKTIF SEKALIGUS
INJEKTIF

29. FUNGSI DAN KOMPOSISI
• KOMPOSISI FUNGSI ADALAH METODE PERGABUNGAN
DUA FUNGSI ATAU LEBIH SECARA BERURUTAN
SEHINGGA MENGHASILKAN SEBUAH FUNGSI
BARU.FUNGSI DAN KOMPOSISI DIDEFINISIKAN SBB :
• (fog)(x) = f(g(x)

30. CONTOH
• 1.OPERASI PADA FUNGSI
• CONTOHNYA :
• F(X) = X-2 DIBAGI 5 DAN G(X) = X2 DIBAGI 5
• CARILAH.
• 1.(F+G)(X) =F(X)+G(X)
• MAKA =X-2/5+ X2 /5 = X2+X-2/5
• 2. KOMPOSISI FUNGSI TIDAK DAPAT DIBALIK CONTOHNYA:
• F(X) = 2X+3 DAN G(X)=AKAR X
• (FOG)(X)=(F(G(X))=F(AKAR X))=F(AKAR X) = 2 AKAR X+3
• (FOG)(X) ≠ (GOF)(X

31. FUNGSI INVERS
• FUNGSI INVERS (FUNGSI KEBALIKAN)
ADLAAH FUNGSI YG MERUPAKAN
KEBALIKAN AKSI DARI SUATU FUNGSI
• Sebuah fungsi f mempunyai fungsi
invers (kebalikan) f-1 jika f adalah
fungsi satu-satu dan fungsi pada
(bijektif). Hubungan tersebut bisa
dinyatakan seperti berikut:
• (f-1)-1 = f

32. Terdapat 3 tahapan untuk menentukan fungsi
invers, antara lain:
• Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x =
f(y).
• Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).
• Ubahlah variabel y dengan x sehingga akan
didapatkan rumus fungsi invers f-1(x).

33. LIMIT DAN FUNGSI KONTINU
• Limit fungsi adalah perilaku suatu fungsi mendekati
suatu nilai tertentu.
• Jika suatu fungsi memetakan hasil f(x) untuk setiap
nilai x, maka fungsi tersebut memiliki limit dimana
x mendekati suatu nilai untuk f(x).

34. “RUMUS LIMIT FUNGSI”

35. CONTOH SOAL
• Tentukan limit dari suatu fungsi berikut ini.
• Pembahasan
Limit aljabar bentuk
• Substitusikan saja nilai x, maka
•