3. При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся
предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации).
Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные
команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится
число различных соединений, называют комбинаторными.
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются
вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или
иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих
заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число
возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на
вопрос «сколькими способами» Комбинаторика возникла и развивалась
одновременно с теорией вероятностей. И первоначально
комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.
4. Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью
следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами
умножения и сложения.
Правило суммы
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В - k
способами (не такими, как А), то объект либо А, либо В можно выбрать m
+ k способами.
Пример: В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным
образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно
сделать? Конечно, n способами.
Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m
шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем
один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Из
первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из
второго k: различными способами, всего n = m + k способами.
5. Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора
другой объект В можно выбрать (независимо от выбора А) k способами, то пары
объектов А и В можно выбрать m·k способами.
Задача: В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами
можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а
двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола:
двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора
будет 182 + 30 = 212.
Задача: Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе
счисления?
Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из
девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же
значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k=
10. Всего получим двузначных чисел n = m ·k = 9·10 =90.
6. Устная работа.
1. Три друга при встрече обменялись рукопожатиями. Сколько
всего было сделано рукопожатий?
2. Есть помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов
можно приготовить, если в каждый из них должны входить в
равных долях 2 различных вида овощей?
3. Перечислить все возможные способы разложения по двум
вазам одного яблока и одной груши.
4. Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за
одной двухместной партой?
5. Сколько подарочных наборов можно составить:
1) из одного предмета;
2) из двух предметов, если в наличии имеются одна ваза и одна
ветка сирени?
(3.)
(3.)
(4)
(2)
(1)
(3)
7. Правило произведения
В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник- и
четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, племени.
Укажите все обеды из первых и вторых блюд, которые
может заказать посетитель.
8. Замечаем, что можно было решить эту задачу даже
устно. Рассуждаем так. Первое блюдо можно выбрать
двумя способами. Для каждого первого блюда можно
подобрать второе четырьмя способами. Эти выборы
независимы друг от друга, так как каждый
осуществляется из своего множества вариантов.
Значит, общее число вариантов обеда равно
произведению 2 · 4, то есть 8.
9.
10. Решая эту задачу, мы использовали так называемое
комбинаторное правило умножения.
Формулируем его в общем виде:
Пусть имеется п элементов и требуется выбрать
из них один за другим k элементов. Если
первый элемент можно выбрать п1 способами,
после чего второй элемент можно выбрать п2
способами из оставшихся, затем третий
элемент можно выбрать п3 способами из
оставшихся и т. д., то число способов, которыми
могут быть выбраны все k элементов, равно
произведению п1 · п2 · п2 · … · пk.
11.
12. Одним из важнейших понятий современной математики является понятие
множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в
алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.
Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и
формально через другие более простые понятия не определяется. Оно
воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами
множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных
объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются
элементами множества.
Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b,
c, … , e, f}.
Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
множеством и обозначается символом ø.
13. Различают три типа соединений:
перестановки из n элементов;
размещения из n элементов по m;
сочетания из n элементов по m (m < n).
14. На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка
во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых
мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто –
рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер.
Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек
выбирает из (n - 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже
(n - 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний
человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех
целых чисел от n до 1.
В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно
обозначают n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n.
Определение: Установленный в конечном множестве порядок
называют перестановкой его элементов.
15. Возьмем двух элементное множество {a, b}. В нем можно установить два
порядка: {a, b} или {b, a}. Следовательно, число перестановок из двух элементов Р2
= 2.
Три буквы во множестве {a, b, c} можно расположить, по порядку шестью
способами: {a, b, c}{a, c, b}{b, a, c}{b, c, a}{c, b, a}{c, a, b}.
Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества
Р3 = 3 · Р2 = 3 · 2 · 1 = 6.
Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!
Определение: Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал")
обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:n! =
1 · 2 · 3 · ... · n. В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1. Пример:
Найдем значения следующих выражений:
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
Задача1: Чему равно ; а)Р5 б) Р3
Задача 2: Упростите а) 7! · 8 б) 12! · 13 ·14 в) κ! · (κ + 1)
16. Определение: Множество вместе с заданным порядком расположения его
элементов называется упорядоченным множеством.
Если в упорядоченном множестве изменить расположение элементов, то мы
получим другое, отличное от первого множество. В комбинаторике конечные
упорядоченные множества называются размещениями. Число размещений из
n элементов по m обозначают An
m
При m = 0 по формуле получаем: An
0
= 1.
Это верно: существует только одно пустое множество, оно является
подмножеством любого множества.
Заметим еще, что 0! = 1; 1! = 1; и An
n
= Рn = n!
17. Пусть исходное множество состоит из букв (а, в, с). Ставится задача: посчитать
количество размещений из трех элементов по два: A3
2
.
Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмножества из данных трех
элементов а, в, с. (а,в); (а,с); (в,с); (в,а); (с,а); (с,в). На первое место можно поставить
любой из трех элементов, это можно сделать тремя способами, на второе место –
любой из оставшихся элементов, то есть двумя способами, всего получим 3 · 2
соединений,т.е. A3
2
= 3 · 2 = 6.
Задача 1: Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании
учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько
существует различных способов составления расписания на один день?
Решение: Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы.
При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество и
устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из
девяти по четыре, то есть A9
4
:
18. Сочетания из n по m m-элементные подмножества n-элементного множества.
Пример: Решим следующую задачу. Пусть в коробке находится пять
пронумерованных шаров {1, 2, 3, 4, 5}. Перечислите все способы выбора двух
шаров из этих пяти.
Каждому способу выбора двух шаров из пяти соответствует некоторое
двухэлементное подмножество пятиэлементного множества. Перечислим эти
подмножества: (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)
Обратите внимание, что подмножества (2,1) и (1,2) содержат один и тот же набор
элементов и поэтому отождествляются. Итак, у пятиэлементного множества 10
двухэлементных подмножеств.
19. Пример: Рассмотрим все подмножества, состоящего из трех элементов {a, b, c}.
Их восемь:
Ø – пустое множество, как принадлежащее любому множеству;
{a}, {b}, {c} – одноэлементные 3 множества;
{a, b}, {a, c}, {b, c} – двухэлементные 3 множества;
{a, b, c} – одно множество из трех элементов, то есть полное рассматриваемое
множество.
В сумме получили 8 различных подмножеств.
Число подмножеств, m элементов в каждом, содержащихся во
множестве из n элементов, обозначается Cn
m
(читается "це из эн по эм")
Буква C выбрана для обозначения числа сочетаний в связи тем, что по-
французски слово "сочетание" - "combinaison" - начинается с этой буквы.
C5
2
= 10
20. В комбинаторике конечные множества называются сочетаниями. В
сочетаниях нас интересует только сами элементы множества и не
интересует их порядок.
Важно, какие конкретно элементы множества входят в каждое
соединение.
Задача: В классе 22 учащихся. Двух из них следует назначить дежурными.
Сколькими способами это можно сделать?
При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание,
учитывается ли порядок в сочетаниях. Если порядок учитывается, то есть
составляются упорядоченные множества, то это – размещения. Если
порядок не учитывается, то есть составляются множества, то это –
сочетания.
21. Сочетания Размещения
1. Сколько рукопожатий получится, если
здороваются 5 человек?
{Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже.
Значит, порядок неважен, значит это
подмножество по два элемента из 5,
значит это сочетание из пяти по два.
C5
2
= 10
1. Сколькими способами пять человек
могут обменяться фотографиями?
{Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные
обмены.
Значит, порядок важен, значит это
последовательность по два элемента из 5,
значит это размещение из пяти по два.
A5
2
= 20
Перестановки
1. Сколькими способами n человек могут
сесть на одной скамейке?
Pn = n!
2. Сколькими способами 5 человек могут
сесть на одной скамейке?
P5= 5! =5*4*3*2*1
22. 1. Сколько различных
экзаменационных
комиссий по 3 человека
можно составить, если на
кафедре 20
преподавателей?
4. В нашем распоряжении
есть 5 разноцветных
флагов. Сколько различных
сигналов, состоящих из 3
флагов, можно поднять на
флаг штоке?
7. Сколькими способами
можно выбрать 6
различных пирожных в
кондитерской, где имеется
11 сортов пирожных?
2. Сколькими способами
можно окрасить
трехкомнатную квартиру
(каждая комната
окрашивается одной
краской, все комнаты
окрашиваются в разные
цвет), если имеется 10
различных красок?
5. Имеется 7 путевок в
различные дома отдыха и
7 кандидатов. Сколькими
способами можно
распределить эти путевки?
8. В шахматном турнире
участвуют 12 человек.
Сколько всего партий
должны сыграть участники
турнира?
3. Сколькими способами
можно расставить 5 книг
на полке?
6. В колоде 52 карты.
Сколько может быть
случаев появления одного
туза среди розданных
карт?
9. Сколькими способами
из 30 человек может
выбрать собрание
председателя и секретаря?
23. Итоги урока.
– Какие способы решения
комбинаторных задач вы знаете?
– Охарактеризуйте каждый способ
решения.
– Сформулируйте комбинаторные
правила сложения и умножения.
Назовите три типа соединений
24. Домашняя работа: уметь отвечать на вопросы
– Какие способы решения
комбинаторных задач вы знаете?
– Охарактеризуйте каждый способ
решения.
– Сформулируйте комбинаторные
правила сложения и умножения.
-Назовите три типа соединений
