Límite y continuidad de una función  en el Espacio R3 Derivadas parciales Diferencial total. Gradientes Divergencia y  Rotor Plano tangente y recta normal Regla de la cadena Jacobiano. Extremos relativos Multiplicadores de Lagrange Integral en línea Teorema de Gauss Teorema de Ampere Teorema de Stoke Teorema de Green

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del poder Popular para la Educación.
I.U.P. Santiago Mariño.
EXTENSIÓN BARCELONA EDO. ANZOÁTEGUI
ESCUELA: INGENIERÍA MANTENIMIENTO MECÁNICO
MATERIA: matemática 3
Profesor (a):
Pedro Beltrán
Alumno
Algara, Diego
CI 2730544
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES

2. Índice
1. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
2. Derivadas parciales
3. Diferencial total.
4. Gradientes
5. Divergencia y Rotor
6. Plano tangente y recta normal
7. Regla de la cadena
8. Jacobiano.
9. Extremos relativos
10. Multiplicadores de Lagrange
11. Integral en línea
12.Teorema de Gauss
13.Teorema de Ampere
14.Teorema de Stoke
15.Teorema de Green

3. Introducción
Introducir al estudio de las funciones de varias variables, es decir, del tipo 𝑓 ∶ 𝑋 ⊂ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚,
donde R es el conjunto de números reales. Se distingue especialmente el caso m = 1, en el cual la
función se llama escalar, del caso general, en el que la función se llama vectorial. Se ha buscado
que la exposición sea clara evitando la abstracción innecesaria. Por ejemplo, en el caso de
funciones escalares, se han preferido demostraciones para funciones definidas en subconjuntos de
R 2 que permiten llamar a las variables x e y, en vez de pruebas en R n en general que obligan a
usar subíndices y puntos suspensivos 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛. Creemos que esto ayuda a quienes estudian el
tema por primera vez a concentrarse en las ideas que están en la demostración, minimizando las
complicaciones que genera trabajar con notaciones más complicadas. Sin embargo, en todos los
casos se dan los enunciados generales de los teoremas, para que se puedan aplicar en cualquier
situación y no solo en R 2 . Es de notar que las mismas pruebas que vemos en R 2 valen en
general, el lector interesado puede hacer el ejercicio de escribirlas por sí mismo

4. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
𝑠𝑒𝑎 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛
→ ℝ 𝑦 𝐿 ∈ ℝ, 𝑝 ∈ ℝ. 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒
lim
𝑥→𝑝
𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑑𝑜𝜀 > 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 𝑝 < 𝛿
Esto es una generalización del concepto de límite de funciones de una variable a funciones de
varias variables, una vez se reemplace la distancia ∥ 𝑒𝑛 ℝ 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ∥∥ 𝑒𝑛 ℝ𝑛
.Se
observa que la interpretación es la misma, 𝑒. 𝑗. , 𝑥 − 𝑦 es la distancia de x a y 𝑒𝑛 ℝ 𝑦 𝑥 − 𝑦
es la distancia de x a y en 𝑅𝑛
.

5. Sea 𝑓 ∶ 𝑅𝑛
⟶ 𝑅 y supongamos que existen dos números, L1 y L2 que satisfacen la anterior definición
de límite. Es decir, 𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) y 𝐿2 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑝 𝑓(𝑥)Entonces L1 = L2
El cálculo de límites de funciones de varias variables es más complicado que el cálculo de límites
de funciones con una sola variable
Consideremos le función
Límite y continuidad de una función en el Espacio R3

6. Vamos a demostrar que
En la definición de límite anterior tomamos 𝐿 = 0, 𝑝 =
(0; 0) y tenemos que probar que dado " 𝜀 > 0 existe
algún 𝛿 > 0 tal que
𝑓 𝑥, 𝑦 < 𝜀
𝑆𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥, 𝑦 < 𝛿 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑑𝑎𝑑𝑜 𝜀 > 0 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝛿 = 𝜀 > 0. 𝑠𝑖 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 = 𝜀
Entonces 𝑥2 + 𝑦2 < 𝜀 𝑦 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒
Ya que 𝑐𝑜𝑠(𝑧) ≤ 1 para cualquier 𝑧 ∈ ℝ. El razonamiento que acabamos de hacer demuestra que
𝑙𝑖𝑚𝑥;𝑦 → 0;0
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.

7. Derivadas parciales
Las derivadas parciales son derivadas direccionales según las direcciones 𝑒1 = (1,0) 𝑦 𝑒2 = (0,1) representan
la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes manteniendo
constantes las demás. Este proceso es conocido con el nombre de derivación parcial.
Definición (Derivadas parciales). Si 𝑧 = 𝑓 (𝑥 , 𝑦) es una función de dos variables se define la
derivada parcial de f en el punto (a , b)
 con respecto a x como  con respecto a y como
siempre que los límites anteriores existan.

8. Ejemplo
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑃𝑎𝑙𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 1,1
𝑢 = 0,1 𝑥 = 1
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑃𝑎𝑙𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 1,1
𝑢 = 1,0 𝑥 = 1

9. Diferencial total
Al igual que con las funciones de una variable, un incremento dx y dy en las variables independientes
produce un cambio ∆z en la variable dependiente z.
)
∆𝒛 = 𝒇 (𝒙 + 𝒅𝒙 , 𝒚 + 𝒅𝒚) − 𝒇 (𝒙 , 𝒚
En analogía con la diferencial de una función de una variable independiente ( 𝑑𝑓 = 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 ),
definimos la diferencial de una función de dos variables.
Sea z = f (x,y)una función para la cual existen las derivadas parciales 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦. Sean ∆𝑥 𝑦 ∆𝑦 cualquier
par de números no cero.
Entonces:
1) Las diferenciales de las variables independientes son 𝑑𝑥 = ∆𝑥, 𝑑𝑦 = ∆𝑦
2) La diferencial total de la función es 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑑𝑦

10. Ejemplos
1. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 + 𝒚
𝑋0 = 1 𝑌0 = 1
𝑓(1, 1) = 2
𝑑𝑥 = 0.5 𝑑𝑦 = 0.6
𝑓(1.5, 1.6) = 3.1
𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎𝑧 ∶
𝑓(𝑥𝑜 + 𝑑𝑥, 𝑦𝑜 + 𝑑𝑦) − 𝑓(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) = 1.1
2. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 − 𝒙𝒚
𝑥𝑜 = 1 𝑌𝑜 = 1
𝑓(1, 1) = 0
𝑑𝑥 = 0.2 𝑑𝑦 = −0.3
𝑓(1.2, 0.7) = 0.6
∆𝑧 = 𝑓(𝑥𝑜 + 𝑑𝑥, 𝑦𝑜 + 𝑑𝑦) − 𝑓(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) = 0.6
𝑑𝑧 = 0.3𝑥 + 0.2(2𝑥 − 𝑦)
𝑑𝑧 = 0.5
Este ejemplos se calculan ∆𝑧 𝑦 𝑑𝑧 sin graficar la superficie

11. 𝑆𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)𝑒𝑠
Gradientes
Se denota por ∇f . Es decir

12. 𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.
La derivada en un punto de una función real de variable real informa de lo que varía la función por cada unidad que
varía la variable independiente en ese punto. La misma información da el gradiente con cada una de sus componentes:
informa de lo que varía la función por cada unidad que varía cada variable en el punto que se considere. Así, que el
gradiente de una función f (x, y, z) en el punto (3, − 2,4) sea (2, 0, −1)significa que, por cada unidad que varía x en los
entornos más pequeños de 3 manteniéndose y y z en los valores y 𝒚 = 𝟐 𝑦 𝒛 = 𝟒 , f varía 2; que f no varía si y varía en
pequeños entornos de -2 con x y z constantes en 3 y 4; y que f disminuye 1 por cada unidad que se incrementa z en
pequeños entornos de 4 con x e y en 3 y -2.
El gradiente de la función f en cualquier punto (x, y, z) se designa por
𝐸𝑙 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝛻 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎3. 𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟4 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒𝑠

13. Puesto delante de una función f real de tres variables reales indica (5); o sea, da el gradiente de f.
𝛻𝑓 se lee gradiente de f, y nabla de f.
Gradiente de f se designa también con gradf, de manera que se puede escribir
Si f es función de una sola variable, su gradiente en cada punto solo tiene una componente, que es la
derivada de f en ese punto.
Como cada derivada parcial en un punto de una función es un número real, el gradiente en cada punto es un
conjunto ordenado de números reales; o sea, un vector de dimensión el número de variables de la función f.
Así 𝛻𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) es un vector de dimensión 3 en cada punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) . Por eso el gradiente de 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) se
escribe también

14. El gradiente de f es, por tanto, una función vectorial5 de las mismas variables reales que f.
Si una función vectorial es el gradiente de una función escalar, la función escalar se llama potencial de la
función vectorial. Por tanto la función f es el potencial de la función vectorial 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝛻𝑓 .
Con la nueva notación resulta que el operador 𝛻 se puede escribir con cualquiera de los tres miembros de
la igualdad
Y el gradiente de f con cualquiera de los siguientes cuatro miembros:

15. Divergencia y Rotor
Divergencia
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto ∈ ⊆ ℝ𝒏
y consideremos
sus coordenadas 𝑭 = (𝑭𝟏, 𝑭𝟐, . . . , 𝑭𝒏). Supongamos que F es diferenciable en un
punto ∈ 𝛀, lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares
𝑭𝒌, 𝒄𝒐𝒏 𝒌 = 𝟏, 𝟐, . . . , 𝒏, sean diferenciables en el punto a. De hecho cada vector
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝛁𝑭𝒌(𝒂) es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues
bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el
punto a, y se denota por divF(a). Así pues, se tendrá

16. Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de 𝛀 tenemos una
función 𝒅𝒊𝒗𝑭 ∶ 𝛀 → ℝ que en cada 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒙 ∈ 𝛀 toma el valor div F(x) de la
divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones,
válida en todo punto de 𝛀:
 Para un campo vectorial plano (𝒙, 𝒚) → 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝑷 𝒙, 𝒚 , 𝑸 𝒙, 𝒚 , que sea
diferenciable en un punto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), tendremos

17. Cuando F sea diferenciable en un abierto ∈ ⊆ ℝ𝟐 podremos escribir
• Análogamente, si 𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒋 + 𝑹𝒌 es un campo vectorial en el espacio, diferenciable en un
𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 ), tendremos
y cuando F sea diferenciable en un abierto ∈ ⊆ ℝ𝒏
podremos escribir

18. Ejercicio
Hallar la divergencia del siguiente campo vectorial
Solución.
Usando la fórmula de la divergencia en el plano

19. Rotor
Rotacional en el espacio. 𝑺𝒆𝒂 𝑭 = (𝑷, 𝑸, 𝑹) un campo vectorial definido en un abierto 𝛀 ⊆ 𝑹𝟑
y
diferenciable en un punto a ∈ 𝛀 . Del mismo modo que la divergencia div F(a) se obtiene como el
producto escalar simbólico 𝛁. 𝑭(𝒂) , podemos pensar en el producto vectorial, también simbólico,𝛁. 𝑭 𝒂 .
El vector que así se obtiene es, por definición, el rotacional del campo F en el punto a y se denota
también por rot F(a). Así pues:
Cuando F sea diferenciable en todo el abierto 𝛀 podremos escribir:

20. Ejercicio
Hallar la rotacional del siguiente campo vectorial
Solución. Usando la fórmula de la rotacional
𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 34𝑥𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑖 + 𝑥𝑧𝑗𝑗 + +(4𝑦 − 8𝑥)𝑘
𝑟𝑜𝑡𝐹 x, y, z = 𝛻 x 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑖 𝑗 𝑛𝑏𝑠𝑝𝑘; 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
34𝑥𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥𝑧 4𝑦 − 8𝑥

21. Plano tangente y recta normal
Plano tangente
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a
las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P
Plano Tangente a una superficie
Sea z= f (x , y) una función escalar con derivadas parciales continuas en (a , b) del dominio de f . El
plano tangente a la superficie en el punto P( a, b, f(a, b)) es el plano que pasa por P y contiene a las
rectas tangentes a las dos curvas

22. Ecuación del Plano tangente
Dirección de un vector normal del plano tangente
a la superficie en P es:

23. Recta normal
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es
perpendicular al plano tangente
Sea una función escalar con derivadas parciales continuas en (a, b) del
dominio de f. La recta que pasa por el punto P( a, b, f (a, b)) en la
dirección del vector
Se conoce como recta normal a la superficie en el punto P.

24. Ecuación de la recta normal

25. Plano Tangente y recta normal a una superficie
Sea S una superficie de ecuación dada por:
Sea P (a, b, c) un punto de S
Sea C una curva contenida en S que pasa por P, definida por la función vectorial
Entonces F sobre los puntos de la curva vale:
Si F es diferenciable y existen las derivadas de x, y, z con respecto a t, de la regla de la cadena se
sigue:

27. Sea F diferenciable en un punto P (a, b, c) de la superficie S dada por
El plano que pasa por P y es normal aÑF (a,b, c) r se llama el plano tangente a S en P.
La recta que pasa por P en la dirección de ÑF(a,b, c) r se llama la recta normal a S en P.
Sea F diferenciable en un punto P (a, b, c), una ecuación del plano tangente a la superficie S
dada por F(x, y, z) = 0 en (a, b, c) es
F (a,b,c)(x−a)+F (a,b,c)(y−b)+F (a,b,c)(z−c) =0

28. Sea F diferenciable en un punto P (a, b, c), una ecuación de la recta normal a la superficie S dada
por F(x, y, z) = 0 en (a, b, c) es
𝒙 − 𝒂
)
𝑭𝒙(𝒂, 𝒃, 𝒄
=
𝒚 − 𝒃
𝑭𝒚(𝒂, 𝒃, 𝒄
=
𝒛 − 𝒄
)
𝑭𝒛(𝒂, 𝒃, 𝒄

29. Regla de la cadena
Para funciones de una variable la propiedad conocida como regla de la cadena nos decía que si z
= f (y) e y = g(x) entonces z = f (g(x)), verificándose que
La siguiente propiedad nos proporciona una generalización de la regla de la cadena para funciones de
varias variables
Sean las funciones 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚𝑦 𝑓: 𝑉 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ𝑝, 𝑐𝑜𝑚 𝑈 𝑦 𝑉 abiertos y tales que 𝑔 𝑈 ⊂ 𝑉
Consideremos la funcion ℎ: 𝑈 → ℝ𝑛
dada por ℎ 𝑋 = 𝑓 0 𝑔 𝑋 = 𝑓(𝑔 𝑋 )
Supongamos que g es diferenciable en 𝑋0 ∈ 𝑈 𝑦 𝑓 𝑒𝑠 diferenciable en 𝑌0 = 𝑔(𝑋0) ∈ 𝑉. Entonces ℎ =
𝑓 𝑜 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑝 es diferenciable en 𝑋0
𝐷ℎ 𝑋0 = 𝐷 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥0 = 𝐷𝑓(𝑌0) ∙ 𝐷𝑔(𝑋0)
Donde " ∙ " representa el producto de matrices

30. Ejemplo

32. Regla de la cadena. Primer caso particular
Sea 𝑔: ℝ → ℝ3 dada por 𝑔 𝑡 = 𝑡, 𝑡2, 𝑡3 y sea 𝑓: ℝ3 → ℝ dada por 𝑓: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. Verificar la
regla de la cadena f o g
Solución: Por el camino directo tenemos
𝒉 𝒕 = 𝒇 𝒐 𝒈 𝒕 = 𝒇 𝒈 𝒕 = 𝒇 𝒕, 𝒕𝟐, 𝒕𝟑 = 𝒕𝟐 + (𝒕𝟐)𝟐 + (𝒕𝟑)𝟐 = 𝒕𝟐 + 𝒕𝟒 + 𝒕𝟔
por lo que
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 2𝑡 + 4𝑡3
+ 6𝑡5
Por otro lado, utilizando la regla de la cadena se tiene
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
∙
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥 ∙ 1 + 2𝑦 ∙ 2𝑡 + 2𝑧 ∙ 3𝑡2 = 2𝑥 + 2𝑦𝑡 + 6𝑧𝑡2 = 2𝑡 + 4𝑡3 + 6𝑡5
El siguiente caso de la regla de la cadena que vamos a estudiar es, tal vez, el que más se nos
presente a lo largo del curso. Su aplicación es útil siempre que realicemos un cambio de variables en
el espacio; por ejemplo, de cartesianas a esféricas o de cartesianas a
cilíndricas

33. Regla de la cadena. Segundo caso particular
Sea ahora 𝑓: ℝ3 → ℝ 𝑦 𝑔: ℝ3 → ℝ3 con
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑤(𝑥. 𝑦. 𝑧))
Sea ℎ: ℝ3
→ ℝ la composición f o g definida por
ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑤(𝑥. 𝑦. 𝑧))
entonces se tiene que
de una aplicando el caso general de la regla
de la cadena tenemos

34. Jacobiano.
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz
jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor
al matemático Carl Gustav Jacobi
Matriz Jacobiana
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una
función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar
linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una
función multivariable
La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera
𝐹: ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑚 continua, es decir 𝐹 ∈ 𝐶(𝑘)
(ℝ𝑛
, ℝ𝑚
) se dirá que es diferenciable si existe una
aplicación lineal 𝜆 ∈ ℒ(ℝ𝑛 , ℝ𝑚) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒:
𝑙𝑖𝑚𝑥−𝑦 →0
𝐹(𝑥) − 𝐹 𝑦 ) − 𝜆(𝑥 − 𝑦
𝑥 − 𝑦
= 0

35. Función escalar
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar 𝐹: ℝ𝑛
→ ℝ𝑚
.
En este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila
que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para
cada variable puede verse que basta definir la matriz jacobiana como:
𝝀(𝒙) ≔ 𝛁𝑭 𝒙 =
𝛛𝑭 𝒙
𝛛𝒙𝟏
⋯
𝛛𝑭 𝒙
𝛛𝒙 𝒏
Funciones Paramétricas
En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está
dada en la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑜 𝑓(𝑥,𝑦) = 0, como en las igualdades 𝑦 =
5𝑥2
+ 3𝑥 𝑜 𝑥2
+ 𝑦2
= 4 sino que está determinada por un par de
ecuaciones en términos de una misma variable

36. Función vectorial
Supongamos 𝐹: 𝑅𝑛
→ 𝑅𝑚
es una función que va del espacio euclidiano n- dimensional a otro
espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales:
)
𝒚𝟏(𝒙𝟏, . . . , 𝒙𝒏), . . . , 𝒚𝒎(𝒙𝟏, . . . , 𝒙𝒏
Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la
matriz Jacobiana de
𝐹:
𝜕𝑦1
𝜕𝑥1
⋯
𝜕𝑦1
𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑦𝑚
𝜕𝑥1
⋯
𝜕𝑦𝑚
𝜕𝑥𝑛
Esta matriz esta notada de diversas maneras:
𝐽 𝐹 𝑥1, … , 𝑥 𝑛
𝜕 (𝑦1, … , 𝑦𝑚 )
𝜕( 𝑥11, … , 𝑥𝑛)
𝐷𝐹 𝑥1, … , 𝑥 𝑛
𝛻𝐹(𝑥1, … , 𝑥 𝑛)

37. Extremos relativos
Teorema: extremos relativos:
Sean f una función de clase C2 en un abierto del plano que es entorno del punto a, siendo a un punto crítico.
Llamamos a las derivadas parciales de f en a del siguiente modo:
A=D1,1f(a) B=D1,2f(a) C=D2,2f(a)
Y definimos el Hessiano de f en a como
𝑯 = 𝑨 ⋅ 𝑪 − 𝑩𝟐
El Hessiano es el determinante de la matriz Hessiana.
Entonces se cumple que
 Si H > 0 y A< 0, entonces f tiene un máximo local en a
 Si H > 0 y A > 0, entonces f tiene un mínimo local en a
 Si H < 0, entonces f tiene un punto de silla en a
Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la función es nulo. Es un punto donde la superficie
presenta un máximo con respecto a una dirección y un mínimo con respecto a la dirección perpendicular.

38. Extremos relativos
Una aplicación clásica del Teorema Local de Taylor es el estudio de los extremos relativos de una
función escalar. Aunque la analogía con el caso de una variable es total, hay algunas diferencias que
surgen de manera natural por el paso a una dimensión superior.
Trabajaremos con funciones escalares, definidas sobre un conjunto A ⊂ R k . Se dirá que la función f
: A ⊂ R k → R presenta un mínimo (máximo) absoluto en el punto a ∈ A si f(x) ≥ f(a) (f(x) ≤ f(a)) para
todo x ∈ A. Y se dirá que f presenta extremo relativo en a, si existe un entorno V de a contenido en A,
tal que la diferencia f(x)−f(a) no cambia de signo cuando x ∈ V :
Máximo Si f(x) − f(a) ≤ 0.
Mínimo Si f(x) − f(a) ≥ 0.
Luego sólo cuando a ∈ o A, es decir cuando f esté definida en alguna bola centrada en a, podremos
considerar la cuestión de si f presenta un extremo relativo en a

39. Multiplicadores de Lagrange
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así
en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos
de funciones de varias variables sujetas a restricciones.
Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k
variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas
más fácilmente.
Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas
multiplicadores de Lagrange
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias
variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las
condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la
función sean iguales a cero

40. EL METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se
definen s restricciones 𝒈𝒌 (𝒙) = 𝟎, 𝒌 = 𝟏,...,s, y se observa (si las restricciones son
satisfechas) que
ℎ 𝑥, 𝜆 = 𝑓 −
𝑘=1
𝑠
𝜆𝑘𝑔𝑘
Se procede a buscar un extremo para h
𝜕ℎ
𝜕𝑥𝑖
= 0
lo que es equivalente a
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑘
𝑠
𝜆𝑘
𝜕𝑔𝑘
𝜕𝑥𝑖
Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las
restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las
restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada

41. Integrales dobles y triples. Integral en línea
Integrales dobles
Sea una función de dos variables f = f(x, y) , definida en un recinto cerrado S de R2, y
consideremos que subdividimos este recinto S en pequeños rectángulos de
longitudes Dxi, Dyi (se dice que hemos realizado una partición del recinto cerrado S).
En cada uno de estos trocitos de superficie DSi, tomamos un punto interior, Pi(xi,yi); para
definir la integral doble de f(x, y) sobre el recinto cerrado S, debemos hacer una partición muy
fina, es decir, con todos estos elementos de superficie DSi tendiendo a anularse, y tendiendo su
número a ser infinito, entonces:

42. Propiedades:
Para la propiedad (3) hay que considerar el recinto cerrado S subdividido en dos partes cerradas S1 y S2.

43. Ejemplo 1: Hallar la integral
4 − 𝑥2
− 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦
Donde (S) es el dominio encerrado entre las líneas:
Solución:
La recta x=0 representa al eje vertical OY, la recta x = 1
es la vertical (línea verde en la gráfica). La
recta y=0 es el eje horizontal OX, mientras que la recta
y=3/2 es la de color violeta
El recinto cerrado (S) sobre el que se realiza la integral es el
cuadrilátero rectangular azul celeste de la figura.
A la hora de hacer la integración fijémonos que la variable
(primera) x varía entre los puntos 0 y 1, mientras que la variable
(segunda) y varía entre las líneas: y=0, y=3/2:
La integración es:
En primer lugar se realiza la integral interior, en este caso la que
es respecto a y (considerando las x como constantes), aplicando
a la primitiva la regla de Barrow. Tras esto nos quedará una
función dependiente de x que se integra y se aplica Barrow:

44. Integrales triples.
Sea una función de tres variables f = f(x, y, z) , definida en un
recinto tridimensional cerrado V de R3. Hacemos una partición
muy fina de este recinto V, mediante pequeños elementos de
volumen DVi, tomando en cada uno de ellos un punto interior
Pi(xi, yi, zi) , tal como se aprecia en la figura
Estos elementos DVi, al ser extremadamente pequeños pueden ser considerados como pequeñas 'cajitas' de
volumen: DVi = Dxi. Dyi. Dzi,
La integral de la función f(x, y, z) en el recinto V viene dada por la siguiente expresión:

45. Propiedades:
Para la propiedad (3) hay que considerar el recinto volumétrico V subdividido en dos partes
volumétricas disjuntas V1 y V2

46. Ejemplo 4: Hallar
Donde (V) es el recinto limitado por las siguientes superficies:
x = 0, y= 0, z = 0, x + y + z = 1.
Solución:
El recinto se halla dibujado a la izquierda: las superficies x = 0, y= 0, z = 0, son las tres paredes del
triedro principal, mientras que la superficie x + y + z = 1 es el plano que corta a OX en x=1, al eje OY en y=1, al eje
OZ en z=1. Este plano también se puede expresar en su forma segmentaria como:
Entonces los límites de integración quedan delimitados así:
Para la coordenada x (puntos): x = 0, x = 1.
Para la coordenada y (líneas): y = 0, y = 1-x (recta x+y=1).
Para la coordenada z (superficies): z = 0 (suelo), z = 1-x-y (plano inclinado).
Por lo tanto, la integral será:

47. En primer lugar hacemos la integral de z:
sustituimos este resultado en la integral de y e integramos:
en esta última integral hemos llamado k a la expresión constante: 1-x
Finalmente, el resultado obtenido en esta integral, (1-x)3/3, se junta a la integral de x:

48. Integral en línea
En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva
Integral de línea de un campo escalar
Sea 𝐶 ⊂ ℝ𝑛
una curva suave a trozos parametrizada por una función 𝒓: 𝒂, 𝒃 ⟶ ℝ𝑛
, si 𝑓: 𝐶 ⟶ ℝ es
un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar 𝒇 sobre 𝑪 (también llamada integral de
trayectoria), está definida como
𝑐
𝑓 𝑑𝑠 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑟 𝑡 ) )
𝑟(𝑡 𝑑𝑡
La función 𝑟: 𝑎, 𝑏 ⟶ ℝ𝑛
es una parametrización biyectiva arbitraria de 𝐶 donde 𝒓 𝒂 𝒚 𝒓(𝒃) son los puntos
iniciales y finales respectivamente.
En particular, cuando 𝑓 = 1 entonces obtenemos la longitud de la curva 𝐶 esto es
𝐿 𝐶 =
𝑐
𝑑𝑠 =
𝑎
𝑏
)
𝑟(𝑡 𝑑𝑡
Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de 𝐶 porque solo
depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de 𝐶, esto es, si 𝐶 es una curva simple
orientada y – 𝐶 denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
𝑐
𝑓 𝑑𝑠 =
−𝑐
𝑓 𝑑𝑠

49. Integral de línea de un campo vectorial
Sean𝐹: 𝑈 ⟶ ℝ𝑛 un campo vectorial continuo en una región 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 𝑦 𝐶 ⊂ 𝑈 una curva suave a
trozos parametrizada por una función 𝑟: 𝑎, 𝑏 ⟶ ℝ𝑛
, la integral de línea del campo vectorial F sobre
C en la dirección de r, está definida como.
𝑐
𝐹 ∙ 𝑑𝑟 =
𝑎
𝑏
)
𝐹(𝑟 𝑡 ) ∙ 𝑟(𝑡 𝑑𝑡.
Donde ∙ es el producto escalar y la función 𝑟: 𝑎, 𝑏 ⟶ ℝ𝑛
es una parametrización biyectiva arbitraria
de C donde 𝑟 𝑎 𝑦 𝑟(𝑏) son los puntos iniciales y finales respectivamente.
Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de C,
no son independientes de la orientación de C, para este tipo de integrales, si C es una curva simple
orientada y −𝐶 denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
𝑐
𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = −
−𝑐
𝐹. 𝑑𝑟

50. Teorema de Gauss
El teorema de Gauss nos dice que las posibles raíces de un polinomio se obtienen mediante del cociente entre
los divisores del término independiente y los divisores del coeficiente principal (coeficiente del término de mayor
grado).
Por ejemplo, imaginemos que tenemos un polinomio de grado 4:
Sus posibles raíces serían todos los cocientes de cada divisor de el coeficiente e y cada divisor del coeficiente a
Tendríamos que ir realizando los cocientes de todas las combinaciones de cada uno de los divisores del término
independiente entre cada divisor del coeficiente principal.
Para calcular cuales de estas posibles raíces corresponden a las raíces del polinomio, aplicamos el teorema del
resto, es decir, serán raíces aquellas que hagan que el valor del polinomio sea cero.
Donde a es el coeficiente principal y los diferentes x1, x2, x3… son las raíces del polinomio. Te recuerdo que el
número de raíces de un polinomio coincide con el grado de ese polinomio.

51. Teorema de Ampere
La ley que nos permite calcular campos magnéticos a partir de las corrientes
eléctricas es la Ley de Ampère. Fue descubierta por André - Marie Ampère en 1826 y
se enuncia:
𝐵𝑑𝑙 = 𝜇0𝐼𝑇
La integral del primer miembro es la circulación o integral de línea del campo
magnético a lo largo de una trayectoria cerrada, y:
 μ0 es la permeabilidad del vacío
 dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto
 IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la
trayectoria, y será positiva o negativa según el sentido con el
que atraviese a la superficie

52. Teorema de Stoke
El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial
F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la
circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente
normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente,
de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S.
Este teorema establece una relación entre una integral de línea y una de superficie,
En que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a
dicha superficie. La dirección de recorrido de la curva C determina la
orientación del vector, normal a la superficie

53. Teorema de Green
El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo
vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el
recinto que encierra la curva.
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente
orientada, en el plano ℝ𝟐
, y sea D la unión de la región interior a
C con la propia curva C. Sea 𝐹 = (𝑃, 𝑄) ∶ 𝐷 ⟶ ℝ2
un campo
vectorial de clase C1. Entonces se tiene que

54. Conclusión
El término integral para funciones en múltiples variables es mucho más diverso que ese para
funciones en una variable. La integral indefinida de una variable corresponde. en el caso
multidimensional, la integración de un campo vectorial, en lugar de ciertos. Las integrales
(reales o impropias) ocurren integrales de rango, integrales de curva y integrales de superficie.
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una
de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles
en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática

55. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=5DX0TxepEhg
https://www.youtube.com/watch?v=gM1ZCuPDP_A
https://www.youtube.com/watch?v=76bDFMTdvWg

56. Bibliografía
https://ocw.unican.es/pluginfile.php/2021/course/section/2376/Bloque4_FuncionesVariasVariables.pdf
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/varvaria/varvaria_total.html
https://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/Comentarios/Temas/ConceptoGradiente.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano
https://www.matesfacil.com/UNI/varias_variables/extremos/extremos-varias-variables.html
https://www.ecured.cu/Teorema_de_Stokes#:~:text=El%20Teorema%20de%20Stokes%20establece,sup
erficie%2C%20siendo%20la%20curva%20C