Questões de matemática da prova do ITA.

1. ITA 2014 - FECHADA
1
01. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura e volume tem como base um polígono convexo de lados.
A partir de um dos vértices do polígono traçam-se diagonais que o decompõem em triângulos cujas áreas
constituem uma progressão aritmética na qual e Então é igual a
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 32
02. (Ita 2014) Considere os polinômios em x ∈  da forma 5 3 2
3 2 1
p(x) x a x a x a x.
= + + + As raízes dep(x) 0
= constituem
uma progressão aritmética de razão
1
2
quando ( )
1 2 3
a , a , a é igual a
a)
1 5
, 0, .
4 4
 
 
 
b)
1 5
, 1, .
4 4
 
 
 
c)
1 5
, 0, .
4 4
 
−
 
 
d)
5 1
, 0, .
4 4
 
 
 
e)
1 1
, 1, .
4 4
 
− −
 
 
03. (Ita 2014) Considere as funções 𝑓𝑓, 𝑔𝑔: ℤ → ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑚𝑚 , 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑛𝑛, em que a, b, m e n são constantes
reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:
I. Se A B,
= então a b
= e m n;
=
II. Se 𝐴𝐴 = ℤ, então a 1;
=
III. Se 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, com a b
= e m n,
= − então A B,
= é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
h 1cm
= 3
V 50 cm
= n
n 3
− n 2
− i
S ,
i 1, 2, ..., n 2,
= − 2
3
3
S cm
2
= 2
6
S 3 cm .
= n

2. ITA 2014 - FECHADA
2
04. (Ita 2014) Das afirmações:
I. Se 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℝℚ, com y x,
≠ − então 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ∈ ℝℚ;
II. Se 𝑥𝑥 ∈ ℚ e 𝑦𝑦 ∈ ℝℚ, então 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ ℝℚ;
III. Se 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, com a b c.
< < Se [ ] [ ]
f : a,c a,b
→ é sobrejetora, então f não é injetora, é (são) verdadeira(s)
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II e III.
d) apenas III.
e) nenhuma.
05. (Ita 2014) Sejam
1 1 1
A
y x 1
−
 
=  
−
 
e
x 1 x
B y 2 y
z 3 z
+
 
 
= −
 
 
−
 
matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz antissimétrica.
Das afirmações abaixo:
I. BA é antissimétrica;
II. BA não é inversível;
III. O sistema ( )
BA X 0,
= com [ ]
t
1 2 3
X x x x ,
= admite infinitas soluções, é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I e II.
b) Apenas II e III.
c) Apenas I.
d) Apenas II.
e) Apenas III.
06. (Ita 2014) Considere a equação 𝐴𝐴(𝑡𝑡) 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 (𝑡𝑡), 𝑡𝑡 ∈ ℝ, em que
2t 2t
2e e 1 x
A(t) 1 1 1 , X y
3 1 2 z
−
 
− −  
   
=
− =
   
   
−  
 
 
e
t
e
B(t) 2 .
0
 
 
 
= −
 
 
 
Sabendo que det A(t) 1
= e t 0,
≠ os valores de x, y e z são, respectivamente,
a) 2 2, 0, 3 2.
−
b) 2 2, 0, 3 2.
− −
c) 0, 3 2, 2 2.
d) 0, 2 3, 3.
e) 2 3, 3, 0.
−

3. ITA 2014 - FECHADA
3
07. (Ita 2014) Para os inteiros positivos k e n, com k n,
≤ sabe-se que
n n 1
n 1
.
k k 1
k 1
+
   
+
=
   
+
+    
Então, o valor de
n n n n
1 1 1
...
0 1 2 n
2 3 n 1
       
+ + + +
       
+
       
é igual a
a) n
2 1.
+
b) n 1
2 1.
+
+
c)
n 1
2 1
.
n
+
+
d)
n 1
2 1
.
n 1
+
−
+
e)
n
2 1
.
n
−
08. (Ita 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta
paralela à base BC que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB mede
2
1
cm,
2
π
π
+
o volume
desse sólido, em cm3
, é igual a
a)
9
.
16
b)
13
.
96
c)
7
.
24
d)
9
.
24
e)
11
.
96
09. (Ita 2014) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao
triângulo mede, em unidades de comprimento,
a)
15
.
8
b)
5 17
.
4
c)
3 17
.
5
d)
5 17
.
8
e)
17 5
.
8

4. ITA 2014 - FECHADA
4
10. (Ita 2014) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a 4π (unidades de área) e é tangente,
simultaneamente, às retas r : 2x 2y 5 0
− + = e s : x y 4 0
+ − = é
a)
2 2
3 10
x y 4.
4 4
   
− + − =
   
   
b)
2
2
3 3
x y 2 2 4.
4 4
 
   
− + − + =
 
   
   
 
c)
2 2
3 10
x 2 2 y 4.
4 4
 
   
− + + − =
 
   
   
 
d)
2 2
3 13
x 2 2 y 4.
4 4
 
   
− + + − =
 
   
   
 
e)
2 2
3 11
x 2 2 y 4.
4 4
 
   
− + + − =
 
   
   
 
11. (Ita 2014) A soma 1/2
1/2
n
4
n 2
1
log 32
log 8 +
∑ é igual a
a)
8
.
9
b)
14
.
15
c)
15
.
16
d)
17
.
18
e) 1.
12. (Ita 2014) Considere o trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e BD,
respectivamente. Então, se AB tem comprimento x e CD tem comprimento y x,
< MN é igual a
a) x y.
−
b)
1
(x y).
2
−
c)
1
(x y).
3
−
d)
1
(x y).
3
+
e)
1
(x y).
4
+

5. ITA 2014 - FECHADA
5
13. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à hipotenusa BC,
respectivamente. Se a medida de BE é ( )
2 1 cm
− e a medida de AD é 1 cm, então AC mede, em cm,
a) 4 2 5.
−
b) 3 2.
−
c) 6 2 2.
−
d) ( )
3 2 1 .
−
e) 3 4 2 5.
−
14. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da base
é igual a Das afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados e medem
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então é (são)
verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
15. (Ita 2014) Sejam 𝑧𝑧, 𝑤𝑤 ∈ ℂ. Das afirmações:
I. ( )
2 2 2 2
z w z w 2 z w ;
+ + − = +
II. ( ) ( )
2 2
z w z w 4zw;
+ − − =
III. ( )
2
z w z w 2 4Re zw ,
+ − − =
é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) todas.
ABC, 2
48cm , AP
BC
2
.
3
AB AC 97 cm;
α BC BM, AC,
3
cos ,
97
α =

6. ITA 2014 - FECHADA
6
16. (Ita 2014) Se 𝑧𝑧 ∈ ℂ, então ( )
4
6 2 2 6
z 3 z z z z
− − − é igual a
a) ( )
3
2 2
z z .
−
b) 6 6
z z .
−
c) ( )
2
3 3
z z .
−
d) ( )6
z z .
−
e) ( ) ( )
2 4 4
z z z z .
− −
17. (Ita 2014) Considere o polinômio complexo 4 3 2
p(z) z a z 5z iz 6,
= + + − − em que a é uma constante complexa.
Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) 0,
= as outras três raízes são
a) 3i, 1, 1.
− −
b) i, i, 1.
−
c) i, i, 1.
− −
d) 2i, 1, 1.
− −
e) 2i, i, i.
− −
18. (Ita 2014) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B
antissimétrica:
I. Se o produto AB for inversível, então n é par;
II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar;
III. Se B for inversível, então n é par.
Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II e III.
e) Todas.

7. ITA 2014 - FECHADA
7
19. (Ita 2014) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade
2 3
3 2
det(2M ) det( 2M ) det(3M).
9
− =Então, um valor possível para o determinante da inversa de M é
a)
1
.
3
b)
1
.
2
c)
2
.
3
d)
4
.
5
e)
5
.
4
20. (Ita 2014) Sabendo que 2 2
2ab
sen x a 0
a b ,
= ≠
+
e b 0,
≠ um possível valor para
1
cossec 2x tg x
2
− é
a)
a b
.
ab
−
b)
a b
.
2ab
+
c)
2 2
a b
.
ab
−
d)
2 2
a b
.
4ab
+
e)
2 2
a b
.
4ab
−

8. ITA 2014 - FECHADA
8
GABARITO
1 - C 2 - C 3 - E 4 - E 5 - B
6 - B 7 - D 8 - C 9 - D 10 - D
11 - D 12 - B 13 - C 14 - A 15 - E
16 - A 17 - A 18 - C 19 - A 20 - E