Chuyển động brown

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN-TIN
------------
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
Người hướng dẫn khoa học: Dr. Nguyễn Chí Long
Người thực hiện : Nguyễn Thiện Phi
TP HỒ CHÍ MINH− 2012

LỜI CẢM ƠN
-----------
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô
giáo trong Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM đã giảng dạy và tận tình
giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Dr.Nguyễn Chí Long, người thầy
đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa
luận này.
Đồng thời, em cũng xin cảm ơn Thư Viện Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí
Minh, Thư Viện Tổng Hợp đã cung cấp nhiều tài liệu bổ ích cho em.
Em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ủng hộ và giúp đỡ em trong quá trình
học tập và thời gian làm khóa luận này.
Mặc dù em đã rất cố gắng nhưng do thời gian, kiến thức có hạn nên chắc chắn
không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự chỉ bảo đóng góp ý kiến từ quý
thầy cô và bạn bè.
Cuối cùng, em xin chúc quý thầy cô, cùng các bạn dồi dào sức khỏe và thành
công trong sự nghiệp trồng người.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thiện Phi

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................1
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ
QUÁTRÌNH NGẪU NHIÊN ...................................................................... 3
1.1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT........................................................................................ 3
1.1.1. Đại số và σ − đại số.............................................................................................. 3
1.1.2. Độ đo xác suất...................................................................................................... 4
1.1.3. Định nghĩa không gian xác suất........................................................................... 4
1.1.4. Biến ngẫu nhiên.................................................................................................... 4
1.1.5. Không gian xác suất đầy đủ ................................................................................. 4
1.16. Khái niệm hầu chắc chắn ...................................................................................... 4
1.1.7. Biến cố ngẫu nhiên độc lập .................................................................................. 5
1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN................................................................................... 5
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên............................................................................................ 5
1.2.2. Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên............................................................... 6
1.2.3. Quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập ............................................................... 7
1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên dừng................................................................................... 8
1.2.5. Quá trình đo được................................................................................................. 8
1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc.......................................................... 8
1.2.6. Kỳ vọng có điều kiện đối với σ - trường ............................................................. 9
1.2.7. Xác suất có điều kiện ......................................................................................... 10
1.2.8. Quá trình Gauss.................................................................................................. 10
1.2.9. Quá trình Martingale.......................................................................................... 11
1.2.10. Quá trình Levy ................................................................................................. 12
1.2.11. Quá trình Markov............................................................................................. 12

CHƯƠNG 2. CHUYỂN ĐỘNG BROWN.................................................................. 13
2.1. Định nghĩa................................................................................................................ 13
2.2. Các phương pháp xây dựng một chuyển động Brown ........................................ 13
2.2.1. Sử dụng các hàm Haar ....................................................................................... 14
2.2.2. Khai triển Karhunen- Loeve............................................................................... 16
2.3. Các đặc trưng của chuyển động Brown................................................................ 17
2.3.1. Hàm mật độ ........................................................................................................ 17
2.3.2. Hiệp phương sai ................................................................................................ 18
2.4. Một số tính chất quan trọng của chuyển động Brown......................................... 19
2.5. Một số chuyển động Brown quan trọng................................................................ 27
2.5.1. Chuyển động Brown bị phản xạ......................................................................... 27
2.5.2. Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển ...................................................... 28
2.5.3. Chuyển động Brown hình học............................................................................ 31
2.5.4. Cầu Brown.......................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 34

Khóa luận tốt nghiệp Chuyển động Brown
GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi
LỜI NÓI ĐẦU
Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện tượng
kỳ lạ của những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước. Chúng liên tục lắc lư,
chuyển động một cách ngẫu nhiên và dường như không bao giờ dừng lại ngay cả khi
cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối. Năm 1928, Robert Brown giới thiệu mô
hình chuyển động này. Mô hình chuyển động Brown cũng giống như nhiều chuyển
động bất thường khác trong lĩnh vực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế…
Năm 1905, Albert Einstein (1879-1955) giới thiệu mô hình chuyển động Brown
từ quỹ đạo các nguyên tử với những cú sốc qua những tính toán xác suất thống kê và
sử dụng thuyết động học phân tử. Và Einstein đã thành lập được mật độ Gauss. Nhà
toán học Pháp Louis Bachelier (1870-1946) lần đầu tiên đã sử dụng chuyển động
Brown như mô hình giá cổ phiếu trong luận án tiến sĩ của ông năm 1990.
Người đầu tên xây dựng chặc chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) là
Norbert Wiener (1894-1964). Ông đã đưa ra rất nhiều ứng dụng của chuyển động
Brown trong lý thuyết truyền tín hiệu và truyền tin.
Paul Levy (1886-1971) có nhiều đóng góp trong sự nghiên cứu các tính chất
toán học của chuyển động Brown.
Kyioshi Itô (1915-2008) đã đóng góp phát triển phép tính vi tích phân ngẫu
nhiên trên nền tảng chuyển động Brown.
Ứng dụng của chuyển động Brown trong việc nghiên cứu tài chính phải kể đến
Samuelson (1915-2009), người đoạt giải Nobel kinh tế năm 1970, Fisher Black
(1938-1995), Myron Scholes (1941- ) và Nobert Merton (1944- ) nhóm này đã nhận
được giải Nobel kinh tế năm 1997.
Chính vai trò của chuyển động Brown trong phép tính vi tích phân ngẫu nhiên
và các ứng dụng rộng lớn trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt là vai trò quan trọng
trong nghiên cứu tài chính nên trong khóa luận này, em xin trình bày về “Chuyển động
Brown”, nội dung khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1: Tóm tắt kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên
Chương 2: Chuyển động Brown
Trong đó, chương 1 là một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và quá
trình ngẫu nhiên phục vụ trực tiếp cho việc nghiên cứu chuyển động Brown.

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu về chuyển động Brown, trong chương này
em xin trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu
nhiên.
1.1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
1.1.1. Đại số và σ − đại số
a) Định nghĩa
Cho tập hợp Ω và gọi ( )P Ω là tập hợp tất cả các tập con của Ω , cho
( ) .P∈ Ω
  được gọi là một đại số nếu thỏa:
i. Ω∈
ii. A A∀ ∈ ⇒ Ω ∈ 
iii. Nếu 1 2, ,..., nA A A ∈ thì
1
n
i
i
A
=
∈ 
  được gọi là một σ - đại số nếu nó thỏa i, ii của định nghĩa đại số và thay iii bởi
điều kiện với mọi họ đếm được bất kỳ 1 2, ,..., ,...nA A A ∈ thì
1
i
i
A
+∞
=
∈  .
 Nhận xét: Nếu  là một σ - đại số thì  cũng là một đại số.
b) Tính chất
i. Nếu  là một đại số thì ta có:
1 2
1
, ,...,
n
n i
i
A A A A
=
∈ ⇒ ∈ 
, A B A B∈ ⇒ ∈ 
ii. Nếu  là một σ - đại số thì ta có:
1 2
1
, ,...,
n
n n
i
A A A A
=
∈ ⇒ ∈ 

1.1.2. Độ đo xác suất
Một phép thử có không gian mẫu Ω ,  là một σ - đại số trên Ω . Khi đó ánh xạ
[ ]: 0;1P → được gọi là một độ đo xác suất nếu thỏa:
i. ( ) 1P Ω =
ii. Với một dãy các sự kiện 1 2, ,..., ,...nA A A Có ( )i jA A i j=∅ ≠ thì
( )
11
n n
nn
P A P A
∞ ∞
==
 
= 
 
∑
1.1.3. Định nghĩa không gian xác suất
Gọi Ω là không gian các biến cố sơ cấp của một phép thử ngẫu nhiên
 là một σ − đại số trên Ω
P là một độ đo xác suất xác định trên
Khi đó (Ω , , P) là một không gian đo được và ta gọi là không gian xác suất.
1.1.4. Biến ngẫu nhiên
Cho (Ω , , P) là không gian xác suất.
Ánh xạ :X Ω →  sao cho: 1( , ] ,X x x− −∞ ∈ ∀ ∈
được gọi là biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên.
Ví dụ: Tung một con súc sắc gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con súc sắc thì
X là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6.
1.1.5. Không gian xác suất đầy đủ
(Ω , , P) được gọi là KGXS đầy đủ nếu nó là KGXS với  chứa tất cả các tập
có xác suất 0 (Tập M được gọi là tập có xác suất 0 nếu A∃ ∈  sao cho
( ) 0, ).P A M A= ⊂
1.16. Khái niệm hầu chắc chắn
Cho KGXS (Ω , , P), hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là bằng nhau hầu
chắc chắn (h. c. c) nếu N∃ ∈ sao cho ( ) 0P N = và ( ) ( )X Yω ω= với Nω ∉ .
Khi đó ta viết ( . . )X Y h c c= .

Một cách tổng quát, ta nói một tính chất nào đó xảy ra hầu chắc chắn trên Ω
nếu nó xảy ra ở bên ngoài một tập có xác suất 0. Khi ( . . )X Y h c c= , ta nói X tương
đương với Y và viết .X Y
1.1.7. Biến cố ngẫu nhiên độc lập
a) Định nghĩa
Cho không gian xác suất (Ω , , P), hai biến cố ,A B ∈ được gọi là độc lập
nhau nếu: ( ) ( ) ( )P AB P A P B= .
Hệ biến ngẫu nhiên 1 2, ,... nA A A được gọi là độc lập với nhau nếu 1 k n∀ ≤ ≤ và
với bất kỳ sự lựa chọn chỉ số 1 2, ,... ki i i sao cho 1 21 ... ki i i n≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ta có:
( )1 1
j j
k k
i i
j j
P A P A
= =
 
= 
 
∏ ∏
b) Nhận xét
Nếu A, B độc lập thì A và c
B , c
A và B, c
A và c
B cũng độc lập.
1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Hầu hết các quá trình xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều có tính chất ngẫu
nhiên, khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian thì ta nói nó là một quá
trình ngẫu nhiên.
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên
Xét không gian xác suất (Ω , , P) và một tập hợp các chỉ số I ( vô hạn đếm
được hay không đếm được). Ta xem I là một tập các chỉ số thời gian, I có thể là tập
,( , ),(0, ) [0, ].hay T−∞ +∞ +∞ Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên ( , , )PΩ 
và lấy chỉ số trong I.
 Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên { }Xt t I∈
gọi là quá trình ngẫu nhiên
với thời gian liên tục.
 Họ đếm được các biến ngẫu nhiên { }Xt t I∈
gọi là quá trình ngẫu nhiên với
thời gian rời rạc.

Một cách tổng quát cho 2 không gian đo được ( , ),( , )F E ξΩ và I là tập hợp
các chỉ số.
 Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω , lấy giá trị trong E là ánh xạ:
:X I E×Ω→ đo được đối với độ đo tích trên I ×Ω
Quá trình ngẫu nhiên X còn được viết ( , ), ( ) { , }X t X t hay X t It• ∈
 ( , )Ω  được gọi là không gian cơ sở của quá trình ngẫu nhiên và ( , )E ξ gọi
là không gian trạng thái. Với t I∈ , tX là trạng thái tại thời điểm t. Nếu cố định
ω∈Ω, thì ( ){ }Xt t I
ω
∈
gọi là quỹ đạo mẫu hay sự thể hiện hay hàm mẫu của quá
trình ngẫu nhiên (liên kết với ω).
Qui ước
Cho (Ω , , P) là không gian xác suất và { }Xt t I∈
là quá trình ngẫu nhiên xác
định trên Ω. Nếu " "γ là một tính chất nào đó của quỹ đạo mẫu ( chẳng hạn " "γ là liên
tục phải và có giới hạn trái với mọi t I∈ ) thì ta nói quá trình ngẫu nhiên { }Xt t I∈
có
tính " "γ .
Thí dụ: Một quá trình ngẫu nhiên dạng sin
Cho ( , )I = −∞ +∞ xét không gian xác suất (Ω ,  , P) trong đó [0,1],Ω = 
là σ −đại số Borel trên Ω và P là độ đo xác suất đều. Ta định nghĩa quá trình ngẫu
nhiên { }Xt t I∈
bằng quỹ đạo mẫu có dạng:
( ) sin(2 ),t
X t t Iω ω π= ∈ .
Quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên trên có dạng hình sin theo thời gian với
biên độ ngẫu nhiên.
1.2.2. Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên

( )
( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 1 2 2
,
,
, ,
X
X
X X
C t t
t t
C t t C t t
ρ =
a) Hàm kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên
{ }t t I
X ∈
được định nghĩa:
b) Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên { }t t I
X ∈
được xác định bởi:
c) Hàm phương sai của quá trình ngẫu nhiên { }t t I
X ∈
được xác định bởi:
d) Hệ số tương quan của quá trình ngẫu nhiên{ }t t I
X ∈
là:
1.2.3. Quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập
Xét quá trình ngẫu nhiên { }t t I
X ∈
lấy giá trị rời rạc.
Với mọi số nguyên n , cố định các chỉ số 1 2 3, , ,..., nt t t t I∈ sao cho
1 2 3 ... .nt t t t< < < <
Xét các số gia:
 Quá trình ngẫu nhiên { }t t I
X ∈
được gọi là có số gia độc lập, nếu các biến ngẫu
nhiên , 0,1,2.., 1kY k n= − là các biến ngẫu nhiên độc lập với mọi n , mọi chỉ số kt .
[ ]( ) : ( ) ,tX t Xm t E X xf x dx t I
+∞
−∞
≡ = ∈∫
( ) 1 21 2 1 2, , ,X t tR t t E X X t t I = ∈ 
( ) ( ) 1 21 2 1 2, ,X X t tC t t R t t E X E X   = −    
1
2 1
3 2
1
0
1
2
1
:
:
:
: n n
t
t t
t t
n t t
Y X
Y X X
Y X X
Y X X −−
=
= −
= −
= −


1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên dừng
Định nghĩa: Xét quá trình ngẫu nhiên { }t t I
X ∈
. Với bất kỳ số nguyên dương n ,
gọi 1 2 3, , ,..., nt t t t là một dãy chỉ số thời gian tăng. Ta nói quá trình ngẫu nhiên{ }t t I
X ∈
là quá trình dừng nếu hàm phân phối đồng thời có tính chất sau:
( ) ( )1 2 1 2
... 1 2 ... 1 2, ,..., , ,...,t t t t s t s t sn n
X X X n X X X nF x x x F x x x+ + +
= , Với s∀ sao cho ,k st I k+ ∈ ∀ .
1.2.5. Quá trình đo được
Định nghĩa
Quá trình ngẫu nhiên { } 0t t
X ≥
gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ - trường
tích +
⊗  , trong đó + là σ - trường các tập Borel trên [ )0,R+= +∞ . Điều đó có
nghĩa là với mọi tập Borel trên  thì ( ) ( ){ }, : tt R X Bω ω ++∈ ×Ω ∈ ∈ × 
Đó là σ − trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0, ]t A× với ,t A+∈ ∈ 
Chú ý
i. Mọi quá trình liên tục là đo được.
ii. Nếu X là một quá trình đo được thì quỹ đạo của nó ( )tX ω đều là những hàm
thực Borel trên + .
1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc
a) Bộ lọc
Một họ các σ - trường con ( ), 0t t ≥ của , t ∈   được gọi là một bộ lọc nếu
thỏa các điều kiện:
i. Nếu s t< thì s t⊂  ( họ tăng theo t).
ii.
0
t t s
ε
+
>
=   ( họ liên tục phải).
iii. Nếu A∈ và ( ) 0P A = thì 0A∈ ( do đó A nằm trong mọi t ).

b) Bộ lọc tự nhiên
Cho quá trình ngẫu nhiên { }, 0tX X t= ≥ . Xét σ - trường sinh bởi các biến ngẫu
nhiên sX với s t< : ( ):X
t sX s tσ= ≤ .
c) Quá trình thích nghi với bộ lọc
Một không gian xác suất ( ), ,PΩ  gắn thêm vào một bộ lọc t gọi là một
không gian xác suất được lọc và kí hiệu là ( )( ), , ,t PΩ   .
Quá trình Y gọi là thích nghi với bộ lọc ( ), 0t t ≥ nếu với mọi t thì Yt đo được
đối với σ - trường t .
Nhận xét:
i. Ta thấy mọi quá trình { }, 0tX t ≥ thích nghi với lịch sử ( ), 0X
t t ≥ của nó.
ii. Cho quá trình ( )X X ω= với lịch sử của nó là ( ), 0X
t t ≥ . Một quá trình
( )tY ω thích nghi với lịch sử ( ), 0X
t t ≥ của X nếu và chỉ nếu ( )tY ω có thể biểu diễn
dưới dạng ( ) ( ) ( )( )1 2
, ,...t t s sY f X Xω ω ω= , trong đó s1,s2 . . . là một dãy các phần tử
của [ ]0,t và ft là một hàm Borel trên n
R .
1.2.6. Kỳ vọng có điều kiện đối với σ - trường
Định nghĩa
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là tích phân của X đối với độ
đo xác suất P: ( )E X XdP
Ω
= ∫ .
Đặc biệt: ( ) ( )AE P AΙ = , trong đó IA là hàm chỉ tiêu của biến cố A:
1,
0,
A
A
A
ω
ω
∈
Ι =
∉
Định nghĩa
Cho ( ), , PΩ  là một không gian xác suất, G là một σ - trường con của  và X là
một biến ngẫu nhiên.

 Một biến ngẫu nhiên X*
gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ - trường
G nếu:
i. X*
là một biến ngẫu nhiên đo được đối với G.
ii. Với mọi tập A G∈ ta có *
A A
X dP XdP=∫ ∫ ( tức là ( ) ( )*
A AIE X E XΙ = ).
Kí hiệu : ( )*
|X E X G=
 Nếu chọn σ - trường G là trường ( )Yσ sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào
đó thì kì vọng có điều kiện của X đối với ( )Yσ cũng được kí hiệu là ( )|E X Y .
Tính chất: Các mệnh đề dưới đây được hiểu theo nghĩa hầu chắc chắn (h. c. c).
i. Nếu G là σ - trường tầm thường { },φ Ω thì ( )|E X G EX= .
ii. Với hai biến ngẫu nhiên X và Y ta có ( ) ( )| ( | ) |E X Y G E X G E Y G+ = + .
iii. Nếu X là hàm đo được đối với G thì ( ) ( )| |E XY G XE Y G=
Đặc biệt, nếu c là hằng số thì ( ) ( )| |E cY G cE Y G=
iv. Nếu X độc lập đối với G thì ( )|E X G EX= .
1.2.7. Xác suất có điều kiện
a) Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của biến cố A∈ đối với trường G là
một biến cố ngẫu nhiên xác định bởi ( ) ( )| |AP A G E I G= ,
b) Tính chất
i. ( )| 1P GΩ =( hầu chắc chắn – h. c. c).
ii. A∀ ∈ thì ( )( | ) 1 |P A G P A G= − (h. c. c).
iii. 1 2, ,...A A∀ ∈ rời nhau từng đôi một thì ( )
11
|n n
nn
P A P A G
∞ ∞
==
 
= 
 
∑ .
1.2.8. Quá trình Gauss
a) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối
chuẩn nếu hàm mật độ xác suất có dạng:
( )
( )2
2
2
1
2
x
f x e
µ
σ
σ π
−
−
=

Khi đó X có kỳ vọng µ và phương sai 2
σ .
Kí hiệu: 2
( , ).X N µ σ
b) Định nghĩa:
Ánh xạ :Xϕ →  xác định bởi:
( ) [ ]( ) cos( ) sin( )itX
X t E e E tX iE tXϕ= = + (với 2
1i = − )
được gọi là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X.
c) Nhận xét: Nếu
2
( , )X N µ σ thì
2 21
2
i t t
itX
E e e
µ σ−
  = 
1.2.9. Quá trình Martingale
a) Định nghĩa: Một quá trình ngẫu nhiên ( ), 0tX X t= ≥ gọi là một martingale
đối với bộ lọc t nếu:
i. X thích nghi với bộ lọc t , tức là tX là t - đo được với mọi t.
ii. Xt khả tích với mọi t, tức là , 0.tE X t< ∞ ∀ ≥
iii. ( )|t s sE X X= với mọi 0 s t≤ ≤ .
Chú ý:
Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta quy ước ( )t là bộ lọc tự nhiên của { }t t I
X ∈
,
tức là ( ), X
t s tX s tσ= ≤=  .
Ví dụ: Các quá trình đối với số gia độc lập, khả tích
Cho { }, 0tX X t= ≥ là một quá trình ngẫu nhiên khả tích và giả sử rằng:
với mọi0 s t≤ ≤ thì Xt – Xs độc lập với X
t ( tính chất có số gia độc lập với quá khứ).
Khi đó Xt là một mactingale đối với họ( ), 0X
t t ≥ .
Thật vậy, với0 s t≤ ≤ ta có:
( ) ( ) ( )| | | 0t s s s t s s s sE X E X E X X X X= + − = + =   .

2 1 4 3 1
, ,..., n nt t t t t tX X X X X X −
− − −
1.2.10. Quá trình Levy
Một quá trình Lévy { }, 0tX t ≥ là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục
thỏa mãn 4 điều kiện sau:
i. 0 0.X =
ii. Có gia số độc lập: với 1 20 ... nt t t≤ < < < < ∞ bất kỳ thì bộ biến ngẫu nhiên
là độc lập.
iii. Có gia số dừng: phân bố xác suất của 2 1t tX X− chỉ phụ thuộc vào 2 1t t− .
iv. Là quá trình có giới hạn từ bên trái, và liên tục từ bên phải.
1.2.11. Quá trình Markov
Định nghĩa: Giả sử ( , , )PΩ  một KGXS và { } 0t t≥
 là một lọc trong  . Khi đó
{𝑋𝑡} 𝑡≥𝑜 là một quá trình Markov nếu:
i. Quá trình {𝑋𝑡} 𝑡≥𝑜 thích nghi với bộ lọc { } 0t t≥

ii. (Tính Markov): Với mọi 𝑡, 𝑠 ≥ 0. Với mọi 𝑢 ∈ ℝ mà 𝐸𝑒 𝑢𝑋 𝑡+𝑠 < ∞, ta có:
| |t s t suB uB
t tE e E e X+ +
   =   

CHƯƠNG 2. CHUYỂN ĐỘNG BROWN
2.1. Định nghĩa
Cho một quá trình { }, 0tB B t= ≥ được xác định trên một không gian xác suất đủ
(Ω , , P) được gọi là một chuyển động Brown (Quá trình Wiener) xuất phát từ 0 với
tham số phương sai 2
σ nếu nó là một quá trình Gauss thỏa các tính chất sau:
i. 0 0 h.c.c.B =
ii. Với mỗi cặp s, t ( )s t< , t sB B− có phân phối chuẩn (Gauss) với trung bình 0 và
phương sai là ( )2
t sσ − .
iii. Có số gia độc lập, tức là 1 1 0
,...,n nt t t tB B B B−
− − là độc lập với 0 1 1... .n nt t t t−< < < <
iv. Với hầu hết ω , các quỹ đạo ( )tt B ω→ là liên tục.
Đặc biệt:
• Nếu 2
1σ = thì { }, 0tB B t= ≥ ta gọi là chuyển động Brown tiêu chuẩn.
• Khi đó:
+ Hàm mật độ của { }, 0tB B t= ≥ là ( )
2
2
1
2t
x
t
Bf x e
tπ
−
=
+ { } ( ), 0 0,tB B t N t= ≥ 
• Nếu 0B x= thì ta có chuyển động Brown xuất phát từ x.
2.2. Các phương pháp xây dựng một chuyển động Brown
Có nhiều phương pháp xây dựng một chuyển động Brown. Ở đây ta nói tới hai
phương pháp: Phương pháp sử dụng các hàm Haar và phương pháp khai triển
Karhunen-Lòeve

2.2.1. Sử dụng các hàm Haar
- Các hàm Haar trên được xác định bởi:
Các hàm 1 2, ...H H tạo nên một hệ trực chuẩn đủ trên [ ]2
0,1L
1
2
( 1)2
( 1)2
2 1
( ) 1, 0 1
1
1, 0
2( )
1
1, 1
2
2 , 0 2
( ) 2 , 2 2
0, 2 1
n
n
n
n
n n
n
H t t
t
H t
t
t
H t t
t
− +
− + −
+
−
= ≤ ≤

≤ <
= 
− ≤ ≤


≤ <

= − ≤ ≤
 < ≤

2 2 1
1
( ) ( ), 1,...,2
2
n n
n
nj
j
H t H t j+ +
−
= − =

2
2
20 1
2 2
1
max ( ) , , 0 2 1
2
V
( ). ( ) 0, 1 2
n
n n
n
n
jt
n
j k
S t n j
à
S t S t k j
+
+≤ ≤
+ +
 
= ∈ ≤ ≤ − 
 
= ≤ < ≤

Đồ thị các hàm Haar H1, H2, H3, H4, H5, H6
- Các hàm Schauder
Đó là tích phân của các hàm Haar
0
( ) ( )
t
k kS t H s ds= ∫ . Chúng ta có thể chứng minh
rằng:
- Một kết quả của giải tích
Cho ( ), 1,2,...a j j = là một dãy số thực, và đặt { }max (2 ) ; 1,...,2 .n n
nb a k k= + =

Người ta chứng minh được rằng:
Nếu
2
0
1
2
n
n
n
b
∞
=
 
< ∞ 
 
∑ thì chuỗi
1
( ) ( )k
k
A k S t
∞
=
∑ hội tụ đều đến một hàm liên tục x(t).
- Chuyển động Brown
Cho 1 2, ,..., ,...kA A A là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn
N(0,1). Khi đó đặt
{ }1
max ;2 2n n
n kB A k +
= < ≤
Như vậy, theo kết quả giải tích nói trên thì chuỗi
1
( )k k
k
A S t
∞
=
∑ xác định nên một
hàm ngẫu nhiên liên tục, miễn là
2
0
1
2
n
n
n
B
∞
=
 
< ∞ 
 
∑ . Trên thực tế điều đó h. c. c, tức là:
2
0
1
1
2
n
n
n
P B
∞
=
 
  
< ∞ =  
   
∑
Vậy ta có một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi:
1
( ).t k k
k
B A S t
∞
=
= ∑
Người ta chứng minh được rằng chính là một chuyển động Brown tiêu chuẩn,
với 0 1t≤ ≤ .
2.2.2. Khai triển Karhunen- Loeve
Người ta cũng chứng minh rằng mỗi chuyển động Brown { },0tB t T≤ ≤ cũng có
thể xây dựng nhờ công thức khai triển sau:
0
( ) ( ) ( )t n n
n
B Z tω ω φ
∞
=
= ∑ , 0 t T≤ ≤
Trong đó 0 1, ,..., ...nZ Z Z là dãy các biến chuẩn N(0,1) và độc lập nào đó, còn là một dãy
giảm các hàm tất định xác định bởi:
2 2 (2 1)
( ) sin , 0,1,2...
(2 1) 2
n
n t
t n
n T
π π
φ
π
+ 
= +  

Dãy{ }, 0n nφ ≥ thực ra là một hệ trực chuẩn đủ trong [ ]2
0,L T , với
0
( , ) ( ) ( ) 0
T
i j i jt t dtφ φ φ φ= =∫ với i j≠
Và { }
1
( ) ( ) min ,n n
n
s t s tφ φ
∞
=
=∑
Còn xác định bởi như các hệ số Fourier:
2
0
2 (2 1)
( ) ( ) ( )
2 2
T
n t n
n
Z B t dt
T T
π
ω ω φ
+ 
=  
 
∫
2.3. Các đặc trưng của chuyển động Brown
2.3.1. Hàm mật độ
Vì 1 2 1 1
,..., ,n nt t t t tB B B B B−
− − là độc lập (Với 1 2 ... nt t t< < < ) nên hàm mật độ đồng
thời của các biến 1 2 1 1
,..., ,n nt t t t tB B B B B−
− − được xác định bởi:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1
1 1 2 1 1,..., ...t t t t tn n
n B B B B B n nf x x f x f x x f x x
−
− − −= − −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22
2 1 11
2 1 11 2 22
1 2 1 1
1 1 1
. ...
2 2 2
n n
n n
x x x xx
t t t tt
n n
e e e
t t t t tπ π π
−
−
− − − −−
− −
−
=
− −
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 22
2 1 11
1 2 1 1
1 2 1 1
1
exp ...
2 2 22 ...
n n
n
n n
n n
x x x xx
t t t t tt t t t tπ
−
−
−
 − − 
− − − − 
− − − −  
 Với s t< ta có hàm mật độ xác suất sB với điều kiện tB a= là:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
,
|
, .
| s t s t s
s t
t t
B B B B B
B B
B B
f x a f x f a x
f x a
f a f a
− −
= = (do sB , t sB B− là độc lập)
( )
( )
( )
2
2
2
22
2
1 1 1
. .
2 2 1
2
a xx
t ss
a
t
e e
s t s
e
t
π π
π
− −−
−
−
=
−

( )
( )
( )
22 2
1
.exp
2 2 2
2
a xx a
s t s ts
t s
t
π
 − 
= − − + 
−  −
( )
( )
( )
2
1
exp
2
2
xt as
st t ss
t s
t
π
 − − 
=  
−  −
( ) ( )
2
1
exp
22
as
x
t
ss t st s
tt
π
  
− −    =  
 −−
  
 Vậy với điều kiện tB a= thì biến ngẫu nhiên Bs ( )s t< có phân phối chuẩn
( ),
as s
N t s
t t
 
− 
 
.
Suy ra: [ ]|s t
s
E B B a a
t
= =
[ ] ( )|s t
s
Var B B a t s
t
= = −
2.3.2. Hiệp phương sai
 Với { }, 0tB B t= ≥ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn và s t< ta có:
( ) [ ]ov , .s t s t s tC B B E B B EB EB= −
[ ].s tE B B=
( )s t s sE B B B B= + −  
( )2
s s t sE B E B B B = + −   
[ ] [ ]var .s s t sB E B E B B= + −
s=
Tương tự với t s< ta có:
( ) [ ]ov , .s t s tC B B E B B=
[ ].s t t tE B B B B = − + 

[ ] ( )
2
t t s tE B E B B B= + −  
[ ] [ ] [ ]
2
t t s tE B E B E B B
t
= + −
=
Suy ra: ( ) { }o , min ,s tC v B B s t=
Từ đây, ta cũng có một định nghĩa khác về chuyển động Brown như sau:
Định nghĩa: Một quá trình { }, 0tB B t= ≥ là một chuyển động Brown với
tham số phương sai 2
σ nếu nó là một quá trình Gauss với [ ] 0, t 0tE B = ∀ ≥ và hàm
tương quan cho bởi ( ) [ ] { }2
o , min ,s t s tC v B B E B B s tσ= = .
2.4. Một số tính chất quan trọng của chuyển động Brown
2.4.1. Tính chất 1
Cho { }, 0tB t ≥ là chuyển động Brown tiêu chuẩn, khi đó quá trình:
1 0; 0 ; 0
t
tX t B t B= > =
cũng sẽ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn.
Chứng minh
Khi t u> , ta xét:
[ ]{ }( )exp t uE i X Xλ − { }1 1exp
t u
E i tB uBλ
  = −    
( ){ }1 1 1exp
t u t
E i B t u u B Bλ
   = − − −      
( )
2 2 2
2 1 1 1
exp
2 2
u
t u
t u t
λ λ  
= − − − −  
  
( )
2
exp
2
t u
λ 
= − − 
 
Điều đó khẳng định t uX X− có phân phối chuẩn (0, )N t u− .
Tính độc lập của các số gia của quá trình tX , được suy ra từ hệ thức:

[ ][ ]{ }0u t uE X X X X− − [ ]{ }u t uE X X X= −
{ }1 1 1
u t u
E uB tB uB = −
  
1 1 1
2 2
t u u
E uB tB u B = −
  
u u= −
0=
Suy ra tX là một chuyển động Brown tiêu chuẩn.
2.4.2. Tính chất 2 (Sự hội tụ của gia số)
Tổng bình phương các gia số của chuyển động Brown ứng với phân hoạch
0 1 2 ... na t t t t b= < < < < = của đoạn từ a đến b hội tụ đến b a− theo bình
phương trung bình khi làm mịn phân hoạch:
( )1
1 2
0
0
lim i i
n
t t
I
i
B B b a+
−
→
=
 
− =− 
 
∑
Trong đó ( ){ }1max , 1,2,...,i iI t t i n−= − =
Chứng minh
Ta cần chứng minh:
( ) ( ) ( )1 1
21 12 2
0 0
0 0
lim lim var 0i i i i
n n
t t t t
I I
i i
E B B b a B B+ +
− −
→ →
=
 
− − −= −= 
 
∑ ∑
Thật vậy, ta có:
( ) ( ) ( )1 1
1 1 12 2
1
0 0 0
i i i i
n n n
t t t t i i
i i i
E B B E B B t t b a+ +
− − −
+
= = =
− = − = − =−∑ ∑ ∑
Vì các gia số là các biến ngẫu nhiên độc lập nên
( ) ( )1 1
1 12 2
0 0
vari i i i
n n
t t t t
i i
Var B B B B+ +
− −
= =
 
− = − 
 
∑ ∑

( ) ( )( )1 1
21 4 2
0
i i i i
n
t t t t
i
E B B E B B+ +
−
=
 
= − − − 
 
∑
( ) ( )
1
2 2
1 1
0
3
n
i i i i
i
t t t t
−
+ +
=
 = − − −
 ∑
( ) ( ) ( )
1 1
2
1 1
0 0
2 2 2 0 0
n n
i i i i
i i
t t I t t I b a do I
− −
+ +
= =
= − ≤ −= − → →∑ ∑
Từ đó:
( ) ( )1 1
21 12 2
0 0
( ) 0i i i i
n n
t t t t
i i
E B B b a Var B B+ +
− −
=
   
− − −= − →   
   
∑ ∑
khi ( )1max 0i it t+ − →
Hay ( )1
1 2
0
( )i i
n
t t
i
E B B b a+
−
=
 
− → − 
 
∑ khi làm mịn phân hoạch.
Các quỹ đạo của chuyển động Brown hầu hết không đâu khả vi, cho dù
chúng liên tục hầu chắc: { : ( )tP Bω ω là khả vi } 0=
Chứng minh
 Bổ đề Borel – Cantelli
Giả sử ( )nX là dãy biến cố bất kỳ.
(a). Nếu
1
( )n
n
P X
∞
=
< ∞∑ thì limsup 0n
n
P X
 
= 
 
.
(b). Nếu
1
( )n
n
P X
∞
=
= ∞∑ và ( )nX độc lập thì limsup 1n
n
P X
 
= 
 
.
Do tính thuần nhất của chuyển động Brown ta chỉ cần chứng minh nó không
khả vi tại điểm 0.

Thật vậy:
Giả sử trên tập F ∈Ω có xác suất dương ( ) 0P F > , tồn tại đạo hàm:
0 0
0
( ) lim
t
t
t
B
B B ω
→
′ ′= =
Khi đó, trên tập F sẽ có:
0 0 02B B B′ ′ ′= − =
Điều này không thể xảy ra vì lý do sau:
Các số gia độc lập: 1
2 2k kB B− + −− có cùng phân phối với
2 kB − và
2
2.2
2
2
1
2
2 2
k
k
k
u
k
k
P B e du
π
−
−
−
∞ −
−
−
 > =
   ∫
=
2
1
*2
1
1
Const ;
2
u
e du p k
π
∞
−
= = ∈∫ 
Do đó các đại lượng ngẫu nhiên độc lập
{ }1
2 2
2k k
k
kG B B− + −
−
= − >
có tổng xác suất như sau:
( ) 1
1 1
k
k k
P G p
∞ ∞
= =
= = ∞∑ ∑
Theo bổ đề Borel – Cantelli, điều đó có nghĩa là: Với xác suất 1, xảy ra vô số
các sự kiện kG , sao cho:
1 1
2 2 2 2
1
2
lim lim lim
2 2 2
k k k k
k k kk k k
B B B B− + − − + −
− − + −→∞ →∞ →∞
−
= −

1
2 2
lim sup 1 1
2
k k
kk
B B
P
− + −
−→∞
− 
> = 
 
và ta cũng có:
1
2 2
lim inf 1 1
2
k k
kk
B B
P
− + −
−→∞
− 
< − = 
 
Từ đó suy ra:
1 1
2 2 2 2
lim sup ; lim inf 1
2 2
k k k k
k kk k
B B B B
P
− + − − + −
− −→∞ →∞
− − 
= ∞ = −∞ = 
 
Vậy ta có thể kết luận, hầu chắc chắn chuyển động Brown tại mỗi điểm t
không khả vi.
 Quỹ đạo địa phương
 Cực đại và cực tiểu của địa phương
Đối với một hàm số liên tục [ ): 0,f R∞ → , một điểm t gọi là cực đại địa phương
(nghiêm ngặt) nếu ( ) ( ) ( )0, , 0, , :s t s t t f s f tε ε ε∀ > ≥ ∀ ∈ − + ≤ .
Đối với hầu hết các quỹ đạo, tập hợp các cực đại địa phương cho quỹ đạo của chuyển
động Brown là đếm được ( một tập hợp đó có thể là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được) và dày
đặc. Lý thuyết tương tự cũng áp dụng cho cực tiểu địa phương.
Một quỹ đạo chuyển động Brown có một cực đại địa phương hoặc một cực tiểu địa
phương trong khoảng thời gian bất kỳ. Điều này có nghĩa rằng mật độ của cực đại địa
phương và cực tiểu địa phương là dày đặc. Có một cực đại hoặc một cực tiểu địa phương
tùy ý gần với số bất kỳ.
 Điểm tăng và giảm
Một điểm t là tăng nếu ( ) ( ) ( ) ( )0, , 0, 0, , .s t s f t s f t f t sε ε∃ > ≥ ∀ ∈ − ≤ ≤ +
Hầu hết tất cả quỹ đạo của chuyển động Brown không có điểm tăng hoặc giảm.

2.4.4. Tính chất 4 (Quá trình Martingale đối với chuyển động Brown)
Định nghĩa. Ta xây dựng một bộ lọc( ), 0t t ≥ thoả mãn các tính chất sau:
- Với mỗi 𝑡, 𝐵𝑡 là t - đo được.
- Với mỗi 𝑡 và với 𝑡 < 𝑡1 < … < 𝑡 𝑛, các số gia của chuyển động Brown
𝐵𝑡1
− 𝐵𝑡, 𝐵𝑡2
− 𝐵𝑡1
,…,𝐵𝑡 𝑛
− 𝐵𝑡 𝑛−1
là độc lập với t
Họ ( ), 0t t ≥ như thế được gọi là lọc sinh bởi chuyển động Brown.
Mệnh đề. Nếu { }, 0tB B t= ≥ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì
i. { }, 0tB B t= ≥ là một martingale.
ii. 2
t tM B t= − là một martingale nhưng không là một chuyển động Brown.
iii. ( )2
exp / 2t tN X tσ σ= − là một martingale.
iv. 3
3t t tK B tB= − là một martingale.
Chứng minh:
i. Ta có chuyển động Brown { }, 0tB B t= ≥ là một quá trình thích nghi với bộ lọc
( , 0)t t ≥ .
Nếu t s≥ thì t sB B− là độc lập với s .
Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ]| 0.t s s t s t sE B B E B B E B E B− = − = − =
Do đó: ( )|t s sE B B= .
ii. Từ định nghĩa suy ra tM là quá trình thích nghi với bộ lọc ( , 0)t t ≥ .
 Mt là một Martingale.
Suy ra: ( )2 2
|t s sE B t B s − = −  nếu s t< .
( ) ( ) ( )
22 2
| 2 |t s s t s s t s sE B B E B B B B B  − = − + −   
 
( ) ( )
2
| 2 |t s s s t s sE B B B E B B = − + −   
 
( )
2
0t sE B B t s= − + = −

( )
2
2
exp / 2 | exp ( ) ( ) |
2
t s t s s sE B t E B B B t s s
σ
σ σ σ
  
 − = − + − − +   
  
 
 Mt không là một chuyển động Brown.
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2
| 2 |t s s t s sE B B t s E B B t s   = − − − − + −   
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
[ 2 ] | 2t s s t s sE B B B B B t s t s = − + − − − + −
 

( ) ( )
( ) ( )
4 3
2 22
| 4 |
4 |
t s s s t s s
s t s s
E B B B E B B
B E B B t s
   = − + −
   
 + − − −
 
 

( ) ( ) ( )
2 2
3 4 .0 4s st s B B t s t s= − + + − − −
( ) ( )
2 2
2 4 st s B t s t s= − + − ≠ −
iii. Từ định nghĩa suy ra tN là quá trình thích nghi với bộ lọc ( , 0)t t ≥ .
Nhận xét: Nếu 2
( , )X N µ σ thì
2
2
exp
2
tX t
E e ta σ
 
 = +  
 
Ta có:
Điều đó chứng tỏ rằng ( )2
exp / 2sB tσ σ− là một martingale.
iv. Từ định nghĩa suy ra tK là quá trình thích nghi với bộ lọc ( , 0)t t ≥ .
Ta có:
( ) ( )( )
22 2 2
| |t s s t s sE M M E B B t s  − = − − −    
 
( ) ( )
3
| 3 |t s s s t s s sE B B B tE B B B = − + − − +   
 
( ) 3
| 3 |t s t t sE K E B tB = −  
{ }
2
2
.exp ( ) ( ) |
2
.exp ( ) . exp ( )
2
s t s s
s t s
s
E N B B t s
N t s E B B
N
σ
σ
σ
σ
  
= − − −  
  
 
= − − −    
 
=


( )
| |t s tt s t u B BuB uB
t tE e e E e ++ −
   =    
( ) ( )
[ ] [ ]
3 2
2 3
| 3 |
3 | 3 | 3
t s s s t s s
s t s s s t s s s
E B B B E B B
B E B B B t B B tB
   = − + −
   
+ − + − − −
 
 
( ) 3
3 3s s sB t s B tB= − + −
3
3s s sB sB K= − =
Chuyển động Brown là một quá trình Markov.
Chứng minh.
i. Ta có { }, 0tB B t= ≥ là quá trình thích nghi với bộ lọc ( , 0)t t ≥ .
ii. Với mọi 𝑡, 𝑠 ≥ 0. Với mọi 𝑢 ∈ ℝ mà 𝐸𝑒 𝑢𝑋 𝑡+𝑠 < ∞
Ta cần chứng minh:
Thật vậy:
( )t s tt u B BuB
e E e + −
 =   (do ( )t s tu B B
e + −
, t là độc lập)
( )( )
2
.
2
. (0, )t
s
u
uB
t s te e do B B N s+= − 
( )
|t s tt u B BuB
te E e B+ −
 =  
|t suB
tE e B+
 =   .
2.4.6. Tính chất 6 (Đặc trưng Levy của chuyển động Brown)
Định lý: Cho { }, 0tB B t= ≥ là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều kiện
cần và đủ để { }, 0tB B t= ≥ là một chuyển động Brown là:
i. Bt là một mactingan, 0 0B = hầu chắc chắn.
ii. 2
tB t− là một mactingan ( đối với W
t t=  ).
Điều kiện i và ii được gọi là đặc trưng Levy của chuyển động Brown.
| |t s t suB uB
t tE e E e B+ +
   =   

Giả sử { }, 0tB B t= ≥ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ 0. Ta
đã biết Bt ~ N (0; t). Gọi u ( t, x ) =
1
√2𝜋𝑡
𝑒−
𝑥2
2𝑡 là hàm mật độ của Bt. Ta dễ dàng kiểm
tra được u (t, x) thoả phương trình đạo hàm riêng:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
1
2
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥2
Phương trình trên được gọi là phương trình nhiệt (diễn tả sự truyền nhiệt của một
thanh kim loại).
2.5. Một số chuyển động Brown quan trọng
2.5.1. Chuyển động Brown bị phản xạ
a)Định nghĩa
Giả sử { Bt, t ≥ 0 } là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Ta gọi quá trình
Rt = tB = �
Bt nế𝑢 Bt ≥ 0
−Bt 𝑛ế𝑢 Bt < 0
là một chuyển động Brown bị phản xạ.
b) Tính kỳ vọng và phương sai
Ta có:
2
2
1
[ ] .
2
x
tE R x e dx
tπ
+∞
−
−∞
= ∫
Đặt x y t dx tdy= ⇒ =
Khi đó:
2
2
0
2
[ ] .
2
y
t
t
E R y e dy
tπ
+∞
−
= ∫
Đặt
2
2
y
v dv ydy=− ⇒ =−
Nên
0
2
[ ]
2
v
t
t
E R e dv
tπ
+∞
= ∫
2t
π
=

Mặc khác, ta có:
2
2 2 2
1
[[ ] ]
2
x
t
tE R x e dx
tπ
+∞
−
−∞
= ∫
2
2 2
0
2
2
x
t
x e dx
tπ
+∞
−
= ∫
Đặt 2
2x y t xdx tdy= ⇒ =
Khi đó: 2
0
2 2
[[ ] ]
2
y
t
t
E R tye dy
tπ
+∞
−
= ∫
t=
Suy ra: 2 2
[ ] [[ ] ] [ ]t t tVar R E R E R= −
2
1 t
π
 
= − 
 
Tính:
P { Rt ≤ y | R0 = x } = P { - y ≤ Bt ≤ y | B0 = x }
= P { - y – x ≤ Bt ≤ y – x | B0 = 0 }
= ɸ 𝑡 ( 𝑦 − 𝑥 ) − ɸ 𝑡 (− 𝑦 − 𝑥 )
2.5.2. Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển
a) Định nghĩa
 Giả sử { }, 0tB t ≥ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Lấy 𝜇 𝑣à 𝜎 > 0 là
các tham số bất định. Ta gọi quá trình t tX t Bµ σ= + là một chuyển động Brown với hệ
số dịch chuyển 𝜇 và tham số phương sai 𝜎2
.
 Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển thỏa các điều kiện sau:
i. Có số gia độc lập.
ii. Các số gia không đổi, nghĩa là, với 0, t h th X X+≥ − có cùng phân phối với hX
Nói cách khác, phân phối của các gia số không phụ thuộc vào t.
iii. 2
( , )t tX t B N t tµ σ µ σ= +  .
iv. Quỹ đạo của nó là liên tục.

b) Tính chất
 Với t tX t Bµ σ= + là một chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển 𝜇 và
tham số phương sai 𝜎2
. .
 Nếu X0 = x ta có các tính chất sau:
Hàm phân phối xác suất:
0 0{ | } { | }t tP X y X x P t B y B xµ σ σ≤ = = + ≤ =
0|t
y t x
P B B
µ
σ σ
− 
= ≤ = 
 
= Φ 𝑡 �
𝑦−𝜇𝑡−𝑥
𝜎
�
 Nếu 0X x= , với các hằng số A, B thoả A < x < B .
Đặt TAB = T = min { t ≥ 0: Xt = A hoặc Xt= B}
đây là một thời điểm dừng.
Ký hiệu: PA = P { XT = A | X0 = x } ( nghĩa là quá trình đạt A trước khi đạt B )
Mệnh đề
PA = P { XT = A|X0 = x }=
𝑒−2𝜇𝑥 𝜎2⁄ − 𝑒−2𝜇𝐵 𝜎2⁄
𝑒−2𝜇𝐴 𝜎2⁄ − 𝑒−2𝜇𝐵 𝜎2⁄
PB = P { XT = B|X0 = x } =
𝑒−2𝜇𝐴 𝜎2⁄ − 𝑒−2𝜇𝑥 𝜎2⁄
𝑒−2𝜇𝐴 𝜎2⁄ − 𝑒−2𝜇𝐵 𝜎2⁄
Chứng minh:
Với điều kiện X0 = x thì B0 = x / 𝜎.
Gọi Yt= exp { cBt – c2
t / 2 }, đây là quá trình martingale với c là một hằng số bất
kỳ.
Theo định lý lấy mẫu đối với thời điểm dừng T thì:
E [ YT ] = E [ Y0 ] = E [ exp { cB0 }]
= exp { cx / 𝜎} = 𝑒 𝑐𝑥/𝜎
Mặt khác:
E [ YT ] = E [ exp{ cBT – c2
T / 2}] 2( )
exp
2
tc X T T
E c
µ
σ
−  
= −  
  

Chọn c = −
2𝜇
𝜎
ta có:
2
2
2
2
[ ] exp
x
T Te E Y E X
µ
σ
µ
σ
−   
= = −  
  
= PA. 𝑒−2𝜇𝑥/𝜎2
+ (1 − 𝑃𝐴)𝑒− 2𝜇𝐵/𝜎2
Từ đó suy ra:
𝑃𝐴 =
𝑒−2𝜇𝑥/𝜎2
− 𝑒−2𝜇𝐵/𝜎2
𝑒−2𝜇𝐴/𝜎2
Ví dụ: Giả sử giá cổ phiếu FPT tuân theo một chuyển động Brown với hệ số dịch
chuyển 𝜇 = 1/10 và hệ số phương sai 𝜎2
= 4. Một nhà đầu tư mua 1000 cổ phiếu
FPT với giá 100 và sẽ bán để chốt lời nếu giá đạt mức 110 hoặc bán để cắt lổ nếu giá
xuống mức 95. Tính xác suất để nhà đầu tư có lời qua chiến lượt này.
Bài giải
Có lời: bán ở mức B = 110
Lỗ: bán ở mức A = 95
P { có lời } = PB = P { XT= 110 | X0 = 100 }
=
𝑒−2𝜇𝐴 𝜎2⁄ − 𝑒−2𝜇𝑥 𝜎2⁄
𝑒−2𝜇𝐴 𝜎2⁄ − 𝑒−2𝜇𝐵 𝜎2⁄
=
𝑒−95/20− 𝑒−100/20
𝑒−95/20− 𝑒−110/20
= 0. 41923
 Nếu tX là chuyển động Brown xuất phát từ 0 với hệ số dịch chuyển 𝜇 < 0 thì
với A < 0 < B, xác suất để quá trình đạt B trước khi đạt A là:
PB = P { XT= B | X0 = 0 } =
− 1
Cho A→ −∞ ta có:
2
2 /
lim { } limAB
B
T BA A
P X B eP
µ σ−
→−∞ →−∞
= = =
Khi đó: P{ M > B} = P { quá trình từng tiến đến mức B }
= 𝑒−2|𝜇|𝐵/𝜎2
lim { }ABT
A
P X B
→−∞
= =

2.5.3. Chuyển động Brown hình học
Giả sử { }, 0tB t ≥ là chuyển động Brown tiêu chuẩn.
Quá trình Zt = 𝑧𝑒 𝑋 𝑡 = 𝑧𝑒�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑡 + 𝜎𝐵𝑡
với 𝑋𝑡 = �𝛼 −
1
2
𝜎2
� 𝑡 + 𝜎Bt được gọi là một
chuyển động Brown hình học với hệ số dịch chuyển α.
Từ công thức của tZ ta nhận xét rằng nhiều tính chất của chuyển động Brown
với hệ số dịch chuyển có thể áp dụng cho chuyển động Brown hình học.
Với A < 1 < B, đặt:
TA,B = min {𝑡 ≥ 0:
𝑍𝑡
𝑍0
= 𝐴 ℎ𝑜ặ𝑐
𝑍𝑡
𝑍0
= 𝐵}
Khi đó �
𝑍𝑡
𝑍0
= 𝐵� = �𝑒�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑡 +𝜎𝐵𝑡
= 𝐵� = { 𝑋𝑡 = 𝑙𝑛𝐵} áp dụng bài toán ở mục trước
ta có:
𝑃 �
𝑍𝑡
𝑍0
= 𝐵}� =
𝑒
−2�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑙𝑛𝐴/𝜎2
−1
𝑒
−2�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑙𝑛𝐴/𝜎2
−𝑒
−2�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑙𝑛𝐵/𝜎2
=
𝐴1−2𝛼/𝜎2
−1
𝐴1−2𝛼/𝜎2
−𝐵1−2𝛼/𝜎2
Ví dụ: Giả sử giá cổ phiếu SBT tuân theo một chuyển động Brown hình học với hệ số
α = 0. 1 và σ2
= 4. Một nhà đầu tư mua cổ phiếu SBT với giá 100 và sẽ bán để chốt
lời khi giá đạt mức 110 hoặc cắt lỗ khi giá xuống đến mức 95. Tính xác suất để nhà
đầu tư nay có lời theo chiến lược kinh doanh trên.
Bài giải
Có lời khi tỷ lệ tăng giá là B =
110
100
= 1. 10
Lỗ khi tỷ lệ tăng giá là A =
95
100
= 0. 95
Áp dụng công thức trên ta có:
P { có lời } = P �
𝑍𝑡
𝑍0
= 1. 10�
=
0.950.95−1
0.950.95−1.100.95
= 0. 33415

Ta có : E [ Zt | Z0 = z ] = 𝑧𝐸 �𝑒�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑡 +𝜎𝐵𝑡
�
= z𝑒�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑡
𝐸[ 𝑒 𝜎𝐵𝑡]
= 𝑧𝑒�𝛼−
1
2
𝜎2�𝑡
𝑒
1
2
𝜎2 𝑡
= 𝑧𝑒 𝛼𝑡
Tương tự:
21
2
2 2 2
0[ | ] .
t
tE Z Z z z e
α σ 
+ 
 
= =
Suy ra:
Var [ Zt ] = z2
𝑒2𝛼𝑡
�𝑒 𝜎2 𝑡
− 1� .
2.5.4. Cầu Brown
Định nghĩa: Cho { }, 0tB t ≥ là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Quá trình ngẫu
nhiên có điều kiện { },0 1tZ t≤ ≤ với { }1| 0t tZ B B= = được gọi là cầu Brown.
Nhận xét
Giả sử cho chuyển động Brown tiêu chuẩn { }, 0tB t ≥ với 0 0; s sB b B b= = .
Sử dụng công thức:
{ } ( )
( )
( )
( )
( )
,
|
,
;0t s t s t
t s s
s s
B B s B B B s
B B b
B s B s
f b b f f b b
f b t s
f b f b
−
=
−
= = < <
Ta tìm được:
{ }( )
( ) ( )
( )0
0 0| ; , ; 0,s
t s s
b s t t s tb t
B B b B b N t s
s s s
− − 
= = + ∀ ∈ 
 

Khi 0 0, 0, 1sb b s= = = thì
{ }( ) ( )( ) ( )0 1| 0; 0 0, 1 ; 0,1tB B B N t t t= = − ∀ ∈
Nên ( )0 t 0,1tEZ = ∀ ∈
[ ] ( ) ( )
22 2
1 t 0,1t t t tVarZ EZ EZ EZ t t= − = = − ∀ ∈
( ) [ ] [ ] [ ][ ], ,Z t t tC t Cov Z Z E Z Z EZ EZτ τ ττ= = −

[ ] [ ]{ }|t tE Z Z E E Z Z Zτ τ τ= =
[ ]{ }|t
t
E Z E Z Z E Z Zτ τ τ τ
τ
 
= =  
 
( ) ( )2
1 1 ,0<t< <1
t t
EZ tτ τ τ τ τ
τ τ
= = − = −
Trường hợp tổng quát, ta có:
( ) { } ( ), min , . ; t, 0,1ZC t t tτ τ τ τ= − ∈
Trên thực tế, cầu Brown còn được định nghĩa như sau:
Định nghĩa : Cầu Brown là một quá trình Gauss có kỳ vọng bằng 0 và hàm tự hiệp
phương sai có dạng: ( ) { } ( ), min , . ; t, 0,1ZC t t tτ τ τ τ= − ∈
Mệnh đề : Cho { }, 0tB t ≥ là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Quá trình ngẫu nhiên
{ },0 1tZ t≤ ≤ xác định bởi: 1t tZ B tB= − là một cầu Brown.
Chứng minh:
{ },0 1tZ t≤ ≤ hiển nhiên là một quá trình Gauss.
Với ( ), 0,1t τ ∈ , ta có:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1t t tE Z E B tB E B tE B= − = −
0 .0 0t= − =
( ) [ ] [ ] [ ] [ ], ,Z t t tC t C Z Z E Z Z E Z E Zτ τ ττ= = −
[ ] [ ][ ]{ }1 1t tE Z Z E B tB B Bτ τ τ= = − −
2
1 1 1t tE B B B B tB B t Bτ ττ τ = − − + 
[ ] [ ] [ ] 2
1 1 1t tE B B E B B tE B B t E Bτ ττ τ  = − − +  
{ } { } { }min , min ,1 min ,1 .1t t t tτ τ τ τ= − − +
{ }min ,t t t tτ τ τ τ= − − +
{ }min ,t tτ τ= −
Như vậy, { },0 1tZ t≤ ≤ là một cầu Brown.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Wikipeda,Brownian Motion,Wikipedia,2006.
[2]. ANGELIKI ERMOGENUOS, Brownian motion and its applications in the Stock
Market.
[3]. NGUYỄN CHÍ LONG, Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên, NXB
ĐHQGTPHCM-2008
[4]. DƯƠNG TÔN ĐẢM, Quá Trình Ngẫu Nhiên, NXB ĐHQGTPHCM 2006.
[5]. NGUYỄN DUY TIẾN, ĐẶNG HÙNG THẮNG, Các Mô Hình Xác Suất Và
Ứng Dụng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2000-2001.
[6]. NGUYỄN DUY TIẾN, VŨ VIẾT YÊN, Lý Thuyết Xác Suất, NXB Giáo dục
Hà Nội 2000.
[7]. TRẦN HÙNG THAO, Tích Phân Ngẫu Nhiên Và Phương Trình Vi Phân
Ngẫu Nhiên, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội 2000.
[8]. TRẦN HÙNG THAO, Nhập Môn Toán Học Tài Chính, NXB Khoa Học Và
Kỹ Thuật Hà Nội 2004.

Chuyển động brown

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Viewers also liked

Viewers also liked (13)

Similar to Chuyển động brown

Similar to Chuyển động brown (20)

More from NOT

More from NOT (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Chuyển động brown