1. ΑΠΟ ΣΗ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΢ΣΙ΢
ΕΞΙ΢Ω΢ΕΙ΢ ΚΙΝΗ΢Η΢
Η Lagrangian ενός σωματιδίου μάζας m είναι:
(1)
a
t
m
L
e (T V )
΢τη σχέση (1):
Σο a είναι σταθερά,
T
1

m( x 2
2
V
V ( x, y, z) είναι η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου.

y2

z 2 ) είναι η κινητική ενέργεια,
Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης για το εν λόγω σωματίδιο.
Η Lagrangian γράφεται:
L
a
t
m
ή
e (T V )
L
a
t
m
1

e [ m( x 2
2

y2

z 2 ) V ( x, y, z )]
(2)
Έχουμε λοιπόν:
L

x
e
a
t
m
1

m2 x
2
a
t
m

e mx
(3)

2. d L
( )

dt x
a
a
t
a mt


e mx e m mx
m
ή
a
t
m
d L
( )

dt x
 
e ( mx ax)
(4)
Και:
L
x
e
a
t
m
V ( x, y , z )
x
(5)
Για τη συγκεκριμένη συντεταγμένη η εξίσωση Lagrange
γράφεται:
d L
( )

dt x
L
x
0
(6)
Από τις σχέσεις(4), (5) και (6) έχουμε:
a
t
m
 
e ( mx ax) e
a
t
m
V ( x, y , z )
x

mx
ή
0

ax
V ( x, y , z )
x
(7)
Ή απλουστεύοντας τη γραφή: V ( x, y, z) V

mx

ax
Δουλεύοντας με ανάλογο τρόπο:
V
x
(8)

3. 
my

ay
V
y
(9)

mz

az
V
z
(10)
Οι εξισώσεις (8), (9) και (10) μπορούν να συνδυασθούν και να
γραφούν σε διανυσματική μορφή:


mr


ar
V
΢την εξίσωση κίνησης (11), ο όρος
(11)
V αντιστοιχεί σε
συντηρητική δύναμη που απορρέει από το δυναμικό V , ενώ ο όρος


ar αντιστοιχεί σε δύναμη αντίστασης (αντίθετης στην ταχύτητα).
ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ