CNC1.3

1. 3. Канонічні рівняння методу сил
Додаткові рівняння переміщень, що виражають рівність нулю переміщень
(лінійних чи кутових) у напрямках зайвих невідомих, зручно складати в так званій
канонічній формі, тобто за певною закономірністю.
Спочатку розглянемо систему, один раз
статично невизначувану (рис. 6а). Як зайву
невідому виберемо шарнірно-рухому опору В.
Тоді, навантаживши основну систему заданим
навантаженням і зайвою невідомою силою 1X
(рис. 6б), прирівняємо до нуля повне
переміщення точки В основної системи в
напрямі 1X :
  .0, 111  XF (1)
Обчислюючи 1 , застосуємо принцип незалежності дії сил: 1111  F
де F1 – переміщення від заданого навантаження (рис. 6в);
11 – переміщення від сили 1X .
Якщо 11 – переміщення в напрямі 1X від сили 11 X (рис. 6г), то
11111 X  , і рівняння переміщень (1) набирає вигляду:
01111  FX (2)
Це канонічна форма рівняння переміщень для один раз статично
невизначуваної системи.
Для системи з двома зайвими зв’язками додаткові рівняння мають вигляд:
,0,0 21  де  2111 ,, XXF – повне переміщення в напрямі 1X від
заданого навантаження та зайвих невідомих сил 1X і 2X ;  2122 ,, XXF –
повне переміщення в напрямі 2X від заданого навантаження та зайвих невідомих
сил 1X і 2X .

2. Виходячи з принципу незалежності дії сил, запишемо переміщення 1 та
2 у вигляді сум переміщень, спричинених окремо кожною з невідомих сил 1X ,
2X та заданим навантаженням F . Використовуючи вибрані раніше позначення
переміщень, знаходимо:
;0
;0
222212
112111


F
F
(3)
За аналогією можна записати в канонічній формі рівняння переміщень для
будь-якої n разів статично невизначуваної системи:
.0...
...........................................
,0...
,0...
21
222221
111211



nFnnnn
Fn
Fn
(4)
Повне переміщення si можна визначити як добуток питомого
переміщення si , спричиненого дією одиничної сили, на відповідну узагальнену
силу – isisi X  .
.0...
............................................................
,0...
,0...
2211
22222121
11212111



nFnnnnn
Fnn
Fnn
XXX
XXX
XXX



(5)
Система канонічних рівнянь методу сил для загального випадку
навантаження має вигляд:
 ,,1,0
1
nsX sF
n
i
isi 

 (6)
де n – кількість зайвих зв'язків (ступінь статичної невизначуваності) системи.

3. Коефіцієнти si рівнянь (6) являють собою лінійні зміщення та кути
повороту в основній (статично визначуваній) системі від дії сил і моментів 1iΧ ,
доданих по напрямкам ""s невідомих зусиль. Вільні члени sF визначають
відповідні переміщення, викликані заданим зовнішнім навантаженням.
Коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь (6) обчислюються за
допомогою інтегралу Мора. Якщо розрахункова схема зібрана з прямолінійних
стержнів постійної згинальної і крутної жорсткості, то безпосереднє інтегрування
в формулі Мора можна замінити перемноженням епюр графоаналітичними
способами.
Питомі переміщення від дії зовнішнього навантаження називаються
грузовими коефіцієнтами канонічних рівнянь, визначають таким чином



j
sF
sF dz
EI
MM
x
xx (8)
Питомі переміщення, що мають однакові індекси й називаються головними
коефіцієнтами канонічних рівнянь, визначають таким чином



j
ss
ss dz
EI
MM
x
xx (9)
Очевидно, що ці переміщення додатні.
Питомі переміщення, в яких індекси не однакові, називають побічними
коефіцієнтами й визначають за формулою
isdz
EI
MM
j
is
si 

  ,
x
xx
 (10)
Вони можуть бути додатними або від’ємними, а також дорівнювати нулю.
На підставі теореми про взаємність переміщень issi   .