Урок алгебры и начал анализа в 10 классе «Формулы двойного аргумента»

1. Цели урока:
Образовательные – повторить формулы, связывающие тригонометрические функции
одного и того же аргумента, вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить
sin 2x, cos 2x, tg 2x через sinx, cosx, tgx, показать их применение.
Развивающие – вырабатывать навыки и умения использовать полученные формулы в
тригонометрических преобразованиях, развивать математическое мышление учащихся,
умение видеть и применить изученные тождества, развивать умения самостоятельной
учебно-познавательной деятельности, развивать культуру речи и любознательность.
Воспитательные – побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе
умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу.
Тип урока: урок усвоения новых знаний учащимися.
Оборудование и дидактические материалы:
 презентации для сопровождения урока;
 компьютер, мультимедийный проектор, экран;
 тестовые работы, копирки.
Ход урока.
I.Организационно-мотивационный момент (1 мин.)
Цель: сообщение темы урока, целей, формирование мотива желания работать на уроке,
мобилизация внимания.
Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы повторим формулы, связывающие
тригонометрические функции одного и того же аргумента и докажем формулы двойного
аргумента, используя формулы сложения.
Российский математик и механик, академик Петербургской АН М.В. Остроградский
сказал:
«Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае
вспомнить забытое».
II. Проверка знаний: математический диктант (9 мин.) с последующей
взаимопроверкой. (Приложение 1)
Задания появляются на слайдах последовательно.
Вариант 1 Вариант 2
Упростить выражения
1) ;
cos1
cos 2
2
2



tg

1) ;
sin1
sin 2
2
2



ctg

2)
 1cos1
sin
22
2
 

ctg
; 2)
 ;
1sin1
cos
22
2
 

tg
3) ;cos
cos1
sin2





3) ;sin
sin1
cos2





4)   ;cossin  ctgtg  4) ;sinsin 222
  ctg
5) .
sin1
cos
cos
sin1







5) .
sin
cos1
cos1
sin



 


Два учащихся за доской выполняют эти же задания на оценку.
Проверка проводится по слайдам, учащимся, которые работали у доски, выставляются
оценки.
III.Изучение новой темы.(10мин.)
Цель: получение формул синуса, косинуса и тангенса двойного угла, развитие логического
мышления, внимания, умения говорить и слушать.
У доски трое учащихся записывают формулы синуса, косинуса, тангенса суммы
аргументов.
  yxyxyx sincoscossinsin  ;

2.   yxyxyx sinsincoscoscos  ;
 
tgxtgy
tgytgx
yxtg



1
.
Учитель: Положив в формулах синуса суммы, косинуса суммы и тангенса суммы xy  ,
получим формулы двойного аргумента (учащиеся выводят формулы у доски
самостоятельно):
 
xtg
tgx
tgxtgx
tgxtgx
xxtgxtg 2
1
2
1
2





Учитель: Всегда ли справедливы данные формулы? (Формулы синуса и косинуса
двойного аргумента справедливы для любых значений аргумента, а формула тангенса
двойного аргумента справедлива лишь для тех значений аргумента x, для которых
определены tgx и xtg2 , а также отличен от нуля знаменатель дроби, т.е. 01 2
 xtg .
Учитель: Заметим, что формула косинуса двойного угла имеет два разных продолжения,
так как в ней можно выразить x2
cos через x2
sin , а можно выразить x2
sin через x2
cos :
.
Аналогичную формулу можно получить и для 2ctg , но запоминать ее не надо, так как
без нее всегда можно обойтись:



tgc
ctg
ctg
2
1
2
2

 ,   n;  
24
n
 , где nZ .
IV.Совместная работа учителя с классом (7 мин).
Цель: показать применение формул синуса и косинуса двойного угла для преобразования
тригонометрических выражений; развитие логического мышления, внимания, умения
говорить и слушать.
Упростите выражение: .2cos35cos6 2
 
Решение:
 
2535sin3cos3sin3cos35cos6
sincos35cos62cos35cos6
22222
2222




Вычислите: .
115cos2
15cos15sin6
2


Решение:
3
3
3
3303
30cos
30sin3
115cos2
15cos15sin6
2






tg
Упростите выражение:   .2sin2cos
4cos
2sin2cos 2
44





Решение:

3.       







4sin2sin2cos2sin22cos2sin2cos
2sin2cos
2sin2cos
2sin2cos2sin2cos
2sin2cos
4cos
2sin2cos
2222
2
22
2222
2
44






IV. Историческая справка. (3 мин.)
Заранее готовит учащийся презентацию «Из истории тригонометрии».
Цель: повысить интерес учащихся к изучаемому разделу, создать благоприятный
эмоциональный фон на уроке.
V. Закрепление изученного материала (13 мин).
Цель: формирование тестовой культуры учащихся, развитие учебно- познавательной
компетенции. Проверка первичного усвоения знаний, самокоррекция.
Работа проходит индивидуально по тестовым заданиям. Ответы записываются учащимися
под копирку. Один вариант сдаётся учителю, по второму идёт проверка, анализ ошибок,
решения высвечиваются на слайдах. (Приложение 2)
Вариант 1
1. Заполните пропуски в равенствах так, чтоб они стали верными равенствами:
   4sin4coscos 22

2.  


21
22
2
tg
tg
tg


3. Упростите:
  .cossin)
;2cos1)
;
sin
2sin
)
2






в
б
а
4. Вычислите:
.
301
302
)
;
12
sin
12
cos)
;
8
cos
8
sin2)
2
22



tg
tg
в
б
а


Вариант 2
1. Заполните пропуски в равенствах так, чтоб они стали верными равенствами:
   22
sincos4cos 
2.    3cos3sin2sin 
3. Упростите:
  .cossin)
;2sin1)
;
2sin
cos2
)
2
2






в
б
а
4. Вычислите:

4. .30sin30cos)
;15cos15sin2)
;
8
1
8
2
)
22
2



в
б
tg
tg
а


VI. Итог урока, домашнее задание. (2 мин.)
п.21, стр.121-124, №21.1-21.5(б), 21.17-21.19(в).
Литература.
1. Мордкович А.Г. /Алгебра и начала математического анализа (в 2-х частях).
Ч. 1: Учебник. 10-11 классы. М.: Мнемозина,2009 г.
Ч. 2:Задачник.10-11 классы.
М.: Мнемозина, 2009 г.
2. Мордкович А.Г. /Методическое пособие для учителя, Алгебра и начала анализа 10-
11 классов. М.:Мнемозина, 2003.
3. Мордкович А.Г./Учебно-методическое пособие, Беседы с учителями математики.
М.: Оникс. Мир и образование,2008.
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. и др./Задачник к школьному курсу 8-11 класс.
М.:АСТ-ПРЕСС, 1998 г.
Приложение 1
Вариант 1
1) Решение: 1
cos1
cos 222
2
2





tgctgtg
2) Решение:
   
1
sin
sin
cos1
sin
cossincos
sin
cos
1
sin
1cos1
sin
2
2
2
2
222
2
2
2
22
2

















ctg
3) Решение:
   1coscos1cos
cos1
cos1cos1
cos
cos1
sin2











4) Решение:
  1cossincossin
cossin
cossin
cossin 22
22


 


 ctgtg
5) Решение:
  0
sin1cos
cossin1
sin1
cos
cos
sin1
2
22














5. Вариант 2
1) Решение:
1
sin
cos
cos
sin
sin1
sin
2
2
2
2
2
2
2

 






ctg
2) Решение:
   
1
cos
cos
sin1
cos
cossinsin
cos
sin
1
cos
1sin1
cos
2
2
2
2
222
2
2
2
22
2





 









tg
3) Решение:
   1sinsin1sin
sin1
sin1sin1
sin
sin1
cos2











4) Решение:
1cossinsin
sin
cos
sinsinsin 222
2
2
2222
 


 ctg
5) Решение:
 
   
0
sincos1
cos1sin
sincos1
cos1sin
sin
cos1
cos1
sin 2222









 







Приложение 2
Вариант 1
1. Заполните пропуски в равенствах так, чтоб они стали верными равенствами:
 4sin4cos8cos 22

2.



21
22
4 2
tg
tg
tg


3. Упростите:
  .2sin1coscossin2sincossin)
;sin2sincoscossin2cos1)
;cos2
sin
cossin2
sin
2sin
)
222
22222










в
б
а
4. Вычислите:
.360302
301
302
)
;
2
3
6
cos
12
2cos
12
sin
12
cos)
;
2
2
4
sin
8
2sin
8
cos
8
sin2)
2
22





tgtg
tg
tg
в
б
а


Вариант 2

6. 1. Заполните пропуски в равенствах так, чтоб они стали верными равенствами:
 2sin2cos4cos 22

2.  3cos3sin26sin 
3. Упростите:
 
  .2sin1coscossin2sincossin)
;cossincossin2cossin2sin1)
;
cossin2
cos2
2sin
cos2
)
222
222
22










в
б
ctgа
4. Вычислите:
.
2
1
60cos302cos30sin30cos)
;
2
1
30sin152sin15cos15sin2)
;1
48
2
8
1
8
2
)
22
2




в
б
tgtg
tg
tg
а


