En esta presentación se presentan ejemplos de los tipos de discontinuidad

1. Prof: Ing. Jocabed Pulido (Esp.)
Santa Ana de Coro, septiembre de 2021

2. DISCONTINUIDAD
Se dice que una función no es continua si se incumple una de las
condiciones de continuidad estudiadas .
Específicamente
• La función no está definida en el punto x=a
• El límite no existe en dicho punto
• La función es diferente al límite

3. ……………..DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES…………..
Geométricamente la discontinuidad se muestra cuando en el gráfico hay saltos e interrupciones en
otras palabras si su gráfico puede ser trazado levantando el lápiz del papel.

4. Para que la función sea discontinua se incumple al menos una de las
condiciones estudiadas anteriormente
La función f(x) debe estar definida en el punto x = a 𝑓 𝑎
El límite debe existir lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎

5. Ejemplos:
Demostrar que la función 𝒇 𝒙 = 𝒙 no es continua en 𝒙 = −𝟏
Condiciones de continuidad
1)La función debe estar definida en x = -1 𝑓 −1 = −1
Conclusión: La función no esta definida en el
punto por lo tanto
no es continua
Al incumplirse una
condición se dice
que la función no es
continua

6. Tipos de Discontinuidad
Discontinuidad Removible
En este tipo de discontinuidad se cumple que la función evaluada es diferente al límite. Dado que este
último existe hay opción de redefinir la función de modo que la discontinuidad sea eliminada de la
siguiente manera:
f(a) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
Específicamente podemos decir que en este caso no se cumple la condición #3 de continuidad

7. Probar que la función presenta discontinuidad removible
en el punto 3 . Redefinir la Función
Ejemplo
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 2𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 3
4 𝑠𝑖 𝑥 = 3
−𝑥 + 8 𝑠𝑖 > 3
Condiciones de continuidad
1)La función está definida en el punto dado 𝑓 3 = 4
2)El límite de la función debe existir lim
𝑥→3+
−𝑥 + 8 = −3 + 8 = 5
lim
𝑥→3−
𝑥2
− 2𝑥 + 2 = 32
− 2 3 + 2 = 5
Conclusión: Como no se cumple la condición 3 decimos que la función presenta una discontinuidad
removible
lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 3
3)

8. Probar que la función presenta discontinuidad removible
en el punto 3 . Redefinir la Función
Ejemplo
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 3
4 𝑠𝑖 𝑥 = 3
−𝑥 + 8 𝑠𝑖 > 3
𝑓 3 = 5
Redefinir la función:
En este caso hacemos que el valor de la función sea igual al límite obtenido es decir
Y volvemos a escribir la función dado incluyendo la redefinición
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 3
5 𝑠𝑖 𝑥 = 3
−𝑥 + 8 𝑠𝑖 > 3

9. Tipos de Discontinuidad
Discontinuidad Esencial
En este tipo de discontinuidad se cumple que el límite de la función no existe. Por lo tanto no hay manera
de redefinir la función y eliminar la discontinuidad

10. Probar que la función 𝑓 𝑥 =
𝑥+2
𝑥+2
tiene una discontinuidad esencial en 𝑥 = 2
Calculemos los límites laterales
lim
𝑥→2+
𝑥 + 2
𝑥 + 2
= lim
𝑥→2+
𝑥 + 2
𝑥 + 2
= 1
lim
𝑥→2−
𝑥 + 2
𝑥 + 2
= lim
𝑥→2−
𝑥 + 2
− 𝑥 + 2
= −1
Conclusión: Como los límites laterales son diferentes concluimos que la función no tiene límite
en 𝑥 = 2 por lo que presenta un discontinuidad esencial en dicho punto.
Ejemplo

11. GRACIAS POR SU ATENCIÓN