Phương Pháp Phương Trình Đại Số Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác.docx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
NGUYỄN THỊ KIM ANH
PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
Tải tài liệu tại sividoc.com
NGUYỄN THỊ KIM ANH
PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Tạ Duy Phƣợng
THÁI NGUYÊN - 2018

3
Mnc lnc
M đau 5
Chương 1 Phương pháp phương trình b c hai chfíng minh các
h thfíc lư ng giác 9
1.1. Các tính chat nghi m của phương trình b c hai................................. 9
1.2. Xây dựng phương trình b c hai mới tà phương trình b c hai đã biet 11
1.3. Phương trình b c hai liên quan đen giá trị lượng giác của
2π 4π
,
5 5
. 12
1.3.1. Các m nh đe liên quan đen giá trị lượng giác của
2π 4π
,
5 5
. 12
1.3.2. Các h thác liên qua đen giá trị lượng giác của
2π 4π
,
5 5
. . . 14
π
1.4. Phương trình b c hai liên quan đen giá trị lượng giác của góc
π12
1.4.1. Các m nh đe liên quan đen giá trị lượng giác của góc
π12
. 20
. 20
1.4.2. Các h thác liên quan đen giá trị lượng giác của góc
12
. . 21
Chương 2 Phương pháp phương trình b c ba chfíng minh các h
thfíc lư ng giác 23
2.1. Các tính chat nghi m của phương trình b c ba................................ 23
2.2. Xây dựng phương trình b c ba mới tà phương trình b c ba đã biet 26
2.3. Phương trình b c ba liên quan đen các giá trị lượng giác của các
góc
π 5π
, ,
18 18
7π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
18
2.3.1. Các m nh đe liên qua đen giá trị lượng giác của các góc
π 5π 7π
, ,
18 18 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4
2.3.2. Các h thác liên qua đen giá trị lượng giác của các góc
π 5π 7π
, ,
18 18 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Phương trình b c ba liên quan đen các giá trị lượng giác của các
góc
π 3π
, ,
7 7
5π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7
2.4.1. Các m nh đe liên quan đen giá trị lượng giác của các góc
π 3π 5π
, ,
7 7 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2. Các đȁng thác liên quan đen giá trị lượng giác của các góc
π 3π 5π
, ,
7 7 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 3 Phương pháp phương trình b c bon chfíng minh các
h thfíc lư ng giác 51
3.1. Các tính chat nghi m của phương trình b c bon.............................. 51
3.2. Xây dựng phương trình b c bon mới tà phương trình b c bon đã có 53
3.3. Phương trình b c bon liên quan đen các giá trị lượng giác của các
góc
π 3π
, ,
8 8
5π 7π
,
8 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
π 3π
, ,
8 8
5π 7π
,
8 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2. Các h thác liên quan đen giá trị lượng giác của các góc
π 3π
, ,
8 8
5π 7π
,
8 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Phương trình b c bon liên quan đen các giá trị lượng giác của các
góc
π 5π 9π
, , ,
16 16 16
13π
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
π 5π
, ,
16 16
9π 13π
,
16 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.2. Các đȁng thác liên quan đen giá trị lượng giác của các góc
π 5π
, ,
16 16
9π 13π
,
16 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ket lu n 73
Tài li u tham khảo 74

5
5 2 4
M đau
1. Lí do chon đe tài
Xét ba bài toán sau đây.
Bài toán 1 (Olympic Moskva, 1939, vòng 1) Cháng minh rang
2π 4π 1
cos + cos
5 5
= −
2
. (1)
Bài toán 2 (Vô địch Quoc te lan thá 5, 1963) Cháng minh rang
π 2π 3π 1
cos
7
− cos + cos
7
= . (2)
7 2
Bài toán 3 (THTT, tháng 10, so 232, năm 1996) tan
là các nghi m của phương trình
π
,tan
8
3π
,tan
8
5π 7π
, tan
8 8
t4
− 6t2
+ 1 = 0. (3)
Hai h thác (1) và (2) có the de dàng cháng minh nhờ phép bien đői lượng
giác. Tuy nhiên, tà hai h thác này ta khó có the phát hi n thêm nhǎng h
thác tương tự. M t khác, có the de dàng cháng minh rang (xem M nh đe 1.3.1)
2π 4π
cos , cos là các nghi m của phương trình t2
+
1
t −
1
= 0. Tương tự (xem
π 3π 5π
M nh đe 2.4.1), cos , cos , cos là nghi m của phương trình t3
−
1
t2
−
1
t+
7 7 7 2 2
1
= 0 và bài toán 3 đã được cháng minh trong M nh đe 3.3.1. Tà tính chat
8
nghi m của phương trình b c hai và b c ba, ta suy ra ngay các h thác (1) và
(2) (xem các H thác 1.3.1 và 2.4.1b). Tà tính chat nghi m của phương trình
b c hai, b c ba và b c bon, ta có the de dàng phát hi n và cháng minh khá
5

6
nhieu h thác lượng giác cháa các góc
2π 4π
,
5 5
ho c
π 3π 5π
, ,
7 7 7
hay
π 3π
, ,
8 8
5π 7π
,
8 8
mà không can sả dụng các phép bien đői lượng giác. Đó chính là ý tưởng cơ bản
và chủ đạo của lu n văn này.
Sả dụng các tính chat nghi m của phương trình b c ba đe phát hi n và cháng
minh các h thác (hình hoc và lượng giác) trong tam giác có lě lan đau tiên
được trình bày trong [6] và được phát trien trong [1]. Phát hi n và cháng minh
các h thác lượng giác nhờ sả dụng các tính chat nghi m của phương trình b c
bon có lě lan đau tiên được trình bày m®t cách h thong trong [2] và [3].
Như v y, ta có m®t nhịp cau noi Đại so (phương trình và hàm so) với Lượng
giác (các h thác của hàm so lượng giác có liên quan đ c bi t). Đây chính là
điem mới và khác bi t của lu n văn này so với các lu n văn đã có ve h thác
lượng giác. Ý tưởng sả dụng các tính chat nghi m của phương trình đại so đe
phát hi n và cháng minh các h thác lượng giác có lě lan đau tiên được trình
bày m®t cách h thong trong [3].
2. Lịch sfi nghiên cfíu
Chủ đe h thác lượng giác có vị trí và vai trò quan trong trong chương trình
môn Toán ở trường Trung hoc phő thông. Đã có khá nhieu tài li u viet ve chủ
đe h thác lượng giác. Tuy nhiên theo quan sát của chúng tôi chưa có nhieu tài
li u hay đe tài lu n văn cao hoc phân tích sâu ve h thác lượng giác.
3. Mnc đích, đoi tư ng, phạm vi nguyên cfíu
Lu n văn có mục đích trình bày phương pháp phương trình đại so cháng minh
các h thác lượng giác.
Đoi tượng, phạm vi nghiên cáu là h thác lượng giác của các góc có liên quan
đ c bi t.

7
4. Mnc tiêu của lu n văn
Trình bày phương pháp phương trình đại so đe phát hi n và cháng minh các
h thác lượng giác mới.
Ngoài ra nham so sánh phương pháp phương trình đại so với phương pháp cháng
minh thông thường (nhờ bien đői lượng giác), ở m®t so bài, lu n văn cũng trình
bày cả các kĩ thu t cháng minh truyen thong.
5. Phương pháp nghiên cfíu
Sả dụng công cụ phương trình đại so đe nghiên cáu h thác lượng giác.
6. N i dung của lu n văn
Ngoài phan mở đau, Ket lu n và Tài li u tham khảo. Lu n văn gom ba chương.
Chương 1. Phương pháp phương trình b c hai cháng minh các h thác lượng
giác.
Đau Chương 1 trình bày m®t so tính chat nghi m của phương trình b c hai, sau
đó xây dựng các phương trình b c hai mới tà các phương trình b c hai đã có.
Tà đó đưa ra các phương trình b c hai có nghi m liên quan đen giá trị lượng
giác của các góc đ c bi t roi đưa ra rat nhieu h thác lượng giác.
Chương 2. Phương pháp phương trình b c ba cháng minh các h thác lượng
giác.
Đau Chương 2 trình bày m®t so tính chat nghi m của phương trình b c ba, sau
đó xây dựng các phương trình b c ba mới tà các phương trình b c ba đã có. Tà
đó đưa ra các phương trình b c ba có nghi m liên quan đen giá trị lượng giác
của các góc đ c bi t roi đưa ra rat nhieu h thác lượng giác.
Chương 3. Phương pháp phương trình b c bon cháng minh các h thác lượng
giác.

8
Đau Chương 3 trình bày m®t so tính chat nghi m của phương trình b c bon,
sau đó xây dựng các phương trình b c bon mới tà các phương trình b c bon
đã có. Tà đó đưa ra các phương trình b c bon có nghi m liên quan đen giá trị
lượng giác của các góc đ c bi t, tà đó phát bieu và cháng minh rat nhieu h
thác lượng giác mới.
Lu n văn được hoàn thành tại trường Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái Nguyên.
Lời đau tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biet ơn sau sac đen thay giáo PGS.
TS. Tạ Duy Phượng. Thay đã định hướng chon đe tài và nhi t tình hướng dan
cũng như giải đáp moi thac mac của tôi trong suot quá trình làm lu n văn đe
tôi hoàn thành lu n văn này.
Tác giả xin chân thành cám ơn toàn the thay cô trong khoa Toán - Tin trường
Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái Nguyên đã t n tình hướng dan, truyen đạt
kien thác trong suot thời gian hoc t p, thực hi n và hoàn thành lu n văn.
Xin được cám ơn nhà trường THPT Que Võ So 1, tỉnh Bac Ninh.
Xin được cám ơn sự giúp đơ của bạn bè, người thân và các đong nghi p trong
suot thời gian hoc t p và hoàn thành lu n văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Tác giả
Nguyen Thị Kim Anh

9
1 2
Chương 1
Phương pháp phương trình b c hai
chfíng minh các h thfíc lư ng giác
Chương này trình bày m®t so tính chat nghi m của phương trình b c hai và
áng dụng trong phát hi n, cháng minh các h thác lượng giác mới.
1.1. Các tính chat nghi m của phương trình b c hai
Moi phương trình b c hai đeu đưa được ve dạng
x2
+ ax + b = 0. (1.1)
Phương trình (1.1) có hai nghi m x1, x2 thỏa mãn các tính chat sau.
Tính chat 1.1.1.
Tính chat 1.1.2.
σ1 = x1 + x2 = −a.
σ2 = x1x2 = b.
Tà hai tính chat cơ bản trên và sả dụng các tính chat đoi xáng của nghi m, ta
suy ra rat nhieu tính chat khác của nghi m phương trình b c hai, rat có lợi cho
nghiên cáu phương trình b c hai và trong cháng minh các h thác lượng giác.
Tính chat 1.1.3.
x2
+ x2
= a2
− 2b.

10
2
(− m
1) (k − m − 1
)
!
1 2
1 2
1 2
2
2 1 2 1 2
3
3 1 1 2 1 1 2
4
4 1 1 2
2 2 1 1 2 2
Tính chat 1.1.4.
x3
+ x3
= −a3
+ 3ab.
Tính chat 1.1.5.
x4
+ x4
= a4
− 4a2
b + 2b2
.
Tính chat 1.1.6.
Tính chat 1.1.7.
1 1
+
x1 x2
a
= −
b
.
1 1 a2
− 2b
x2 +
x2 =
b2
.
Tính chat 1.1.8.
1 2
1 1 −a3
+ 3ab
x3 +
x3 =
b3
.
Tính chat 1.1.9.
1 2
1 1 a4
− 4a2
b + 2b2
x4 +
x4 =
b4
.
1 2
Bo đe (Công thác Newton) Tőng lũy thàa Sk = xk
+ xk
được tính theo công
thác truy hoi
1 2
Sk = σ1Sk−1 − σ2Sk−2.
Tính chat 1.1.10. (Công thác Waring) Tőng lũy thàa Sk = xk
+ xk
được tính
theo công thác
k
Sk = k
Σ
1 2
σk−2m
σm
,
trong đó theo định nghĩa 0! = 1! = 1 và [x] là phan nguyên của x.
Các trư ng h p riêng:
S = 2
1
σ2
− σ = σ2
− 2σ .
S = 3
1
σ3
− σ σ = σ σ2
− 3σ .
S = 4
1
σ4
− σ2
σ +
1
σ2
= σ4
− 4σ2
σ + 2σ2
.
m=0 m!(k − 2m)!

11
b b
Cháng minh các tính chat này đã được trình bày ở chương 2 trong [3].
1.2. Xây dfing phương trình b c hai m i tfi phương
trình b c hai đã biet
M nh đe 1.2.1. Neu x1, x2 là nghi m của phương trình (1.1) với (b /= 0) thì
1 1
,
x1 x2
là nghi m của phương trình
bt2
+ at + 1 = 0 ⇔ t2
+
a
t +
1
= 0. (1.2)
M nh đe 1.2.2. Neu x1, x2 là các nghi m của phương trình (1.1) thì x2
, x2
là
1 2
nghi m của phương trình
t2
− (2b − a2
)t + b2
= 0. (1.3)
, x3
là
1 2
t2
+ (a3
− 3ab)t + b3
= 0. (1.4)
, x4
là
1 2
t2
+ (−a4
+ 4a2
b − 2b2
)t + b4
= 0. (1.5)
Cháng minh các M nh đe trên có the xem mục 2.2 Chương 2 trong [3].
Nh n xét Tà M nh đe 1.2.1 đen 1.2.4 và các tính chat trong 1.1, ta có the tiep
tục xây dựng nhieu phương trình b c hai mới và tà đó có the cháng minh được
rat nhieu đȁng thác lượng giác mới.

12
2 4
5 10 10
2 10 5
1.3. Phương trình b c hai liên quan đen giá trị
lư ng giác của
2π 4π
,
5 5
2π 4π
1.3.1. Các m nh đe liên quan đen giá trị lư ng giác của ,
5 5
M nh đe 1.3.1. cos
2π
, cos
5
4π
5
t2
+
1
t −
1
= 0. (1.6)
Chfíng minh 1. Sả dụng công thác bien tích thành tőng và công thác góc nhân
đôi, ta có.
•2 sin
π
cos
2π
+ cos
4π
= 2 sin
π
cos
2π
+ 2 sin
π
cos
4π
5 5 5 5 5
3π π
5 5
5π 3π
= sin
5
− sin
5
+ sin
π 5
− sin
5
2π 4π 1
= − sin
5
.
Do đó cos + cos
5 5
= −
2
.
•4 sin
2π
. cos
5
2π
cos
5
4π
= 4 sin
5
= 2 sin
2π
cos
5
4π
cos
5
2π 4π
cos
5 5
4π
5
8π
= sin
5
2π
2π 4π 1
= − sin
5
.
Suy ra cos cos
5 5
= −
4
.
2π 4π
Theo định lí Viète đảo, cos , cos
5 π 5
là các nghi m của (1.6).
Chfíng minh 2. Đ t t = sin .
10
π 2 π 3π π
Do cos = 1 − 2 sin ; sin = 3 sin 3 π
— 4 sin , nên ta có
3π
sin = cos
π
−
3π
= cos
π
⇒ 1 − 2t2
= 3t − 4t3
10 10
10

13
⇔ (t − 1) 4t2
+ 2t − 1!
= 0 !
4 5 5
4 16
2 64
16 256
4 16
⇔ (t − 1)
π
Mà sin
1 +
√
5
t +
4
π
> 0. V y sin
t +
1 −
√
5
4
=
−1 +
√
5
= 0.
10 √ 10 4 √
π
⇒ cos
1 + 5 3π
= , cos = 4 cos3
π
− 3 cos
π
=
1 − 5
.
Sả dụng công th
√
ác cos α = − cos (π√
− α), ta được
2π
cos
5 =
−1 +
4
5 4π
; cos
5 =
−1 − 5
4
2π 4π 1 2π 4π 1
⇒ cos + cos
5 5
= −
2
; cos cos
5 5
= −
4
.
Theo định lí Viète đảo, cos
1
2π 4π
, cos
5 5
1
là các nghi m của (1.6).
M nh đe 1.3.2.
cos
2π
,
5
4π
cos
5
t2
− 2t − 4 = 0. (1.7)
Chfíng minh. Áp dụng M nh đe 1.2.1 vào (1.6) ta được đieu phải cháng minh.
M nh đe 1.3.3. cos2
2π
, cos2
4π
5 5
t2
−
3
t +
1
= 0. (1.8)
Chfíng minh. Áp dụng M nh đe 1.2.2 vào (1.6) ta được M nh đe 1.3.3.
2π
, cos3
4π
5 5
t2
+
1
t −
1
= 0. (1.9)
2π
, cos4
4π
5 5
t2
−
7
t −
1
= 0. (1.10)
M nh đe 1.3.6. sin2
2π
, sin2
4π
5 5
t2
−
5
t +
5
= 0. (1.11)
5 5 4

14
16 256
16 256
Chfíng minh. Vì sin2
α = 1 − cos2
α nên trong (1.8) thay t bởi 1 − t ta được
M nh đe 1.3.6.
2π
, sin4
4π
5 5
t2
−
15
t +
25
= 0. (1.12)
M nh đe 1.3.8.
1
2π
, 1
4π
cos2
5
cos2
5
t2
− 12t + 16 = 0. (1.13)
M nh đe 1.3.9. tan2
2π
, tan2
4π
5 5
t2
−
15
t +
25
= 0. (1.14)
1
Chfíng minh. Vì
cos2 α
= 1 + tan2
α nên thay t bang t + 1 vào (1.13) ta được
M nh đe 1.3.9.
1.3.2. Các h thfíc liên qua đen giá trị lư ng giác của
2π 4π
,
5 5
Tà các phương trình trên và các tính chat nghi m của phương trình b c hai ta
có the suy ra nhieu h thác liên quan đen giá trị lượng giác của các góc
H thfíc 1.3.1. (Olympic Moskva, 1939, vòng 1)
2π 4π
,
5 5
2π 4π 1
cos + cos
5 5
= −
2
.
Chfíng minh Xem cháng minh M nh đe 1.3.1.
H thfíc 1.3.2.
2π 4π 1
cos cos
5 5
= −
4
.
Chfíng minh Xem cháng minh M nh đe 1.3.1.
H thfíc 1.3.3.
cos2
2π
+ cos2
4π
=
3
.
5 5 4

15
1
5 5 2 5 5
5 5 2
3 1
3 1 2
2 3 4 4 2
Chfíng minh 1. Áp dụng tính chat 1.1.3 vào (1.6) ta có H thác 1.3.3.
Chfíng minh 2. Áp dụng công thác hạ b c và H thác 1.3.1 ta có
cos2
2π
+ cos2
4π
= 1 +
1
cos
4π
+ cos
8π
= 1 +
1
cos
4π
+ cos
2π
= 1 −
1
.
1
=
3
.
2 5 5 2 2 4
1 1
Chfíng minh 3. Theo công thác Waring với σ1 = −
2
, σ2 = −
4
và k = 2 ta có
H thfíc 1.3.4.
S2 = σ2
− 2σ2 =
1 2
1 3
−
2
− 2 −
4
=
4
.
cos3
2π
+ cos3
4π 1
= − .
Chfíng minh 2. Theo công thác góc nhân ba và H thác 1.3.1 ta có
cos3
2π
+ cos3
4π
=
1
cos
6π
+ cos
12π
+ 3 cos
2π
+ 3 cos
4π
5 5 4
2π
= cos
5
1
5 5 5 5
4π
+ cos
5
= −
2
.
1 1
Chfíng minh 3. Theo công thác Waring với σ1 = −
2
, σ2 = −
4
và k = 2 ta có
S = 3σ
1
σ2
− σ = 3. −
1 1
.
1
+
1
= −
1
.
Nh n xét M®t đȁng thác có the cháng minh theo nhieu cách khác nhau.
H thfíc 1.3.5.
cos4
2π
+ cos4
4π
=
7
.
5 5 16
Chfíng minh. Áp dụng tính chat 1.1.5 vào (1.6) ta có H thác 1.3.5.
H thfíc 1.3.6.
1
2π
cos
5
1
+
4π
cos
5
= 2.

16
H thfíc 1.3.7.
1
2π
+ 1
4π
= 12.
cos2
5
cos2
5
H thfíc 1.3.8.
1
2π
+ 1
4π
= 32.
cos3
5
cos3
5
H thfíc 1.3.9.
1
2π
+ 1
4π
= 112.
cos4
5
cos4
5
H thfíc 1.3.10.
cos6
2π
+ cos6
4π
=
9
.
5 5 32
H thfíc 1.3.11.
cos8
2π
+ cos8
4π
=
47
.
5 5 256
H thfíc 1.3.12.
1
2π
+ 1
4π
= 1152.
cos6
5
cos6
5
H thfíc 1.3.13.
1
2π
+ 1
4π
= 12032.
cos8
5
cos8
5

17
5 5 128
H thfíc 1.3.14.
cos9
2π
+ cos9
4π 19
= − .
H thfíc 1.3.15.
cos12
2π
+ cos12
4π
=
161
.
5 5 2048
H thfíc 1.3.16.
1
2π
+ 1
4π
= 38912.
cos9
5
cos9
5
H thfíc 1.3.17.
1
2π
+ 1
4π
= 1318912.
cos12
5
cos12
5
H thfíc 1.3.18.
cos16
2π
+ cos16
4π 2207
= .
5 5 65536
H thfíc 1.3.19.
1
2π
+ 1
4π
= 144637952.
cos16
5
cos16
5
H thfíc 1.3.20.
sin2
2π
+ sin2
4π
=
5
.
5 5 4
H thfíc 1.3.21.
sin2
2π
sin2
4π
=
5
.
5 5 16

18
H thfíc 1.3.22.
sin4
2π
+ sin4
4π
=
15
.
5 5 16
H thfíc 1.3.23.
sin6
2π
+ sin6
4π
=
25
.
5 5 32
H thfíc 1.3.24.
sin8
2π
+ sin8
4π
=
175
.
5 5 256
H thfíc 1.3.25.
1
2π
+ 1
4π = 4.
sin2
5
sin2
5
H thfíc 1.3.26.
1
2π
+ 1 48
4π
=
5
.
sin4
5
sin4
5
H thfíc 1.3.27.
1
2π
+ 1
4π
= 128
.
5
sin6
5
sin6
5
H thfíc 1.3.28.
1
2π
+ 1
4π
= 1792
.
25
sin8
5
sin8
5
H thfíc 1.3.29.
sin12
2π
+ sin12
4π 1125
= .
5 5 2048

19
H thfíc 1.3.30.
1
2π
+ 1
4π
= 73728
.
125
sin12
5
sin12
5
H thfíc 1.3.31.
tan2
2π
+ tan2
4π
= 10.
5 5
H thfíc 1.3.32.
tan2
2π
tan2
4π
= 5.
5 5
H thfíc 1.3.33.
tan4
2π
+ tan4
4π
= 90.
5 5
H thfíc 1.3.34.
tan6
2π
+ tan6
4π
= 850.
5 5
H thfíc 1.3.35.
tan8
2π
+ tan8
4π
= 8050.
5 5
H thfíc 1.3.36.
cot2
2π
+ cot2
4π
=
1
+
1
= 2.
5 5
tan2
2π
5
tan2
4π
5
H thfíc 1.3.37.
cot4
2π
+ cot4
4π
=
1
+
1
=
18
.
5 5
tan4
2π
5
tan4
4π 5
5

20
H thfíc 1.3.38.
cot6
2π
+ cot6
4π
=
1
+
1
=
34
.
5 5
tan6
2π
5
tan6
4π 5
5
H thfíc 1.3.39.
cot8
2π
+ cot8
4π
=
1
+
1 322
= .
5 5
tan8
2π
5
tan8
4π 25
5
1.4. Phương trình b c hai liên quan đen giá trị
π
lư ng giác của góc
12
1.4.1. Các m nh đe liên quan đen giá trị lư ng giác của góc
π
12
M nh đe 1.4.1. cos
π π
, sin
12 12
t2
−
√
6 1
t +
2 4
= 0. (1.15)
Chfíng minh. Sả dụng công thác góc nhân đôi và hang đȁng thác, ta có.
π π 1 π 1
• sin
12
cos
12
=
2
sin
6
=
4
.
• sin
π
+ cos
π 2
= sin2
π π
+ 2 sin
π
cos + cos2
π
=
3
12 12
π π √
6
12 12 12 12 2
⇔ sin
12
+ cos
12
=
2
.
Theo định lí Viète đảo, sin
12
1 1
, cos
12
là các nghi m của phương trình (1.15).
M nh đe 1.4.2.
sin
π , π
cos
12 12
t2
− 2
√
6t + 4 = 0. (1.16)
π π

21
−
π
, cos2
π
12 12
t2
t +
1
= 0. (1.17)
16
π
1.4.2. Các h thfíc liên quan đen giá trị lư ng giác của góc
12
H thfíc 1.4.1
π
sin
π
√
6
+ cos = .
12 12 2
Chfíng minh. Xem trong M nh đe 1.4.1.
H thfíc 1.4.2.
sin
π π 1
cos = .
12 12 4
Chfíng minh. Xem trong M nh đe 1.4.1.
H thfíc 1.4.3. √
sin3
π
12
+ cos3
π
=
3 6
.
12 8
Chfíng minh. Áp dụng tính chat 1.1.4 vào (1.15) ta được H thác 1.4.3.
H thfíc 1.4.4.
sin4
π
12
+ cos4
π
=
7
.
12 8
H thfíc 1.4.5.
sin6
π
12
+ cos6
π
=
13
.
12 16
H thfíc 1.4.6.
sin8
π
12
+ cos8
π
12
97
= .
128

22
Σ
2
2
H thfíc 1.4.7.
n
√ !
sinn
π
12
+ cosn
π
12
= n m=0 (−1)m
(n − m − 1)!
m!(n − 2m)!
6
n−2m
1
m
H thfíc 1.4.8.
1
sin3
π
12
1
cos3
π
12
= 24
√
6.
H thfíc 1.4.9.
1
sin4
π
12
1
+ π
cos4
12
= 224.
H thfíc 1.4.10.
1
sin6
π
12
1
+ π
cos6
12
= 3328.
H thfíc 1.4.11.
1
sin8
π
12
1
+ π
cos8
12
= 49664.
Nh n xét Ta có the sả dụng các đȁng thác ve moi quan h giǎa các giá trị
lượng giác và các công thác lượng giác đe phát hi n ra nhieu phương trình b c
hai nh n giá trị lượng giác của các góc làm nghi m. Tà các phương trình trên
ta lại có the suy ra nhieu h thác lượng giác của các góc khác nǎa (xem thêm
chương 2 trong [3]).
4
.
+

23
Chương 2
Phương pháp phương trình b c ba
M®t b® ba góc có the không tạo thành tam giác, nhưng giá trị lượng giác của
chúng có the là ba nghi m của m®t phương trình b c ba. Sả dụng phương pháp
phương trình b c ba, ta suy ra khá nhieu h thác thú vị cho giá trị lượng giác
của các góc này, mà không can cháng minh bang bien đői lượng giác phác tạp,
th m chí m®t so h thác không the cháng minh bang bien đői lượng giác.
2.1. Các tính chat nghi m của phương trình b c ba
Moi phương trình b c ba đeu đưa được ve dạng
x3
+ ax2
+ bx + c = 0. (2.1)
Phương trình (2.1) có ba nghi m x1, x2, x3 thỏa mãn các tính chat sau đây.
Tính chat 2.1.1.
Tính chat 2.1.2.
T1 = x1 + x2 + x3 = −a.
T2 = x1x2 + x2x3 + x3x1 = b.
Tính chat 2.1.3.
T3 = x1x2x3 = −c.

24
1 2 3
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
Tà ba tính chat cơ bản trên và sả dụng các tính chat đoi xáng của nghi m, ta
suy ra rat nhieu tính chat khác của nghi m phương trình b c ba, rat có lợi cho
nghiên cáu phương trình b c ba và trong cháng minh các h thác lượng giác.
Tính chat 2.1.4.
Tính chat 2.1.5.
1
T4 =
1
1 1
+ +
x2 x3
b
= −
c
.
T5 = x2
+ x2
+ x2
= a2
− 2b.
Tính chat 2.1.6.
T6 = (x1 + x2) (x2 + x3) (x3 + x1) = −ab + c.
Tính chat 2.1.7.
T7 = x3
+ x3
+ x3
= −a3
+ 3ab − 3c.
Tính chat 2.1.8.
T8 = (x1 + x2 − x3) (x2 + x3 − x1) (x3 + x1 − x2) = a3
− 4ab + 8c.
Tính chat 2.1.9.
T =
x1 + x2
+
x2 + x3
+
x3 + x1 ab
= − 3.
9
x3
Tính chat 2.1.10.
x1 x2 c
T10 = x2
x2
+ x2
x2
+ x2
x2
= b2
− 2ac.
Tính chat 2.1.11.
T11 = x4
+ x4
+ x4
= a4
− 4a2
b + 2b2
+ 4ac.
Tính chat 2.1.12. Với moi so thực k, l ta có
T12 = (k + l.x1) (k + l.x2) (k + l.x3) = k3
− k2
l.a + k.l2
b − l3
c.
x

25
1
H quả 2.1.1.
H quả 2.1.2.
(1 − x1) (1 − x2) (1 − x3) = 1 + a + b + c.
(1 + x1) (1 + x2) (1 + x3) = 1 − a + b − c.
Tính chat 2.1.13.
Tính chat 2.1.14.
1
T13 =
x x
1
+
x2x3
1 a
+ = .
x3x1 c
x3 x1 x2 2b − a2
Tính chat 2.1.15.
T14 =
1x2
+
x2x3
+ = .
x3x1 c
Tính chat 2.1.16.
T15 =
x1x3
x2
+
x3x2
x1
+
x2x1
x3
b2
= 2a −
c
.
1 1 1 b2
− 2ac
T16 =
x2 +
x2 +
x2 =
c2
.
Tính chat 2.1.17.
1 2 3
T17 = (x1 − x2)2
+ (x2 − x3)2
+ (x3 − x1)2
= 2 a2
− 3b .
Tính chat 2.1.18.
T18 = (x1 − x2)2
(x2 − x3)2
(x3 − x1)2
= −4a3
c + a2
b2
+ 18abc − 4b3
− 27c2
.
Tính chat 2.1.19.
T19 =
1
Tính chat 2.1.20.
1
+ x2
1
+
x2 + x3
1
+
x3 + x1
a2
+ b
= .
−ab + c
1 1 1 b4
− 4ab2
c + 2a2
c2
+ 4bc2
T20 =
x4 +
x4 +
x4 =
c4
.
1 2 3
Cháng minh các tính chat trên có the xem trong Mục 3.1, Chương 3 của [3].
2
x
x

26
2.2. Xây dfing phương trình b c ba m i tfi phương
trình b c ba đã biet
Tà m®t phương trình b c ba cho trước với các nghi m x1, x2, x3 ta có the de
dàng tạo ra nhieu phương trình b c ba mới với các nghi m có nhieu tính chat
hay. Đieu này rat có ích khi phát hi n và cháng minh các h thác lượng giác
trong các mục tiep theo.
M nh đe 2.2.1. Neu x1, x2, x3 là các nghi m của phương trình (2.1) với (c /= 0)
thì
1 1 1
, ,
x1 x2 x3
là ba nghi m của phương trình
t3
+
b
t2
+
a
t +
1
= 0. (2.2)
c c c
M nh đe 2.2.2. Neu x1, x2, x3 là các nghi m của phương trình (2.1) thì x2
, x2
, x2
là ba nghi m của phương trình
1 2 3
t3
− (a2
− 2b)t2
+ (b2
− 2ac)t − c2
= 0. (2.3)
M nh đe 2.2.3. Neu x1, x2, x3 là các nghi m của phương trình (2.1) thì
x1x2, x2x3, x3x1 là ba nghi m của phương trình
t3
− bt2
+ act − c2
= 0. (2.4)
M nh đe 2.2.4. Neu x1, x2, x3 là các nghi m của phương trình (2.1) thì
(x1 + x2), (x2 + x3), (x3 + x1) là ba nghi m của phương trình
t3
+ 2at2
+ (a2
+ b)t + (ab − c) = 0. (2.5)
Cháng minh các M nh đe trên có the xem trong Mục 3.2, Chương 3 của [3].

27
3
3
3
9
9
⇔ 3 tan6
x − 6 tan4
x + 9 tan2
x = 1 − 6 tan2
x + 9 tan4
x
3
=
,
2.3. Phương trình b c ba liên quan đen các giá trị
lư ng giác của các góc
π 5π 7π
, , .
18 18 18
2.3.1. Các m nh đe liên qua đen giá trị lư ng giác của các góc
π 5π 7π
, ,
18 18 18
π
, tan2
5π
, tan2
7π
18 18 18
Chfíng minh.
t3
− 9t2
+ 11t −
1
= 0. (2.6)
Ta có tan2
π
= tan2
5π
= tan2
7π 1 π 5π 7π
= . Cháng tỏ x = , x = , x = đeu
6 6 6 3 18 18 18
là nghi m của phương trình tan2
(3x) =
1
. Mà
3
tan2
(3x) =
1 3 tan x − tan3
x
2
1
1 − tan2
x 3
⇔ 3 tan6
x − 27 tan4
x + 33 tan2
x − 1 = 0
⇔ tan6
x − 9 tan4
x + 11 tan2
x −
1
= 0. Đ t t = tan2
x, ta được phương trình
t3
− 9t2
+ 11t −
1
= 0. Suy ra đieu phải cháng minh.
M nh đe 2.3.2.
1 1
2 π 5π
, 1
7π
tan
18
tan2
18
tan2
18
t3
− 33t2
+ 27t − 3 = 0. (2.7)
Chfíng minh. Áp dụng M nh đe 2.2.1 vào (2.6) ta có đieu phải cháng minh.
π
, tan4
5π
, tan4
7π
18 18 18
t3
− 59t2
+ 115t −
1
= 0. (2.8)
π
tan2
5π
, tan2
5π
tan2
7π
,
18 18 18 18
tan2
7π
tan2
π
18 18
t3
− 11t2
+ 3t −
1
= 0. (2.9)
⇔

28
— − −
4 8
2 9 9 9 9 9 9
2 9 9 9 9
Chfíng minh. Áp dụng M nh đe 2.2.3 vào (2.6) , ta có đieu phải cháng minh.
π
+ tan2
5π
, tan2
5π
+ tan2
7π
, tan2
7π
+ tan2
π
là các
18
18 18 18 18 18
t3
− t2
−
1
t +
1
= 0. (2.10)
2.3.2. Các h thfíc liên qua đen giá trị lư ng giác của các góc
π 5π 7π
, ,
18 18 18
Nhờ vi c tính giá trị các bieu thác sau ta có the dùng nó cháng minh nhieu
h thác khác.
C = cos
2π
+cos
9
4π
+cos
9
8π
= 2 cos
9
5π
cos
9
2π
+cos
3
4π
9
= − cos
4π
+cos
9
4π
= 0.
9
2π
D = cos 9
4π
cos 9
4π
+ cos 9
8π
cos 9
8π
+ cos 9
2π
cos 9
=
1
cos
2π
+ cos
6π
+ cos
4π
+ cos
12π
+ cos
6π
+ cos
10π
=
1
cos
2π
+ cos
4π
+ cos
10π
− 3 cos
3π
=
1
cos
2π
+ cos
4π
+ cos
8π
−
3
= −
3
.
2 9 9 9 2
2π 4π 8π 2π
4
4π 4π 8π
E = cos cos
9
cos
9 9
⇒ 8 sin E = 4 sin
9
cos
9
cos
9 9
8π 8π 16π 2π 1
= 2 sin cos
9
= sin
9 9
= − sin
9
⇒ E = −
8
.
H thfíc 2.3.1. (THTT, so 58, năm 1971)
tan2
π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
= 9.
18 18 18
Chfíng minh 2. Ta sả dụng công thác bien tích thành tőng, hạ b c,
cos α = cos (π α) và tan2
α =
1
1, ta có
cos2 α
tan2
π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
=
1
π
1 1
+ + − 3
18 18 18 cos2
18 cos2
5π
9
cos2
7π
9

29
9
−
1 + cos
π
1 + cos
5π
1 + cos
7π
8π
1 − cos
1 − cos
4π
1 − cos
2π
cos2
18
cos2
5π
18
cos2
5π
18
cos2
7π
18
cos2
cos2
5π
18
cos2
7π
18
cos2
5π
18
cos2
7π
18
π
π
=
cos2
π
cos2
5π
+ cos2
π
cos2
7π
+ cos2
5π
cos2
7π
= 18 18 18 18 18
π 5π 7π 18 − 3
cos2 cos2 cos2
18 18 18
2 cos
π
−
1 2
+ cos
4π
+
1 2
+ cos
2π
+
1 2
=
9 2 9 2 9 2
− 3
2 − cos
8π
−
1 2
+ cos
4π
+
1 2
+ cos
2π
+
1 2
9 2 9 2 9 2 — 3
3
+ 2C + 2 cos2
2π
+ cos2
4π
+ cos2
8π
= 2 9 9 9 − 3
9
+ 3C
1 − C + D − E
+ 3.0
= 2 3 =
1 − C + D − E
H thfíc 2.3.2.
2
1 3
1 − 0 +
8
−
4
— 3 = 9.
tan2
π
tan2
5π
+ tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
7π
tan2
π
= 11.
18 18 18 18 18 18
Chfíng minh 2.Ta có
tan2
π
tan2
5π
+ tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
7π
tan2
π
18 18 18 18 18 18
=
1
− 1
1
− 1 +
1
− 1
1
− 1
cos2
π
+ cos2
5π
+ cos2
7π
+
cos2
7π
18 — 1 cos2
π
18
— 1 =
18
cos2
π
18
18 18
cos2
5π
cos2
7π
18 18
−2
1
+
1
+
1
+ 3, mà
1
1 1
+ + = 12,
nên tan2
π
tan2
5π
+ tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
7π
tan2
π
18 18 18 18 18 18
cos2
π
+ cos2
5π
+ cos2
7π
= 18π 18 18
7π — 21
cos2 cos2
5π
cos2
18 18 18
1
1
9
9
9
9
9 9
18
cos2
18
π

30
1 − cos 1 − cos 1 − cos
18 18 18 18 18 18 3
18 18 18 18 18 18
18 18 18 3
+
=
9
12 + 12 cos
π
+ cos
5π
+ cos
7π
1 + cos
π 9 9
5π
1 + cos 9
9
7π
− 21
1 + cos 9
12 − 12 cos
2π
+ cos
4π
+ cos
8π
2π 4π
9
8π − 21
=
12 − 12C
− 21 =
12 − 12.0
− 21 = 11.
1 − C + D − E
1 3
1 − 0 + −
8 4
H thfíc 2.3.3.
tan2
π
tan2
5π
tan2
7π
=
1
.
18 18 18 3
H thfíc 2.3.4.
1 1
2 π 5π
+ 1
7π
= 33.
tan
18
tan2
18
tan2
18
H thfíc 2.3.5.
tan4
π
+ tan4
5π
+ tan4
7π
= 59.
18 18 18
H thfíc 2.3.6.
tan2
π
+ tan2
5π
tan2
5π
+ tan2
7π
tan2
7π
+ tan2
π
=
296
.
H thfíc 2.3.7.
tan6
π
+ tan6
5π
+ tan6
7π
= 433.
18 18 18
H thfíc 2.3.8.
tan2
π
+ tan2
5π
− tan2
7π
tan2
5π
+ tan2
7π
− tan2
π
× tan2
7π
+ tan2
π
— tan2 5π
=
−1007
.
9
9
9
9
=
9

31
18 18 18 3
18 18 18 3
H thfíc 2.3.9.
tan2
π
+ tan2
5π
tan2
5π
+ tan2
7π
tan2
7π
+ tan2
π
18 18 +
7π 18 18
π 18 18
5π = 294.
tan2
18
tan2
18
tan2
18
H thfíc 2.3.10.
tan4
π
tan4
5π
+ tan4
5π
tan4
7π
+ tan4
7π
tan4
π
= 115.
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.11.
tan8
π
+ tan8
5π
+ tan8
7π
= 3251.
18 18 18
H thfíc 2.3.12.
1 − tan2
π
1 − tan2
5π
1 − tan2
7π
=
8
.
Chfíng minh. Áp dụng h quả 2.1.1 của tính chat 2.1.12 vào (2.6) ta có H
thác 2.3.12.
H thfíc 2.3.13.
1 + tan2
π
1 + tan2
5π
1 + tan2
7π
=
64
.
thác 2.3.13.
H thfíc 2.3.14.
1
π 5π
+ 1
5π 7π
+ 1
7π π
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
18 18 18 18 18 18
= cot2
π
cot2
5π
+ cot2
5π
cot2
7π
+ cot2
7π
cot2
π
= 27.
18 18 18 18 18 18
+

32
H thfíc 2.3.15.
tan2
7π
tan2
5π
tan2
π
18 +
π 5π
18 +
π 7π
18
5π 7π = 177.
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.16.
tan2
π
tan2
5π
tan2
5π
tan2
7π
tan2
7π
tan2
π
18 18 +
7π 18 18
π 18 18
5π = 345.
tan2
18
tan2
18
tan2
18
H thfíc 2.3.17.
1 1 1
π + + = cot4
π
+ cot4
5π
+ cot4
7π
= 1035.
tan4
18
tan4
5π
18
tan4
7π
18
18 18 18
H thfíc 2.3.18.
tan2
π
18
— tan
5π 2
+
18
tan2
5π
18
— tan
7π 2
+
18
tan2
7π
18
— tan
π
2
= 96.
18
H thfíc 2.3.19.
tan2
π
18
— tan
5π 2
18
tan2
5π
18
— tan
7π 2
18
tan2
7π
18
— tan
π
2
= 4096.
18
H thfíc 2.3.20.
1 1 1 69
.
tan2
+ tan2
2 2 2
2 2 2
+
π
tan2
+ ta
5π
n2
+ 5π
tan2
+ ta
7π
n2
+ 7π π =
74
18 18 18 18 18 18

33
tan2
tan2
5π
18
tan2
7π
18
tan2
5π
18
tan2
7π
18
tan2
7π
18
tan2 tan2
5π
18
π
+
18
18 18
H thfíc 2.3.21.
1 1 1
π + + = cot8
π
+ cot8
5π
+ cot8
7π
= 1070163.
tan8
18
tan8
5π
18
tan8
7π
18
18 18 18
H thfíc 2.3.22.
1
+
1 1
+
1 1
+
1 π = 888.
tan2
tan2
5π
tan2
5π
tan2
7π
tan2
7π
tan2
H thfíc 2.3.23.
1 1 1
π + + = cot6
π
+ cot6
5π
+ cot6
7π
= 33273.
tan6
18
tan6
5π
18
tan6
7π
18
18 18 18
H thfíc 2.3.24.
1
+
1
−
1
(
1
+
1
−
1
π
×
1
+
1
—
1
= −32397.
H thfíc 2.3.25.
1 1
2 π 5π
1 1
5π
+
7π
1 1
7π
+
2 π
tan tan2
18 18 +
1
tan2
18
1
tan2
18 +
tan2
18
1
tan 18
= 294.
tan2
7π
18
tan2
π
18
tan2
5π
18
18
18
18
18
18
π
tan2
18
π

34
2
2 2
tan2 tan2
5π
18
tan2
7π
18
tan2 tan2
5π
18
tan2
7π
18
π
π
18
18
H thfíc 2.3 .30.
H thfíc 2.3.26.
1
π 5π
+ 1
5π 7π
+ 1
7π π = 531.
tan4
tan4
tan4
tan4
tan4
tan4
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.27.
1 −
1
1 −
1
1 −
1
= −8.
thác 2.3.27.
H thfíc 2.3.28.
1 +
1
1 +
1
1 +
1
= 64.
thác 2.3.28.
H thfíc 2.3.29.
2 2 2
1
tan2
π
18
1
—
tan2
5π
18
+
1
tan2
5π
18
1
—
tan2
7π
18
+
1
tan2
7π
18
1
—
tan2
π
18
= 2016.
1
tan2
π
18
1
—
tan2
5π
18
1
tan2
5π
18
1
—
tan2
7π
18
= 331776.
1
tan2
7π
18
1
—
tan2
π
18

35
18 18 18 18 18 18 9
18 18 18 18 18 18
18 18 18 9
H thfíc 2.3.31.
tan2
π
tan2
5π
tan2
5π
tan2
7π
tan2
7π
tan2
π
18 18 + 18 18 + 18 18 =
93
.
tan2
π
+ tan2
5π
tan2
5π
+ tan2
7π
tan2
7π
+ tan2
π 74
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.32.
tan4
π
tan4
5π
tan4
7π
=
1
.
18 18 18 9
H thfíc 2.3.33.
tan4
π
+ tan4
5π
tan4
5π
+ tan4
7π
tan4
7π
+ tan4
π
=
61064
.
H thfíc 2.3.34.
tan12
π
+ tan12
5π
+ tan12
7π 555073
= .
18 18 18 3
H thfíc 2.3.35.
tan4
π
+ tan4
5π
− tan4
7π
tan4
5π
+ tan4
7π
− tan4
π
× tan4
7π
+ tan4
π
— tan4 5π
= −
1604159
.
H thfíc 2.3.36.
tan4
π
+ tan4
5π
tan4
5π
+ tan4
7π
tan4
7π
+ tan4
π
18 18 +
7π 18 18
π 18 18
5π = 61062.
tan4
18
tan4
18
tan4
18
H thfíc 2.3.37.
tan8
π
tan8
5π
+ tan8
5π
tan8
7π
+ tan8
7π
tan8
π 118907
= .
18 18 18 18 18 18 9
+

36
18 18 18 9
18 18 18 9
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.38.
tan16
π
+ tan16
5π
+ tan16
7π 969274307
= .
18 18 18 9
H thfíc 2.3.39.
1 − tan4
π
1 − tan4
5π
1 − tan4
7π
=
1576
.
Chfíng minh. Áp dụng h quả 2.1.1 của tính chat 2.1.12vào (2.8) ta có H thác
2.3.39.
H thfíc 2.3.40.
1 + tan4
π
1 + tan4
5π
1 + tan4
7π
=
1576
.
thác 2.3.40.
H thfíc 2.3.41.
tan4
7π
tan4
5π
tan4
π
18 +
π 5π
18 +
π 7π
18
5π 7π = 29259.
tan4
tan4
tan4
tan4
tan4
tan4
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.42.
tan4
π
tan4
5π
tan4
5π
tan4
7π
tan4
7π
tan4
π
18 18 +
7π 18 18
π 18 18
5π = 118907.
tan4
18
tan4
18
tan4
18
H thfíc 2.3.43.
tan4
π
− tan4
5π 2
+ tan4
5π
− tan4
7π 2
+ tan4
7π
− tan4
π 2
= 6272.
+

37
18 18 18 18 18 18 9
18 18 18 18 18 18 18 18
18 18 18 18 9
18 18 18 18 18 18 18 18
18 18 18 18 18 18 18 18
18 18 9
H thfíc 2.3.44.
tan4
π
−tan4
5π 2
tan4
5π
−tan4
7π 2
tan4
7π
−tan4
π 2
=
358875136
.
H thfíc 2.3.45.
1 1 1
tan4
+ tan4
8091
.
Chfíng minh. Áp dụng tính chat 2.1.19 vào (2.8) ta có H thác 2.3.45
H thfíc 2.3.46.
tan2
π
tan2
5π
+ tan2
5π
tan2
7π
tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
7π
tan2
π
× tan2
7π
tan2
π
+ tan2
π
tan2
5π
= −
296
.
H thfíc 2.3.47.
tan6
π
tan6
5π
+ tan6
5π
tan6
7π
+ tan6
7π
tan6
π 3697
= .
18 18 18 18 18 18 3
H thfíc 2.3.48.
tan2
π
tan2
5π
+ tan2
5π
tan2
7π
− tan2
7π
tan2
π
tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
7π
tan2
π
− tan2
π
tan2
5π
tan2
7π
tan2
π
+ tan2
π
tan2
5π
— tan2
5π
tan2
7π
= −
10799
.
H thfíc 2.3.49.
tan2
π
tan2
5π
+ tan2
5π
tan2
7π
tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
7π
tan2
π
18 18 18 18 + 18 18 18 18
tan2
7π
tan2
π
tan2
π
tan2
5π
18 18 18 18
tan2
7π
tan2
π
+ tan2
π
tan2
5π
+ 18 18 18 18
tan2
5π
tan2
7π = 294.
18 18
π 5π
tan4
+ tan4
+ 5π
tan4
+ ta
7π
n4
+ 7π π =
15266
18 18 18 18 18 18

38
18 18 18 18 18 18 9
18 18 18 18 18 18 9
H thfíc 2.3.50.
tan4
π
tan8
5π
tan4
7π
+tan4
5π
tan8
7π
tan4
π
+tan4
7π
tan8
π
tan4
5π
=
59
.
18 18 18 18 18 18 18 18 18 9
H thfíc 2.3.51.
tan8
π
tan8
5π
+ tan8
5π
tan8
7π
+ tan8
7π
tan8
π 118907
= .
18 18 18 18 18 18 9
H thfíc 2.3.52.
1 − tan2
π
tan2
5π
1 − tan2
5π
tan2
7π
1 − tan2
7π
tan2
π
= −
64
.
thác 2.3.52.
H thfíc 2.3.53.
1 + tan2
π
tan2
5π
1 + tan2
5π
tan2
7π
1 + tan2
7π
tan2
π
=
136
.
thác 2.3.53.
H thfíc 2.3.54.
1
π 5π 7π
+ 1
5π 7π π
tan2
tan4
tan2
tan2
tan4
tan2
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.55.
1
π 5π
+ 1
5π 7π
+ 1
7π π = 531.
tan4
tan4
tan4
tan4
tan4
tan4
18 18 18 18 18 18
H thfíc 2.3.56.

39
18 18 18 18 18 18
18 18 18 18 18 18
18 18 18 18 18 18 8
tan2
π
tan2 5π
18 18 — tan2
5π
tan2
18
7π 2
+
18
tan2
5π
tan2 7π
18 18 — tan2
7π
tan2 π
18 18
+ tan2
7π
tan2 π
18 18
— tan2
π
tan2
18
5π 2
18
= 224.
H thfíc 2.3.57.
tan2
π
tan2 5π
18 18 — tan2
5π
tan2
18
7π 2
18
tan2
5π
tan2 7π
18 18 — tan2
7π
tan2 π
18 18
× tan2
7π
tan2 π
18 18
— tan2
π
tan2
18
5π 2
=
18
9989
.
9
H thfíc 2.3.58.
1
π 5π 5π 7π
+ 1
5π 7π 7π π
tan2
tan2
+ tan2
tan2
tan2
tan2
+ tan2
tan2
18 18
+
18 18
1
7π π
18
π 5π
18 18 18
279
= .
74
tan2
tan2
+ tan2
tan2
18 18 18 18
H thfíc 2.3.59.
tan2
π
+ tan2
5π
tan2
5π
+ tan2
7π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
× tan2
7π
+ tan2
π
+ tan2
7π
+ tan2
π
tan2
π
+ tan2
5π
= 92.
H thfíc 2.3.60.
tan2
π
+ tan2
5π
tan2
5π
+ tan2
7π
tan2
7π
+ tan2
π
= −
1
.
H thfíc 2.3.61.
tan2
π
18
+ tan2
5π 2
+
18
tan2
5π
18
+ tan2
7π 2
+
18
tan2
7π
18
+ tan2
π
18
= 140.
H thfíc 2.3.62.
2
2
2

40
18 18 18 18 18 18
18 18 18 8
18 18 18 18
tan2
π
+ 2 tan2
5π
+ tan2
7π
tan2
π
+ tan2
5π
+ 2 tan2
7π
× 2 tan2
π
+ 2 tan2
5π
+ tan2
7π
= −
1
.
H thfíc 2.3.63.
tan2
π
18
+ tan2
5π 3
+
18
tan2
5π
18
+ tan2 7π 3
18
+ tan2
7π
18
+ tan2
π
18
= 1160.
H thfíc 2.3.64.
tan2
π
+ 2 tan2
5π
+ tan2
7π
tan2
π
+ tan2
5π
+ 2 tan2
7π
18 18
7π π 18 + 18 18 18
π 5π
tan2
+ tan2
tan2
+ tan2
18 18 18 18
2 tan2
π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
+ 18 18 18
tan2
5π
+ tan2
7π
510
= .
37
18 18
H thfíc 2.3.65.
tan2
π
18
+ tan2 5π 2
18
tan2
5π
18
+ tan2 7π 2
18
+ tan2
5π
18
+ tan2 7π 2
18
tan2
7π
18
+ tan2
π
18
+ tan2
7π
18
+ tan2
π 2
18
tan2
π
18
+ tan2 5π 2
18
= 4912.
H thfíc 2.3.66.
tan2
π
18
+ tan2
5π 4
+
18
tan2
5π
18
+ tan2
7π 4
+
18
tan2
7π
18
+ tan2
π
18
= 9776.
H thfíc 2.3.67.
1 − tan2
π
− tan2
5π
1 − tan2
5π
− tan2
7π
3
2
4

41
18 18 3
18 18 18 18
18 18 3
tan2
+ tan2
tan2
+ tan2
tan2
+ tan2
tan2
+ tan2
× 1 − tan2
7π
− tan2
π
= −
71
.
thác 2.3.67.
H thfíc 2.3.68.
1 + tan2
π
+ tan2
5π
1 + tan2
5π
+ tan2
7π
× 1 + tan2
7π
+ tan2
π
=
629
.
thác 2.3.68.
H thfíc 2.3.69.
tan2
π
1
+ tan2
5π
tan2
5π
+ tan2
7π
18 18 18 18
1
+
5π 7π 7π π
18 18
1
18 18
27
+
7π π π 5π
=
148
.
Chfíng minh. Áp dụng tính chat 1.1.13 vào (2.10), ta có H thác 2.3.69.
H thfíc 2.3.70.
tan2
7π
+ tan2
π
18 18
tan2
π
+ tan2
5π
tan2
5π
+ tan2
7π
18 18
tan2
π
18
18 18
+ tan2
5π
18
+
tan2
5π
18
+ tan2
7π
tan2 7π
18 18
+ tan2
π
18
tan2
5π
+ tan2
7π
+
tan2
7π
18
+ tan2
18 18
π
tan2
π
18 18
+ tan2
5π
=
18
105
.
74
Chfíng minh. Áp dụng tính chat 1.1.14 vào (2.10), ta có H thác 2.3.70.
Nh n xét
18
18
18 18

42
2
• Áp dụng công thác tan α = cot
π
− α , nên ta có
tan2
π
= cot2
4π
, tan2
5π
= cot2
2π
, tan2
7π
= cot2
π
và
18 9 18 9 18 9
cot2
π
9
1
=
tan2
,cot2
2π
9
9
1
=
2π
tan2
9
,cot2
4π
9
1
=
4π
tan2
9
, nên thay vào phương
trình (2.6) ta được phương trình b c ba nh n tan2
π
, tan2
2π
, tan2
4π
làm
9 9 9
nghi m (THTT, Bài 4/92)
t3
− 33t2
+ 27t − 3 = 0.
• Ta có the sả dụng các m nh đe trên liên tiep cho các phương trình tiep theo,
roi áp dụng các tính chat ve nghi m của phương trình b c ba ta có the suy
ra rat nhieu phương trình và h thác lượng giác mới liên quan đen
π 5π 7π
, , .
18 18 18
Đong thời ta có the sả dụng moi quan h giǎa các giá trị lượng giác đe suy ra
các phương trình b c ba có các nghi m liên quan đen hàm sin, cos, cot . Ho c ta
cũng the xây dựng tương tự như các góc
π 5π 7π
, ,
18 18 18
đe ra các phương trình và
đȁng thác cho các góc
π 2π
, ,
9 9
4π
, ...( xem thêm Chương 3 trong [3]).
9
2.4. Phương trình b c ba liên quan đen các giá trị
π 3π 5π
, , .
7 7 7
2.4.1. Các m nh đe liên quan đen giá trị lư ng giác của các
góc
π 3π 5π
, ,
7 7 7
π 3π 5π
M nh đe 2.4.1. (THTT, bài 5/139, năm 1984, trang 12) cos
, cos
7
, cos
7 7
t3
−
1
t2
−
1
t +
1
= 0. (2.11)
2 2 8
π 3π 5π
Chfíng minh. Ta có , ,
7 7 7
3α + 4α = (2k + 1) π, k ∈ Z, nên cos 3α + cos 4α = 0. Mà
cos 3α = 4 cos3
α−3 cos α; cos 4α = 2 2 cos2
α − 1
2
−1 = 8 cos4
α−8 cos2
α+1.
π

43
7 7 7
4 8 64
4 8
Do đó 8 cos4
α + 4 cos3
α − 8 cos2
α − 3 cos α + 1 = 0
⇔ (cos α + 1) 8 cos3
α − 4 cos2
α − 4 cos α + 1 = 0. M t khác cos α + 1 /= 0 ⇒
π 3π 5π
cos , cos , cos là ba nghi m của phương trình 8t3
− 4t2
− 4t + 1 = 0.
Suy ra đieu phải cháng minh.
M nh đe 2.4.2.
1
π ,
cos
1
3π
,
1
5π
7 cos
7
cos
7
t3
− 4t2
− 4t + 8 = 0. (2.12)
Chfíng minh. Áp dụng M nh đe 2.2.1 vào (2.11) ta có M nh đe 2.4.2.
π
, cos2
3π
, cos2
5π
7 7 7
t3
−
5
t2
+
3
t −
1
= 0. (2.13)
π
M nh đe 2.4.4. cos
7
của phương trình
+ cos
3π 3π
, cos
7 7
+ cos
5π 5π
, cos
7 7
π
+ cos
7
là các nghi m
t3
− t2
−
1
t +
1
= 0. (2.14)
2.4.2. Các đang thfíc liên quan đen giá trị lư ng giác của các
góc
π 3π 5π
, ,
7 7 7
H thfíc 2.4.1a.
π
cos
7
3π
+ cos
7
5π 1
+ cos = .
7 2
π
Chfíng minh 2. Đ t F = cos
7
3π
+ cos
7
5π
+ cos
7

44
Ta có
2F sin = 2 sin cos + cos + cos
π π π 3π 5π
7 7
π
= 2 sin
7
cos
7
π
+ 2 sin
7
7
π 3π
cos
7 7
7
5π
+ 2 sin
7
π
cos
7
1
Do đó F = .
2
= sin
= sin
= sin
2π
+ sin
7
6π
7
π
.
7
4π
7
− sin
2π
+ sin
7
6π 4π
7
− sin
7
H thfíc 2.4.1b. (IMO lan thá 5, 1963, [6])
π 2π 3π 1
cos
7
− cos + cos = .
7 7 2
5π
Chfíng minh 1. Vì cos = − cos π −
5π
= − cos
2π
nên tà H thác 2.4.1a
ta có 2.4.1b.
7 7 7
π 2π 3π
Chfíng minh 2. Đ t G = cos
7
− cos + cos
7
. Áp dụng công thác bien
7
3π
tích thành tőng và sin
7
= sin
4π
, ta có
7
2G sin = 2 sin cos − cos + cos
π π π 2π 3π
7 7 7
π π
7 7
π 2π π 3π
= 2 sin
7
cos
7
− 2 sin
7
cos + 2 sin cos
7 7 7
2π 3π π 4π 2π
1
Suy raG = .
2
= sin
= sin
7
− sin
π
.
7
+ sin + sin
7 7 7
− sin
7
Ta có the mở r®ng H thác 2.4.1b thành
Bài toán 2.4.1. (THTT, T7/277, năm 2000, trang 14)
Tìm tat cả các so hǎu tỉ p, r, s thỏa mãn:
π
p cos
7
2π
+ r cos
7
3π
+ s cos
7
= 1.

45
−
π
π
(
7 7 7 7
L i giải
Ta có
4π
sin
3π
= sin
2π π π
⇔ 4 cos sin cos = 3 sin
π
− 4 sin3
π
7 π 7 π 7 π7 7 7 7
⇔ 8 cos3 4 cos2
7 π 7
— 4 cos
7
+ 1 = 0
3 2
⇒ x = cos
7
là m®t nghi m của đa thác P (x) = 8x − 4x − 4x + 1.
1 1 1
M t khác, các so x = ±1; ±
2
, ±
4
, ±
8
không là nghi m của P (x) nên P(x)
không có nghi m hǎu tỉ. Đieu đó cháng tỏ rang cos
7
là m®t so vô tỉ.
Ta cháng minh rang không ton tại đa thác b c nhỏ hơn ba với các h so hǎu tỉ
π
nh n x = cos
7
là nghi m.
π
Giả sả Q(x) là đa thác b c nhỏ hơn ba, với các h so hǎu tỉ nh n x = cos là
7
nghi m. Chia P(x) cho Q(x) ta được P(x) = Q(x).h(x) + R(x) với degh(x) = 1
(h so h(x) là các so hǎu tỉ) và R(x) = c, moi x ho c degR(x) = 1. Neu
degh(x) = 1 và R(x) = c, moi x thì
P cos
π
= Q cos
π
.h cos
π
+ R cos
π
⇒ c = 0.
⇒ P(x) có nghi m hǎu tỉ, đieu này không xảy ra.
π π π π π
Neu degR(x) = 1 thì P(cos
7
) = Q(cos
7
).h(cos
7
)+R(cos
7
) ⇒ R(cos
7
) = 0.
Đieu này không xảy ra vì cos
7
là so vô tỉ.
Theo bài ra ton tại các so hǎu tỉ p, r, s thỏa mãn
π
p cos 7
2π
+ r cos 7
3π
+ s cos = 1
7
⇒ p cos
π
+ r 2 cos2
π
− 1 + s 4 cos3
π
− 3 cos
π
= 1
(2r + 2s) cos2
π
π 7
7 π
+ (p − s) cos
7
7s
— r −
2
7
— 1 = 0.
V y cos
7
là nghi m của m®t đa thác với h so hǎu tỉ và với b c nhỏ hơn ba.
Do đó đa thác đó phải đong nhat bang không.
Suy ra
2r + 2s = 0
p −
s
r = 0
p = 2
⇔ r = −2
−r −
2
− 1 = 0
s = 2
Thả lại thay các giá trị này được thỏa mãn.
7
⇔

46
2 7 7 7 7 7 7
2 7 7 7 7 7 7
H thfíc 2.4.2.
π 3π 3π 5π 5π π 1
cos cos
7
+ cos
7
cos
7
+ cos
7 7
cos
7
= −
2
.
Chfíng minh 2. Áp dụng công thác bien tích thành tőng và 2.4.1a, ta có
π
cos 7
3π
cos 7
3π
+ cos 7
5π
cos 7
5π
+ cos 7
π
cos 7
=
1
cos
2π
+ cos
4π
+ cos
2π
+ cos
8π
+ cos
4π
+ cos
6π
= −
1
cos
5π
+ cos
3π
+ cos
5π
+ cos
π
+ cos
3π
+ cos
π
= − cos
π
+ cos
3π
+ cos
5π
7 7 7
= −A
1
= −
2
.
H thfíc 2.4.3.
π 3π 5π 1
cos cos
7
cos
7 7
= −
8
.
H thfíc 2.4.4.
1
π +
cos
1
3π
+
1
5π
= 4.
7 cos
7
cos
7
H thfíc 2.4.5.
cos2
π
+ cos2
3π
+ cos2
5π
=
5
.
7 7 7 4
H thfíc 2.4.6.
cos .
π 3π
+ cos 3π 5π
cos + cos
5π π 1
cos + cos = −
7 7 7 7 7 7 8

47
7 7 7 7 7 7
7 7 7 8
7 7 7 8
7 7 7 8
H thfíc 2.4.7.
cos3
π
+ cos3
3π
+ cos3
5π
=
1
.
7 7 7 2
H thfíc 2.4.8.
cos
π
+ cos
3π
− cos
5π
cos
3π
+ cos
5π
− cos
π
× cos
5π
+ cos
π
− cos
3π
= −
1
.
H thfíc 2.4.9.
π
cos
7
3π
+ cos
7
5π
3π
cos
+ 7
5π
+ cos
7
π
5π
cos
+ 7
π
+ cos
7
3π = −1.
cos
7
cos
7
cos
7
H thfíc 2.4.10.
cos2
π
cos2
3π
+ cos2
3π
cos2
5π
+ cos2
5π
cos2
π
=
3
.
7 7 7 7 7 7 8
H thfíc 2.4.11.
cos4
π
+ cos4
3π
+ cos4
5π
=
13
.
7 7 7 16
H thfíc 2.4.12.
1 − cos
π
1 − cos
3π
1 − cos
5π
=
1
.
thác 2.4.12.
H thfíc 2.4.13.
1 + cos
π
1 + cos
3π
1 + cos
5π
=
7
.

48
7
− cos
7
cos
7
− cos
7
− cos = −
4
.
7
− cos
7
cos
7
− cos cos
7
− cos = .
64
+
thác 2.4.13.
H thfíc 2.4.14.
cos
1
π 3π
cos
7 7
+
cos
1
3π 5π
cos
7 7
+
cos
1
5π π
cos
7 7
= −4.
H thfíc 2.4.15.
π
cos
7
3π 5π
+
3π
cos
7 +
5π π
5π
cos
7
π 3π = −10.
cos
7
cos
7
cos
7
cos
7
cos
7
cos
7
H thfíc 2.4.16.
π
cos
7
3π
cos
7
5π
3π
cos
+ 7
5π
cos
7
π
cos
+
5π π
cos
7 7
3π = −3.
cos
7
cos
7
cos
7
H thfíc 2.4.17.
1 1
2 π 3π
+ 1
5π
= 24.
cos
7
cos2
7
cos2
7
H thfíc 2.4.18.
5π π
2
π 3π
2
3π 5π
2
1
H thfíc 2.4.19.
5π π
2
π 3π
2
3π 5π
2
49
7
7
7
7
cos + + cos
cos

49
7 7 7 7 7 7 64
+
+
+
+
π π
H thfíc 2.4.20a.
1 1
4 π 3π
+ 1
5π
= 416.
cos
7
cos4
7
cos4
7
Chfíng minh. Áp dụng tính chat 1.2.20 vào (2.11) ta có H thác 2.4.20a.
H thfíc 2.4.20b. (THTT, bài 8/159, năm 1988, trang 7)
1 1
4 π 2π
+ 1
3π
= 416.
cos
7
cos4
7
cos4
7
Chfíng minh. Vì cos4
2π
7
= cos4
5π
, nên
7
1 1
4 π 2π
+ 1 1
3π
=
4
π
1
3π
+ 1
5π
.
cos
7
cos4
7
cos4
7
cos
7
cos4
7
cos4
7
H thfíc 2.4.21.
1
+
1 1
+
1 1
+
1
= −8.
cos cos
3π
cos
3π
cos
5π
cos
5π
cos
H thfíc 2.4.22.
1 1
3 π 3π
+ 1
5π
= 88.
cos
7
cos3
7
cos3
7
H thfíc 2.4.23.
cos2
π
+ cos2
3π
cos2
3π
+ cos2
5π
cos2
5π
+ cos2
π
=
29
.
H thfíc 2.4.24.
π
cos
7
1
3π
+ cos
7
+
3π
cos
7
1
5π
+ cos
7
+
cos
1
5π π
+ cos
7 7
= 2.
7
7
7
7
7
7
+

50
H thfíc 2.4.25.
π
cos
7
1
+ cos
3π 2
+
7
3π
cos
7
1
+ cos
5π 2
+
7
5π
cos
7
1
π 2
+ cos
7
= 20.
H thfíc 2.4.26.
π
cos
7
1
+ cos
3π 4
+
7
3π
cos
7
1
+ cos
5π 4
+
7
5π
cos
7
1
π
4
+ cos
7
= 208.
lượng giác đe suy ra nhieu phương trình b c ba nh n giá trị lượng giác của các
góc làm nghi m và nhieu h thác lượng giác khác nǎa (xem thêm Chương 3
trong [3]).

51
Chương 3
Phương pháp phương trình b c bon
Chương này trình bày m®t so tính chat nghi m của phương trình b c bon.
Tà đó phát hi n và cháng minh m®t so h thác lượng giác.
3.1. Các tính chat nghi m của phương trình b c
bon
Moi phương trình b c bon đeu đưa được ve dạng
x4
+ ax3
+ bx2
+ cx + d = 0. (3.1)
Phương trình (3.1) có bon nghi m x1, x2, x3, x4 thỏa mãn các tính chat sau.
Tính chat 3.1.1.
Tính chat 3.1.2.
T1 = x1 + x2 + x3 + x4 = −a.
T2 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = b.
Tính chat 3.1.3.
T3 = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = −c.
Tính chat 3.1.4.
T4 = x1x2x3x4 = d.

52
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4
1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2
1 2 3 4
Tính chat 3.1.5.
Tính chat 3.1.6.
1 1
T5 = +
1 x2
1 1
+ +
x3 x4
c
= −
d
.
T6 = x2
+ x2
+ x2
+ x2
= a2
− 2b.
Tính chat 3.1.7.
T7 = (x1 + x2 + x3)(x2 + x3 + x4)(x3 + x4 + x1)(x1 + x2 + x4) = a2
b − ac + d.
Tính chat 3.1.8.
T8 = (x1 + x2 + x3 − x4) (x2 + x3 + x4 − x1)(x3 + x1 + x4 − x2)
(x1 + x2 + x4 − x3) = −a4
+ 4a2
b − 8ac + 16d.
Tính chat 3.1.9.
T =
x1 + x2 + x3
+
x2 + x3 + x4
+
x3 + x1 + x4
+
x1 + x2 + x3 ac
= − 4.
9
x4 x1 x2 x4 d
Tính chat 3.1.10.
T10 = x2
x2
+ x2
x2
+ x2
x2
+ x2
x2
+ x2
x2
+ x2
x2
= b2
− 2ac + 2d.
Tính chat 3.1.11.
T11 = x2
x2
x2
+ x2
x2
x2
+ x2
x2
x2
+ x2
x2
x2
= c2
− 2bd.
Tính chat 3.1.12.
T12 = x4
+ x4
+ x4
+ x4
= a4
− 4a2
b + 2b2
+ 4ac − 4d.
Tính chat 3.1.13.
T13 =
1
Tính chat 3.1.14.
1
x2x3
1
+
x2x3x4
1
+
x3x1x4
1
+
x2x1x4
a
= −
d
.
x3 x1 x2 x4 a2
− 2b
T14 =
1x2x4
+
x2x3x4
+
x3x1x4
+ = .
x3x1x2 d
x
x
x

53
Tính chat 3.1.15.
x1x2x3 x2x3x4 x3x4x1 x4x1x2 c2
− 2bd
T15 =
4
Tính chat 3.1.16.
+ + + = .
x1 x2 x3 d
1 1 1 1 c2
− 2bd
T16 =
x2 +
x2 +
x2 +
x2 =
d2
.
Tính chat 3.1.17.
1 2 3 4
T17 = (x1 − x2)2
+ (x2 − x3)2
+ (x3 − x4)2
+ (x4 − x1)2
+ (x1 − x3)2
+ (x2 − x4)2
= 3a2
− 8b.
Cháng minh các tính chat trên có the xem trong Mục 4.1, Chương 4 của [3].
3.2. Xây dfing phương trình b c bon m i tfi phương
trình b c bon đã có
Tà m®t phương trình b c bon cho trước với các nghi m x1, x2, x3, x4 ta có the
de dàng tạo ra nhieu phương trình b c bon mới với các nghi m có nhieu tính
chat hay. Đieu này rat có ích khi phát hi n và cháng minh các h thác lượng
giác trong các mục tiep theo.
M nh đe 3.2.1. Neu x1, x2, x3, x4 là bon nghi m của phương trình (3.1) với
(d 0) thì
1 1 1 1
, , ,
x1 x2 x3 x4
là bon nghi m của phương trình
t4
+
c
t3
+
b
t2
+
a
t +
1
= 0. (3.2)
d d d d
M nh đe 3.2.2. Neu x1, x2, x3, x4 là bon nghi m của phương trình (3.1) thì
x2
, x2
, x2
, x2
là bon nghi m của phương trình
1 2 3 4
t4
− a2
− 2b t3
+ b2
− 2ac + 2d t2
− c2
− 2bd t + d2
= 0. (3.3)
M nh đe 3.2.3. Neu x1, x2, x3, x4 là bon nghi m của phương trình (3.1) thì
x1x2x3, x2x3x4, x3x4x1, x4x1x2 là bon nghi m của phương trình
t4
+ ct3
+ bdt2
+ ad2
t + d3
= 0. (3.4)
Cháng minh các M nh đe trên có the xem trong Mục 4.2, Chương 4 của [3].
x

54
2
cos4 α cos2 α
3.3. Phương trình b c bon liên quan đen các giá
trị lư ng giác của các góc
π 3π
, ,
8 8
5π 7π
,
8 8
góc
π 3π
, ,
8 8
5π 7π
,
8 8
M nh đe 3.3.1. (THTT, tháng 10, so 232, năm 1996, trang 4)
tan
π
,tan
8
3π
,tan
8
5π 7π
, tan
8 8
t4
− 6t2
+ 1 = 0. (3.5)
Chfíng minh. Đ t t = tan α, Khi đó (3.5) trở thành tan4
α − 6 tan2
α + 1 = 0
⇔ tan2
α + 1
2
− 8 tan2
α = 0 ⇔
1
−
8 sin α
= 0
⇔ 1 − 8 sin2
α cos2
α = 0 ⇔ cos 4α = 0 ⇔ α =
π
+
kπ
, k ∈ Z.
8 4
Do đó với k = 0; 1; 2; 3 ta có M nh đe 3.3.1.
π
, tan2
3π
, tan2
5π
, tan2
7π
là các nghi m của phương
8 8 8 8
trình
t4
− 12t3
+ 38t2
− 12t + 1 = 0. (3.6)
π
tan2
3π
tan2
5π
, tan2
π
tan2
3π
tan2
7π
,
8 8 8 8 8 8
tan2
3π
tan2
5π
tan2
7π
, tan2
π
tan2
5π
tan2
7π
8 8 8 8 8 8
t4
− 12t3
+ 38t2
− 12t + 1 = 0. (3.7)
Nh n xét Neu áp dụng các tính chat nghi m của phương trình b c bon vào
(3.7) ta được các h thác rat phác tạp nhưng thực ra giong các h thác khi áp
dụng tính chat nghi m của phương trình b c bon vào (3.6) .
M nh đe 3.3.4.
1
π ,
cos
1
3π
,
1
5π
,
1
7π
8 cos
8
cos
8
cos
8
t4
− 8t2
+ 8 = 0. (3.8)

55
−
8 8 8 8
5π π 7π 3π
Chfíng minh. Áp dụng các công thác tan = − tan , tan = − tan
8 8 8 8
Suy ra tan2
π
, tan2
3π
là các nghi m của phương trình x2
− 6x + 1.
Mà tan2
π 8 8
=
1
π −1, tan2
3π 1 1
= −1 nên
1
π , là các nghi m
8 cos2
8
8
cos2
3π
8
cos2
8 cos2
3π
8
của phương trình x2
8x+8 = 0. Hơn nǎa cos
5π
8
= − cos
π 7π
; cos
8 8
3π
= − cos
8
.
M nh đe 3.3.4 được cháng minh.
π
, tan4
3π
, tan4
5π
, tan4
7π
là các nghi m của phương
8 8 8 8
trình
t4
− 68t3
+ 1158t2
− 68t + 1 = 0. (3.9)
3.3.2. Các h thfíc liên quan đen giá trị lư ng giác của các góc
π 3π
, ,
8 8
5π 7π
,
8 8
H thfíc 3.3.1.
π
tan
8
3π
+ tan
8
5π
+ tan
8
7π
+ tan
8
= 0.
Chfíng minh 1. Áp dụng tính chat 3.1.1 vào (3.5) ta được H thác 3.3.1.
Chfíng minh 2. Áp dụng công thác c®ng, ta có
π
tan 8
3π
+ tan 8
5π
+ tan 8
7π
+ tan 8
= tan
π
+ tan
7π
+ tan
3π
+ tan
5π
= tan π 1 − tan
π
tan
7π
+ tan π 1 − tan
3π
tan
5π
8 8 8 8
= 0.
H thfíc 3.3.2.
π 3π π 5π π 7π 3π 5π
tan
8
tan
8
+ tan
8
tan
8
+ tan
8
tan
8
+ tan
8
tan
8
+ tan
3π
tan
8
7π
+ tan
8
5π
tan
8
7π
8
= −6.

56
−
−
8 8 8 8 8 8 8
1 1
Chfíng minh 2. Áp dụng công thác tan α = − tan (π − α), ta có
π
tan 8
3π
tan 8
π
+ tan 8
5π
tan 8
π
+ tan 8
7π
tan 8
3π
+ tan 8
5π
tan 8
3π
+ tan 8
7π
tan 8
5π 7π
+ tan tan = tan
3π
+ tan
5π
tan
π
+ tan
7π
− tan2
π
− tan2
3π
= 2 2
1
cos2
π
8
1
+
cos2
8
= 2 2
1
π
1 + cos
4
1
+ π
1 + cos
4
= 2 − 2
= −6.
√
2
+
1 + 1 +
2
√
2
H thfíc 3.3.3.
π 3π 5π π 3π 7π π 5π 7π
tan
8
tan
8
tan
8
+ tan
8
tan
8
tan
8
+ tan
8
tan
8
tan
8
3π
+ tan
8
5π
tan
8
7π
tan
8
= 0.
H thfíc 3.3.4.
π
tan
8
3π
tan
8
5π
tan
8
7π
tan
8
= 1.
H thfíc 3.3.5.
1
π
tan
8
1
+
3π
tan
8
1
+
5π
tan
8
1
+
7π
tan
8
π
= cot
8
3π
+ cot
8
5π
+ cot
8
7π
+ cot
8
= 0.
H thfíc 3.3.6.
2
8
π

57
−
8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8
tan2
π
+ tan2
3π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
= 12.
8 8 8 8
H thfíc 3.3.7.
tan
π
+ tan
3π
+ tan
5π
tan
3π
+ tan
5π
+ tan
7π
× tan
5π
+ tan
7π
+ tan
π
tan
7π
+ tan
π
+ tan
3π
= 1.
H thfíc 3.3.8.
tan
π
+ tan
3π
+ tan
5π
− tan
7π
tan
3π
+ tan
5π
+ tan
7π
− tan
π
× tan
5π
+ tan
7π
+ tan
π
− tan
3π
tan
7π
+ tan
π
+ tan
3π
− tan
5π
8 8 8 8 8 8 8 8
=16.
H thfíc 3.3.9.
π
tan
3π
+ tan
5π
+ tan
3π
tan
5π
+ tan
7π
+ tan
8 8 8 + 8 8 8
7π
tan
8
5π 7π π
π
tan
8
7π π 3π
tan + tan + tan tan + tan + tan
+ 8 8
π
tan
8
8 + 8 8 8 = 4.
5π
tan
8
H thfíc 3.3.10.
tan2
π
tan2
3π
+ tan2
π
tan2
5π
+ tan2
π
tan2
7π
+ tan2
3π
tan2
5π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan2
3π
tan2
7π
+ tan2
5π
tan2
7π
= 38.
8 8 8 8
H thfíc 3.3.11.
tan2
π
tan2
3π
tan2
5π
+ tan2
π
tan2
3π
tan2
7π
8 8 8 8 8 8
+ tan2
π
tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
3π
tan2
5π
tan2
7π
= 12.
8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.12.
3

58
+
tan4
π
+ tan4
3π
+ tan4
5π
+ tan4
7π
= 68.
8 8 8 8
H thfíc 3.3.13.
π
tan
8
1
3π
tan
8
5π
tan
8
+
3π
tan
8
1
5π
tan
8
1
7π
tan
8
+
5π
tan
8
1
7π
tan
8
π
tan
8
+
7π
tan
8
π
tan
8
3π
tan
8
= 0.
H thfíc 3.3.14.
7π
tan
π
tan
3π
tan
8 + 8 + 8
π 3
tan
8
tan
π 5π
tan
8 8
3π
tan
8
5π
tan
8
7π
tan
8
5π
tan
8
7π
tan
8
π
tan
8
+
tan
5π
tan
8
7π π
tan
8 8
3π
tan
8
= 12.
H thfíc 3.3.15.
π
tan
3π
tan
5π
tan
3π
tan
5π
tan
7π
tan
5π
tan
7π
tan
π
tan
8 8 8 + 8 8 8 + 8 8 8
7π
tan
8
π
tan
8
7π π 3π
3π
tan
8
tan tan tan
+ 8 8 8 = 12.
5π
tan
8
H thfíc 3.3.16.
1 1
2 π 3π
+ 1 1
5π
+
7π
tan
8
tan2
8
tan2
8
tan2
8
= cot2
π
+ cot2
3π
+ cot2
5π
+ cot2
7π
= 12.
8 8 8 8
H thfíc 3.3.17.
π
tan
8
− tan
3π 2
+
8
tan
3π
8
− tan
5π 2
+
8
tan
5π
8
− tan
7π 2
8

59
8
− tan
8
+ tan
8
− tan + tan
8
− tan
8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8
8 8 8 8
8 8
7π π
2
π 5π
2
3π 7π
2
H thfíc 3.3.18.
tan2
π
+ tan2
3π
+ tan2
5π
tan2
3π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
× tan2
5π
+ tan2
7π
+ tan2
π
tan2
7π
+ tan2
π
+ tan2
3π
= 5329.
H thfíc 3.3.19.
tan2
π
+ tan2
3π
+ tan2
5π
− tan2
7π
tan2
3π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
− tan2
π
× tan2
5π
+ tan2
7π
+ tan2
π
− tan2
3π
× tan2
7π
+ tan2
π
+ tan2
3π
− tan2
5π
= 16.
H thfíc 3.3.20.
tan2
π
+ tan2
3π
+ tan2
5π
tan2
3π
+ tan2
5π
+ tan2
7π
8 8 8 + 8 8 8
tan2
7π
8
tan2
5π
+ tan2
7π
+ tan2
π
tan2
π
8
tan2
7π
+ tan2
π
+ tan2
3π
+ 8 8
tan2
3π
8
8 + 8 8 8 = 140.
tan2
5π
8
H thfíc 3.3.21.
tan4
π
tan4
3π
+ tan4
π
tan4
5π
+ tan4
π
tan4
7π
+ tan4
3π
tan4
5π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan4
3π
tan4
7π
+ tan4
5π
tan4
7π
= 1158.
8 8 8 8
H thfíc 3.3.22.
tan4
π
tan4
3π
tan4
5π
+ tan4
π
tan4
3π
tan4
7π
+ tan4
π
tan4
5π
tan4
7π
8 8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan4
3π
tan4
5π
tan4
7π
= 68.
8 8 8
+ tan = 48.

60
+
H thfíc 3.3.23.
tan8
π
+ tan8
3π
+ tan8
5π
+ tan8
7π
= 2308.
8 8 8 8
H thfíc 3.3.24.
1 1 1
tan2
tan2
tan2
+
1
= cot2
π
cot2
3π
cot2
5π
+ cot2
3π
cot2
5π
cot2
7π
tan2
π
tan2
3π
tan2
7π
8 8 8 8 8 8
8 8 8
+ cot2
5π
cot2
7π
cot2
π
+ cot2
7π
cot2
π
cot2
3π
= 12.
8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.25.
tan2
7π
8
π 3
tan2
π
+ 8
tan2
tan2 π
tan2 5π tan2
3π
tan2
5π
tan2
7π
8 8 8 8 8 8
+
5π
tan2
3π
8 π
+
7π
tan2
5π
8
3π = 68.
tan2
tan2
7π
tan2
tan2
tan2
π
tan2
8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.26.
tan2
π
tan2
3π
tan2
5π
tan2
3π
tan2
5π
tan2
7π
8 8
tan2
7π
8
8 + 8 8 8
tan2
π
8
tan2
5π
tan2
7π
tan2
π
tan2
7π
tan2
π
tan2
3π
+ 8 8 8 +
tan2
3π
8
8 8
tan2
5π
8
8 = 68.
H thfíc 3.3.27.
1 1
4 π 3π
+ 1 1
5π
+
7π
tan
8
tan4
8
tan4
8
tan4
8
= cot4
π
+ cot4
3π
+ cot4
5π
+ cot4
7π
= 68.
8 8 8 8
tan2 π 3π 5π
tan2
tan2 + 3π 5π 7π
tan2
tan2
tan2 + 5π 7π π
8 8 8 8 8 8 8 8 8

61
8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.28.
tan2
π
8
— tan2
3π 2
+
8
tan2
3π
8
— tan2
5π 2
+
8
tan2
5π
8
— tan2
7π 2
8
+ tan2
7π
8
π 2
tan2
+
8
tan2
π
8
— tan2
5π 2
+
8
tan2
3π
8
— tan2
7π 2
8
= 128.
H thfíc 3.3.29.
tan2
π
tan2
3π
tan
5π
tan
7π
+ tan2
π
tan
3π
tan2
5π
tan
7π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan2
π
tan
3π
tan
5π
tan2
7π
+ tan
π
tan2
3π
tan2
5π
tan
7π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan
π
tan2
3π
tan
5π
tan2
7π
+ tan
π
tan
3π
tan2
5π
tan2
7π
= −6.
H thfíc 3.3.30.
tan3
π
tan2
3π
tan2
5π
tan2
7π
+ tan2
π
tan3
3π
tan2
5π
tan2
7π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan2
π
tan2
3π
tan3
5π
tan2
7π
+ tan2
π
tan2
3π
tan2
5π
tan3
7π
= 0.
8 8 8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.31.
tan
π
tan
3π
tan
5π
+ tan
π
tan
3π
tan
7π
+ tan
π
tan
5π
tan
7π
× tan
π
tan
3π
tan
5π
+ tan
π
tan
3π
tan
7π
+ tan
3π
tan
5π
tan
7π
× tan
π
tan
3π
tan
5π
+ tan
π
tan
5π
tan
7π
+ tan
3π
tan
5π
tan
7π
× tan
π
tan
3π
tan
7π
+ tan
π
tan
5π
tan
7π
+ tan
3π
tan
5π
tan
7π
= 1.
H thfíc 3.3.32.
tan4
π
tan4
3π
tan2
5π
tan2
7π
+ tan4
π
tan2
3π
tan4
5π
tan2
7π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan4
π
tan2
3π
tan2
5π
tan4
7π
+ tan2
π
tan4
3π
tan4
5π
tan2
7π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan2
π
tan4
3π
tan2
5π
tan4
7π
+ tan2
π
tan2
3π
tan4
5π
tan4
7π
= 38.
8 8 8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.33.
−

62
3π 5π
5π
tan6
π
tan4
3π
tan4
5π
tan4
7π
+ tan4
π
tan6
3π
tan4
5π
tan4
7π
8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan4
π
tan4
3π
tan6
5π
tan4
7π
+ tan4
π
tan4
3π
tan4
5π
tan6
7π
= 12.
8 8 8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.34.
tan4
π
tan4
3π
tan4
5π
+ tan4
π
tan4
3π
tan4
5π
+ tan4
π
tan4
5π
tan4
7π
8 8 8 8 8 8 8 8 8
+ tan4
3π
tan4
5π
tan4
7π
= 68.
8 8 8
H thfíc 3.3.35.
1
π +
cos
1
3π
+
1
5π
+
1
7π
= 0.
8 cos
8
cos
8
cos
8
H thfíc 3.3.36.
1
π
cos
1 1
+ π
cos
1 1
+ π
cos
1
7π
+ 1 1
3π 5π
8 cos
8 8 cos
8
1 1 8 cos
8
1 1
cos
8
cos
8
+
3π
cos
8
7π
cos
8
+
5π
cos
8
7π
cos
8
= −8.
H thfíc 3.3.37.
1
π
cos
1 1
3π 5π
1
+ π
cos
1 1
3π 7π
1 1 1
+ π
cos
8 cos
8
cos
8 8 cos
8
1 1
cos
8
1 8 cos
8
cos
8
+
3π
cos
8
5π
cos
8
7π
cos
8
= 0.
H thfíc 3.3.38.
1
π
cos
1 1
3π 5π
1
7π
= 8.
8 cos
8
cos
8
cos
8
7π

63
8
cos
3π
cos
8
cos
5π cos
3π
cos
8
cos
7π
8
cos 3π
cos
8
5π
cos
8
cos
7π cos
8
3π
cos
8
7π
cos
8
cos
5π
8
+
π π
π π
8 8 8
8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.39.
π
cos
8
3π
+ cos
8
5π
+ cos
8
7π
+ cos
8
= 0.
H thfíc 3.3.40.
1 1
2 π 3π
+ 1
5π
+ 1
7π
= 16.
cos
8
cos2
8
cos2
8
cos2
8
H thfíc 3.3.41.
1
+
1
+
1 1
+
1
+
1
×
1
+
1
+
1 1
+
1
+
1
= 8.
cos
5π
cos
cos
7π
cos
3π
5π
cos
cos
7π
H thfíc 3.3.42.
1
+
1
+
1
−
1 1
+
1
+
1
−
1
×
1 1 1 1
π + + −
1
+
1
+
1
−
1
cos
5π
cos
7π
cos
cos
3π
cos
3π
5π
cos
7π
cos
cos
H thfíc 3.3.43.
1
π +
cos
1 1
3π
+
5π
1
π +
cos
1 1
3π
+
7π
8 cos
8
1
cos
8 + 8 cos
8
1
cos
8
7π
cos
8
5π
cos
8
π
8
8
=128.
π

64
+
1
π +
cos
1 1
5π
+
7π
1
3π
+
1 1
5π
+
7π
8 cos
+
1
cos
8
cos
+ 8
cos
8
1
cos
8 = −4.
3π
cos
8
π
cos
8
H thfíc 3.3.44.
1 1 1
2
π 3π
+
2
π
1 1
5π
+
2
π
1
7π
+ 1 1
3π 5π
cos
8 cos2 cos 8 cos2
cos cos2
8 cos2 cos2
8
1
+
3π
8
1
7π
+
8
1 1
5π 7π
8 8
= 48.
cos2 cos2 cos2 cos2
8 8 8 8
H thfíc 3.3.45.
1 1
2 π 3π
1 1
5π
+
2
π 1 1
3π 7π
cos 8 cos2 cos2
cos 8 cos2 cos2
1
+
5π
8
1
7π
+
8
1 1
3π 5π
8 8
1 1
7π 7π = 128.
cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2
8 8 8 8 8 8
H thfíc 3.3.46.
1 1
4 π 3π
+ 1
5π
+ 1
7π
= 96.
cos
8
cos4
8
cos4
8
cos4
8
H thfíc 3.3.47.
π
cos
8
3π
cos
8
5π
cos
8
π
+ cos
8
3π
cos
8
7π
cos
8
π
+ cos
8
5π
cos
8
7π
cos
8
3π
+ cos
8
5π
cos
8
7π
cos
8
= 0.
H thfíc 3.3.48.
π
cos
3π
cos
7π
cos
π
cos
3π
cos
5π
cos
π
cos
5π
cos
7π
cos
8 8 8 + 8 8 8 + 8 8 8
5π
cos
8
7π
cos
8
3π
cos
8
8

65
π
8 8
1 1 1 1 1
3π
cos
5π
cos
7π
cos
+ 8 8 8 = 2.
cos
8
H thfíc 3.3.49.
7π
cos
5π
cos
3π
cos
8 + 8 + 8
π 3
cos cos
π 5π
cos
π
cos
3π
cos
7π
cos
π
cos
5π
cos
7π
cos
8 8 8
+
cos
8
cos
3π
cos
8
π 8
8
5π
cos
8
8 8 8 8
7π
= 16.
8
H thfíc 3.3.50.
cos2
π
+ cos2
3π
+ cos2
5π
+ cos2
7π
= 2.
8 8 8 8
H thfíc 3.3.51
2 2 2
1
π
cos
3π +
cos
π − 5π +
cos
π − 7π
2 2 2
+
1
3π
cos
8
1
—
cos
5π
8
+
1
3π
cos
8
1
—
cos
7π
8
+
1
5π
cos
8
1
—
cos
7π
8
= 64.
H thfíc 3.3.52.
tan16
π
+ tan16
3π
+ tan16
5π
+ tan16
7π
= 2663428.
8 8 8 8
8 cos
8
cos
8
cos
8
−

66
3.4. Phương trình b c bon liên quan đen các giá trị
π 5π 9π
, , ,
16 16 16
13π
16
góc
π 5π 9π
, , ,
16 16 16
π
13π
16
5π 9π 13π
M nh đe 3.4.1. tan ,tan
16
, tan
16
,tan
16
. là các nghi m của
16
Chfíng minh. Ta có
t4
+ 4t3
− 6t2
− 4t + 1 = 0. (3.10)
π
tan
4
5π
= tan
4
9π
= tan
4
= tan
13π
4
= 1. Cháng tỏ
π
x = , x =
16
Mà
5π
,x =
16
9π
,x =
16
13π
16
đeu là nghi m của phương trình tan (4x) = 1.
2 tan (2x)
tan (4x) = 1 ⇔
1 − tan2
(2x)
= 1
2 tan x
⇔ 2
1 − tan2
x = 1 −
2 tan x 2
1 − tan2
x
⇔ 4 tan x 1 − tan2
x = 1 − tan2
x
2
− 4 tan2
x
⇔ tan4
x + 4 tan3
x − 6 tan2
x − 4 tan x + 1 = 0. Đ t t = tan x
ta được phương trình t4
+ 4t3
− 6t2
− 4t + 1 = 0. Suy ra đieu phải cháng minh.
M nh đe 3.4.2.
1
π ,
tan
1
5π
,
1
9π
, 1
13π là các nghi m của
tan
16
tan
16
tan
16
t4
− 4t3
− 6t2
+ 4t + 1 = 0. (3.11)
M nh đe 3.4.3. cot2
π
, cot2
5π
, cot2
9π
, cot2
13π
là các nghi m của
16 16 16 16
Chfíng minh. Do
t4
− 28t3
+ 70t2
− 28t + 1 = 0. (3.12)
cot2
π
=
1
π ; cot2
5π
=
1
; cot2
9π
=
1
; cot2
13π
=
1
.
16 tan2
16
16
tan2
5π
16
16
tan2
9π
16
16
tan2 13π
16
16

67
— −
cos
16 16 16 16 16 16 16 16
,
8 −
Áp dụng m nh đe 3.2.2 vào (3.11) ta được M nh đe 3.4.3.
M nh đe 3.4.4.
1 1
2 π 5π
, 1
9π
, 1
13π là các nghi m của
sin
16
sin2
16
sin2
16
sin2
16
t4
− 32t3
+ 160t2
− 256t + 128 = 0. (3.13)
Chfíng minh. Do cot2
α =
1
1 nên thay t bang t 1 vào (3.12) ta được
sin2
α
M nh đe 3.4.4.
3.4.2. Các đang thfíc liên quan đen giá trị lư ng giác của các
góc
π 5π 9π
, , ,
16 16 16
13π
16
H thfíc 3.4.1.
π 5π 9π 13π
tan + tan + tan + tan
16 16 16 16
= −4.
Chfíng minh 2. Sả dụng công thác c®ng, hạ b c, ta có
π
tan 16
5π
+ tan 16
9π
+ tan 16 + tan 13π
16
= tan
π
+
13π
1 − tan
π
tan
13π
+tan
5π
+
9π
1 − tan
5π
tan
9π
7π
7π 7π
7π
cos
= tan
8
cos
π
8
13π
+ tan
cos
16 16
cos
5π
16
8
9π
cos 16
7π 7π
4 sin cos
7π
= sin
8 cos
7π
2
3π
+ cos
4
+
cos
2
7π
+ cos
8
π
=
8 8
cos2
7π 1
8 2
7π
4 sin
= 4
π
cos
4
7π
= 4 tan = −4.
4
H thfíc 3.4.2.
tan2
π
+ tan2
5π
+ tan2
9π
+ tan2
13π
= 28.
16 16 16 16
4
8
7

68
−
cos2
π
16 cos2
5π
− 1 cos2
9π
− 1 cos2
13π
− 1
−
−
16 16 16
Chfíng minh 2. Sả dụng các đȁng thuéc lượng giác, công thác haj b c, ta có
tan2
π
+ tan2
5π
+ tan2
9π
+ tan2
13π
16 16 16 16
=
1
+
1
+
1
+
1
2
= π
1 + cos
8
2
2
+
5π
1 + cos
8
2
2
+
9π
1 + cos
8
2
2
+
1 + cos
2
13π
− 4
8
= π
1 + cos
8
4
+ π
1 − cos
8
4
+
5π
1 + cos
8
+
5π
− 4
1 − cos
8
8 8
= π
1 cos2
8
+
1 cos2
5π
8
= 32 ⇔ π
1 − cos
4
+
5π
− 4
1 − cos
4
8
= √
2
+
8
√
2
− 4 = 28.
1 1 +
2 2
H thfíc 3.4.3.
π
tan
16
tan
5π
+tan
16
π
tan
16
9π
+tan
16
π
tan
16
13π
16
5π
+tan
16
tan
9π 5π
+tan
16 16
tan
13π
16
9π
+ tan tan
16
13π
16
= −6.
H thfíc 3.4.4.
π
tan
16
5π
tan
16
9π
tan
16
tan
13π
16
= 1.
H thfíc 3.4.5.
1
π +
tan
1
5π
+
1
9π
+ 1
13π = 4.
tan
16
tan
16
tan
16
H thfíc 3.4.6.
π
tan
16
5π
tan
16
9π
tan
16
+ tan
π 5π
tan
16 16
tan
13π
16
+ tan
π 9π
tan
16 16
tan
13π
16
— 1
16

69
16 16 16 16 16 16
16 16 16 16 16 16
16 16 16 16 16 16 16 16
16 16 16 16
16 16 16 16
5π
+ tan
16
9π
tan
16
tan
13π
16
= 4.
H thfíc 3.4.7.
tan
π
+ tan
5π
+ tan
9π
tan
5π
+ tan
9π
+ tan
13π
× tan
9π
+ tan
13π
+ tan
π
tan
13π
+ tan
π
+ tan
5π
= −79.
H thfíc 3.4.8.
tan
π
+ tan
5π
+ tan
9π
− tan
13π
tan
5π
+ tan
9π
+ tan
13π
− tan
π
× tan
9π
+ tan
13π
+ tan
π
− tan
5π
× tan
13π
+ tan
π
+ tan
5π
− tan
9π
= −496.
Đang thfíc 3.4.9.
π
tan
5π
+ tan
9π
+ tan
5π
tan
9π
+ tan + tan 13π
16 16 16
13π
tan
16
16 16 16
π
tan
16
9π
tan + tan 13π π
+ tan tan 13π π
+ tan
5π
+ tan
+ 16 16 16
5π
tan
16
+ 16 16 16
9π
tan
16
= −20.
H thfíc 3.4.10.
tan2
π
tan2
5π
+ tan2
π
tan2
9π
+ tan2
π
tan2
13π
+ tan2
5π
tan2
9π
16 16 16 16 16 16 16 16
+ tan2
5π
tan2
13π
+ tan2
9π
tan2
13π
= 70.
16 16 16 16
H thfíc 3.4.11.
tan2
π
tan2
5π
tan2
9π
+ tan2
π
tan2
5π
tan2
13π
16 16 16 16 16 16
+ tan2
π
tan2
9π
tan2
13π
+ tan2
5π
tan2
9π
tan2
13π
= 28.
16 16 16 16 16 16
+

70
π
H thfíc 3.4.12.
tan4
π
+ tan4
5π
+ tan4
9π
+ tan
13π
= 644.
16 16 16 16
H thfíc 3.4.13.
tan
1
π 5π
tan
16 16
9π
tan
16
+
5π
tan
16
1
9π
tan
16
1
tan
13π
16
+
9π
tan
16
1
13π
tan
16
π
tan
16
+
tan
13π
16
π
tan
16
5π
tan
16
= −4.
H thfíc 3.4.14.
tan 13π π
tan
16 + 16
π
tan
16
5π
tan
16
9π
tan
16
5π
tan
16
9π
tan
16
tan
13π
16
+
9π
tan
5π
16
13π
9π
tan
π
+
13π
16
5π
= 28.
tan tan
16 16
tan
16
tan
16
tan tan
16 16
H thfíc 3.4.15.
π
tan
5π
tan
9π
tan
5π
tan
9π
tan tan 13π
16 16 16 +
13π
tan
16
16 16 16
π
tan
16
9π
tan
+ 16
tan
13π
16
π
tan
16
tan
+
13π
16
tan
π 5π
tan
16 16 = 28.
5π
tan
16
9π
tan
16
H thfíc 3.4.16.
cot2
π
+ cot2
5π
+ cot2
9π
+ cot2
13π
= 28.
16 16 16 16
H thfíc 3.4.17.

71
tan
16
− tan
16
tan
16
− tan
16
tan
16
− tan
16
− tan
16
+ tan
16
− tan
16
+ tan
16
− tan
+
+
16
π 5π
2
5π 9π
2
9π 13π
2
13π π
2
π 9π
2
5π 13π
2
H thfíc 3.4.18.
cot4
π
+ cot4
5π
+ cot4
9π
+ cot4
13π
= 644.
16 16 16 16
H thfíc 3.4.19.
cot8
π
+ cot8
5π
+ cot8
9π
+ cot8
13π
= 408068.
16 16 16 16
H thfíc 3.4.20.
1 1
2 π 5π
+ 1
9π
+ 1
13π = 32.
sin
16
sin2
16
sin2
16
sin2
16
H thfíc 3.4.21.
1
π 5π 9π 13π = 128.
sin2
sin2
sin2
sin2
16 16 16 16
H thfíc 3.4.22.
1 1
4 π 5π
+ 1
9π
+ 1
13π = 704.
sin
16
sin4
16
sin4
16
sin4
16
H thfíc 3.4.23.
sin2
π
+ sin2
5π
+ sin2
9π
+ sin2
13π
= 2.
16 16 16 16
16
+ +
+ tan = 96.

72
H thfíc 3.4.24.
sin4
π
+ sin4
5π
+ sin4
9π
+ sin4
13π
=
3
.
16 16 16 16 2
H thfíc 3.4.25.
1
π 5π
+ 1
π 9π
+ 1
π 13π
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
16 16
1
16 16
1
16 16
1
+
5π 9π
+
5π 13π
+
9π 13π = 160.
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
16 16 16 16 16 16
H thfíc 3.4.26.
1
π 5π
+ 1
π 9π
+ 1
π 13π
sin4
sin4
sin4
sin4
sin4
sin4
16 16
1
16 16
1
16 16
1
+
5π 9π
+
5π 13π
+
9π 13π = 9472.
sin4
sin4
sin4
sin4
sin4
sin4
16 16 16 16 16 16
lượng giác đe suy ra nhieu phương trình b c bon nh n giá trị lượng giác của
các góc làm nghi m và nhieu h thác lượng giác khác nǎa (xem thêm Chương 4
trong [3]).

73
Ket lu n
Lu n văn trình bày phương pháp phương trình đại so cháng minh các h thác
lượng giác. Các ket quả được trình bày trong lu n văn bao gom:
Trình bày phương pháp phương phương trình b c hai cháng minh các h thác
lượng giác. Đưa ra m®t so phương trình b c hai có nghi m là giá trị lượng giác
của các góc có liên quan đ c bi t. Tà đó suy ra các h thác lượng giác với cháng
minh nhờ các tính chat nghi m của phương tình b c hai. M®t so bài dùng cả
cách cháng minh truyen thong và công thác Waring.
Trình bày phương pháp phương trình b c ba cháng minh các h thác lượng giác.
Đưa ra m®t so phương trình b c ba có nghi m là giá trị lượng giác của các góc
có liên quan đ c bi t. Tà đó suy ra các h thác lượng giác với cháng minh nhờ
các tính chat nghi m của phương tình b c ba.
Trình bày phương pháp phương trình b c bon cháng minh các h thác lượng
giác. Đưa ra m®t so phương trình b c bon có nghi m là giá trị lượng giác của
các góc có liên quan đ c bi t. Tà đó suy ra các h thác lượng giác với cháng
minh nhờ các tính chat nghi m của phương tình b c bon.
N®i dung lu n văn viet dựa trên mục 5.1 của cuon sách [1] và cuon sách [3],
trong đó tác giả lu n văn là đong tác giả của cuon sách [3]. M®t so phan trong
[3], thí dụ mục Chương 2 (tương áng mục 1.3, Chương 1 của lu n văn), mục
Chương 4 (tương áng mục 3.3, Chương 3 của lu n văn) và tính chat 2.1.20 cùng
m®t so bài trong Chương 2 của lu n văn là tìm tòi của tác giả.

74
Tài li u tham khảo
Tieng Vi t
[1] Tạ Duy Phượng, Hoàng Minh Quân (2017), Phương trình b¾c ba với các h
thúc hình hoc và lượng giác trong tam giác, NXB Giáo dục.
[2] Hoàng Minh Quân (2018), Phương trình b¾c bon và các h thúc hình hoc
trong tú giác (Bản thảo).
[3] Hoàng Minh Quân, Tạ Duy Phượng, Nguyen Thị Kim Anh (2018), Phát hi n
và chúng minh các đȁng thúc lượng giác nhờ phương trình đại so (Bản thảo).
[4] Tạp chí Toán hoc và tuői tré.
Tieng Anh
[5] Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, V. Volenec (1989), Recent Advances in
Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers.
[6] Djukié, D., Jankovié, V., Matié, I., Petrovié, N., (2011), A Collection of
Problems: Suggested for The International Mathematical Olympiads: 1959-
2009, Springer.

Phương Pháp Phương Trình Đại Số Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Phương Pháp Phương Trình Đại Số Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác.docx

Similar to Phương Pháp Phương Trình Đại Số Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác.docx (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Phương Pháp Phương Trình Đại Số Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác.docx