DERET UKUR

1. MATEMATIKA EKONOMI
ADI MUSHARIANTO, S.E., M.M.
PROGRAM STUDI D3/S1/AKT/MNJ
ITB AHMAD DAHLAN JAKARTA
DERET UKUR

2. DEFINISI DERET UKUT
• Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan
tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah
deret ukut dinamakan “Pengganda/Pembanding” (p).
• Deret ukur adalah suatu rangkaian bilangan yang
membentuk suatu deret dengan pola perubahannya
diperoleh dengan cara mengalikan antara suku yang satu
dengan suku bilangan tertentu.
• Deret ukur digolongkan berdasarkan jumlah sukunya,
yaitu deret ukur berhingga dan deret ukut tidak
terhingga

3. BENTUK UMUM DERET UKUR
1. Menentukan besarnya suku ke-n
Dimana:
– Sn = suku ke-n
– a = suku pertama
– p = pengganda/pembanding
– n = jumlah suku dalam deret
Sn = a . pn – 1 Suku Pertama = S1 = a
Suku Kedua = S2 = ap
Suku Ketiga = S3 = ap2
Suku ke-n = Sn = ap(n – 1)

4. BENTUK UMUM DERET UKUR
2. Menentukan Jumlah suku ke-n dari deret ukur
𝑷 =
𝑺𝒏
𝑺(𝒏 − 𝟏)
3. Pengganda/Pembaning (p)
𝑱𝒏 =
𝒂(𝒑𝒏 −𝟏)
𝒑 −𝟏
Bila p > 1
𝑱𝒏 =
𝒂(𝟏 − 𝒑𝒏)
𝟏 −𝒑
Bila p < 1

5. CONTOH DERET UKUR
Deret ukur 15, 30, 60, 120, 240
Maka;
• Pengganda (p) = 2
• Suku ke-n dari deret ukur
Sn = a . Pn – 1
S1 = a = 15
S2 = ap = 15(2) = 30
S3 = ap2 = 15(2)2 = 60
S4 = ap3 = 15(2)3 = 60
S5 = ap4 = 15(2)4 = 60

6. CONTOH DERET UKUR
• Menentukan jumlah n suku dari deret ukur.
Karena nilai p adalah 2, maka p>1 dan rumus
yang digunakan adalah:
𝑱𝒏 =
𝒂(𝒑𝒏 −𝟏)
𝒑 −𝟏
Bila p > 1
J1 = a(21 – 1) / 2 – 1 = a 15
J2 = a(22 – 1) / 2 – 1 = 3a 45
J3 = a(23 – 1) / 2 – 1 = 7a 105
J4 = a(24 – 1) / 2 – 1 = 15a 225
J5 = a(25 – 1) / 2 – 1 = 31a 465

7. PENERAPAN DERET UKUR DALAM
EKONOM DAN BISNIS
• Penerapan deret ukur dalam ekonomi dan
bisnis digunakan dalam masalah bunga
berbunga (bunga majemuk dan present
value), masalah pinjaman, masalah
pertumbuhan dan masalah investasi yang
dihubungkan dengan tingkat suku bunga
dalam jangka waktu tertentu yang besarnya
diasumsikan tetap dari waktu ke waktu

8. CONTOH_1 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Tuan Ahmad menabung di Bank sejumlah
uang sebesar Rp 100.000 dengan bunga 10%
per tahun, maka tentukanlah:
– Perkembangan uang setelah tahun pertama
sampai tahun ketiga?
– Perkembangan uang setelah tahun pertama dan
tahun kedua apabila bunga dibayarkan bulanan?

9. CONTOH_1 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Penyelesaian
• Rumus untuk menentukan nilai uang di masa
mendatang (future value) adalah
• Dimana
Fn = adalah nilai uang dimasa mendatang
p = adalah jumlah uang sekarang
i = adalah bunga per tahun
n = adalah jumlah tahun
Fn = P (1 + i)n

10. • Rumusan diatas digunakan untuk tabungan
yang digandakan setahun sekali, sedangkan
untuk penggandaan yang lebih dari sekali
dalam setahunnya digunakan rumus:
• Dimana m adalah pembayaran dalam setahun
CONTOH_1 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
Fn = P (1 + i/m)n.m

11. CONTOH_1 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Perkembangan uang setelah tahun pertama
sampai tahun ketiga:
• Perkembangan uang setelah tahun pertama dan
kedua apabila bunga dibayarkan bulanan (m =
12 kali)
F1 = 100.000(1 + 0,10)1 = Rp 110.000
F2 = 100.000(1 + 0,10)2 = Rp 121.000
F3 = 100.000(1 + 0,10)3 = Rp 133.100
F1 = 100.000(1 + 0,10/12)12 = Rp 110.471,13
F2 = 100.000(1 + 0,10/12)24 = Rp 122.039,10

12. CONTOH_2 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Tuan Badu akan memperoleh pendapatannya
setahun yang akan datang sebesar Rp 11.000.000.
untuk dua tahun yang akan datang menjadi Rp
12.100.000 dan tiga tahun yang akan datang
menjadi Rp 13.310.000. bila bunga yang berlaku
adalah 10% per tahun dan dibungakan sekali
dalam setahun, maka:
– Uang Tn. Badu sekarang dari pendapatan 1 tahun y.a.d.
– Uang Tn. Badu sekarang dari pendapatan 2 tahun y.a.d.
– Uang Tn. Badu sekarang dari pendapatan 3 tahun y.a.d.

13. CONTOH_2 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Penyelesaian:
• Rumus untuk menentukan nilai uang sekarang
adalah:
• Maka;
– P1= 11.000.000/(1 + 0,1)1 = Rp 10.000.000
– P2= 12.100.000/(1 + 0,1)2 = Rp 10.000.000
– P3= 13.310.000/(1 + 0,1)3 = Rp 10.000.000
𝑷 =
𝑭𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏

14. CONTOH_2 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Dhila menyimpan uangnya di BMRI sebesar Rp
1.000.000 dengan bunga 24% yang
dimajemukkan seperduabelas tahunan selama 1
tahun hitunglah besarnya bunga efektif yang
ekuivalen dengan bunga nominal tersebut?
• Penyelesaian:
• Selama satu tahun dengan bunga 24% maka
bunga majemuknya adalah:
• Rp 1.000.000 x (1 + 0,24/12)12 atau
• Rp 1.000.000 x (1,02)12

15. CONTOH_2 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Dengan demikian, ada hubungan sebagai
berikut:
• Rp. 1 juta + (x) Rp 1 juta = Rp 1 juta x (1,02)12
• Rp. 1 juta + (x) Rp 1 juta = Rp 1 juta x (1,2682)
• (1 + x) Rp 1 Juta = Rp 1 Juta (1,2682)
• (1 + x) = 1,2682
• X = 0,2682
• X = 26,82%  24 % ekivalen dan 26,82%

16. CONTOH_3 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
• Pada tanggal 1 Januari 2018 Budi
mendepositokan uangnya sebanyak Rp 1.000.000
di BMRI berjangka waktu 1 tahun. Ketentuannya
sebagai berikut:
• Jika bunga diterima diakhir periode/jatuh tempo
maka bunganya 26,82%
• Jika bunga diterima setiap bulan maka bunganya
dalah 24%
• Berapakah jumlah bunga yang diterima
berdasarkan 2 kriteria diatas?

17. CONTOH_3 PENERAPAN DERET UKUR
DALAM EKONOM DAN BISNIS
Penyelesaian
• Jika bunga diterima pada saat jatuh
tempo:
–26,82% x Rp 1.000.000 = Rp 268.200
–Saldo uang 31 Des 2018 = Rp 1.268.200
• Jika bunga diterima setiap bulan:
–24%/12 = 2% x Rp. 1.000.000 = Rp 20.000
sebanyak 12 kali.