En la siguiente guía se estudian las condiciones de continuidad en funciones conocidas tanto en un punto como en un intervalo, así como también la Discontinuidad, sus tipos y aplicaciones

1. Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda
Programa: Ing. Biomédica
Unidad Curricular: Matemática I
CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
Prof.: Ing. Jocabed Pulido T (Esp.)
Coro, septiembre de 2021

2. CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
Geométricamente la continuidad de una función es fácil de explicar ya que una función es continua
si en su gráfico no hay saltos no interrupciones en otras palabras si su gráfico puede ser trazado sin
levantar el lápiz del papel.
Este concepto puede llevarse a la cotidianidad cuando observas las filas en bancos, supermercados
si no hay saltos o espacios vacíos notas que existe continuidad en el caso específico de la imagen se
puede analizar que no hay continuidad debido a los espacios vacíos entre las personas
Condiciones de Continuidad de Funciones Reales:
En Matemática existen las siguientes condiciones para saber si una función es continua:
1. La función está definida en el punto dado
2. El límite de la función existe
3. El resultado de La función y el limite deben ser iguales.
Condición 1:
Ahora consideraremos la función 𝑓(𝑥), si se desea saber que es continua en un punto 𝑥 = 𝑎 siendo
a un número real cualquiera como paso inicial sustituyo ese valor a en la función y reviso cual fue
mi resultado.
En el caso de obtener mi resultado numérico afirmo que la función está definida en a , es decir,
existe 𝑓(𝑎).
Nota: Las funciones potencias, funciones polinómicas cuyos dominios abarcan todos los números
reales lógicamente cumplirán con esta condición y con las otras restantes por lo que se consideran
continúan para todo número real.
Condición 2:
El límite de la función debe existir, es decir se debe cumplir lo que estudiamos en el tema de límites
que en el caso que evaluemos los límites laterales éstos deben ser iguales.

3. Condición 3:
Esta es la condición más sencilla, pues; luego de obtener los resultados solo te falta compararlos y
decidir en el caso que sean iguales se afirma que se cumplen las tres condiciones y en el caso que
sean diferentes se indica que la Condición 3 no se cumple.
Algunas preguntas simples que surgen en el tema de continuidad son las siguientes:
1 ¿Cuándo se afirma que una función es continua?
Una función es continua en punto real cuando se cumplen las tres condiciones que acabamos de
mencionar
2 ¿Cuándo se afirma que una función no es continua?
Se dice que una función no es continua o discontinua cuando no se cumple al menos una de las
tres condiciones de continuidad.
La palabra al menos suele relacionarse con desigualdad, pero una forma práctica para entenderla
es mediante la siguiente situación cotidiana:
Continuidad de Funciones Conocidas:
Función raíz cuadrada:
Debido al dominio de la función antes mencionada se puede analizar el hecho que es continua solo
para números reales positivos tal como el que aparece en el ejemplo anterior. En el caso que se
pidiera demostrar porque la función no es continua en números negativos basta con decir que la
función no está definida y no es necesario seguir con las otras condiciones.
Ejemplo:
Demostrar que la función dada es continua en 𝑥 = 9
𝑓(𝑥) = √𝑥
Condición 1: La función está definida en el punto dado
En forma general y simple afirmamos que una función es continua cuando se cumplen las tres
condiciones de resto se dice que no es continua
Suponiendo estas buscando trabajo y exigen al menos 2 años de experiencia
laboral, esto implica que si quieres optar al puesto necesitarías como mínimo 2
años de experiencia, si tienes más años trabajando sería un buen indicio que
estas calificado para el trabajo

4. 𝑓(9) = √9 = 3
Condición 2: El límite de la función existe
lim
𝑥→9
√𝑥 = √lim
𝑥→9
𝑥 = √9 = 3
Condición 3: El resultado de La función y el limite deben ser iguales.
𝑓(9) = lim
𝑥→9
√𝑥 = 3
Conclusión: Como se cumplen las tres condiciones queda demostrado que la función es continua en
𝑥 = 9
Función Valor Absoluto:
La función valor absoluto se caracteriza por ser continua en todos los números reales, dado que su
dominio no presenta restricciones y por lo tanto está definida en toda la recta real. Para demostrar
esta continuidad se deben revisar las tres condiciones antes mencionadas veamos el siguiente
ejemplo
Ejemplo:
Probar que la función valor absoluto 𝑓(𝑥) = |𝑥| es continua en 𝑥 = 0
Condición 1: La función está definida en el punto dado
|0| = 0
Condición 2: El límite de la función existe
lim
𝑥→0
|𝑥| = |0| = 0
Condición 3: El resultado de La función y el limite deben ser iguales.
|0| = lim
𝑥→0
|𝑥| = 0
Conclusión: Como se cumplen las tres condiciones queda demostrado que la función es continua en
𝑥 = 0

5. Continuidad en Operaciones con Funciones:
Si f y g son continuas entonces en el número real c entonces también son continuas las operaciones
que involucran a tales funciones tales como suma, resta, multiplicación y división en este último
caso con la excepción que el denominador sea diferente de cero.
Ejemplo:
Probar que la función ℎ(𝑥) = √𝑥 + |𝑥| es continua es 𝑥 = 4
√𝑥 es continua en todos los números reales positivos que involucra a 𝑥 = 4 y |𝑥| es una función
continua en todos los números reales por lo que se mencionó anteriormente la suma de funciones
continua genera una nueva función que también es continua.
Continuidad de Funciones a trozos:
Ejemplo:
Probar que la función dada es discontinua en el punto 3.
𝑓(𝑥) = {
𝑥2
− 2𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 3
4 𝑠𝑖 𝑥 = 3
−𝑥 + 8 𝑠𝑖 > 3
Condición 1: La función está definida en el punto dado
Si 𝑓(3) = 4
(Ver intermedio de la función)
Condición 2: El límite de la función existe
lim
𝑥→3+
−𝑥 + 8 = −3 + 8 = 5
lim
𝑥→3−
𝑥2
− 2𝑥 + 2 = 32
− 2(3) + 2 = 5
Como los límites laterales son iguales concluimos que el límite de la función existe y es 5
lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 5
Condición 3: El resultado de La función y el limite deben ser iguales.
Si 𝑓(3) ≠ lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)
Conclusión: Como no se cumple la tercera condición queda demostrado que la función no es
continua en 𝑥 = 3

6. Ejemplo:
Encuentra el valor de K para que la función dada sea continua en 𝑥 = −2
𝑓(𝑥) = {
𝑥3
𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
𝐊𝑥2
− 2𝑥 𝑠𝑖 ≥ −2
Para que la función sea continua el límite debe existir, es decir cumplirse la continuidad lateral ser
continua por la izquierda y por la derecha en -2. Para lo cual es necesario calcular los límites laterales
lim
𝑥→−2−
𝑥3
= (−2)3
= −8
lim
𝑥→−2+
𝐊(2)2
− 2(−2) = 4𝐊 + 4
Debemos recordar que el límite existe cuando los limites laterales existen y son iguales por lo tanto
necesitamos igualar los resultados obtenido
4𝐊 + 4 = −8 4𝐊 = −12 𝐊 = −3
Continuidad en Intervalos:
Se dice que una función es continua en un intervalo (a,b) si f es continua en todo punto del intervalo.
En general una función es continua es aquella que es continua en todos los puntos de su dominio,
pero no es necesario que lo sea en todos los puntos del intervalo por ejemplo la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
no es continua en el intervalo [−1,1] pero si lo es en su dominio (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Ejemplos:
Indicar si la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑥 es continua en todos los números reales (−∞, +∞)
Según la definición anterior la función es continua en los puntos de su dominio, estudiando el
dominio de las funciones polinómicas observamos que abarca todos los números reales por lo que
afirmamos que la continuidad de la función dada es el intervalo (−∞, +∞). Veamos otro ejemplo
en el cual existe una división de funciones y debemos pensar un poco más en la continuidad de las
funciones involucradas
Ejemplo:
Indicar el intervalo en el cual la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 2𝑥 − 5 es continua.
La función raíz cuadrada es continua en el intervalo [0,+∞) y la función polinómica es continua en
todos los reales, por la restricción de la función raíz cuadrada que la compone se dice que la función
dada es continua en el intervalo [0,+∞).
Dado que muchas funciones en Matemática son compuestas, así como la que acabamos de estudiar
en el ejemplo vamos a estudiar la continuidad de las funciones compuestas.

7. Continuidad de Funciones Compuestas:
Si f es continua en un punto c y g es continua en f (c) entonces f o g es continua en f (c). Generalmente
en este tipo de funciones también hay que considerar la premisa que en general cada función es
continua en su dominio y que si existe una restricción tal como el ejemplo anterior ésta afectara a
la otra función involucrada ya que afecta el dominio de la función. (Revisar Consideraciones
Preliminares)
Ejemplo:
Probar que la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
3
1+𝑥4 es continua en todos los puntos de su dominio
En este caso el denominador es una potencia racional de la función identidad y el denominador es
una función polinomio positiva en todos sus puntos lo que implica que no va a llegar a ser cero por
lo que no presenta ningún tipo de restricciones y su dominio son todos los números reales
(−∞, +∞).
Tipos de discontinuidad:
Discontinuidad Removible:
Se dice que la función presenta una discontinuidad removible en el punto 𝑥 = 𝑎 cuando lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
existe. Se llama de esta manera debido a que la función en cuestión se puede redefinir de modo que
la discontinuidad sea eliminada. Evidentemente que esa redefinición debe ser del siguiente modo
𝑓(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
Ejemplo:
Probar que la función dada tiene una discontinuidad removible en 𝑥 = 4 y redefinirla para remover
la discontinuidad
𝑓(𝑥) = {
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
6 , 𝑠𝑖 𝑥 = 4
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 4
La primera condición de continuidad se cumple ya que f está definida en 4 en efecto 𝑓(4) = 6
La segunda condición también se cumple aplicando la fórmula de simplificación que vimos en el
tema de límites veamos el procedimiento:
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
=
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
=
0
0
𝑥2
− 16 = (𝑥 + 4). (𝑥 − 4)

8. 𝑥2
− 16
𝑥 − 4
=
(𝑥 + 4). (𝑥 − 4)
𝑥 − 4
= 𝑥 + 4
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
𝑥 + 4 = 8
No se cumple la última condición, pero la función puede redefinirse 𝑓(4) = 8
Donde la función continua es como se indica
𝑓(𝑥) = {
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
8 , 𝑠𝑖 𝑥 = 4
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 4
Discontinuidad Esencial:
Se dice que la función presenta una discontinuidad esencial en el punto 𝑥 = 𝑎 cuando lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) no
existe. En este caso no hay forma de redefinir la función y salvar la discontinuidad.
Recordemos que en el tema de límites analizamos la premisa que un límite existe si los limites
laterales existen y son iguales en caso que sean diferentes entonces afirmamos que no existe.
Ejemplo:
Probar que la función 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
|𝑥+2|
tiene una discontinuidad esencial en 𝑥 = 2
Calculemos los límites laterales
lim
𝑥→2+
𝑥 + 2
|𝑥 + 2|
= lim
𝑥→2+
𝑥 + 2
𝑥 + 2
= 1
lim
𝑥→2−
𝑥 + 2
|𝑥 + 2|
= lim
𝑥→2−
𝑥 + 2
−(𝑥 + 2)
= −1
Como los límites laterales son diferentes concluimos que la función no tiene límite en 𝑥 = 2 por lo
que presenta un discontinuidad esencial en dicho punto.

9. ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN: LA CONTINUIDAD ES LA CLAVE DEL ÉXITO
PARTE I: CONOCIMIENTOS BÁSICOS
Indica como verdadera o falsa las siguientes afirmaciones sobre funciones reales en cada caso
justifica tu respuesta (1 pto. c/u)
1.1 Las funciones que están definidas en todos los números reales son continuas en todos los
números reales
1.2 La función 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
es una función continua en todos los números reales porque |𝑥| es
continua
1.3 La discontinuidad esencial ocurre cuando no se cumple una de las condiciones de continuidad
1.4 La discontinuidad removible ocurre cuando se incumple una de las condiciones de continuidad
PARTE II: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
Resuelve cada uno de los ejercicios que se muestran a continuación.
Demostrar que la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 no es continua en 𝑥 = −1
Probar que la función valor absoluto 𝑓(𝑥) = |𝑥| es continua en 𝑥 = 10
Porque podríamos considerar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 1 es continua en todos los números
reales
¿En qué puntos podemos considerar que las funciones dadas son continuas?
a)𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
+ 3𝑥 b)𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3
Encuentre el valor de b para el cual la función dada es continua
𝑓(𝑥) = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
𝐛𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2
Sea
𝑓(𝑥) = {
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
8 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
a)Probar que f tiene una discontinuidad removible en 𝑥 = 2
b) Redefinir f para remover la discontinuidad