dependencia lineal

1. DEPENDENCIA LINEAL
Se dice que un conjunto de funciones 𝑦1(𝑋),𝑦2(𝑋), 𝑦𝑛(𝑋) es linealmente dependiente en un
intervalo J. si existen constantes 𝑐1,𝑐2, …… 𝑐𝑛 no todas cero tales que
𝑐1.𝑦1(𝑋) + 𝑐2.𝑦2(𝑋) + ⋯.+𝐶𝑛𝑌𝑛(𝑥) = 0
Para todo x en el intervalo .si el conjunto de funcionesno es linealmente dependiente en el
intervalo. Se dice que es linealmente independiente
El conceptoanterior se analizael caso de los funciones
𝑦1(𝑥),𝑦2(𝑥)
Si estas son linealmente dependientes en un intervalo donde ambas estén definidas, existen
constantes 𝑐1𝑦 𝑐2 diferentes de cero tales que 𝑐1𝑦1(𝑥) + 𝑐2𝑦2(𝑋) = 0, entonces se puede
escribir
𝑦2(𝑥) =
−𝑐1(𝑦1)(𝑥)
c2
Es decir,si dos funcionessonlinealmente dependientes,entonces unaes múltiploconstante de
la otra. Así que dos funciones don linealmente independiente si ninguna es múltiplo constante
de la otra en un intervalo
Ejemplo N°.-01
Mostrar que las funciones 𝑦1 = 𝑒−3𝑥 𝑦 𝑦2 =
2
3
𝑒−3𝑥 son linealmente dependientes
Solución
Puestoque
𝑦1
y2
=
𝑒−3𝑥
2
3
𝑒−3𝑥
=
3
2
Como
3
2
= constante,entonces unafunciónes múltiplode la otra

2. Ejemplo N°.-2
Determinarsi las funciones 𝑦1(𝑥) = 𝑥, 𝑦2(𝑥) = 2 + √𝑥 , 𝑦3(𝑥) = −𝑥2,
𝑦4( 𝑥) = 4 + 2√𝑥 − 𝑥2Son linealmente dependientes
Solución
Las funcionesanterioressonlinealmente dependientes debidoaque 𝑦4(𝑥) se puede escribir
como unacombinación lineal de 𝑦1,𝑦2 𝑦 𝑦3 comose muestraa continuación
𝑦4(𝑥) = 0.𝑦1(𝑥) + 2𝑦2(𝑥) + 𝑦3
𝑦4(𝑥) = 2(2 + √𝑥) + (−𝑥2)
𝑦4(𝑥) = 4 + 2√𝑥 − 𝑥2
Con loque queda demostradola dependencia lineal,puestoque 𝑦4(𝑥) esmúltiplo constante
de la combinaciónde las otras funciones