Phương pháp phần tử hữu hạn

1. i
TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA
PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB
SinhVienKyThuat.Com
HÀ NỘI 2007

2. TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
p P
 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB
SinhVienKyThuat.Com
HÀ NỘI 2007

3. GS, TS Trần Ích Thịnh
TS. Ngô Như Khoa
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007
SinhVienKyThuat.Com

4. i
MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ
thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và
khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và
hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần
áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được
giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán
động lực học một số kết cấu.
SinhVienKyThuat.Com

5. Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình
Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến
thức của mình.
Giáo trình được biên soạn bởi:
- GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9.
- TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình
ii
Matlab.
Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối
nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng
trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.
Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên
Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.
Tập thể tác giả
SinhVienKyThuat.Com

6. iii
MỤC LỤC
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. Giới thiệu chung ................................................................................ 1
2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ............................................................. 1
3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn .......................................... 2
3.1. Nút hình học ............................................................................................... 2
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử............................................................ 2
4. Các dạng phần tử hữu hạn ................................................................. 3
5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực ......................................................... 4
6. Một số dạng phần tử quy chiếu .......................................................... 5
7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất ............................................... 6
8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần ........................................ 7
9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........................... 8
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
1. Đại số ma trận ................................................................................. 11
1.1. Véctơ ....................................................................................................... 11
1.2. Ma trận đơn vị .......................................................................................... 12
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. ................................................................. 12
1.4. Nhân ma trận với hằng số ......................................................................... 12
1.5. Nhân hai ma trận ...................................................................................... 13
1.6. Chuyển vị ma trận .................................................................................... 13
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận................................................................... 14
1.8. Định thức của ma trận .............................................................................. 14
1.9. Nghịch đảo ma trận .................................................................................. 15
1.10. Ma trận đường chéo .............................................................................. 16
1.11. Ma trận đối xứng .................................................................................. 16
1.12. Ma trận tam giác ................................................................................... 16
2. Phép khử Gauss ............................................................................... 17
2.1. Mô tả........................................................................................................ 17
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát ................................................................. 18
Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
1. Các ví dụ ......................................................................................... 22
1.1. Ví dụ 1 ..................................................................................................... 22
1.2. Ví dụ 2 ..................................................................................................... 24
2. Thuật toán ghép K và F ................................................................... 28 SinhVienKyThuat.Com

7. 2.1. Nguyên tắc chung ..................................................................................... 28
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: .................................................................... 29
iv
Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. Mở đầu ............................................................................................ 31
2. Mô hình phần tử hữu hạn ................................................................. 31
3. Các hệ trục toạ độ và hàm dạng ....................................................... 32
4. Thế năng toàn phần ......................................................................... 35
5. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 36
6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 37
7. Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn ............................. 38
8. Ví dụ ............................................................................................... 40
9. Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D ....................................... 46
10. Bài tập ............................................................................................. 50
Chương 5
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. Mở đầu ............................................................................................ 52
2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung ............................................ 52
3. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 54
4. Ứng suất .......................................................................................... 55
5. Ví dụ ............................................................................................... 55
6. Chương trình tính hệ thanh phẳng .................................................... 57
7. Bài tập ............................................................................................. 67
Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. Mở đầu ............................................................................................ 71
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng ...................................................................... 72
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng .................................................................... 72
2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác ....................................... 73
3. Biểu diễn đẳng tham số.................................................................... 76
4. Thế năng ......................................................................................... 79
5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ............................................. 79
6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 80
7. Ví dụ ............................................................................................... 83
8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng ...................... 88
9. Bài tập ............................................................................................. 99
SinhVienKyThuat.Com

8. v
Chương 7
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG
1. Mở đầu .......................................................................................... 103
2. Mô tả đối xứng trục ....................................................................... 103
3. Phần tử tam giác ............................................................................ 104
4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục ......................................... 114
5. Bài tập ........................................................................................... 122
Chương 8
PHẦN TỬ TỨ GIÁC
1. Mở đầu .......................................................................................... 126
2. Phần tử tứ giác............................................................................... 126
3. Hàm dạng ...................................................................................... 127
4. Ma trận độ cứng của phần tử.......................................................... 129
5. Qui đổi lực về nút .......................................................................... 131
6. Tích phân số .................................................................................. 132
7. Tính ứng suất................................................................................. 136
8. Ví dụ ............................................................................................. 136
9. Chương trình ................................................................................. 138
10. Bài tập ........................................................................................... 150
Chương 9
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG
1. Giới thiệu ...................................................................................... 152
2. Thế năng ....................................................................................... 153
3. Hàm dạng Hermite ........................................................................ 153
4. Ma trận độ cứng của phần tử dầm .................................................. 155
5. Quy đổi lực nút .............................................................................. 157
6. Tính mômen uốn và lực cắt............................................................ 158
7. Khung phẳng ................................................................................. 159
8. Ví dụ ............................................................................................. 161
9. Chương trình tính dầm chịu uốn .................................................... 166
10. Bài tập ........................................................................................... 175
Chương 10
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1. Giới thiệu ...................................................................................... 178
2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều.......................................................... 178
2.1. Mô tả bài toán ........................................................................................ 178
SinhVienKyThuat.Com

9. 2.2. Phần tử một chiều ................................................................................... 178
2.3. Ví dụ ...................................................................................................... 180
3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều ........................................................... 182
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều .................................. 182
3.2. Điều kiện biên ........................................................................................ 183
3.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 184
3.4. Xây dựng phiếm hàm ............................................................................. 185
3.5. Ví dụ ...................................................................................................... 189
4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt ........................................ 192
4.1. Ví dụ 10.1 .............................................................................................. 192
4.2. Ví dụ 10.2 .............................................................................................. 197
5. Bài tập ........................................................................................... 203
vi
Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1. Giới thiệu ...................................................................................... 206
2. Lý thuyết tấm Kirchhof ................................................................. 206
3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ...................................................... 209
4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn ........................................................ 215
5. Phần tử vỏ ..................................................................................... 218
6. Chương trình tính tấm chịu uốn ..................................................... 221
7. Bài tập ........................................................................................... 231
Chương 12
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE
1. Giới thiệu ...................................................................................... 234
2. Phân loại vật liệu Composite ......................................................... 234
3. Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng ................... 236
3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng ........................................... 236
3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 238
4. Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin ................ 241
4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin ........... 241
4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn ....................... 246
5. Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn.............................. 250
6. Bài tập ........................................................................................... 267
Chương 13
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
1. Giới thiệu ...................................................................................... 268
SinhVienKyThuat.Com

10. 2. Mô tả bài toán................................................................................ 268
3. Vật rắn có khối lượng phân bố ....................................................... 270
4. Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố.................. 272
4.1. Phần tử một chiều ................................................................................... 272
4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng.................................................................. 272
4.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 273
4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục ............................................................... 274
4.5. Phần tử tứ giác ....................................................................................... 275
4.6. Phần tử dầm ........................................................................................... 275
4.7. Phần tử khung ........................................................................................ 276
5. Ví dụ ............................................................................................. 276
6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung .................. 277
6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm ................................... 277
6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung ................................ 282
7. Bài tập ........................................................................................... 287
vii
TÀI LIỆU THAM KHẢO
SinhVienKyThuat.Com

11. 1
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện
những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an
toàn cao.
7.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là
một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời
giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ
việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong
các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay,
tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến
những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết
truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí
đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của
ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều
kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế
chi tiết một cách dễ dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như:
NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM
2000, SAMCEF v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc
tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải
nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính
cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó
(chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền
con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại
lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp
xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
SinhVienKyThuat.Com

12. - Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến
2
nút gắn vào nút của ve và biên của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho
chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục
giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con ve được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học
các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập
hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao
cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học
của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của
nó.
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc
sau:
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên
biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai
phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay
mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần
với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng
giữa các phần tử.
biên giới biên giới
v1 v2
biên giới
v2
v1 v1 v2
Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
SinhVienKyThuat.Com

13. Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
3
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba
chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất
(gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta
làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều
Phần tử hai chiều
Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử lăng trụ
SinhVienKyThuat.Com

14. Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
(4)
(1)
(5)
(3)
(2)
 r3
r2
r1
 x
4
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có
dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay
phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thường là phần tử
đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể
biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học
re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).
vr
v3
v2
v1
0,1
0,0 1,0
y
Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải
thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi
phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm 
trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với
một và chỉ một điểm của ve và ngược lại.
SinhVienKyThuat.Com

15. b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học
của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút
tương ứng.
Chú ý:
- Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử
thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần
tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn
5
giản.
-  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
-1 0 1  -1 0 1  -1 -1/2 0 1/2 1 
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử qui chiếu hai chiều
  

vr
1
0,0 1
1
,2/3
2/3
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện

vr
0,0 1
1

vr
0,0 1
1/2
,1/2
1/2
1/2
1/3
,1/3
2/3
1/3
1/3
2/3
SinhVienKyThuat.Com

16. 6
vr

0,0,1
0,0,0
1,0,0
Phần tử sáu mặt
vr

 
0,1,0
0,1,1

0,1,0
1,0,0 

0,1,1
vr
0,0,1
 

vr

1,1,0
1,1,0 
vr
vr
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng
véctơ cột:
- Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T
- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T
- Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba


0,1,1
1,1,0

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba


0,1,0
1,0,0
0,0,1
SinhVienKyThuat.Com

17. , yz, xz, xy] T (1.2)
  (1.3)
,  yz,  xz,  xy] T (1.4)
7
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w] T (1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
 = [x , y, z
Trường hợp biến dạng bé:
v
T
x
u
y
w
x
u



z
w
y
v



z
w
z
v

y
u
x
  
  














Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
 = [x ,  y, z
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng
suất với biến dạng:
 = D  (1.5)
Trong đó:
  

       

1 0 0 0

       

1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0 5 0 0
0 0 0 0 0 5 0



  
  



 




  
 
0 0 0 0 0 0 5
1 1 2
,
,
,
D E
E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu.
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng
lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:
 = U + W (1.6)
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một
1
đơn vị thể tích được xác định bởi:  T
2
Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
SinhVienKyThuat.Com

18. 1   (1.9)
8
1
 
U  T dv
V
2
(1.7)
Công của ngoại lực được xác định bởi:
  
W uT FdV u TdS u P

   
n
i
i
T
i
S
T
V
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
   

    
n
i
i
T
i
S
T
V
T
V
T dV u f dV u TdS u P
2 1
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có
chuyển vị là ui
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn,
trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân
bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu
thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông
tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học
của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin
về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu
(điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f
của mỗi phần tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F
chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến
đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ
chuyển vị chung Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên
nhiệt độ, v.v.) ;
SinhVienKyThuat.Com

19. Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị
9
của các đại lượng theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình
1.3);
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên
Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
SinhVienKyThuat.Com

20. SinhVienKyThuat.Com 10

21. 11
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường
liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép
toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải
hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong
chương này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các
công cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính, có dạng như sau:
a x  a x  a x 
b
n n

11 1 12 2 1 1
a x  a x  a x 
b
n n

21 1 22 2 2 2

a x  a x  
a x 
b
n 1 1 n 2 2
nn n n
(2.1)
trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có
thể được biểu diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n n), và x và b là các
véctơ (n1), được biển diễn như sau:

   



   

n
n
a a 
a
11 12 1
a a 
a
21 22 2
   
a a a
n n nn
A

1 2

 

 



 

 

x
x
1
2
n x
x


 

 



 
1
b

 
2
n b

b
b

1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận
có kích thước (n 1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1
4):
r  2  2 12 6
SinhVienKyThuat.Com

22. 12
và véctơ cột (3 1):
11


34





2
c
1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường
chéo chính bằng 1, ví dụ:



1 0 0


0 0 1


0 1 0
I
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n). Tổng của
chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:
cij = aij + bij (2.3)
Ví dụ:




5 7



 

 
8 5

 




3 2
 1 2
4 3
5 1
phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[caij] (2.4)
Ví dụ:


300 200



  
3 2


5 1
 500 100
102
SinhVienKyThuat.Com

23. 13
1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m n) với ma trận B kích thước (n
p) là 1 ma trận C kích thước (m p), được định nghĩa như sau:
A  B = C (2.5)
(m n) (n p) (m p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:

c 
a b
ij ik kj n
k
1
(2.6)
Ví dụ:


54 70




  


 
  




38 36
4 5
2 5
6 4
2 8 5
3 1 4
Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma
trận A phải bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB
và BA, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là
AB  BA.
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký
hiệu là AT có kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách
chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A.
Ví dụ:

  
4 2 6 AT


5 5 4
A thì: 

4 5


6 4
  

2 5


Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma
trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:
(ABC)T=CTBT AT. (2.7)
SinhVienKyThuat.Com

24. 14
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải
là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:

  


  

2 5 2
x  y x 
xy
x y



x x y
A
2
6 4
Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay
tích phân. Phép đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản
là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:


d ij ( )



da x
dx
A x
dx
( ) (2.8)
 Adxdy  a dxdy ij (2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ
phương trình PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích
thước (n n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các
biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp sẽ là:
p
d ( ) 
p
Ax a
dx
(2.10)
trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n n). Định thức của ma
trận A được định nghĩa như sau:
 
A a A a A a A
det( )  det( )  det( )   
1 det( )
n
  


 
j
ij ij
i j
n n
n
a A
1
1 1
1
11 11 12 12
1 det( )
(2.11)
trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1 n-1) thu được bằng cách loại
đi hàng i cột j của ma trận A.
Ví dụ:
SinhVienKyThuat.Com

25. 15

   


   

 

   



   

n
n
a a 
a
22 23 2
a a 
a
32 33 3
   
n n nn
n
n
a a 
a
11 12 1
a a 
a
21 22 2
   
n n nn
a a a
A
a a a
A


2 3
11
1 2
Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức
của ma trận vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương
pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1 n-1). Trong
đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có:
det(apq) = apq (2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo
và ký hiệu là A-1. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A-1A = AA-1 = I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận
nghịch đảo. Nếu det(A)  0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó,
nghịch đảo của A được xác định như sau:
A adjA
A
det
1 
(2.14)
Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử aij   
1 i  j
det( A ji )
và Aji là ma trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2 2) là:


a a





 


a a
1 11 12



22 12
21 11
1
21 22
1
det
a a
a a A
A
SinhVienKyThuat.Com

26. 16
1.10. Ma trận đường chéo
Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần
tử trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:



2 0 0


0 0 5


0 3 0
D
1.11. Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn
điều kiện:
aij = aji (2.15a)
hay:
A = AT (2.15b)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua
đường chéo chính.
Ví dụ, ma trận A sau đây là ma trận đối xứng:

  


  

2 3 11
3 4 0




11 0 9
A
1.12. Ma trận tam giác
Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác
dưới, tương ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm
trên đường chéo chính bằng không.
Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận
tam giác trên A và ma trận tam giác dưới B:

  


  

2 3 11
0 4 0



0 0 9
A

  


  
2 0 0
3 4 0
 
11 0 9


B
SinhVienKyThuat.Com

27. 17
2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như
sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n n). Nếu detA  0, thì ta có
thể thực hiện phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với
A-1 và nhận được nghiệm: x = A-1b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài
toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A
thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma
trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm
tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công
cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
2.1. Mô tả
Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ
minh hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.
Xét hệ phương trình:
2 5 1 1 2 3 x  x  x  (1)
2 5 3 2 1 2 3 x  x  x   (2)
15 4 1 2 3  x  x  x  (3)
Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các
phương trình (2) và (3), ta được hệ:
2 5 1 1 2 3 x  x  x  (1)
0 7 4 1 2 3 x  x  x  (21)
0 20 5 1 2 3 x  x  x  (31)
Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:
2 5 1 1 2 3 x  x  x  (1)
0 7 4 1 2 3 x  x  x  (21)
0 0 27 9 1 2 3 x  x  x  (32)
Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập
thành ma trận tam giác trên. Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm
được nghiệm x3, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương trình
SinhVienKyThuat.Com

28. trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau:
18
; 8
3
3
1
; 5
3
3 2 1 x  x   x  . Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các
hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế
ngược.
Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:

  

1 2 5 1

  
0 1 7 4
 


  

1 2 5 1

  
0 1 7 4
 


  


  

1 2 5 1
2 5 3 2
 

0 0 27 9
0 1 20 5
1 1 15 4
bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:
; 8
3
3
1
; 5
3
x3  x2   x1 
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát
Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các
bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như
sau:

   

   


   
b
1
b

   



   

   


   

   


        


        

2
b

b
i
n
x
x
1
2
x

x
i
n
a a a  a 
a
j n
11 12 13 1 1
a a a  a 
a
j n
21 22 23 2 2
a a a  a 
a
j n
31 32 33 3 3
      
a a a  a 
a
i 1 i 2 i 3
ij in
      
n n n nj nn
b
x
a a a a a


 
3
3
1 2 3
(2.16)
Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động
đến các ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:
SinhVienKyThuat.Com

29.  (2.19)
19

        


        

a a a  a 
a
j n
11 12 13 1 1
a a a  a 
a
j n
21 22 23 2 2
a a a  a 
a
j n
31 32 33 3 3
      
a a a  a 
a
i 1 i 2 i 3
ij in
      
a a a  a 
a
n 1 n 2 n 3
nj nn

   

   


   
b
1
b
2
b

   
3

b

b

i
n
(2.17)
Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các
phương trình còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong
vùng đã đánh dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của
cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18) sau:
a  
a a
1 1
a
b  
b a

 

 

 
a
1 1
b i j n
a
  i

i i
j
i
ij ij
; , 2,..., 1
11
1
11
(2.18)
Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các
phương trình còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong
vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng
thứ n của cột 2 bằng không.

a a a  a 
a
j n
11 12 13 1 1
               
       
       
a a  a 
a
j n
a a  a 
a
j n
      
       


        

a a  a 
a
i i ij in
      
1 1 1
3
1
2
1 1 13
1
2
1
3
1
3
1
33
1
32
1
2
1
2
1
23
1
22
0
0
0
0
a a  a 
a
n n nj nn
b
1
 
 
1
2
b
1
3
 

   

    


   
b

   
b
b

1

1
i
n
Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn
1 phần tử. Một cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:
SinhVienKyThuat.Com

30. 
     

1
1
2
b
3
3

1
1
b
k
k


      
20

a a a    a 
a
j n
11 12 13 1 1
                
       
a a    a 
a
j n
     
2
3
2
3
a    a 
a
        
     
1 , 1


1 , 1
a a a


1
1, 1

 
  
        
     


           

1
,
1
,
1
, 1
  

  
        
1
,
a a a
1
,
1
, 1
  

2
33
1
2
1
2
1
23
1
22
0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
k
n n
k
n j
k
n k
k
i n
k
i j
k
i k
k
k n
k
k j
k
k k
j n
a a a
  
 
 
 

 


     
b

     
b

1

1

k
i
k
n
b
b

(2.20)
Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép
biến đổi
   
 
 
 
1

a
k
k ik
ij
; , 1,...,
   
   
 
 
 

 

  


1

a
k
k ik
i
   





b i j k n
a
b b
a i j k n
a
a a
k
k k
kk
k
i
k
k kj
kk
k
ij
; , 1,...,
1
1
1
1
1
1
(2.21)
Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới
dạng:

  

   


  

   



  

   


  

   


       


       

1
) 1(2
b
(2)
3
b
) 3 (4
x
1
2
x
x
3
4
n
a a a a 
a
11 12 13 14 1
n
a a a a
) 2 (3
n

a a 
a
) 3 (4) 3 (44
b
x
 ( 1)
a a
( 1)
) 2 (34
) 2 (33
) 1(2
) 1(24
) 1(23
) 1(22
0
n
n n
n
nn
n
b
b
x
a


(2.22)
Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận
được các nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện
theo dõi, chúng ta bỏ qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma
trận A và b):
b a x
i ij j
1 ; i n 1, n 2, ,1
a
; , x
x b
n     
a
ii
n
j i
i
n
nn

 

  (2.23)
SinhVienKyThuat.Com

31. SinhVienKyThuat.Com 21

32. 22
Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử
để tạo ra ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó
thiết lập hệ phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng.
Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào
các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng
của véctơ lực vào véctơ lực chung.
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột
của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó
chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng
các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được
gán đúng những số trên.
Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.
1. CÁC VÍ DỤ
1.1. Ví dụ 1
Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi
phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).
7 8 9
5
6
7
8
4 5 6
1
2
3
4
1 2 3
e
3
1 2
Hình 3.1
Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3
phần tử đầu tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:
SinhVienKyThuat.Com

33. 23

  
k1 ;

7 3 1


1 2 5
  

3 6 2

  



2 3 4
  
1 7 3

8 1 2
k 2 ;

  

9 4 1


1 0 5
  

4 6 0
k3
Lời giải
1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim
đồng hồ)
Bậc tự do
Phần tử
1 2 3
1 1 2 4
2 4 2 5
3 2 3 5
2. Xét từng phần tử
Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:
1
2
4
1 2 4
7 3 1
3 6 2

1 2 5
1

  

  

k 
Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:



       




1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
7 3 0 1 0
3 6 0 2 0
0 0 0 0 0
1 2 0 5 0
0 0 0 0 0
      


       

K 
Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:
4
2
5
4 2 5
8 1 2
1 7 3
2 3 4
2

  


  

k 
Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta
SinhVienKyThuat.Com

34. 24



       




1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
7 3 0 1 0
3 6  7 0 2 
1 3
0 0 0 0 0
1 2 1 0 5 8 2
0 3 0 2 4
      


       

 
K 
Với phần tử 3:
2
3
5
2 3 5
9 4 1
4 6 0
1 0 5
3

  


  

k 
Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên,
cho ta



       




1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
7 3 0 1 0
3 13  9 4 3 3 
1
0 4 6 0 0 
0
1 3 0 13 2
0 3 1 0 0 2 4 5
      


       

  
K 
Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến
hành hoàn toàn tương tự.
1.2. Ví dụ 2
Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử
có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép
nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận
độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trước như
sau:
SinhVienKyThuat.Com

35. 25

       
k1 ;


       

22  3  7  4  6 
2
3 29 9 9 1 7
    
7 9 30 6 3 5
    
4 9 6 31 4 8
    
6 1 3 4 16 2
    
    

2 7 5 8 2 24

  

   


  

   


3
6
4
1
7
5
f 1

       
k 4 ;


       

23  1  6  8  3 
5
1 19 2 4 7 5
    
6 2 30 7 8 7
    
8 6 7 25 2 4
    
3 7 8 2 27 7
    
    

5 5 7 4 7 28

  

   

9

  
7
6

   


2
4
5
f 4
3
5 6
2
Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
 T  T
q i q i q j q j q k q k q q q q q q2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 4 9 10     
Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng
với bậc tự do tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng
vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung.
1
2
3
4
9
10
1 2 3 4 9 10
22  3  7  4  6 
2
3 29 9 9 1 7
    
7 9 30 6 3 5
    
4 9 6 31 4 8
    
6 1 3 4 16 2
    
2 7 5 8 2 24
1

       


       

    
k 
i
1 2
1
4
1 2
Hình 3.2
SinhVienKyThuat.Com

36. 26



                 











1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
22  3  7  4 0 0 0 0  6 
2 00 0
3 29 9 9 0 0 0 0 1 7 0 0
    
7 9 30 6 0 0 0 0 3 5 0 0
    
4 9 6 31 0 0 0 0 4 8 0 0
    
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 1 3 4 0 0 0 0 16 2 0 0
    
2 7 5 8 0 0 0 0 2 24 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
             


                 

    
K 
Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của
phần tử 4 là: (5, 2, 6). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
 T  T
q i q i q j q j q k q k q q q q q q2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 9 10 3 4 11 12     
9
10
3
4
11
12
9 10 3 4 11 12
23  1  6  8  3 
5
1 19 2 4 7 5
    
6 2 30 7 8 7
    
8 6 7 25 2 4
    
3 7 8 2 27 7
    
5 5 7 4 7 28
4

       


       

    
k 
Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma
trận độ cứng chung, ta nhận được kết quả như sau:
SinhVienKyThuat.Com

37. 












1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
22  3  7  4 0 0 0 0  6 
2 0 0
3 29 9 9 0 0 0 0 1 7 0 0
    
7 9 60 16 0 0 0 0 9 7 8 7
      
4 9 13 56 0 0 0 0 12 14 2 4
      
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 1 9 12 0 0 0 0 39 3 3 5
      
2 7 7 12 0 0 0 0 3 43 7 5
      
0 0  8  2 0 0 0 0  3  7 27 
7
             
27

12
0 0 7 4 0 0 0 0 5 5 7 28
                 


                 

    
K 
Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút
chung theo cách tương tự:
1
2
3
f  
4
9
10
3

  
6
4

1
7
5
1

  

   

   

1
2
3
4
5
6
F  ;
7
8
9
10
11
12
3
6
4

        
1
0
0
0
0

7
5
0
0

        

        
 

        

9
10
3
f  
4
11
12
9
7
6
2
4
5
4

  

   


   
   

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
6

        
10
3
0
0
0
0

16
12
4
5

        

        
 

        

F 
SinhVienKyThuat.Com

38. K k e ; F f (3.1)
28
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F
2.1. Nguyên tắc chung
Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng
của các ma trận mở rộng [ke] của các phần tử. Véctơ lực chung F cũng
chính là tổng của các véctơ lực mở rộng {fe} của các phần tử:
   
e
e
e
Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho
mỗi phần tử. Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của qn
trong Qn. Kích thước của bảng index là (noe  edof ), với edof là ký
hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần
tử.
Mỗi nút có một bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên.
Khi ấy: Q Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 T 
- Với phần tử 1 (e =1)
 
q Q Q Q T
1 2 4

(1,:) 
1 2 4
index
- Với phần tử 2 (e =2)
 
q Q Q Q T
4 2 5

(2,:) 
4 2 5
index
- Với phần tử 3 (e =3)
 
q Q Q Q T
2 3 5

(3,:) 
2 3 5
index
Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng e của
index.
Mỗi nút có hai bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.2 đã xét ở trên, bảng index là:
Bậc tự do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 9 10
... ... ... ...
4 9 10 3 4 11 12
SinhVienKyThuat.Com

39. 29
Khi ấy:
 Q Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12 T 
- Với phần tử số 1
 
q Q Q Q Q Q Q T
1 2 3 4 9 10

(1,:) 
1 2 3 4 9 10
index
- Với phần tử số 4
 
q Q Q Q Q Q Q T
9 10 3 4 11 12

(4,:) 
9 10 3 4 11 12
index
Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng kij của ma trận ke được
cộng vào IJ K của [K] sao cho:
I = index(e,i), với i = 1.. sdof
J = index(e,j), với j = 1.. sdof
hoặc:
i j
e
IJ e i e j K  K  k index ( , )index( , ) (3.2)
Tương tự, mỗi số hạng fi của {fe}được chuyển sang FI của F sao
cho:
i
e
I e i K  F  f index ( , ) (3.3)
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử:
Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof  sdof) và
véctơ cột {F} có kích thước (sdof  1), với các số hạng bằng không.
Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn
hệ.
Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng
kij của của ma trận phần tử ke vào số hạng K của ma trận [K]:
IJ K K k e
i j ; i, j 1: edof ; I index(e, i), J index(e, j)
IJ IJ      (3.4)
Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng
fi của của véctơ lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F:
e
F F f i ; i 1: edof ; I index(e,i)
I I     (3.5)
Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau:
SinhVienKyThuat.Com

40. 30
...
K=zero(sdof,sodf);
F=zero(sdof,1);
e =1; i = 1; j = 1;
Kindex(e,i),index(e, i)  Kindex(e, i),index(e, i) k e i, j
j = j + 1;
j  edof
T
Findex(e,i)  Findex(e, i) f e i
i = i+1;
i  edof
e = e +1;
e  noe
...
T
T
F
F
F
Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử
SinhVienKyThuat.Com

41.   E ;   du (4.2)
31
Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. MỞ ĐẦU
Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu
hạn, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và
các quan hệ: quan hệ ứng suất-biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị.
Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D), cách tiếp cận cũng tương
tự.
Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng
suất chỉ phụ thuộc vào biến x. Ta biểu diễn chúng như sau:
u  ux;
  x;   x (4.1)
Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị:
dx
Với bài toán một chiều, vi phân thể tích dv được viết dưới dạng:
dv=Adx (4.2)
trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang.
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang
không đổi (hoặc thay đổi). Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với
các nút được đánh số từ 1 đến 6, các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn
cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2, các chỉ số nút này là
chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b).
Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo
phương x . Vì vậy mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do.
Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Qi ; i = 1, n; chuyển vị địa
phương của mỗi phần tử được ký hiệu là qj; j = 1, 2
Véctơ cộtQ Q  i
T  được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể).
Lực nút được kí hiệu là Fi ; i = 1, n.
Véctơ cột F F  i
T  được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể).
SinhVienKyThuat.Com

42. 1 2 3 4 5
x
1 2 3 4 5 6
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
1 e 2
q1 q2
Hình 4.1a. Chỉ số toàn cục Hình 4.1b. Chỉ số cục bộ
Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các
Chỉ số địa phương
Chỉ số chung
32
phần tử như sau:
Bảng 3.1. Bảng ghép nối các phần tử
Phần tử
Nút
1(đầu) 2(cuối)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG
Khảo sát một phần tử e như Hình 4.2. Theo sơ đồ đánh số nút cục bộ:
Nút thứ nhất là 1
Nút thứ hai là 2
1 e 2
x1 
x2
x
 = -1  = 1
(a) (b)
Hình 4.2. Phần tử trong hệ toạ độ x và 
SinhVienKyThuat.Com

43. Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút
thứ hai. Ta định nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký
hiệu là  như sau:
q q2 1
1 e 2
Hình 4.3. Nội suy tuyến tính trường chuyển vị của một phần tử
q1
1 2 
33
2   1
 x x
x x
 
1
2 1
 

  
x x
   
1

  
1
1
2

x x
(4.3)
Vậy:     1 2   1:1  x x : x
Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục
đích nội suy ra trường chuyển vị trong các phần tử.
Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy
bằng một phép biến đổi tuyến tính (Hình 4.3).
u1 u2
1 e 2
Để thực hiện được phép nội suy này, cần đưa vào một hàm dạng
tuyến tính:
   
2
; 1
2
1
1 2







N  N (4.4)
Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4. Đồ thị của hàm dạng N1
trên Hình 4.4a được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và
N1 = 0 tại  = 1. Tương tự ta có đồ thị của N2.
1
N1
N 
1
N 
2
-1 0 1 
N2
1

u

2
1

2
1
-1 0 1
Hình 4.4. (a), (b). Hàm dạng N1, N2; (c). Nội suy tuyến tính
q2
u=N1q1+N2q2
1 2 1 2
(a) (b) (c)
SinhVienKyThuat.Com

44. Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ
được biểu diễn qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau:
1 1 2 2 u  N q  N q (4.5)
   (4.9)
34
Hoặc dưới dạng ma trận:
u = Nq (4.6)
Trong đó: N  N N  1 , 2
q q q T 1 1  (4.7)
Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử. Từ (4.5), ta thấy
u = q1 tại nút 1; u = q2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử
(Hình 4.4c).
N

Ta đã biết: x x 1
 
1
1 0
2
1
1 u q
N
  

    
2
1
N

x x  
2 1
2
0
1 u q
N
  

   
Bây giờ ta nội suy tọa độ x nhờ các hàm dạng 1 2 N , N
1 1 2 2 x  N x  N x (4.8)
So sánh:
  
x  N x 
N x
1 1 2 2
u  N q 
N q
1 1 2 2
ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ
cùng các hàm dạng N1 và N2. Trong trường hợp này, ta có phép biểu
diễn đẳng tham số.
Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn:
1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn,
2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử.
Mặt khác:
du d

dx
du
d
dx

mà:
2
dx x x
2 1
d



(4.10)
SinhVienKyThuat.Com

45.   (4.13)
 Bq B (4.14)
1   (4.16)
1   (4.17)
35
suy ra
u N q N q 1  q 1

q 1 1 2 2 2
1 2 2


   (4.11)
du  
1 2 q q
2


d
(4.12)
1 q q
x x
  1 2
2 1
 

do đó:
; 1  1 1
2 1


 
x x
Trong đó ma trận B được gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần
tử.
Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:
 = EBq (4.15)
Chú ý:
B, ,  là các đại lượng hằng số;
Các biểu thức u = Nq;  = Bq;  = EBq mô tả chuyển vị, biến
dạng và ứng suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử. Ta
sẽ thế các biểu thức này vào biểu thức thế năng của thanh để
thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút của phần tử.
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Áp dụng công thức (1.3) - Chương 1, ta tính được thế năng toàn
phần của thanh:
   

    
n
i
i
T
i
L
T
L
T
L
T Adx u f Adx u Tdx u P
2 1
Khi vật thể được chia ra làm nhiều phần tử hữu hạn, thì
   

    
n
i
i i
e e
T
e e
T
e e
T Adx u f Adx u Tdx Q P
2 1
SinhVienKyThuat.Com

46. 1 (4.18)
k A E (4.19)
 1 (4.20)
36
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
Gọi:
1
e   
U Adx
e
T
2
là thế năng biến dạng của phần tử, ta có:
1
U q B E Bq A dx
e
e e
T T
e  
2


  2
U q B E B A dx q
e
e e
T T

e 
Chú ý rằng: Ae, Ee và B là các đại lượng hằng số, và

dx x e2
x d  dx l d  2
 2 1  
, với:  1   1; l  x 
x e 2 1 Khi ấy, ta có biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử:


1
U 1 q A l E BT B d 
q
 T
e
e
e


e 2 2


1 với:
1  
1 1
2 1

x 
x
B
ta có:
q
U q A E
T e e
1 1
1
e l
e


 



1 1
2
Gọi:
1 1






e e e

1 1
e
l
là ma trận độ cứng của phần tử .
Khi đó, biểu thức thế năng (4.18) được biểu diễn ở dạng thu gọn như
sau:
U qT k e q
e 2
SinhVienKyThuat.Com

47. f e Ae f le (4.21)
T e T le (4.22)
37
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT
Khi vật thể đã được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn với các
nút xác định, ta phải qui đổi các loại lực tác dụng về nút.
Lần lượt xét từng thành phần biểu diễn công của ngoại lực trong
biểu thức thế năng  (4.17), ta có:
- Công do lực khối:








A f N dx


e
e
e
e
T
e
T
1
A f N dx
u f Adx q
2
mà:

 

 

N dx l d l


 





 

2 2
1
2
2 2
1
2
1
1
2
1
1
1
e e
e
e e
e
N dx l 
d 
l


1
  
  
T e e T e
e
uT f Adx q A f l  q f
  2
1
Với:
1
  
  

1
2
là lực thể tích quy đổi về nút của phần tử
- Công do lực diện tích:


T N dx
T e T

1
  T e
u T dx N q N q T dx q 
e
e
T q T
T N dx




  

 
2
1 1 2 2
Với:
1
  
  

1
2
được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử
Cuối cùng, biểu thức  được viết gọn dưới dạng
SinhVienKyThuat.Com

48. 1 (4.23)
38
  QTKQ QT F
2
Trong đó:
Q là véctơ chuyển vị nút chung,
K là ma trận độ cứng chung, được xác định từ các ma trận độ
cứng ke của các phần tử:
 e 
k K
e
F là véctơ lực nút chung, được xác định từ các véctơ lực nút: fe,
Te, P của các phần tử:
f T  P F
 e  e  
e
Với phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng
bảng ghép nối phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ
lực F.
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta
xác định được biểu thức thế năng toàn phần (4.23).
Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định
các chuyển vị nút, sau đó tính ứng suất, biến dạng và các phản lực liên
kết.
Bằng cách cực tiểu biểu thức thế năng  đối với Q, tức là cho cho
thế năng biến dạng "chịu" điều kiện biên, ta sẽ thu được phương trình
cân bằng.
Dưới đây ta trình bày cách nhập điều kiện biên. Phương pháp này
được áp dụng không chỉ cho bài toán một chiều mà còn cho cả bài toán
hai, ba chiều.
Điều kiện biên thường có dạng:
Qi = ai
Biểu thức trên có nghĩa là chuyển vị Qi phải bằng ai .
Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khử để nhập các điều kiện
biên.
Khảo sát trường hợp đơn giản: Q1 = a1.
SinhVienKyThuat.Com

49. 1 (4.25)
1 (4.26)
39
Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có
 T
Q Q1 Q2  Qn 
 T
n F F1 F2  F 
Ma trận độ cứng tổng thể có dạng:

   



   

n
n
K K 
K
11 12 1
K K 
K
21 22 2
   
K K K
n n nn
K

1 2
(4.24)
K là ma trận đối xứng
Ta viết biểu thức của thế năng  dưới dạng khai triển như sau:
  n n
Q K Q Q K Q Q K Q
n n
  

1 11 1 1 12 2 1 1
Q K Q Q K Q Q K Q
n n
   

2 21 1 2 22 2 2 2
 

n n n n n nn n
Q F Q F Q F
Q K Q Q K Q Q K Q
   

    


    

   

1 1 2 2
1 1 2 2
2
Thay Q1 = a1 vào phương trình trên, ta được:
  n n
a K a a K Q a K Q
n n
  

1 11 1 1 12 2 1 1
Q K a Q K Q Q K Q
n n
   

2 21 1 2 22 2 2 2
 

n n n n n nn n
a F Q F Q F
Q K a Q K Q Q K Q
   

    


    

   

1 1 2 2
1 1 2 2
2
Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng
ở trên. Áp dụng điều kiện cực tiểu thế năng:
i n

Qi
 0;  2,...,

(4.27)
ta thu được:

 

 

K Q  K Q   K Q  F 
K a
n n

22 2 23 3 2 2 21 1
K Q  K Q   K Q  F 
K a
n n

32 2 33 3 3 3 31 1

K Q  K Q  
 K Q  F 
K a
n n nn n n n
2 2 3 3 1 1
(4.28)
SinhVienKyThuat.Com

50. 40
Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:

 

 


 

 
 

F 
K a
2 21 1
F 
K a
3 31 1



 

 

Q

 
Q

 


   


   

1 1
2
3
K K 
K
22 23 2
K K 
K
32 33 3
   
2 3
F K a
Q
K K K
n
n

n n nn n n n
(4.29)
Nhận xét: Ma trận độ cứng (n-1)(n-1) ở trên được nhận từ ma trận độ
cứng (nn) ban đầu (4.23) bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ
nhất (vì Q1 = a1). Hệ phương trình (4.28) được viết dưới dạng cô đọng:
KQ = F (4.30)
Ma trận K trong (4.30) là ma trận không kỳ dị còn ma trận K ban đầu
(4.24) là ma trận kỳ dị (det K=0).
Áp dụng phương pháp khử Gauss (xem chương 2) để giải hệ phương
trình (4.30), ta sẽ tìm được chuyển vị Q;
Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác
định được chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm
được ở trên.
Áp dụng công thức   EBq ta tìm được ứng suất;
Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút
1:
11 1 12 2 1 1 1 K Q K Q K Q F R n n     (4.31)
Trong đó Qi đã được xác định, F1 là lực tác dụng tại nơi đặt liên kết
cũng đã biết.
8. VÍ DỤ
Ví dụ 4.1.
Cho một trục bậc chịu tác dụng của lực P = 10 N (hình 4.5a). Biết
tiết diện các đoạn: A1=20 mm2; A2 = 10 mm2; chiều dài các đoạn l1 = l2
= 100 mm; và môđun đàn hồi: E1 = E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển
vị tại B và C; biến dạng, ứng suất trong các đoạn trục AB, BC.
SinhVienKyThuat.Com

51. 41
B C
1 2
2 3
(a)
(b)
Lời giải
Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, Hình 4.5b.
1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:
P=10 kN
x
Phần tử Nút i Nút j
1 1 2
2 2 3
2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2
mm
N
4 4
1 1






k 1 A E 1 1 10
4
l
1
4 4
1 1
 


 



mm
N
2 2
1 1






k 2 A E 2 2 10
4
l
2
2 2
1 1
 


 



3. Ma trận độ cứng chung K:
mm
4 4 0



K  4 4  2 
2
104 N
0 2 2

  

  



4. Véctơ lực nút chung F: F = [0 0 10]T
5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:














  
4 4 0
4 4 2 2


  


  


0
10
0 2 2
10
Q
1
Q
2
3
4
R
Q
A
1
Hình 4.5. (a) Trục bậc chịu kéo đúng tâm; (b) Sơ đồ phần tử
SinhVienKyThuat.Com

52. 6. Áp đặt điều kiện biên:
Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A), do đó ta loại dòng 1 và cột 1 trong hệ
phương trình trên. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:
42
  
  

  
Q
  

4 2

6 2





0
10
2 2
10
Q
3
7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải hệ phương trình trên ta được:
Q2 = 0,25  10-3 mm
Q3 = 0,75  10-3 mm
áp dụng công thức (4.31), ta tìm được phản lực liên kết:
R1 =104  (-4 Q2 ) = -10 N
Biến dạng được tính cho mỗi phần tử
1 = (-q1 + q2 )/l = 0,25 x10-5 /100 = 2,5 x10-6
2 = (-q2 + q3 )/l = 5 x10-6
Ứng suất được tính cho mỗi phần tử
1 = E 1 = 0,5 N/mm2
2 = E 2 = 1 N/mm2
Ví dụ 4.2.
Cho một trục bậc chịu liên kết ngàm 2 đầu và tác dụng của lực P =
200 kN (hình 4.6a). Biết tiết diện các đoạn: A1=2400 mm2; A2 = 600
mm2; chiều dài các đoạn l1 = 300mm, l2 = 400 mm; và môđun đàn hồi:
E1 = 70 gPa, E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B; ứng suất
trong các đoạn trục AB, BC và phản lực tại A và C.
Lời giải
P=200
KN
2
A
Hình 4.6. Trục bậc chịu kéo đúng tâm
x
1 B C
SinhVienKyThuat.Com

53. 43
Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, như hình 4.5b ở ví dụ 4.1.
1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:
Phần tử Nút i Nút j
1 1 2
2 2 3
2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2
mm
N
1 1
1 1 3
  





k 1 A E 1 1
l



 



1 1
2400 70 10
300
1 1
1
mm
N
1 1
1 1 3
  





k 2 A E 2 2
l



 



1 1
600 200 10
400
1 1
2
3. Ma trận độ cứng chung K:
mm
560 560 0



K  560 860 
300
103 N
300 300

  

  



4. Véctơ lực nút chung F:
F = [R1 200103 R3]T
5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:



R

 



 

 

  
560 560 0
Q
3 200 10


  


560 860 300
 


3
3
1
1
Q
2
3
0 300 300
10
R
Q
6. Áp đặt điều kiện biên:
Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 0 (liên kết ngàm tại C) , do đó
ta loại dòng 1, cột 1 và dòng 3, cột 3 trong hệ phương trình trên. Cuối
cùng ta thu được phương trình:
860 Q2 = 200
7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải phương trình trên ta được:
SinhVienKyThuat.Com

54. 44
Q2 = 0,23257 mm
Áp dụng công thức (4.31), ta tìm được các phản lực liên kết:
R1 =103  (-560 Q2 ) = -130,233 KN
R3 =103  (-300 Q2 ) = -69,767 KN
Biến dạng được tính cho mỗi phần tử
1 = (-q1 + q2 )/l1 = 0,23257 /300 = 7,752 10-4
2 = (-q2 + q3 )/l2 = -0,23257 /400 = 5,81410-4
Ứng suất được tính cho mỗi phần tử
1 = E11 = 54,26 N/mm2
2 = E2 2 = 116,28 N/mm2
Ví dụ 4.3.
Cho một trục tròn chịu liên kết ngàm tại A, khe hở giữa đầu C và
thành cứng là 1,2mm, chịu tác dụng của lực P = 60 kN tại B (hình 4.7).
Biết tiết diện của thanh là A=250 mm2; và môđun đàn hồi: E =
2103N/mm2 Hãy xác định chuyển vị tại B; và phản lực tại A và C.
P=60 KN
A 2
Hình 4.7. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH
Lời giải
Ở đây, ta đã xem như đã thực hiện bước kiểm tra để kết luận rằng,
trong quá trình biến dạng, đầu C của trục đã tiếp xúc với thành cứng và
tiếp tục biến dạng. Tương tự các ví dụ trên, ta chia trục làm hai phần tử
(1) và (2). Khi đó, ma trận độ cứng chung K được xác định như sau:
mm
3
1 1 0



250 20 10 
K 3 N
10
1 2 1
 
0 1 1
150
  

  


 

Véctơ lực nút chung F: F = [R1 60103 R3]T
x
1 B C
150mm 150mm 1,2mm
SinhVienKyThuat.Com

55. 45
Hệ phương trình phần tử hữu hạn:



R

 






1 1 0
Q
3 1



  
1 2 1


  


 


250  20 
10
3
3
1
2
3
60 10
0 1 1
150
R
Q
Q
Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 1,2 (khe
hở tại C) , do đó ta loại dòng 1, cột 1. Cuối cùng ta thu được hệ phương
trình:
3,3333104(2 Q2 – 1,2) = 60103
3,3333104(- Q2 + 1,2) = R3
Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải phương trình trên ta được:
Q2 = 1,5 mm;
R3 =3,3333104 (-Q2 + 1,2) = - 10 kN
R1 =3,3333104 (- Q2) = -50 kN
SinhVienKyThuat.Com

56. 9. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU MỘT CHIỀU - 1D
Chương trình nguồn
%----------------------------------------------------------------------------
% Chuong trinh so 1, chuong 4. (P4_1)
%----------------------------------------------------------------------------
% Tinh chuyen vi nut trong cac ket cau 1-D
%
% Mo ta cac bien
% k = ma tran do cung phan tu
% f = vecto luc nut phan tu
% kk = ma tran do cung tong the
% ff = vecto luc nut tong the
% gcoord = toa do nut
% nodes = ma tran chi so nut cua moi phan tu
% index = vecto chuyen vi nut chung o moi phan tu
%----------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------
% Cac tham so dau vao
%------------------------------------
clear
edof=1; % edof = so bac tu do tai nut
noe=input('Nhap so phan tu:'); % noe = so phan tu
% Nhap du lieu: cac thong so hinh hoc cua ket cau va co tinh vat lieu
for i=1:noe
Doan_truc=i
los(i)=input('Nhap chieu dai (don vi mm) cua doan ');
E(i)=input('Nhap modul dan hoi keo nen (N/mm2) cua doan (phan
tu)');
A(i)=input('Nhap tiet dien mat cat ngang (mm2) cua doan (phan
tu)');
end
% Nhap du lieu: cac thong tin ve chi so nut phan tu tuong ung voi chi
so
% nut tong the, phuc vu cho viec ghep noi phan tu
46
SinhVienKyThuat.Com

57. 47
for i=1:noe
Phan_tu = i
index(i,1)=input('Chi so nut toan cuc cua nut 1:');
index(i,2)=input('Chi so nut toan cuc cua nut 2:');
end
% Nhap du lieu: cac thong tin ve tai trong tac dung.
% 1. Tai trong tap trung
nof=input('Nhap so luc tap trung:'); % nof=Number Of Force
for i=1:nof
Luc_thu =i
temp_f(i)=input('Gia tri luc (don vi N): ');
force_pos(i)=input('Vi tri dat luc (nut so): ');
end
% Thong tin ve lien ket
noc=0; % noc=Number Of Clamp
while ((noc==0)|(noc>2))
noc=input('So luong lien ket (1 hoac 2):');
end
for i=1:noc
c(i)=input('Vi tri dat lien ket (nut dat lien ket): ');
end
% Tinh ma tran do cung phan tu
for i=1:noe
k(1,1,i)=E(i)*A(i)/los(i);
k(1,2,i)=-k(1,1,i);
k(2,1,i)=-k(1,1,i);
k(2,2,i)=k(1,1,i);
end
for e=1:noe % In ma tran do cung cac phan tu
k(e,:)
end
% Xay dung ma tran do cung tong the
SinhVienKyThuat.Com

58. 48
non=noe+1; % non = Number Of Nodes
sdof=non*edof;
kk=zeros(sdof,sdof);
for row_indx=1:non
for e=1:noe
for n1=1:2
if (index(e,n1)==row_indx)
for col_indx=1:non
for n2=1:2
if (index(e,n2)==col_indx)
kk(row_indx,col_indx)=kk(row_indx,col_indx)+ k(n1,n2,e);
end
end
end
end
end
end
end
kk % In ma tran do cung tong the
% Tinh ma tran luc nut phan tu
f=zeros(noe,2);
for e=1:noe
for i=1:nof
if (index(e,1)==force_pos(i))
f(e,1)=temp_f(i);
end
if (index(e,2)==force_pos(i))
f(e,2)=temp_f(i);
end
end
end
for i=e:noe % In vecto luc nut phan tu
SinhVienKyThuat.Com

59. 49
f(e,:)
end
% Xay dung vecto luc nut chung
ff=zeros(sdof,1);
for node=1:non
for e=1:noe
for n=1:2
if (index(e,n)==node)
ff(node)=f(e,n);
end
end
end
end
ff % In vecto luc nut chung
% Ap dat dieu kien bien
for node=1:noc
kk(c(node),:)=0;
kk(:,c(node))=0;
ff(c(node))=0;
kk(c(node),c(node))=1;
end
kk
ff
Q=kkff;
SinhVienKyThuat.Com

60. x
50
10. BÀI TẬP
4.1. Cho kết cấu 1D được rời rạc hoá bởi 2 phần tử một chiều
như Hình 4.10.1 dưới đây.
a. Hãy chứng tỏ rằng ma trận độ cứng tổng thế K là ma trận kỳ dị.
b. Chỉ ra một véctơ chuyển vị Q0  0 mà thoả mãn KQ0 = F = 0.
Bằng cách mô tả qua hình vẽ, hãy phân tích ý nghĩa của các
chuyển vị này. Và chỉ ra năng lượng biến dạng đàn hồi trong cấu
trúc ở trường hợp này ?
c. Chứng minh ở dạng tổng quát rằng, với bất kỳ véctơ chuyển vị Q
 0 là nghiệm của hệ phương trình KQ = 0, với K là ma trận kỳ
dị.
1 2 3
Hình 4.10.1
4.2. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi
E=200×109N/m2. Có liên kết và chịu lực như Hình 4.10.2. Xác định các
chuyển vị nút (các chấm đen trên hình), ứng suất trong các phần tử và
các thành phần phản lực tại ngàm. Hãy giải bài toán bằng tay và nghiên
cứu kỹ Chương trình đã cho, sửa đổi lại một số điểm nếu cần thiết và
bổ sung phần chương trình tính ứng suất trong các phần tử; thực hành
tính toán bằng chương trình và so sánh kết quả.
250mm2 400mm2
P=300 kN x
150mm 150mm 300mm
Hình 4.10.2
4.3. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi
E=200×109N/m2. Có liên kết và chịu lực như Hình 4.10.3. Xác định các
chuyển vị nút, ứng suất trong các phần tử và các thành phần phản lực
tại ngàm.
SinhVienKyThuat.Com

61. 250mm2 400mm2
P=300 kN P=600 kN x
4.4. Xét kết cấu liên kết và chịu lực như Hình 4.10.4. Thanh
nằm ngang được xem như là tuyệt đối cứng, các thanh treo được làm
bằng thép và nhôm, có môđun đàn hồi như chỉ ra trên hình vẽ. Tính
ứng suất trong mỗi thanh treo.
E=70×109 N/m2
51
Thanh tuyệt đối cứng, trọng lượng không đáng kể
Hình 4.10.4
thép
2×2 cm
E=200×109 N/m2
Nhôm
2×4 cm
50cm
40 cm 30 cm 20 cm
60 KN
150mm 150mm 200mm 200mm
3.5mm
Hình 4.10.3
SinhVienKyThuat.Com

62. Q4
Q3
Q15
Q16
Q13
Q14
Q1 Q5 Q7 Q9
52
Chương 5
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. MỞ ĐẦU
Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu
hạn để tính toán hệ thanh phẳng (hệ gồm n thanh liên kết với nhau bởi
các khớp quay). Hệ thanh phẳng điển hình được trình bày trên Hình
5.1.
6 7 8
2 3 4 5
1
Q2
Trong hệ thanh, tải trọng hoặc phản lực liên kết đặt ở các khớp nối;
bỏ qua ma sát trong các khớp nối. Rõ ràng, mỗi phần tử của hệ thanh
hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén.
Ta có thể gặp hệ thanh tĩnh định hoặc siêu tĩnh.
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG
Hệ thanh khác với các kết cấu một chiều đã xét trong Chương 4 ở
chỗ: trong hệ thanh, các phần tử (các thanh) có các phương khác nhau.
Để có thể tính đến sự khác nhau về phương của các phần tử trong hệ, ta
cần phải đưa ra khái niệm hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung.
Một phần tử thanh được mô tả trong hệ toạ độ địa phương và hệ
toạ độ chung như trong Hình 5.2.
Q6 Q8 Q10
Q11
Q12
Hình 5.1. Hệ thanh phẳng
SinhVienKyThuat.Com

63. q2sin
q4sin
Trong sơ đồ đánh số nút địa phương, hai nút của phần tử được đánh số
1 và số 2. Hệ toạ độ địa phương hướng theo trục x’, chạy từ nút 1 đến
nút 2. Tất cả các đại lượng trong hệ toạ độ địa phương được ký hiệu bởi
dấu (’). Hệ toạ độ chung (x,y) là cố định và không phụ thuộc vào
phương của các phần tử.
Trong hệ toạ chung, mỗi nút cũng có hai bậc tự do. Chẳng hạn, nút “j”
sẽ có hai chuyển vị là Q2j-1 và Q2j.
Gọi q1’ và q2’ là các chuyển vị của nút 1 và 2 tương ứng trong hệ toạ độ
địa phương. Ta ký hiệu véctơ chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương
bởi:
q’ = [q1’ , q2’]T (5.1)
53
Trong hệ toạ độ chung, véctơ chuyển vị có 4 thành phần:
q = [q1, q2 , q3 , q4 ]T (5.2)
Ta đi tìm quan hệ giữa q và q’.
Dễ thấy
q1’ = q1 cos + q2 sin (5.3a)
q2’ = q3 cos + q4 sin (5.3b)
Ký hiệu
 = cos (5.4a)
m = sin (5.4b)
x
y
x’
1
(a)


q1
q2
q4
q3
q1cos
q3cos
q’1
q’2
(b)
Hình 5.2. Phần tử thanh trong hệ toạ độ địa phương (a)
và trong hệ toạ độ chung (b)
SinhVienKyThuat.Com

64. k E A (5.7)
 1 (5.9)
 1 (5.10)
e e (5.12)
54
Ta có thể viết
q’ = L q (5.5)
Trong đó L là ma trận chuyển vị, được viết dưới dạng:
  
  

l m
l m
L
0 0
0 0
(5.6)
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
Các phần tử trong hệ thanh đều là các phần tử một chiều. Vì vậy, ta áp
dụng những kết quả của chương 4 vào hệ thanh.
Trong hệ toạ độ địa phương, ta đã xác định được ma trận độ cứng của
phần tử
1 1







1 1
'
e e
l
e
Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung, ta chú
ý tới biểu thức năng lượng biến dạng của phần tử
U 1 q T k q
' ' '
2
e  (5.8)
Thay q’ = Lq vào biểu thức trên, ta được
U qT LT k Lq
e '
2
Cuối cùng, năng lượng biến dạng trong hệ toạ độ chung được viết dưới
dạng:
U qT k q
e 2
Trong đó k là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung và
k = LT k' L (5.11)
Thay biểu thức của L từ (5.6) và của k' từ (5.7) vào (5.11), ta được

    


    

2 2
l lm l lm
2 2
lm m lm m
2 2
l lm l lm
 
 
 
 
k E A

2 2
lm m lm m
l
e
SinhVienKyThuat.Com

65. Từ các ma trận độ cứng của các phần tử và nhờ bảng ghép nối phần tử,
ta sẽ thu được ma trận độ cứng chung của cả hệ thanh.
4. ỨNG SUẤT
Như đã lưu ý ở trên, mỗi phần tử trong hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc
chịu nén. Do đó, ứng suất trong thanh được xác định bởi:
55
 = Ee 
Hoặc
E
q
'
   Lq
2 1 1  
e 1 1
l
q
E
l
E q q
l
e
e
e
e
e
'
' ' 1 1
2
  
  
 

 
Thế biểu thức của L từ (5.6) vào biểu thức trên ta được:
E
e
 l m l mq
l
  e   (5.13)
Như vậy, sau khi tìm được chuyển vị, ta sẽ xác định được ứng suất
trong mỗi phần tử của hệ thanh.
5. VÍ DỤ
Khảo sát hệ gồm hai thanh chịu lực P như hình dưới. Các thanh có
cùng diện tích mặt cắt ngang và cùng vật liệu. Xác định chuyển vị tại
điểm đặt lực.
x
300
y
300
L, A, E 1 2
P
3
2
1
(a) (b)
Hình 5.3. (a) Kết cấu bằng chịu lực, (b) sơ đồ phần tử
SinhVienKyThuat.Com

66. Lời giải
1. Mô hình. Ta mô hình hoá hệ thanh bởi 2 phần tử hữu hạn; mỗi nút
phần tử có 2 bậc tự do.
2. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử
Áp dụng công thức (5.12), ta tính được các ma trận độ cứng của
56
các phần tử.
Với phần tử 1: l   m   L  L 1 cos 1; sin 0;

   


   

1 0 1 0
0 0 0 0


k 
EA
1 0 1 0
0 0 0 0
1
L
cos 3 2   
; 2
2
Với phần tử 2: l m L L
3
; sin 1
2

   

        


        

3
 
3 3
3
3
3 3
3
 
3 3
3
3 3
3
 
3
 
k 
EA
3
3
3
8
3
8
8
3
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
2
L
Từ đây, ta thiết lập được ma trận độ cứng chung K và hệ phương trình:

  

   


  
0
0
R
R
Q
3 0


   



  

   


  

   


           


           

1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3
1 0 1 3 3
   
3 3
3
3
0 0 3
 
3 3
3
0 0 3 3
3
 
3
 

1
2
P
R
5
6
4
0
0
3
3
3
8
3
8
8
0 0 3
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
R
Q
EA
L
Áp dụng điều kiện biên: Q1 = Q2 = Q5 = Q6 =0, ta thu được hệ phương
trình PTHH:
SinhVienKyThuat.Com

67. 57
  
3
1 3 3
EA 0
  


  
Q
  

   


   



3
Q P
L
3
8
3
8
8
8
4
Giải hệ phương trình trên, ta được:

 
 

 
 
LP


8
  



  
Q
  
LP
EA
EA
3
Q
3
3
3
4
Thay các giá trị chuyển vị trên vào (5.14), ta tìm được phản lực liên
kết:
R R R R R   3 0 3 1P 1 1 5 6   
6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH HỆ THANH PHẲNG
Ví dụ
Khảo sát hệ thanh chịu lực như sau (Hình 5.4). Các thanh có cùng
diện tích mặt cắt ngang A = 2,5cm2 và cùng vật liệu, với E =
2105N/cm2. Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực. Xác định ma trận độ
cứng của các phần tử và ma trận độ cứng chung; chuyển vị tại điểm đặt
lực và ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết.
75 cm
x
y
Chương trình nguồn
Q8
4
Q7 Q5
Q2
1
P=100KN
4 3
2
Q6
2
3
1
Q3
Q4
Q1
100 cm
Hình 5.4. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH
SinhVienKyThuat.Com

68. %----------------------------------------------------------------------------
% Chuong trinh so 1, chuong 5 - (P5_1)
%----------------------------------------------------------------------------
% Tinh toan chuyen vi nut, ung suat trong cac thanh cua he thanh
phang
% tinh phan luc lien ket tai cac lien ket cua he thanh phang chiu luc
% su dung phan tu thanh
% (Hinh. 5.4 mo ta mo hinh PTHH tinh he thanh phang)
%
% Mo ta cac bien
% k = ma tran do cung phan tu
% f = vecto luc nut phan tu
% kk = ma tran do cung tong the
% ff = vecto luc nut tong the
% disp = vecto chuyen vi nut tong the
% eldisp = (element_disp) – vecto chuyen vi nut phan tu
% stress = ma tran ung suat
% strain = ma tran bien dang
% gcoord = toa do nut
% nodes = ma tran chi so nut cua moi phan tu
% index = vecto chuyen vi nut chung o moi phan tu
%----------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------
% Cac tham so dau vao
%------------------------------------
clear
% Type of geometric construction
type_geometric =1;
switch (type_geometric)
case 1
58
length=1000; % mm
emodul=100e3; % MPa (N/mm^2)
area=(2.5^2)e2; % mm^2
force=100e3; % N
noe=4; % noe = Number Of Elements(segments)
non=4; % non = Number Of Nodes
lcoord(1,1,1)=0;
SinhVienKyThuat.Com

69. 59
lcoord(1,2,1)=0;
lcoord(2,1,1)=length;
lcoord(2,2,1)=0;
lcoord(1,1,2)=lcoord(2,1,1);
lcoord(1,2,2)=lcoord(2,2,1);
lcoord(2,1,2)=lcoord(2,1,1);
lcoord(2,2,2)=length*3/4;
lcoord(1,1,3)=0;
lcoord(1,2,3)=0;
lcoord(2,1,3)=length;
lcoord(2,2,3)=length*3/4;
lcoord(1,1,4)=0;
lcoord(1,2,4)=length*3/4;
lcoord(2,1,4)=length;
lcoord(2,2,4)=length*3/4;
% Chi so nut phan tu theo chi so nut chung
index(1,1)=1;
index(1,2)=2;
index(2,1)=2;
index(2,2)=3;
index(3,1)=1;
index(3,2)=3;
index(4,1)=4;
index(4,2)=3;
end
% Tinh chieu dai cac thanh l(e) va ma tran chuyen doi he co so:
% trans_mat(e).
for i=1:noe
L(i)=sqrt((lcoord(2,1,i)-lcoord(1,1,i))^2+(lcoord(2,2,i)-
lcoord(1,2,i))^2);
l(i)=(lcoord(2,1,i)-lcoord(1,1,i))/L(i);
m(i)=(lcoord(2,2,i)-lcoord(1,2,i))/L(i);
% Ma tran chuyen doi he toa do
trans_mat(1,1,i)=l(i);
trans_mat(1,2,i)=m(i);
trans_mat(1,3,i)=0;
trans_mat(1,4,i)=0;
SinhVienKyThuat.Com