Dasar Dasar Pemrograman MATLAB untuk Teknik Elektro

1. Dasar Dasar Pemrograman MATLAB untuk Teknik Elektro
BAB VII
AKAR-AKAR DAN
KARAKTERISTIK POLINOMIAL
7.1 Akar-akar Polinomial
Mencari akar suatu polinomial merupakan suatu masalah tersendiri muncul dalam berbagai bidang
ilmu. MATLAB menyediakan fungsi roots untuk mencari akar polinomial, sedangkan akar-akar
polinimial yang diperoleh dapat dikonversi kedalam persamaan awal dengan fungsi poly. Contoh :
1575.1475.6725.6125.319 23456
++++++ ssssss
akar-akar dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi roots:
Contoh 7.1
» p=[1 9 31.25 61.25 67.75 14.75 15]
p =
1.0000 9.0000 31.2500 61.2500 67.7500 14.7500 15.0000
» r=roots(p)
r =
-4.0000
-3.0000
-1.0000 + 2.0000i
-1.0000 - 2.0000i
0.0000 + 0.5000i
0.0 - 0.5000i
akar-akar polinomial tersebut dapat dikonversi ke koefisien polinomial dengan fungsi poly(r):
» poly(r)
ans =
1.0000 9.0000 31.2500 61.2500 67.7500 14.7500 15.0000
Contoh 7.2
» r=[-1 -2 -3+4i -3-4i]
r =
-1.0000 -2.0000 -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i
» poly(r)
Ansar Suyuti
VII-
87

2. Akar-akar dan Karakteristik
Polinomial
ans =
1 9 45 87 50
berarti persamaan polinomialnya adalah :
05087459 234
=++++ ssss
MATLAB juga juga dapat mencari akar karakteristik persamaan polinomial dalam bentuk matriks :
A=










−−
−−
−
5116
6116
110
Karakteristik persamaan dari matriks tersebut dapat diperoleh fungsi poly dan akar-akar persamaan
diperoleh dengan fungsi roots.
Contoh 7.3
» A=[0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5];
» p=poly(A)
p =
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000
» r=roots(p)
r =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
akar-akar dari karakteristik persamaan tersebut sama dengan eigenvalues dari matriks A atau
r=eig(A)
» eig(A)
ans =
-1.0000
-2.0000
-3.0000
5.2 Perkalian, Pembagian dan Penjumlahan Polinomial
Perkalian polinomial dilakukan dengan fungsi conv ( melakukan convulotion dari array), pembagian
dilakukan dengan fungsi deconv dan penjumlahan dilakukan dengan seperti penjumlahan array biasa
Ansar Suyuti
VII-
86

3. Dasar Dasar Pemrograman MATLAB untuk Teknik Elektro
tetapi derajat polinomial harus sama, jika polinomial mempunyai derajat yang berbeda maka derajat
yang lebih rendah ditambahkan dengan koefisien-koefisien nol atau menggunakan fungsi yang
disediakan oleh MATLAB yaitu polyadd.
Contoh 7.4.
1272
++= ssA dan 92
+= sB carilah C=A.B , D=C+B dan E=C-B
5281379 234
++++= ssssA dan 1342
++= ssY carilah
Y
Z
X =
contoh dapat diselesaikan dengan MATLAB
A=[1 7 12];B=[1 0 9];
Z=[1 9 37 81 52]; Y=[1 4 13];
C=conv(A,B)
D=A+B
E=A-B
X=deconv(Z,Y)
Hasil dari program adalah :
C =
1 7 21 63 108
D =
2 7 21
E =
0 7 3
X =
1 5 4
5.3 Turunan
Turunan polinomial dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi polyder.
5281379 234
++++= ssssA
turunan dari polinomial A adalah:
» A=[1 9 37 81 52];
» polyder(A)
ans =
4 27 74 81
5.4 Polynomial Curve Fitting
n
dd
cxcxcxp +++= −
....)( 1
21
persamaan tersebut mempunyai koefisien n=d+1, dengan derajat d. Maka fungsi pengurangan orde
polynomial adalah polyfit(x,y,d).
Contoh 7.5.
Ansar Suyuti
VII-
87

4. Akar-akar dan Karakteristik
Polinomial
X= 0 1 2 4 6 10
Y= 1 7 23 109 307 1231
Carilah sebuah polinomial derajat ke 3 dari data tersebut di atas;
» x=[0 1 2 4 6 10];
» y=[1 7 23 109 307 1231];
» c = polyfit(x,y,3)
c =
1.0000 2.0000 3.0000 1.0000
5.5 Evaluasi Polinomial
Evaluasi polinomial dapat dilakukan dengan fungsi polyval(c,x).
Contoh 7.6
kita ingin mengevaluasi polynomial c terhadap titik x= 0,1,2,3 dan 4 .
» plot(t,x)
» c=[1 2 3 1];
» x=0:1:4;
» y=polyval(c,x)
y =
1 7 23 55 109
» plot(x,y),title('x^3+2x^2+3x+1')
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
20
40
60
80
100
120
x3
+2x2
+3x+1
5.6 Partial-fraction Expansion
Untuk memperoleh residu atau partial-fraction expantion ( r ) , kutup yang bersesuaian (p) dan dirct
terms (K), digunakan fungsi : [r,p,K]=residu(b,a].
Ansar Suyuti
VII-
86

5. Dasar Dasar Pemrograman MATLAB untuk Teknik Elektro
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
sQ
sP
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
= −
−
−
−
Vector b dan a merupakan koefisien dari polinomial.
Contoh7.7
Hitunglah partial fraction expantion dari :
44
192
)( 23
3
+++
++
=
sss
ss
sF
Penyelesaian dengan MATLAB adalah
» b=[2 0 9 1];
» a=[1 1 4 4];
» [r,p,K]=residue(b,a)
r =
0.0000 - 0.2500i
0.0000 + 0.2500i
-2.0000
p =
-0.0000 + 2.0000i
-0.0000 - 2.0000i
-1.0000
K =
2
Berarti partial fraction expantion-nya adalah
4
1
1
2
2
25.0
2
25.0
1
2
2 2
+
+
+
−
+=
−
−
+
−
+
+
−
+
ssjs
j
js
j
s
untuk mengembalikan persamaan polinomial P(s)/Q(s) dapat dilakukan dengan fungsi
[b,a]=residue(r,p,K).
» [b,a]=residue(r,p,K)
b =
2.0000 0.0000 9.0000 1.0000
a =
1.0000 1.0000 4.0000 4.0000
Ansar Suyuti
VII-
87

6. Dasar Dasar Pemrograman MATLAB untuk Teknik Elektro
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
sQ
sP
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
= −
−
−
−
Vector b dan a merupakan koefisien dari polinomial.
Contoh7.7
Hitunglah partial fraction expantion dari :
44
192
)( 23
3
+++
++
=
sss
ss
sF
Penyelesaian dengan MATLAB adalah
» b=[2 0 9 1];
» a=[1 1 4 4];
» [r,p,K]=residue(b,a)
r =
0.0000 - 0.2500i
0.0000 + 0.2500i
-2.0000
p =
-0.0000 + 2.0000i
-0.0000 - 2.0000i
-1.0000
K =
2
Berarti partial fraction expantion-nya adalah
4
1
1
2
2
25.0
2
25.0
1
2
2 2
+
+
+
−
+=
−
−
+
−
+
+
−
+
ssjs
j
js
j
s
untuk mengembalikan persamaan polinomial P(s)/Q(s) dapat dilakukan dengan fungsi
[b,a]=residue(r,p,K).
» [b,a]=residue(r,p,K)
b =
2.0000 0.0000 9.0000 1.0000
a =
1.0000 1.0000 4.0000 4.0000
Ansar Suyuti
VII-
87