Дидактический материал по алгебре. 9-11 классы

1. Дидактические материалы
к урокам алгебры в
9, 10, 11 классах
Учитель найдет в сборнике:
- дидактическиематериалы по решению тематических задач
- материалы экзаменационных работв 9 классе
В этом сборникерассматриваютсянесколько способов решения текстовых
задач для письменной работы по алгебре, так и быстрыйметод обработки
информации задач на движение, задачи на концентрации и процентное
содержание, задач на производительностьтруда.

2. Самостоятельныеработы из экзаменационных работ
Работа 1
Вариант №1
1. Произведениепервого и шестого членов арифметическойпрогрессии с
положительнымичленами равно 60 , а разность этойпрогрессииравна
4 . Найти сумму первых восьмичленов этой прогрессии.
2. Упростите:


















 22222
22 вав
а
ава
в
ава
ва
ва
а
3. Постройтеграфик функции у = 322
 хх . Определите по графику все
значения переменной х , при которыхфункция возрастает.
4. Выполните действия: -3,075:1,5-0,5*(0,04-
25
4
3 )
5. Упроститевыражение:
(1+ctg x * sin x)(1- cos x)
Вариант №2
1. Два автомобиля выезжаютодновременно из одного городав другой.
Скорость первогона 10 кмч больше скорости второго ипоэтому он
приезжает на место на час раньше второго . Определите скорость
каждого автомобиля . если расстояниемеждугородами120 км.
Упростите: 















3
2
9
3
3
12
6
9
2
2
а
а
аа
а
а
а
2. Решите неравенство : х2
-6х+5<0
3. Выполните действия : (0,24-
25
12
)*0,5+3,57:3,5
4. Докажите тождество: cos 2
x - cos 2x= sin2
x
Работа 2
Вариант №1
1. Найдите пятый член и сумму первых двадцати членов
арифметическойпрогрессии:12;8;….

3. 2. От дома до школы 400м. Ученик старшего класса делает на этом пути
на 300 шагов меньше , чем ученик младшего класса так как к него
шаги на 30см больше. Определить длину шага каждого ученика.
3. Произвестиуказанные действия:
322
2
22
23
22
3333
22
вавваа
в
ва
ава
авваа
в
ва
ва





















4.Решите неравенство, используя метод интервалов:
(х+3)(х-1)(х-10)<0
5.Пользуясь формуламиприведения , найдите : А)tg x 120 б) sin(-225 ˚)
Вариант №2
5. С аэродрома вылетает одновременно в пункт, находящегося отнего
на 1600 км два самолета . Скорость одногоиз них на 80 кмч больше
скорости второгопоэтому онприлетает к месту назначения на час
раньше . Найти скорость каждого самолета
1. Дана арифметическая прогрессия , у которой 3,44  dа .Найти 8а
2. Упростите: 











mnm
n
nmn
m
nm
mn
nm
mnm
2222
2
22
2
3. Решите уравнение    хххх 140949 222
 =0
4. Вычислите :
64
10*5*8
Работа 3
Вариант №1
1. Два печника , работая вместе могутсложить печь за 12 ч. Если
первый печник будет работать 2ч , а второй3ч ,то они выполнят,
только 20 % всей работы . За сколько часов могут сложить печь
каждый печник работая отдельно.
2. Решите систему уравнений
6
111
6
511






ух
ух

4. 3. Вычислить :
4,1*8,24,0*8,2
8,02 22


4.Найдите значение выражения:
Cos(  )-Cos(- ),
4


5.Постойте график функции у=х-2,5. Укажите координаты точек
пересечения графика с осями координат.
Вариант №2
1. Две бригады работая вместе могут закончить уборку урожая за 8
дней . Если первая бригада будет работать 3 дня , а вторая 12 дней ,
то они выполнят75% всей работы. За сколько дней могут закончить
уборку урожая каждая бригада, работая отдельно.
2. Решите систему уравнений
10
21
4
41






ху
ух
3. Вычислить :
4,0*88,012,0*4,0
5,01,0 22


4.Найдите значение выражения:
sin 




 





 

3
sin
3
хх , если cosх=
4
3
5. Постойтеграфик функции у=-х+1,5. Укажите координаты точек
пересечения графика с осями координат.
Работа 4
1- вариант 2- вариант
1 . Упростите выражение:
  245,02318    8520510 
2.Решите неравенство, используя метод интервалов:
   0911  хх 0
8
3



х
х

5. 3. Сократите дробь :
2
2
161
274
с
сс


2
2
251
4195
с
сс


4. Постройте график функции
у= 562
 хх у = 1382
 хх
Найдите нули функции; промежутки , в которых у>0 и в которых у < 0
5. Упроститевыражение
44
1
2
1
4
2
222









 ххххх 5
96
3
1
9
6 2
2










хх
хх
6. а) Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по
течению , затратив на весь путь 3 ч. Какова скоростьмоторнойлодкив
стоячейводе, если известно , что скоростьтечения реки равна 1кмч
Б) Бригададолжна была изготовить 360 изделий к определенному
сроку. Изготовляя в день на 4 изделия больше , чем полагалось по
плану, бригада выполнила задание на 1 день раньше срока. Сколько
изделий в день должна была изготовлять бригада?
Работа 5
Вариант№1
1.Вычислить:
)2()6(:)2()3()1(:)3(2
)3()2()4()3()2(1


2. Упростить выражение:
в
а
в
ав
ав
в
:




 


3. Найти разность арифметическойпрогрессии, если : а11=6, а16=8,5
4.Найдите область определения функций : у = 842
 хх
5. При выполнении работы по математике 12% учеников класса вовсене
решили задачи,32% решили с ошибками , остальные 14 человек решили
верно . Сколько учеников было в классе ?
6. При каких значениях с уравнение х2+2х+с=0не имеет корней? Укажите
одно из таких значений с.

6. Вариант№2
1. Вычислите :  24
327 

2. Решите неравенство: х2-25 ≥0
3. Найдите cos2α ,если α=∏2
4. Найти S12, если а1=-3 , а3*а7=24
5. Упростить выражение:
30
3612
*
6
6
6 2
2










а
аа
а
а
6. В трех ящиках имеется всего 64,2 кг сахара. Во втором ящике
находится 45 того , что есть в первом ящике , в третьем - 42
2
1
% того,
что есть во втором. Сколько сахара в каждом ящике
Работа 6
Вариант№1
1.Вычислить:
3)1(1
)4(0)1()3(2


2. Упростить выражение: 




 

 а
ва
ва
а
ва
в
:
3.Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при
заданном значении переменной.
  32
9


а
а
; при
2
1
а
4. Докажите , что прямая у=-2х и парабола у=6х2-7х+2 не пересекаются.
5. Моторная лодка спустилась по течению на 28 км ,и тотчас же вернулась
назад на путь туда и обратно ей потребовалось 7ч. Найти скорость
движения лодки в стоячейводе, если известно, что водав реке движется со
скоростью3 кмч .
6. Постройтеграфик функции у=2х2+4х-2,5. Какие значения принимает
функция, если -3х0 ?

7. Вариант№2
1. Вычислите : 16* 23
2
2. Решите неравенство: 4х-3(х+7)> 12+х
3. Найдите cosα*tgα, если α=-300
4. Найти первые пять членов последовательности  nа с общим ее членом
:
 
 
2
1
1


nn
na
5. После выпуска из школы ученики обменялись фотографиями.
Сколько было учеников , если они обменялись 870 карточками?
6. Упростить выражение: 





















1
11
:
4
4
2
2
2
2
2232
2
а
а
ааа
а
а
а
а
а
Работа 7
Вариант№1
1 Упроститевыражение:
   
32
4*3
:
15
53
22
2. Постройтеграфик функции у =
х
3
 . Возрастает или убывает функция при
х=0 .
3. Товарныйпоезд былзадержан на 18мин, затем на расстояниив 60 км
наверстал это время, увеличив скорость на10 кмч. Найдите первоначальную
скоростьпоезда.
4. Вычислите : (0,75*tg 02
30 - sin 02
60 + tg 02
45 +cos 02
60 ) 1
5.Решите уравнение : 01243 23
 ххх
6.Найдите область определения функции:
У=
52
143 2


х
хх
Вариант№2
1. Вычислите: 01,0*3*5*2 428
2. Постройтеграфик функции у =
х
4
. Найдите значения х,
при которых у < 0 .

8. 3. Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь
обратно со скоростьюна 10 кмч меньше первоначальной, он затратил на
путь 20 мин больше. Найдите первоначальную скоростьмотоциклиста.
4. Упроститевыражение:  2
2
2
cos
cos
sin1



tg

5. Решите системунеравенств:
у
у
у
у
у
21
5
42
102
4
5






 


6. При каких значениях с уравнение х2
+6х+с=0 имеет два корня ? Укажите
одно из таких значений с.
Работа 8
1- вариант 2- вариант
1. Вычислите:













12
5
3
2
:75,0
3
1






 6,3*
9
7
2
3
2
1
7
1
2
2. Решите систему неравенств:





14772
15385
хх
хх

 
1018115
1210)4(28


хх
ххх


3. Найдите значение выражения:
30sin30cos
30cos30sin6
22
 130sin2
30sin1
2
2


4. Вычислите координаты точекпересечения параболы
у= хх 22
 и прямой у=2х-2 у= 32
х у=2х-1
5. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см , а его
гипотенуза 20 см. Найдите катеты прямоугольноготреугольника.
Б) Периметр прямоугольникаравен 34 см , а его диагональ 13 см..
Найдите стороны прямоугольника
6. Решите графическиуравнения:
2
2
3
хх
х
  2
1
2
 х
х

9. Задачина концентрации и процентное содержание
Задачи этого раздела вызывают затруднения. Очень важно разобраться в
самом тексте задачи. Необходимо научиться расчленять такую задачу на ряд
простейших. Друг под другом пишутся содержание кислот имеющихся
растворов, слева от них и посередине – содержание кислоты в растворе,
который должен получиться после смешивания
а% в% -с% частей
с%
в%
с%−а%
а%−в%
Упражнения с решениями.
1. В свежих фруктах воды 72℅ , а в сухофруктах 20℅ воды. Сколько
получиться сухофруктов из 20 кг свежих?
Решение:
№ Всего Вода Сухое вещество
Свежие 20 кг 72% 28%
Сухие ? (кг) 20% 80%
а) найдем количество кг сухого вещества в свежих фруктах:


)(6,5
100
2820
кг сухое вещество
б) найдем количество кг сухофруктов
80
1006,5 
= 7(кг) – сухофруктов
Ответ: 7
2 способ метод креста
20% 100% -72% =28 частей - 20г
72%
100% 72% -20% = 52 частей. – х г .
Составляем пропорцию

10. 28
80
=
х
20
х=7
2. Сколько нужно добавить воды в 50г 30% кислоты, чтобы раствор стал
10% ?
Решение:
№ Всего Вода Кислота
1 50г 70% 30%
2 ?(г) 80% 10%
а) найдем количество г кислоты в растворе:
%100
%3050
= 15(г) – кислоты
б) найдем количество г раствора после добавления воды:
)(150
%10
%10015
г

в) 150 – 50 =100(г)- добавить воды
Ответ: 100
3 Способ метод креста
70% 100-10=10 частей - 50г
90%
100% 90-70 = 20 частей. – х г .
Составляем пропорцию
10
20
=
50
х
х=100
3. Отлит сплав из золотаи серебра. Отношение массы золотак массе серебра
равно 3:5. Масса серебра на 12г больше, чем масса золота. Сколько грамм
составляет масса сплава?
Решение:

11. Пусть х(г) – в одной части сплава, тогда (3х)г – золота, а (5х)г – серебра.
Зная, что серебра на 12г больше, чем золота, составим уравнение:
5х – 3х = 12
2х = 12
х = 6 6г – в одной части сплава
(3 + 5) 486  (г)- сплав
Ответ: 48
4.Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько
нужно взять каждого из этих сортов ,чтобы получить 140 т стали с
содержанием никеля 30 %?
1 способ решения .
5% 40-30=10 частей.
30%
40% 30-5=25 частей. Всего 10+25=35 частей.
140:35=4г
10*4=40г -5% раствора.
25*4=100г – 40% раствора
2-й способ составлениесистемы линейных уравнении
Х г – 5%-ного раствора У г – 40% -ного раствора







100
14030
100
40
100
5
140
ух
ух
5.Имеется серебро 12-й ,11-й и 5-й пробы. Сколько какого серебранадо взять
для получения 1 кг серебра9-й пробы ?
5 12-9=3 5 11-2=3
9 9
12 9-5=4 11 9-5=4
3+2+4+=13 частей.

12. 5-й пробы кг
13
5
, 12-й кг
13
4
, 11-й кг
13
4
6.Имеются два сплава золото и серебра; в одном количество этих металлов
находится в отношении 2:3, в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно
взять от каждого сплава ,чтобы получить 8 кг, нового сплава , котором
золото и серебрабыли бы в отношении 5:11 ?
I сплав - золото 25*100% = 40%
II сплав – золото 310* 100% = 30%
516* 100% = 31,25%
40% 31,25%-30% =1,25ч 8-х
31,25%
30% 40% -31,25%=8,25 ч х
Составляем пропорцию
1,25
8,25
=
х
8−х
Ответ : 1кг; 7кг
Задачидля самостоятельнойработы
1. Одна бочкасодержит смесь спиртас водою в отношении 2:3 , а другая -
в отношении 3:7 . По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы
составить 12 ведер смеси, в которойспирти вода были бы в отношении
3:5 ?
9; 3
2. Один сплав состоитиз двух металлов ,входящих в него в отношении
1:2, а другойсплав содержитте же металлы в отношении 2:3 . Из скольких
частей обоихсплавов можно получить новыйсплав ,содержащийте же
металлы в отношении 17:27 ?
3. Имеются два сплава серебраи меди , в одном количество этих находится
в отношении 3:5, в другом – в отношении 2:7.
Сколько нужно взять от каждого сплава ,чтобы получить новыйсплав
, в котором сереброимедь были бы в отношении 1: 3 ?

13. 4. При смешивании 5% -ного растворакислоты с 40% -ным раствором
кислоты получили 140 г 30% раствора. Сколько граммов каждого
растворабыло для этого взято ?
5. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько
нужно взять каждого из этих сортов ,чтобы получить 140 т стали с
содержанием никеля 30 %?
40т ; 100т
7. При смешивании 40%-ного растворакислоты с 10%-ным раствором
кислоты получили 800г 21,25%-ного раствора. Сколько граммов каждого
растворабыло для этого взято?
300 г и 500 г
8. Имеется 735г 16%-ного растворайодав спирте. Нужно получить 10%-ный
раствор йода. Сколько граммов спиртанужно прибавить к имеющемуся
раствору?
441 г
9.Смешали 30%-ный раствор солянойкислоты с 10%-ным и получили 600г
15%-ного раствора. Сколько граммов каждого растворабыло для этого
взято?
150 г и 450 г
10. Кусоксплава меди и цинка массойв 36кг содержит45% меди. Какую
массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новыйсплав
содержал60% меди?
13,5 кг.
11. Смешали 200г 10%-ного и 300г 20%-ного растворасахара. Какова доля
сахара в полученном растворе?
16 %
12. В растворесодержится40% соли. Если добавить 120г соли, то раствор
будет содержать 70% соли. Масса соли в первоначальном растворебыла ?
48 кг.
13. Имеется 0,5т целлюлозной массы, содержащей85% воды. Сколько
килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся массасодержала25%
целлюлозы?
200 кг

14. 14. Свежие грибы содержатпо массе 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько
получится сухих грибов из 22 кг свежих?
2,5 кг
15.Морская вода содержит5% солипо массе. Сколько преснойводы нужно
добавить к 15 л морскойводы, чтобыконцентрация соли составляла1,5%?
35кг
16. Сухие фрукты содержат20% воды, а свежие 72% воды. Чтобы получить
7кг сухих фруктов, свежих надо взять…?
20 кг
17. В 100г раствораимеется 1% соли. После испарения стало 2% соли. Масса
2%-ного растворасолиравна...?
50 г
18. Имеются 2 растворасолимассой80г и 120г. В первом растворе
содержится 12г соли, а во втором 15 г соли. Если обарастворасмешать, то
концентрация (в%) полученной смесисоставит…?
13,5%
19. Морская вода содержит5% (по массе) соли. К 40кг морскойводы
добавим преснойводы и содержаниесоли в полученной воде составило 2%.
Масса добавленнойпреснойводы равна …?
60 кг
20. Сколько кг воды необходимо выпарить из 100 кг массы, содержащей90
% воды , чтобы получить массу,содержащую 80% воды ?
50кг
21. Имеются два слитка сплавов медии олова . Первый содержит 40 %
меди, второй -32 % меди . Какого веса должны быть эти слитки , чтобы
после их совместнойпереплавки получить 8 кг сплава , содержащего 35%
меди ?
3кг ; 5кг
22. Одинраствор содержит30 % ( по объему) азотнойкислоты , а второй
55% азотнойкислоты. Сколько нужно взять первого и второго растворов ,
чтобы получить 100 л 50% -ного раствораазотнойкислоты.
20л и 80л
23. Сплав меди и олова массойв 16кг содержит55% олова. Сколько чистого
олова нужно добавить в сплав, чтобы полученный новый сплав имел 60%

15. олова ?
2 кг
24. Сколько воды следует добавить к 40 кг 5% растворасолив воде, чтобы
получить 4% -ный раствор ?
10кг
25.Сплав оловаи меди массойв 24 кг содержит45% олова. Сколько чистого
олова надо добавить , чтобы получить сплав , содержащего 40 % меди ?
3кг
26. 90 литров нефти содержит10% кислоты Сколько надо добавить чистой
нефти , чтобы получить 5% кислотный раствор ?
90л
27. Свежие грибы содержатпо массе 90% воды, а сухие 20% воды. Сколько
надо собрать свежихгрибов , чтобы получить 4,5 кг сухих ?
36кг
28. Смешали 40 л шербета с содержанием сахара 25% и 20 л шербета , где
содержится 15% сахара . Найдите процентное содержаниесахара в
смешанном шербете . 653%
29. Имеется 40 л 0,5% раствора и 50 л 2% растворауксуснойкислоты .
Сколько литров первого растворанадо добавить во второй раствор , чтобы
получилось 1.5% раствор уксуснойкислоты?
25л

16. Задачина движение.
1. Основнымикомпонентамиэтого типа задач являются:
а) пройденныйпуть (S);
б) скорость(V);
в) время (t)
Зависимость междууказанными величинами выражается известными
формулами:
tVS 
t
S
V 
V
S
t 
2. План решения обычно сводится кследующему:
а) выбираем одну из величин, которая по условию задачиявляется
неизвестной, и обозначаем ее через x, y или z и т.д.
б) устанавливаем, какая из величин является по условию задачи
известной.
в) третью (из оставшихся)величину выражаем через неизвестную (x) и
известную с помощьюоднойиз формул.
г) составляем уравнение на основанииусловия задачи, в котором
указано, как именно изменилась (уменьшилась, увеличилась, и т.д.) третья
величина.
3. Заметим, что если два каких-либо тела начинают движение
одновременно, то в случае, если они встречаются, каждоес момента выхода
и до встречизатрачивает, очевидно, одинаковоевремя. Аналогично обстоит
дело и в случае, если одно тело догоняетдругое.
4. Если же тела выходятв разноевремя, то до момента встречииз них
затрачивает времени больше то, котороевыходитраньше.
5. В задачах на движение по реке необходимо помнить следующие
формулы:
Vпо теч=Vсоб+Vтеч
Vпротив теч=Vсоб-Vтеч
Vсоб=
2
1
(Vпо теч+Vпротивтеч)

17. Рассмотрим теперь решение некоторыхзадач.
Задачи с решениями.
1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, вышел
пешеход. Через два часа за ним выехал велосипедист, который проезжал за
каждый час на 4,5 км больше, чем проходил пешеход. Определить скорость
движения велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В
одновременно с пешеходом.
Решение:
Пусть )( чкмх - V пешехода, тогда ( чкмх )5,4 - V велосипедиста.
)(
18
ч
x
время пешехода, тогда 

)(
5,4
18
ч
x
время велосипедиста.
Зная, что время велосипедистана 2 часа меньше времени пешехода, составим
уравнение:
2
5,4
1818



хх
ОДЗ: 5,4,0  хх
приведем к общему знаменателю
2х2 + 9х – 81 = 0
х1,2 =  9;5,4  (-9 не является решением)
4,5 ( ч
км )– V пешехода, тогда V велосипедиста = 4,5 + 4,5 = 9 ( ч
км )
Ответ: 4,5; 9
2-й способ
При тестировании составляем с помощью таблицы уравнения и используем
метод подстановки .
№ S t v
П 18 18х х
В 18 18( Х+4.5) х+4,5

18. 2
5,4
1818



хх разница во времени.
2. Лодочник проезжает расстояние 16 км по течению реки на 6 часов
быстрее, чем против течения; при этом скорость лодки в стоячей воде на 2
ч
км больше скорости течения. Определите скорость лодки в стоячей воде и
скорость течения реки.
Решение:
Пусть )( чкмх - Vсобст, тогда скорость реки ч
кмх )2(  .
2
16
 хх
- скорость лодки против течения реки.
2
16
 хх
- скорость лодки по течению реки.
Зная, что время лодки против течения реки больше времени по течению реки
на 6 часов, составим уравнение:
6
2
16
2
16



 хххх
1х
8 - 6
1
8

х
2х = 10
х = 5 Vсобст= 5 ч
км , тогда 5 – 2 = 3( ч
км )- Vтеч
Ответ: 5;3
1. Моторная лодка прошла по течению реки 105км, причём проплыла этот
путь на 2ч быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки,
если скорость моторнойлодкив стоячейводе18км/ч.
3км/ч.
2. Моторная лодка прошла 28км по течению реки и 25км против течения
реки за то же время, за котороеона могла в стоячейводепройти 54км.
Найдите скорость лодкив стоячейводе, если скорость течения реки равна
2км/ч.

19. 12км/ч.
3. Катер, развивающийв стоячейводескорость 20км/ч, прошёл за 3ч 36км
против течения и 22км по течению реки. Найдите скорость течения реки.
2км/ч.
4. Расстояниемеждудвумя пристанями80км. Плот прошёл путь от первой
пристани ко второйи вернулся обратно, затратив на весь путь 8 часов 20мин.
Найдите скорость плотав стоячейводе, если скорость рекиравна 4км/ч.
20км/ч.
5. Скоростьмоторнойлодкив стоячейводе 15км/ч. Лодка прошла по
течению реки 139
3
1
км и вернулась, обратно затратив на весь путь 20час.
Найдите скорость течения реки.
4км/ч.
6. Моторная лодка проехала по реке из городаА в город В и обратно,
израсходовав наэто 10 часов. Расстояниемеждугородами20км. Найдите
скоростьтечения реки, зная, что лодка проплывала 2км против течения в
такое же время, как 3км по течению реки.
6
5
км/ч.
7. РасстояниеотгородаА до городаВ по течению реки лодка проплывает за
8 час, а от В до А против течения – за 12час. За сколько часов плот
проплывётот А до В?
48ч.
8. Моторная лодка прошла 18км по течению реки, а затем 14км против
течения реки, затратив на весь путь 3ч 15мин. Собственная скорость лодки
10км/ч. Найдите скоростьтечения.
2км/ч.
9. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч 20мин вслед за
плотом из того же пункта вышла моторная лодка, которая догнала плот,
пройдя 20км. Сколько км/ч проходитплот, если лодка шла быстрее его на
12км/ч.

20. 3км/ч.
10. Моторная лодка спустилась по течению на 28км и тотчас же вернулась
назад, На весь путь туда и обратно ей потребовалось7ч. Найти скорость
движения лодки в стоячейводе, если известно, что водав реке движется со
скоростью3км/ч.
9км/ч.
11. Моторная лодка прошла 12км против течения реки и 12км по течению
реки, затратив на весь путь против течения на 1ч больше, чем на путь по
течению. Найти скоростьтечения реки, если скоростьлодкив стоячейреке
9км/ч.
3км/ч.
12. Туристпроехал 160км, причём
8
5
этого пути он ехал на автомашине, а
остальную часть-на катере. Скорость катерана 20км/ч меньше скорости
автомашины. На автомашине турист ехал на 15мин больше времени, чем на
катере. Чему равны скоростикатера и автомашины?
(60;80);(80;100).
Задачи на совместную работу.
1. Основными компонентами этого типа задач являются:
а) работа;
б) время;
в) производительность труда(работа, выполненная в единицу времени).
2. План решения задачи обычно сводится к следующему:
а) принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.
б) находим производительность трудакаждого рабочего в отдельности,
т.е.
t
1
, где t- время, за которое указанный рабочий может выполнить всю
работу, работая отдельно.
в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий
отдельно, за то время, которое он работал.

21. г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т.е. 1) к
сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная
отдельно каждым из рабочих (если, разумеется, в условии сказано, что при
совместной работе всех рабочих выполнен весь объем работы).
3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается
выполненная работа. Основанием для составления уравнения может служить
также указанное в условии соотношение затраченного времени или
производительности труда.
Рассмотрим решение некоторых задач:
1. Отец и сын, работая совместно, могут выполнить работу за 2часа 40
минут. Найти время, которое потребуется отцу на выполнение этой работы,
если он может выполнить ее на 4 часа бастре сына.
Решение:
Пусть х(ч) – время работы сына, тогда (х – 4)ч – время работы отца.
х
1
- производительность труда сына за 1 час, тогда
4
1
х
-производительность
труда отца за 1 час, а
минч402
1
- производительность труда сына и отца
одновременно за 1 час.
Составим уравнение:
8
31
4
1

 хх
ОДЗ: 0,4  хх
3х2 – 28 х + 32 = 0
х1,2 =






3
4
;8 (
3
4
не является решением)
8(ч) – время работы сына.
8 – 4 = 4(ч) – время работы отца. Ответ: 4;8
№ v t vt
П 1 х 1х
В 1 ( Х-4) 1(Х-4)

22. Задачи на производительность труда №69
1. Трактористдолженбыл вспахать поле за 5 дней. Но он обрабатывалв
день на 2 га больше, чем предполагал, и поэтомузакончил работуна
день раньше. Какова площадь поля?
2. Двум рабочим было поручено изготовить 60 деталей. Однако
производительностьпервого рабочего былана 20% выше, чем у
второго, ичерез 9 ч второмурабочемуосталось сделать в 2,5 раза
больше деталей, чем первому. На сколько деталей в час больше делал
первый рабочий, чем второй?
3. Пшеницей засеяно 2 участка земли общей площадью 75 га. На одном
участке собралиурожай32 ц с гектара, а на втором – 28 ц с гектара.
Сколько тонн пшеницы собралис двух участков, если с первого
собралина 30 т пшеницы больше, чем со второго?
4. Пешеход рассчитал, что двигаясь с определенной скоростью,
пройдетнамеченный путь за 3 ч 50 мин. Но увеличив эту скорость на1
км/ч, он прошел этот путь за 3 ч. Какова длина пути?
5. Расстояниеот домадо школы Петя проходитпешком за треть
часа, а на велосипедепроезжает за 8 мин. На каком расстоянииот
школы он живет, если его скорость навелосипеде на 9 км/ч больше,
чем скорость пешком?
6. Автобус проходитрасстояниеотгородадо озераза 3 ч.
Автомобиль, скорость которогона 12 км/ч больше скоростиавтобуса,
проходитэто же расстояниена 30 мин быстрее. Каково расстояниеот
городадо озера?
7. На дискотеке девочекбыло на 6 больше, чем мальчиков. Если
число девочекувеличить на 100%, а число мальчиков увеличить на
150%, то девочеки мальчиков станет поровну. Сколько девочеки
сколько мальчиков было на дискотеке?
8. Длина окружностипереднего колеса повозкиравна 2,8 м, а заднего –
3,5 м. Какое расстояниепроехала повозка, если переднее колесо
сделало на 50 оборотовбольшезаднего?
9. Длина окружностизаднего колеса кареты на 0,8 м больше длины
окружностипереднего колеса. Какое расстояниепроехала карета, если
заднее колесо сделало 450 оборотов,а переднее – на 75 оборотов
больше?
10. Расстояниемежду двумя пристанямикатер проплываетпо
расписаниюза 2 ч 30 мин. Через час после отправления из-за

23. штормовойпогоды онснизилскоростьна 10 км/ч, и поэтомув пункт
назначения прибылс опозданием на полчаса. С какой первоначальной
скоростьюплыл катер?
11. Катер проплывает расстояниемеждудвумя поселками,
стоящимина берегу реки, за 3 ч против течения реки и за 2 ч 20 мин по
течению реки. Скоростьтечения реки равна 3 км/ч. Какова собственная
скоростькатера?
12. Токарь должен был обточить 120 деталей. Применив новыйрезец,
он стал обтачивать в час на 4 детали больше и благодаря этому
выполнил задание на 2ч 30мин раньше срока. Сколько деталей в час
обтачивал токарь, используя новыйрезец?
16.
Треугольники
1. Даны сторонатреугольника в=9 и два прилежащих к ней угла α=300 и 
=750. Найдите третий угол и остальныестороны.
2.Сторонаправильного треугольникаравна 8 см. Найдите площадь
вписаннойокружности.
3.Даны две стороны треугольника, а=4 , с=4√3 и угол между ними  =300.
Найдите третью сторонуи остальныеуглы.
4.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и <В=1200. Длина
медианы ВД=4 см. Найдите периметр.
5. Дан прямоугольныйтреугольникРДЕ у которогоуголе – прямой, катет
Де -4см и <Д=600. Найдите гипотенузу РД и катет ЕР.
6. . В прямоугольном треугольнике АСМ угол С равен 900 катет АС=5 см и
<М=300 . Найдите гипотенузу АМ и катет СМ
7. Если в равнобедренномтреугольникеугол при вершине равен 40º, то угол
между основанием и высотой, проведеннойкбоковойстороне, равен
8. Стороны треугольника3 см, 6 см, 7 см. Большая сторонаподобногоему
треугольника равна 28 см. Чему равна меньшая сторонаэтого треугольника?
9. Найдите высоту в прямоугольном треугольнике, есливысотаделит
гипотенузу на отрезки2см и8см.

24. 10. Площади двух подобныхтреугольников относятсякак 4:9 Найдите
отношение их периметров.
11. Проекция катетов на гипотенузу прямоугольноготреугольникаравны 9см
и 16см.Найдите радиус вписаннойв этот треугольник окруж
12. Периметр прямоугольноготреугольника72 см, а радиус вписанной
окружности6 см. Найдите диаметр описаннойокружности.
13. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС = 20см, а проекция катета
АС на гипотенузу равна 9 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник
окружности.
14. Стороны прямоугольноготреугольникаАВС равны 6 см, 8см, 10 см.
Найдите радиус вписаннойв этот треугольник окружности
Четырехугольники.
1. Диагональ трапеции с основаниями4см и 16см делит ее на два
подобныхтреугольника. Найдите длину этой диагонали.
2.Вчетырехугольнике АВСД известны углы: ВАД=96
0
, ВАС=54
0
,
42СВД
0
. Чему равен ВДС .
3.В четырехугольнике ABCD известны углы: CBD=580
,  ABD=440
, 
ADC=780
.Найти угол САD.
4.Найдите площадь параллелограмма , стороны которого3 и 4 , а угол между
ними 300
5. Стороны параллелограмма4см и 5 см и острыйуголравен 600. Найдите
диагональ параллелограмма , соединяющую острыеуглы.
6. Стороны прямоугольника6,4дм и 2,1дм. Периметр квадрата составляет
80% от периметра прямоугольника. Найдите сторонуквадрата.
7. Сколько разныхпараллелограммов можно получить из двух равных
равностороннихтреугольников, прикладывая их друг к другу ?
8.Диагональ куба равна 9см. Найдите площадь его полнойповерхности.