3. i
MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên
cuốn: Giáo trình Phương pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và chương trình
Matlab. GS.TS. Trần Ích Thịnh, TS. Ngô Như Khoa. NXB Khoa học Kỹ thuật 2007.
Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên
khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ
thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo
trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy,
Kỹ thuật cơ khí, v.v. Với các nội dung:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 11 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui
chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương
pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút
chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một
chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ
thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn
tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và
ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử
tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài
toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt
một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn.
Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 11) đều có chương trình Matlab kèm
theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.
Tác giả
4. ii
MỤC LỤC
Chương 1. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
1. GIỚI THIỆU CHUNG 1
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
3.1. Nút hình học 1
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 2
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 2
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 3
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 3
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 5
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 5
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 6
Chương 2. ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNGPHÁP KHỬ GAUSSIAN 8
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN 8
1.1. Véctơ 8
1.2. Ma trận đơn vị 8
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. 9
1.4. Nhân ma trận với hằng số 9
1.5. Nhân hai ma trận 9
1.6. Chuyển vị ma trận 10
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 10
1.8. Định thức của ma trận 10
1.9. Nghịch đảo ma trận 11
1.10. Ma trận đường chéo 11
1.11. Ma trận đối xứng 11
1.12. Ma trận tam giác 12
2. PHÉP KHỬ GAUSS 12
2.1. Mô tả 12
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 13
Chương 3. THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 16
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 16
1. CÁC VÍ DỤ 16
1.1. Ví dụ 1 16
1.2. Ví dụ 2 18
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 20
2.1. Nguyên tắc chung 20
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 22
Chương 4. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONGBÀI TOÁN MỘT CHIỀU 23
1. MỞ ĐẦU 23
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 23
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 24
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 26
5. iii
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 26
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 27
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 28
8. VÍ DỤ 30
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 35
Chương 5. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 37
1. MỞ ĐẦU 37
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 37
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 38
4. ỨNG SUẤT 39
5. VÍ DỤ 39
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 41
Chương 6. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONGBÀI TOÁN HAI CHIỀU 44
1. MỞ ĐẦU 44
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 44
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 45
2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 45
3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 47
4. THẾ NĂNG 49
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 50
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 51
7. VÍ DỤ 53
BÀI TẬP CHƯƠNG 6 57
Chương 7. BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 59
1. MỞ ĐẦU 59
2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 59
3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 60
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 68
Chương 8. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 70
1. MỞ ĐẦU 70
2. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 70
3. HÀM DẠNG 70
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 72
5. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 74
6. TÍCH PHÂN SỐ 74
7. TÍNH ỨNG SUẤT 77
8. VÍ DỤ 77
BÀI TẬP CHƯƠNG 8 79
Chương 9. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONGTÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦMVÀ KHUNG 80
1. GIỚI THIỆU 80
2. THẾ NĂNG 80
3. HÀM DẠNG HERMITE 81
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 82
5. QUY ĐỔI LỰC NÚT 84
6. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 85
7. KHUNG PHẲNG 85
6. iv
8. VÍ DỤ 87
BÀI TẬP CHƯƠNG 9 91
Chương 10. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 93
1. GIỚI THIỆU 93
2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 93
2.1. Mô tả bài toán 93
2.2. Phần tử một chiều 93
2.3. Ví dụ 94
3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 96
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 96
3.2. Điều kiện biên 96
3.3. Phần tử tam giác 97
3.4. Xây dựng phiếm hàm 99
3.5. Ví dụ 102
BÀI TẬP CHƯƠNG 10 105
Chương 11. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 106
1. GIỚI THIỆU 106
2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 106
3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 108
4. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 113
5. PHẦN TỬ VỎ 116
BÀI TẬP CHƯƠNG 11 119
TÀI LIỆU THAM KHẢO 120
7. 1
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày
càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu
hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái
ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ,
khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý
thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v.
Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức
tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.
Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng
lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ
thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng
suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự
do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền
ve.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các
phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút
của ve và biên của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục
trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con ve được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia
miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn
giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo
các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên
biên của nó.
8. 2
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau:
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng.
Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử
có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho
trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong
mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất),
bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu
hạn hay gặp.
Phần tử một chiều
Phần tử hai chiều
Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
biên giới biên giới
v2v1
biên giới
v2
v1 v1
v2
Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
9. 3
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp,
chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr.
Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui
chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi
hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui
tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được
chọn sao cho có các tính chất sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm trong phần tử
qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và
ngược lại.
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng
với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.
Chú ý:
- Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại
nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần
tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản.
- (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
0 1-1 0 1-1 -1/2 1-1 1/20
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
vr
v3
v2
v1
1,00,0
y
x
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
r3
r2
r1
0,1
Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác
10. 4
Phần tử qui chiếu hai chiều
Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử sáu mặt
vr
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
0,1,1
vr
1,1,0
0,1,1
1,1,0
vr
0,1,1
1,1,0
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
vr
0,1,0
0,0,0
0,0,1
vr
0,1,0
0,0,1
vr
1,0,0
1,0,0
0,1,0
1,0,0
0,0,1
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
vr
10,0
1
vr
10,0
1
vr
10,0
1
1/2
,1/2
1/2
1/2
1/3
,2/3
2/3
,1/3
2/3
1/3
1/3
2/3
11. 5
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:
- Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T
- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T
- Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w] T (1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
= [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
x
v
y
u
x
w
z
u
y
w
z
v
z
w
y
v
x
u
(1.3)
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
= [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.4)
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến
dạng:
= D (1.5)
Trong đó:
5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D
E là môđun đàn hồi, là hệ số Poisson của vật liệu.
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U
và công của ngoại lực tác dụng W:
= U + W (1.6)
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích
được xác định bởi: T
2
1
Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
V
T
dvU
2
1
(1.7)
12. 6
Công của ngoại lực được xác định bởi:
n
i
i
T
i
S
T
V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
n
i
i
T
i
S
T
V
T
V
T
PuTdSudVfudV
12
1
(1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di
chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực
trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và
phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ
số dẫn nhiệt...), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết
của kết cấu (điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần
tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ
(ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ
cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung
Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng
theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);
13. 7
Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
14. 8
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến
một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và
phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung
chính được đề cập trong chương này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơ
bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(2.1)
trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu
diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n n), và x và b là các véctơ (n1), được
biển diễn như sau:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
nx
x
x
x
2
1
nb
b
b
b
2
1
1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước
(n 1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 4):
61222 r
và véctơ cột (3 1):
34
2
11
c
1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng
1, ví dụ:
15. 9
100
010
001
I
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n). Tổng của chúng là 1 ma trận
C = A + B và được định nghĩa như sau:
cij = aij + bij (2.3)
Ví dụ:
34
75
21
58
15
23
phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[caij] (2.4)
Ví dụ:
100500
200300
15
23
102
1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m n) với ma trận B kích thước (n p) là 1 ma trận
C kích thước (m p), được định nghĩa như sau:
A B = C (2.5)
(m n) (n p) (m p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:
n
k
kjikij bac
1
(2.6)
Ví dụ:
3638
7054
46
52
54
413
582
Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma trận A phải
bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB và BA, thì tích
2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là AB BA.
16. 10
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có
kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A
thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A.
Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần
theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:
(ABC)T=CTBT AT. (2.7)
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số,
chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:
yxx
yx
xyxyx
A
46
2
52 2
Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép
đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích
phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:
dx
xda
xA
dx
d ij )(
)( (2.8)
dxdyaAdxdy ij
(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình
PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n n) với các hệ số
hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp
sẽ là:
p
p
aAx
dx
d
)(
(2.10)
trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n n). Định thức của ma trận A được
định nghĩa như sau:
1
11 11 12 12 1 1
1
det( ) det( ) det( ) 1 det( ) 1 det( )
n
n i j
n n ij ij
j
A a A a A a A a A
(2.11)
trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1 n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j
của ma trận A.
17. 11
Ví dụ:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
32
33332
22322
11
21
22221
11211
Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận
vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các
ma trận có kích thước (n-1 n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có:
det(apq) = apq (2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A) 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A-
1. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A-1A = AA-1 = I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu
det(A) 0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định
như sau:
1
det
adjA
A
A
(2.14)
Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử )det(1 ji
ji
ij Aa
và Aji là ma
trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2 2) là:
1121
1222
1
2221
12111
det
1
aa
aa
Aaa
aa
A
1.10.Ma trận đường chéo
Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường
chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:
500
030
002
D
1.11.Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
aij = aji hay: A = AT (2.15)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.
18. 12
1.12.Ma trận tam giác
Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là
các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng
không.
Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A
và ma trận tam giác dưới B:
900
040
1132
A
9011
043
002
B
2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n n). Nếu detA 0, thì ta có thể thực hiện
phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận được nghiệm: x =
A-1b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất
lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính
toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn
trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho
việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
2.1. Mô tả
Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau
đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.
Xét hệ phương trình:
152 321 xxx (1)
2352 321 xxx (2)
415 321 xxx (3)
Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các phương trình (2) và
(3), ta được hệ:
152 321 xxx (1)
470 321 xxx (21)
5200 321 xxx (31)
Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:
152 321 xxx (1)
470 321 xxx (21)
92700 321 xxx (32)
19. 13
Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam
giác trên. Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các
nghiệm tìm được vào phương trình trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm
như sau:
3
8
;
3
5
;
3
1
123 xxx . Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là
ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược.
Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:
92700
4710
1521
52010
4710
1521
41511
2352
1521
bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:
3
8
;
3
5
;
3
1
123 xxx
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát
Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện
đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:
n
i
n
i
nnnjnnn
inijiii
nj
nj
nj
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
3
2
1
3
2
1
321
321
33333231
22232221
11131211
(2.16)
Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận
hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:
nnnjnnn
inijiii
nj
nj
nj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
321
321
33333231
22232221
11131211
n
i
b
b
b
b
b
3
2
1
(2.17)
Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phương trình
còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho
các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18)
sau:
20. 14
njib
a
a
bb
a
a
a
aa
i
ii
j
i
ijij
,...,2,;1
11
11
1
11
11
(2.18)
Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phương trình còn
lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và
làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không.
111
3
1
2
111
3
1
2
1
3
1
3
1
33
1
32
1
2
1
2
1
23
1
22
11131211
0
0
0
0
nnnjnn
inijii
nj
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaaa
1
1
1
3
1
2
1
n
i
b
b
b
b
b
(2.19)
Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một
cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:
1
,
1
,
1
1,
1
,
1
,
1
1,
1
,1
1
,1
1
1,1
2
3
2
3
2
33
1
2
1
2
1
23
1
22
11131211
000
000
000
00
0
k
nn
k
jn
k
kn
k
ni
k
ji
k
ki
k
nk
k
jk
k
kk
nj
nj
nj
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaa
1
1
1
1
3
3
1
2
1
k
n
k
i
k
k
b
b
b
b
b
b
(2.20)
Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi
nkjib
a
a
bb
nkjia
a
a
aa
k
kk
kk
k
ikk
i
k
i
k
kjk
kk
k
ikk
ij
k
ij
,...,1,;
,...,1,;
1
1
1
1
1
1
1
1
(2.21)
Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng:
)1(
)3(
4
)2(
3
)1(
2
1
4
3
2
1
)1(
)3(
4
)3(
44
)2(
3
)2(
34
)2(
33
)1(
2
)1(
24
)1(
23
)1(
22
114131211
0
n
nn
n
nn
n
n
n
n
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
aaaaa
(2.22)
21. 15
Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các
nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua
ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b):
121
1
,,n,ni;
a
xab
x,;
a
b
x
ii
n
ij
jiji
i
nn
n
n
(2.23)
22. 16
Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra ma
trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình
PTHH là một vấn đề quan trọng.
Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương
ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực
chung.
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ
cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các
số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi
dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên.
Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.
1. CÁC VÍ DỤ
1.1. Ví dụ 1
Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi phần tử có 3 nút;
mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).
Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu
tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:
521
263
137
1
k ;
432
371
218
2
k ;
501
064
149
3
k
1 2 3
54 6
7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
e
1 2
3
Hình 3.1
23. 17
Lời giải
1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)
Bậc tự do
Phần tử
1 2 3
1 1 2 4
2 4 2 5
3 2 3 5
2. Xét từng phần tử
Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:
4
2
1
521
263
137
421
1
k
Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:
5
4
3
2
1
00000
05021
00000
02063
01037
54321
K
Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:
5
2
4
432
371
218
524
2
k
Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta
5
4
3
2
1
42030
2850121
00000
3120763
01037
54321
K
Với phần tử 3:
24. 18
5
3
2
501
064
149
532
3
k
Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta
5
4
3
2
1
54200130
213031
000640
13349133
01037
54321
K
Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn
tương tự.
1.2. Ví dụ 2
Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi
nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K
và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1,
k4, f1 và f4 cho trước như sau:
2428572
2164316
8431694
5363097
7199293
2647322
1
k ;
5
7
1
4
6
3
1
f
2874755
7272873
4225768
7873026
5742191
5386123
4
k ;
5
4
2
6
7
9
4
f
i
1
2
3
1
4
5 6
21
Hình 3.2
2
25. 19
Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
TT
kkjjii qqqqqqqqqqqq 10943212122121212
Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do
tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của
ma trận độ cứng chung.
10
9
4
3
2
1
2428572
2164316
8431694
5363097
7199293
2647322
1094321
1
k
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
000000000000
000000000000
0024200008572
0021600004316
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
0084000031694
0053000063097
0071000099293
00026000047322
121110987654321
K
Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của phần tử 4 là:
(5, 2, 6). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
TT
kkjjii qqqqqqqqqqqq 1211431092122121212
12
11
4
3
10
9
2874755
7272873
4225768
7873026
5742191
5386123
121143109
4
k
Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng
chung, ta nhận được kết quả như sau:
27. 21
bảng index là (noe edof ), với edof là ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là
ký hiệu cho tổng số phần tử.
Mỗi nút có một bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên.
Khi ấy: T
QQQQQQ 54321
- Với phần tử 1 (e =1) :
421:),1(
421
index
QQQq
T
- Với phần tử 2 (e =2)
524:),2(
524
index
QQQq
T
- Với phần tử 3 (e =3)
532:),3(
532
index
QQQq
T
Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng e của index.
Mỗi nút có hai bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.2 đã xét ở trên, bảng index là:
Bậc tự do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 9 10
... ... ... ...
4 9 10 3 4 11 12
Khi ấy:
T
QQQQQQQQQQQQQ 121110987654321
- Với phần tử số 1
1094321:),1(
1094321
index
QQQQQQq
T
- Với phần tử số 4
121143109:),4(
121143109
index
QQQQQQq
T
Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng kij của ma trận ke được cộng vào IJK của
[K] sao cho:
I = index(e,i), với i = 1.. sdof
J = index(e,j), với j = 1.. sdof
hoặc: ji
e
jeieIJ kKK ),(index),(index (3.2)
Tương tự, mỗi số hạng fi của {fe}được chuyển sang FI của F sao cho:
i
e
ieI fFK ),(index (3.3)
28. 22
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử:
Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof sdof) và véctơ cột {F} có
kích thước (sdof 1), với các số hạng bằng không. Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng
số bậc tự do của các nút trong toàn hệ.
Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng kij của của ma
trận phần tử ke vào số hạng IJK của ma trận [K]:
),(),,(;:1,; jeindexJieindexIedofjikKK ji
e
IJIJ (3.4)
Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng fi của của véctơ
lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F:
),(;:1; ieindexIedofifFF i
e
II (3.5)
Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau:
K=zero(sdof,sodf);
F=zero(sdof,1);
e =1; i = 1; j = 1;
jikieindexieindexKieindexieindexK e
,),(),,(),(),,(
j edof
j = j + 1;
i = i+1;
i edof
ifieindexFieindexF e
),(),(
e = e +1;
e noe
..
.
..
.
T
T
T
F
F
F
Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử
29. 23
Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. MỞ ĐẦU
Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ
sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-
biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị. Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D),
cách tiếp cận cũng tương tự.
Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ phụ
thuộc vào biến x. Ta biểu diễn chúng như sau:
;xuu ;x x (4.1)
Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị:
dx
du
E ; (4.2)
Với bài toán một chiều, vi phân thể tích dv được viết dưới dạng:
dv=Adx (4.2)
trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang.
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang không đổi (hoặc
thay đổi). Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút được đánh số từ 1 đến 6,
các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2,
các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b).
Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phương x . Vì vậy
mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do.
Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Qi ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của mỗi
phần tử được ký hiệu là qj; j = 1, 2
Véctơ cột Q Qi
T
được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể).
Lực nút được kí hiệu là Fi ; i = 1, n.
Véctơ cột F Fi
T
được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể).
Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các phần tử như sau:
1 2 3 4 5
x
1 2 3 4 5 6
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
e1 2
q1 q2
Hình 4.1a. Chỉ số toàn cục Hình 4.1b. Chỉ số cục bộ
30. 24
Bảng 3.1. Bảng ghép nối các phần tử
Phần tử
Nút
1(đầu) 2(cuối)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG
Khảo sát một phần tử e như Hình 4.2. Theo sơ đồ đánh số nút cục bộ:
Nút thứ nhất là 1
Nút thứ hai là 2
Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút thứ hai. Ta định
nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký hiệu là như sau:
1
2
1
12
xx
xx
1
1
2
1
xx
xx
(4.3)
Vậy: 21 :1:1 xxx
Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục đích nội suy ra
trường chuyển vị trong các phần tử.
Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy bằng một phép
biến đổi tuyến tính (Hình 4.3).
Để thực hiện được phép nội suy này, cần đưa vào một hàm dạng tuyến tính:
2
1
;
2
1
21
NN (4.4)
e
1 2
x2
x
x1
= -1 = 1
(b)(a)
Hình 4.2. Phần tử trong hệ toạ độ x và
e1 2
u2u1
Hình 4.3. Nội suy tuyến tính trường chuyển vị của một phần tử
q2
q1
e1 2
Chỉ số địa phương
Chỉ số chung
31. 25
Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4. Đồ thị của hàm dạng N1 trên Hình 4.4a
được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và N1 = 0 tại = 1. Tương tự ta có
đồ thị của N2.
Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ được biểu diễn
qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau:
2211 qNqNu (4.5)
Hoặc dưới dạng ma trận:
u = Nq (4.6)
Trong đó: N N N 1 2,
T
qqq 11 (4.7)
Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử. Từ (4.5), ta thấy u = q1 tại nút
1; u = q2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử (Hình 4.4c).
Ta đã biết: 1
2
1
1
0
1
1 qu
N
N
xx
2
2
1
2
1
0
1 qu
N
N
xx
Bây giờ ta nội suy tọa độ x nhờ các hàm dạng 21 , NN
2211 xNxNx (4.8)
So sánh:
2211
2211
qNqNu
xNxNx
ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ cùng các hàm dạng
N1 và N2. Trong trường hợp này, ta có phép biểu diễn đẳng tham số.
Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn:
1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn,
2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử.
Mặt khác:
dx
d
d
du
dx
du
(4.9)
1
N1
Hình 4.4. (a), (b). Hàm dạng N1, N2; (c). Nội suy tuyến tính
-1 0 1
1
N2
u
1 2
2
1
1
N
2
1
2
N
q1
q2
u=N1q1+N2q2
211 2
(a) (b) (c)
-1 0 1
32. 26
mà:
2 1
2d
dx x x
(4.10)
suy ra
212211
2
1
2
1
qqqNqNu
(4.11)
2
21 qq
d
du
(4.12)
21
12
1
qq
xx
(4.13)
do đó:
11
1
;
12
xx
BBq (4.14)
Trong đó ma trận B được gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần tử.
Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:
= EBq (4.15)
Chú ý:
B, , là các đại lượng hằng số;
Các biểu thức u = Nq; = Bq; = EBq mô tả chuyển vị, biến dạng và ứng
suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử. Ta sẽ thế các biểu thức này vào
biểu thức thế năng của thanh để thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút của
phần tử.
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Áp dụng công thức (1.3) - Chương 1, ta tính được thế năng toàn phần của thanh:
n
i
i
T
i
L
T
L
T
L
T
PuTdxuAdxfuxdA
12
1
(4.16)
Khi vật thể được chia ra làm nhiều phần tử hữu hạn, thì
n
i
ii
e e
T
e e
T
e e
T
PQTdxuAdxfuxdA
12
1
(4.17)
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
Gọi:
xdAU
e
T
e
2
1
là thế năng biến dạng của phần tử, ta có:
33. 27
1 1
2 2
T T T T
e e e e e
e e
U q B E Bq A dx q B E B A dx q
(4.18)
Chú ý rằng: Ae, Ee và B là các đại lượng hằng số, và
d
l
dxd
xx
dx e
22
12
, với: 12;11 xxle
Khi ấy, ta có biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử:
qdBBE
l
AqU T
e
e
e
T
e
1
1
22
1
với:
11
1
12
xx
B
ta có:
q
l
EA
qU
e
eeT
e
11
11
2
1
Gọi:
11
11
e
eee
l
EA
k (4.19)
là ma trận độ cứng của phần tử .
Khi đó, biểu thức thế năng (4.18) được biểu diễn ở dạng thu gọn như sau:
qkqU eT
e
2
1
(4.20)
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT
Khi vật thể đã được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn với các nút xác định, ta
phải qui đổi các loại lực tác dụng về nút.
Lần lượt xét từng thành phần biểu diễn công của ngoại lực trong biểu thức thế năng
(4.17), ta có:
- Công do lực khối:
e
e
e
e
T
e
T
dxNfA
dxNfA
qAdxfu
2
1
mà:
22
1
2
22
1
2
1
1
2
1
1
1
ee
e
ee
e
l
d
l
dxN
l
d
l
dxN
34. 28
eTeeT
e
T
fq
lfA
qAdxfu
1
1
2
Với:
1
1
2
eee lfA
f (4.21)
là lực thể tích quy đổi về nút của phần tử
- Công do lực diện tích:
eT
e
eT
T
e
T
Tq
dxNT
dxNT
qdxTqNqNdxTu
2
1
2211
Với:
1
1
2
ee lT
T (4.22)
được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử
Cuối cùng, biểu thức được viết gọn dưới dạng
FQKQQ TT
2
1
(4.23)
Trong đó:
Q là véctơ chuyển vị nút chung,
K là ma trận độ cứng chung, được xác định từ các ma trận độ cứng ke của các
phần tử:
Kk
e
e
F là véctơ lực nút chung, được xác định từ các véctơ lực nút: fe, Te, P của các
phần tử:
FPTf
e
ee
Với phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng bảng ghép nối
phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ lực F.
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta xác định được
biểu thức thế năng toàn phần (4.23).
Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định các chuyển vị nút,
sau đó tính ứng suất, biến dạng và các phản lực liên kết.
Bằng cách cực tiểu biểu thức thế năng đối với Q, tức là cho cho thế năng biến
dạng "chịu" điều kiện biên, ta sẽ thu được phương trình cân bằng.
35. 29
Dưới đây ta trình bày cách nhập điều kiện biên. Phương pháp này được áp dụng
không chỉ cho bài toán một chiều mà còn cho cả bài toán hai, ba chiều.
Điều kiện biên thường có dạng:
Qi = ai
Biểu thức trên có nghĩa là chuyển vị Qi phải bằng ai .
Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khử để nhập các điều kiện biên.
Khảo sát trường hợp đơn giản: Q1 = a1.
Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có
T
nQQQQ 21
T
nFFFF 21
Ma trận độ cứng tổng thể có dạng:
nnnn
n
n
KKK
KKK
KKK
K
21
22221
11211
(4.24)
K là ma trận đối xứng
Ta viết biểu thức của thế năng dưới dạng khai triển như sau:
nn
nnnnnnnn
nn
nn
FQFQFQ
QKQQKQQKQ
QKQQKQQKQ
QKQQKQQKQ
2211
2211
2222221212
1121211111
2
1
(4.25)
Thay Q1 = a1 vào phương trình trên, ta được:
nn
nnnnnnnn
nn
nn
FQFQFa
QKQQKQaKQ
QKQQKQaKQ
QKaQKaaKa
2211
2211
2222221212
1121211111
2
1
(4.26)
Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng ở trên. Áp dụng
điều kiện cực tiểu thế năng:
ni
Qi
,...,2;0
(4.27)
ta thu được:
113322
13133333232
12122323222
aKFQKQKQK
aKFQKQKQK
aKFQKQKQK
nnnnnnn
nn
nn
(4.28)
36. 30
Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:
11
1313
1212
3
2
32
33332
22322
aKF
aKF
aKF
Q
Q
Q
KKK
KKK
KKK
nnnnnnn
n
n
(4.29)
Nhận xét: Ma trận độ cứng (n-1)(n-1) ở trên được nhận từ ma trận độ cứng (nn) ban
đầu (4.23) bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ nhất (vì Q1 = a1). Hệ phương trình
(4.28) được viết dưới dạng cô đọng:
KQ = F (4.30)
Ma trận K trong (4.30) là ma trận không kỳ dị còn ma trận K ban đầu (4.24) là ma trận
kỳ dị (det K=0).
Áp dụng phương pháp khử Gauss (xem chương 2) để giải hệ phương trình (4.30), ta sẽ
tìm được chuyển vị Q;
Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác định được
chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm được ở trên.
Áp dụng công thức EBq ta tìm được ứng suất;
Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút 1:
111212111 )( RTfQKQKQK ee
nn (4.31)
Trong đó Qi đã được xác định, (fe+Te)1 là lực tác dụng tại nơi đặt liên kết cũng đã biết.
8. VÍ DỤ
Ví dụ 4.1.
Cho một trục bậc chịu tác dụng của lực P = 10 N (hình 4.5a). Biết tiết diện các
đoạn: A1=20 mm2; A2 = 10 mm2; chiều dài các đoạn l1 = l2 = 100 mm; và môđun đàn
hồi: E1 = E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B và C; biến dạng, ứng suất trong
các đoạn trục AB, BC.
Lời giải
Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, Hình 4.5b.
A
1
Hình 4.5. (a) Trục bậc chịu kéo đúng tâm; (b) Sơ đồ phần tử
P=10 kN
x
B C
1 2
2 3
(a)
(b)
37. 31
1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:
Phần tử Nút i Nút j
1 1 2
2 2 3
2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2
mm
N
l
EA
k 4
1
111
10
44
44
11
11
mm
N
l
EA
k 4
2
222
10
22
22
11
11
3. Ma trận độ cứng chung K:
mm
NK 4
10
220
2244
044
4. Véctơ lực nút chung F: F = [R 0 10]T
5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:
10
0
220
2244
044
10
3
2
1
4
R
Q
Q
Q
6. Áp đặt điều kiện biên:
Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A), do đó ta loại dòng 1 và cột 1 trong hệ phương trình
trên. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:
10
0
22
26
10
3
24
Q
Q
7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải hệ phương trình trên ta được:
Q2 = 0,25 10-3 mm
Q3 = 0,75 10-3 mm
áp dụng công thức (4.31), ta tìm được phản lực liên kết:
R1 =104 (-4 Q2 ) = -10 N
Biến dạng được tính cho mỗi phần tử
1 = (-q1 + q2 )/l = 0,25 x10-5 /100 = 2,5 x10-6
2 = (-q2 + q3 )/l = 5 x10-6
Ứng suất được tính cho mỗi phần tử
1 = E 1 = 0,5 N/mm2
2 = E 2 = 1 N/mm2
38. 32
Ví dụ 4.2.
Cho một trục bậc chịu liên kết ngàm 2 đầu và tác dụng của lực P = 200 kN (hình
4.6a). Biết tiết diện các đoạn: A1=2400 mm2; A2 = 600 mm2; chiều dài các đoạn l1 =
300mm, l2 = 400 mm; và môđun đàn hồi: E1 = 70 gPa, E2 = 200 gPa. Hãy xác định
chuyển vị tại B; ứng suất trong các đoạn trục AB, BC và phản lực tại A và C.
Lời giải
Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, như hình 4.5b ở ví dụ 4.1.
1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:
Phần tử Nút i Nút j
1 1 2
2 2 3
2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2
mm
N
l
EA
k
11
11
300
10702400
11
11 3
1
111
mm
N
l
EA
k
11
11
400
10200600
11
11 3
2
222
3. Ma trận độ cứng chung K:
mm
NK 3
10
300300
300860560
0560560
4. Véctơ lực nút chung F:
F = [R1 200103 R3]T
5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:
3
3
1
3
2
1
3
10200
3003000
300860560
0560560
10
R
R
Q
Q
Q
6. Áp đặt điều kiện biên:
2
A
Hình 4.6. Trục bậc chịu kéo đúng tâm
x
1 B
C
P=200
KN
39. 33
Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 0 (liên kết ngàm tại C) , do đó ta loại dòng 1,
cột 1 và dòng 3, cột 3 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được phương trình:
860 Q2 = 200
7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải phương trình trên ta được:
Q2 = 0,23257 mm
Áp dụng công thức (4.31), ta tìm được các phản lực liên kết:
R1 =103 (-560 Q2 ) = -130,233 KN
R3 =103 (-300 Q2 ) = -69,767 KN
Biến dạng được tính cho mỗi phần tử
1 = (-q1 + q2 )/l1 = 0,23257 /300 = 7,752 10-4
2 = (-q2 + q3 )/l2 = -0,23257 /400 = 5,81410-4
Ứng suất được tính cho mỗi phần tử
1 = E11 = 54,26 N/mm2
2 = E2 2 = 116,28 N/mm2
Ví dụ 4.3.
Cho một trục tròn chịu liên kết ngàm tại A, khe hở giữa đầu C và thành cứng là
1,2mm, chịu tác dụng của lực P = 60 kN tại B (hình 4.7). Biết tiết diện của thanh là
A=250 mm2; và môđun đàn hồi: E = 20103N/mm2 Hãy xác định chuyển vị tại B; và
phản lực tại A và C.
Lời giải
Ở đây, ta đã xem như đã thực hiện bước kiểm tra để kết luận rằng, trong quá trình biến
dạng, đầu C của trục đã tiếp xúc với thành cứng và tiếp tục biến dạng. Tương tự các ví
dụ trên, ta chia trục làm hai phần tử (1) và (2). Khi đó, ma trận độ cứng chung K được
xác định như sau:
mm
NK
110
121
011
150
1020250 3
Véctơ lực nút chung F: F = [R1 60103 R3]T
Hệ phương trình phần tử hữu hạn:
2A
Hình 4.7. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH
x
1 B C
150mm150mm 1,2mm
P=60 KN
41. 35
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
1. Cho kết cấu 1D được rời rạc hoá bởi 2 phần tử một chiều như Hình C4.1
dưới đây.
a. Hãy chứng tỏ rằng ma trận độ cứng tổng thế K là ma trận kỳ dị.
b. Chỉ ra một véctơ chuyển vị Q0 0 mà thoả mãn KQ0 = F = 0. Bằng cách mô tả
qua hình vẽ, hãy phân tích ý nghĩa của các chuyển vị này. Và chỉ ra năng lượng
biến dạng đàn hồi trong cấu trúc ở trường hợp này ?
c. Chứng minh ở dạng tổng quát rằng, với bất kỳ véctơ chuyển vị Q 0 là nghiệm
của hệ phương trình KQ = 0, với K là ma trận kỳ dị.
2. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi E=200×109N/m2. Có liên kết và
chịu lực như Hình C4.2. Xác định các chuyển vị nút (các chấm đen trên hình), ứng
suất trong các phần tử và các thành phần phản lực tại ngàm. Hãy giải bài toán bằng tay
và nghiên cứu kỹ Chương trình đã cho, sửa đổi lại một số điểm nếu cần thiết và bổ
sung phần chương trình tính ứng suất trong các phần tử; thực hành tính toán bằng
chương trình và so sánh kết quả.
3. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi E=200×109N/m2. Có liên kết và
chịu lực như Hình C4.3. Xác định các chuyển vị nút, ứng suất trong các phần tử và các
thành phần phản lực tại ngàm.
150mm150mm 200mm 200mm
250mm2 400mm2
P=300 kN
P=600 kN x
3.5mm
Hình C4. 3
150mm150mm 300mm
x
P=300 kN
250mm2 400mm2
Hình C4. 2
1 2 3
x
Hình C4.1
42. 36
4. Xét kết cấu liên kết và chịu lực như Hình C4. 4. Thanh nằm ngang được xem
như là tuyệt đối cứng, các thanh treo được làm bằng thép và nhôm, có môđun đàn hồi
như chỉ ra trên hình vẽ. Tính ứng suất trong mỗi thanh treo.
Hình C4. 4
thép
2×2 cm
E=200×109 N/m2
Nhôm
2×4 cm
50cm
40 cm 30 cm 20 cm
60 KN
Thanh tuyệt đối cứng, trọng lượng không đáng kể
E=70×109 N/m2
43. 37
Chương 5
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. MỞ ĐẦU
Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán
hệ thanh phẳng (hệ gồm n thanh liên kết với nhau bởi các khớp quay). Hệ thanh phẳng
điển hình được trình bày trên Hình 5.1.
Trong hệ thanh, tải trọng hoặc phản lực liên kết đặt ở các khớp nối; bỏ qua ma sát
trong các khớp nối. Rõ ràng, mỗi phần tử của hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén.
Ta có thể gặp hệ thanh tĩnh định hoặc siêu tĩnh.
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG
Hệ thanh khác với các kết cấu một chiều đã xét trong Chương 4 ở chỗ: trong hệ
thanh, các phần tử (các thanh) có các phương khác nhau. Để có thể tính đến sự khác
nhau về phương của các phần tử trong hệ, ta cần phải đưa ra khái niệm hệ toạ độ địa
phương và hệ toạ độ chung.
Một phần tử thanh được mô tả trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung như
trong Hình 5.2.
2 3 4 5
6 7 8
1
Q2
Q1 Q5 Q7 Q9
Q4
Q3
Q6 Q8 Q10
Q15
Q16
Q13
Q14
Q11
Q12
Hình 5.1. Hệ thanh phẳng
x
y
x’
1
(a)
q1
q2
q4
q3
q1cos
q2sin
q3cos
q4sin
q’1
q’2
(b)
Hình 5.2. (a) Phần tử thanh trong hệ toạ độ địa phương và (b) trong hệ toạ độ chung
44. 38
Trong sơ đồ đánh số nút địa phương, hai nút của phần tử được đánh số 1 và số 2. Hệ
toạ độ địa phương hướng theo trục x’, chạy từ nút 1 đến nút 2. Tất cả các đại lượng
trong hệ toạ độ địa phương được ký hiệu bởi dấu (’). Hệ toạ độ chung (x,y) là cố định
và không phụ thuộc vào phương của các phần tử.
Trong hệ toạ chung, mỗi nút cũng có hai bậc tự do. Chẳng hạn, nút “j” sẽ có hai
chuyển vị là Q2j-1 và Q2j.
Gọi q1’ và q2’ là các chuyển vị của nút 1 và 2 tương ứng trong hệ toạ độ địa phương.
Ta ký hiệu véctơ chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương bởi:
q’ = [q1’ , q2’]T (5.1)
Trong hệ toạ độ chung, véctơ chuyển vị có 4 thành phần:
q = [q1, q2 , q3 , q4 ]T (5.2)
Ta đi tìm quan hệ giữa q và q’.
Dễ thấy
q1’ = q1 cos + q2 sin (5.3a)
q2’ = q3 cos + q4 sin (5.3b)
Ký hiệu
= cos (5.4a)
m = sin (5.4b)
Ta có thể viết
q’ = T q (5.5)
Trong đó T là ma trận chuyển đổi hệ cơ sở, được viết dưới dạng:
ml
ml
T
00
00
(5.6)
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
Các phần tử trong hệ thanh đều là các phần tử một chiều. Vì vậy, ta áp dụng những kết
quả của chương 4 vào hệ thanh.
Trong hệ toạ độ địa phương, ta đã xác định được ma trận độ cứng của phần tử
11
11
'
e
ee
l
AE
k (5.7)
Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung, ta chú ý tới biểu thức
năng lượng biến dạng của phần tử
'''
2
1
qkqU T
e (5.8)
Thay q’ = Tq vào biểu thức trên, ta được
qTkTqU TT
e '
2
1
(5.9)
Cuối cùng, năng lượng biến dạng trong hệ toạ độ chung được viết dưới dạng:
45. 39
qkqU T
e
2
1
(5.10)
Trong đó k là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung và
k = TT k' T (5.11)
Thay biểu thức của T từ (5.6) và của k' từ (5.7) vào (5.11), ta được
22
22
22
22
mlmmlm
lmllml
mlmmlm
lmllml
l
AE
k
e
ee
(5.12)
Từ các ma trận độ cứng của các phần tử và nhờ bảng ghép nối phần tử, ta sẽ thu được
ma trận độ cứng chung của cả hệ thanh.
4. ỨNG SUẤT
Như đã lưu ý ở trên, mỗi phần tử trong hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén. Do đó,
ứng suất trong thanh được xác định bởi: = Ee
Hoặc
Lq
l
E
q
q
l
E
l
qq
E
e
e
e
e
e
e 11
'
'
11
''
2
112
Thế biểu thức của L từ (5.6) vào biểu thức trên ta được:
qmlml
l
E
e
e
(5.13)
Sau khi tìm được chuyển vị, ta sẽ xác định được ứng suất trong mỗi phần tử của hệ.
5. VÍ DỤ
Khảo sát hệ gồm hai thanh chịu lực P như hình dưới. Các thanh có cùng diện tích mặt
cắt ngang và cùng vật liệu. Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực.
Lời giải
1. Mô hình hoá hệ thanh bởi 2 phần tử hữu hạn; mỗi nút phần tử có 2 bậc tự do.
2. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử
x
300
y
L, A, E 1 2
300
P
3
2
1
(b)(a)
Hình 5.3. (a) Kết cấu bằng chịu lực, (b) sơ đồ phần tử
46. 40
Áp dụng công thức (5.12), ta tính được các ma trận độ cứng của các phần tử.
Với phần tử 1: LLml 1;0sin;1cos
0000
0101
0000
0101
1
L
EA
k
Với phần tử 2: LLml
3
2
;
2
1
sin;
2
3
cos 2
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
33
8
3
8
33
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
33
8
3
8
33
2
L
EA
k
Từ đây, ta thiết lập được ma trận độ cứng chung K và hệ phương trình:
6
5
2
1
4
3 0
0
0
0
0
8
3
8
3
8
3
8
3
00
8
3
8
33
8
3
8
33
00
8
3
8
3
8
3
8
3
00
8
3
8
33
8
3
8
33
101
000000
000101
R
R
P
R
R
Q
Q
L
EA
Áp dụng điều kiện biên: Q1 = Q2 = Q5 = Q6 =0, ta thu được hệ phương trình PTHH:
PQ
Q
L
EA 0
8
3
8
3
8
3
8
33
1
4
3
Giải hệ phương trình trên, ta được:
EA
LP
EA
LP
Q
Q
3
3
8
3
4
3
Thay các giá trị chuyển vị trên vào (5.14), ta tìm được phản lực liên kết:
PRRRRR 13036521
47. 41
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
1. Một kết cấu thanh giằng như trên Hình C5.1. Vật liệu các thanh bằng thép,
có môđun đàn hồi E=200gPa. Xác định ma trận độ cứng tổng thể của hệ.
2. Một kết cấu giàn gồm 3 thanh được đánh
số (nút và thanh) như trên Hình C5.2. Vật liệu của
các thanh I và II là nhôm, vật liệu của thanh III là
thép. Tiết diện của thanh I là 15cm2 và tiết diện của
thanh II và III là 8cm2. Xác định chuyển vị của nút 2
và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay
và bằng cách sử dụng phần mềm tính toán kết cấu
tương ứng. Khi giải bằng tay yêu cầu biểu diễn ma
trận độ cứng tổng thể dưới dạng toàn bộ và dưới
dạng rút gọn. Cho Enhôm = 70gPa, Ethép = 210gPa.
3. Một kết cấu giàn gồm 5 thanh được đánh
số (nút và thanh) như trên Hình C5.3. Vật liệu của
các thanh đều là thép và có môđun đàn hồi Ethép =
210gPa. Tiết diện của thanh I, II và III là 15cm2 và
tiết diện của thanh IV và V là 8cm2. Xác định
chuyển vị của các nút và ứng suất trong các thanh.
Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng
chương trình tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải
bằng tay nên chú ý đến tính đối xứng của kết cấu.
Cho a = 0,5 m; α = 600; P = 2kN; Q = 4kN.
4. Một cây cầu đường sắt được ghép từ các thanh thép, E = 210x109N/m2, tiết
diện của các thanh thép bằng nhau và bằng 3250 mm2. Một đoàn tàu dừng trên cầu,
cầu phải chịu tải trọng của đoàn tàu (Hình C5.4). Tính chuyển vị theo phương ngang
Hình C5.1
1000 mm2
1250 mm2
P
500 mm
750 mm
Q2i
Q2i-1
1
2
3
i
0,7m
1 2
8 kN
3 4
5 kN
y
x
I
IIIII
0,5m
1m
Hình C5.2. Dàn chịu lực
y
a a
x
1
2
3
45
I
IV V
III
II
Q
P
αα
Hình C5.3. Dàn chịu lực
Q
P
48. 42
gối di động R dưới tác dụng của các tải trọng. Xác định chuyển vị tại các nút và ứng
suất trong mỗi thanh cầu.
5. Một kết cấu cầu được tính toán thiết kế theo mô hình dàn thanh như trên
Hình C5.5. Kết cấu này được cấu thành từ 6 nhịp. Tải trọng biểu diễn trên hình vẽ mô
tả trạng thái làm việc nguy hiểm nhất của kết cấu. Vật liệu sử dụng trong kết cấu là
thép với môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Xác định tiết diện cho các thanh sao cho tối ưu
theo điều kiện bền. Cho a=5,5m; b=4,5m; c=1m; P1=25kN; P2=15kN; P3=40kN và
P4=20kN.
Chú ý: Kết cấu này sẽ được tính toán, thiết kế lại theo mô hình khung (xem bài tập
Chương 8).
6. Sơ đồ kết cấu của một chiếc cần cẩu
được thể hiện trên Hình C5.6, tải trọng thiết kế
là 10 tấn. Chọn loại thép phù hợp và sử dụng
hệ số an toàn bằng 4, xác định tiết diện cho tất
cả các thanh. Cho a=3m; b=9m; P=10000kg.
P1 P2 P3 P4
a
c
b
Hình C5.5. Mô hình dầm cầu chịu lực
280 kN 210 kN 280 kN 360 kN
3.118m
3.6m 3.6m 3.6m
600600
Hình C5.4. Mô hình một nhịp cầu chịu lực
R
a
b
b
a
P
Hình C5.6. Mô hình cần cẩu
49. 43
7. Một kết cấu giàn công xôn phải chịu tải như trên Hình C5.7; các thanh đều
bằng thép và có tiết diện 8cm2, ứng suất cho phép của vật liệu là 600mPa. Kiểm tra
xem thiết kế có thỏa mãn điều kiện bền hay không? Thiết kế lại (thiết kế tinh) với điều
kiện sử dụng cùng loại vật liệu và giữ nguyên đường bao của kết cấu. Thiết kế lại ở
đây có thể hiểu là thay đổi cách sắp xếp các thanh, loại bỏ một số thanh, hoặc thay đổi
tiết diện của các thanh. Một trong các mục đích của thiết kế tinh ví dụ là tìm cách làm
giảm khối lượng tổng thể của kết cấu. Cho a=0,5m ; b=0,9m; c=0,4m; d=0,6m; α=600;
P = 30kN; Q = 40kN.
8. Cho kết cấu giàn như Hình C5.8. Vật liệu và tiết diện của các thanh giống
như ở bài 7. Hãy phân tích bài toán giống như đã làm với bài toán 7. Cho a=0,4m;
b=6,5m; c=0,4m; α = 300; P = 40kN; Q = 60kN.
a
a
c db
P
Q
Hình C5.7. Mô hình dàn công xôn chịu lực
a
a
b cb
P
Q
Hình C5.8. Mô hình dàn công xôn chịu lực
50. 44
Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. MỞ ĐẦU
Trong chương này, chúng ta áp dụng phương pháp PTHH để tính kết cấu phẳng
(2D) của bài toán đàn hồi. Các bước được tiến hành giống như bài toán một chiều đã
xét trong chương 4.
Véctơ chuyển vị u được xác định bởi: u = [u v]T (6.1)
Trong đó: u, v là các chuyển vị theo phương x và y tương ứng (Hình 6.1).
Ứng suất và biến dạng được ký hiệu bởi:
= [x, y, xy]T (6.2)
= [x, y, xy] T (6.3)
Lực thể tích, lực diện tích và vi phân thể tích được xác định như sau:
f = [fx fy]T ; T = [Tx Ty]T và dv = tdA (6.4)
trong đó: t là độ dầy theo phương z.
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:
T
x
v
y
u
y
v
x
u
(6.5)
Xét quan hệ ứng suất với biến dạng cho hai trường hợp:
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng
xy
y
x
xy
y
x
E
2
1
00
01
01
1 2
(6.6)
Hoặc: = D (6.7)
x
u
v
fx
fy
i
(x,y)
A
L
y
T
u=0
v=0
Hình 6.1. Bài toán hai chiều
51. 45
Trong đó
2
1
00
01
01
1 2
E
D (6.8)
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng
xy
y
x
xy
y
x
E
2
21
00
01
01
211
(6.9)
Hoặc:
= D (6.10)
Trong đó
2
21
00
01
01
211
E
D (6.11)
E là môđun đàn hồi; là hệ số Poisson của vật liệu.
2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC
Miền hai chiều được rời rạc hoá bằng các phần tử tam giác như hình 6.2. Mỗi phần tử
tam giác có 3 nút, mỗi nút có 2 chuyển vị (theo phương x và y).
Ta ký hiệu véctơ chuyển vị nút chung bởi:
T
nQQQQ 21 (6.12)
Để tiện tính toán, các thông tin về việc chia miền thành các phần tử tam giác sẽ
được thể hiện qua các bảng toạ độ nút và bảng định vị các phần tử.
x
1
y
T
Hình 6.2. Rời rạc kết cấu bằng phần tử tam giác
Q1
Q2
1 3
42
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
78
9
10
11
Q3
Q4
Q5
Q6
Q2j-1
j
Q2j
52. 46
Bảng định vị các phần tử được thiết lập như sau:
Bậc t.do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 11 12
2 3 4 13 14 11 12
3 3 4 5 6 13 14
...
11 13 14 9 10 21 22
Qui ước: Đường đi từ nút đầu đến nút cuối trong mỗi phần tử theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ. Bảng định vị phần tử mô tả tính tương ứng giữa chuyển vị địa phương và
chuyển vị chung của phần tử. Các thành phần chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương
của nút i được kí hiệu là q2i-1 và q2i theo phương x và y tương ứng.
Ta ký hiệu véctơ chuyển vị của phần tử bởi:
T
qqqq 621 (6.13)
Từ bảng định vị các phần tử ở trên, sau khi tìm được véctơ chuyển vị chung Q, ta
sẽ tìm được véctơ chuyển vị nút của từng phần tử để rồi từ đó đi xác định các đại
lượng khác như ứng suất, biến dạng trong mỗi phần tử.
Chuyển vị tại một điểm bất kì trong phần tử được biểu diễn qua các thành phần
chuyển vị của nút phần tử. Đối với phần tử tam giác có biến dạng là hằng số, các hàm
dạng biến thiên tuyến tính trong phần tử.
Ta có thể biểu diễn các hàm dạng N1, N2, N3 như trên Hình 6.3.
Nhận xét:
- Hàm dạng N1=1 ở nút 1, giảm tuyến tính đến 0 tại nút 2 và nút 3. Tương tự đối với
N2 và N3.
- Bất kì một tổ hợp tuyến tính nào của các hàm dạng trên cũng đều biểu diễn một
mặt phẳng.
- Tổng N1+ N2+ N3 biểu diễn một mặt phẳng có chiều cao là một đơn vị ở các nút 1,
2 và 3; mặt phẳng này song song với mặt phẳng (1, 2, 3). Vì vậy, với N1, N2 và N3
bất kỳ, ta có: N1+ N2+ N3 = 1
=1
2
N1=1
1
3
=1
N1
=1
2
1
3
=1
N2
N2 =1
=1
2
1
3
=1
N3 =1
N3
Hình 6.3. Biểu diễn hình học các hàm dạng
53. 47
Trong ba hàm dạng, có hai hàm là độc lập. Các hàm dạng được biểu diễn qua và
như sau:
N1= 1- - ; N2 = ; N3 =. (6.14)
Trong đó và được gọi là các toạ độ chuẩn hoá hay toạ độ tự nhiên.
Tương tự như trong bài toán một chiều (toạ độ x được biến đổi qua toạ độ , các
hàm dạng là hàm số của ), trong bài toán hai chiều, các toạ độ x, y cũng được biểu
diễn qua các toạ độ và .
Về mặt vật lý, các hàm dạng được biểu diễn bởi các toạ độ diện tích. Khi nối một
điểm nằm trong một tam giác với ba đỉnh, tam giác đó sẽ được chia ra ba tam giác có
diện tích A1, A2, A3 như Hình 6.4.
A
A
N
A
A
N
A
A
N 3
3
2
2
1
1 ;;
Trong đó A là diện tích của phần tử.
3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ
Ta biểu diễn chuyển vị trong phần tử qua các hàm dạng và các chuyển vị nút của
nó như sau:
634221
533211
qNqNqNv
qNqNqNu
(6.15)
hay
u = Nq (6.16)
Trong đó
321
321
000
000
NNN
NNN
N (6.17)
Thay (6.14) vào (6.15), ta có biểu thức xác định chuyển vị qua chuyển vị nút xét trong
hệ toạ độ quy chiếu như sau:
22624
11513
qqqqqv
qqqqqu
(6.18)
(x,y)
A1
A3
A2
1
2
3
Hình 6.4. Toạ độ diện tích
54. 48
Đối với phần tử tam giác, nhờ phép mô tả đẳng tham số, ta có thể biểu diễn toạ độ
(x,y) qua toạ độ nút phần tử với cùng các hàm dạng trên:
332211
332211
yNyNyNy
xNxNxNx
(6.19)
Hay
11312
11312
yyyyyy
xxxxxx
(6.20)
Ta kí hiệu: xij = xi - xj
yij = yi - yj
Từ (6.20), suy ra:
13121
13121
yyyy
xxxx
(6.21)
Đây là mối liên hệ giữa (x, y) với (, ). Để xác định các thành phần biến dạng, ta cần
tính các đạo hàm riêng u và v theo x và y.
Ta có:
u = u(x(, ), y(, )).
v = v(x(, ), y(, )).
Áp dụng qui tắc đạo hàm hàm hợp:
y
y
ux
x
uu
y
y
ux
x
uu
(6.22)
Hoặc dưới dạng ma trận:
y
u
x
u
yx
yx
u
u
(6.23)
Trong đó ma trận vuông (2x2) được gọi là Jacobian của phép biến đổi, ký hiệu là J:
3131
2121
yx
yx
J ( ((
Triển khai lấy đạo hàm của x và y theo và , ta được:
u
u
J
y
u
x
u
1
(6.24)
1
J là ma trận nghịch đảo của J :
2131
21311
det
1
xx
yy
J
J (6.25)
55. 49
Trong đó: det J = x21 y31 – x31 y21
Ta cũng biết rằng, det J chính bằng hai lần diện tích tam giác.
det J= 2A (6.26)
Chú ý: Nếu các nút 1, 2, 3 được xếp đặt theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, thì det J
luôn có dấu dương.
Từ (6.24), (6.25), ta có thể viết:
u
x
u
x
u
y
u
y
J
y
u
x
u
2131
2131
det
1
(6.27)
Thay vai trò của u bởi v, ta cũng được biểu thức tương tự:
v
x
v
x
v
y
v
y
J
y
v
x
v
2131
2131
det
1
(6.28)
Khi ấy, các thành phần biến dạng được xác định bởi:
612521431313223132
621413232
512331123
det
1
qyqxqyqxqyqx
qxqxqx
qyqyqy
J
x
v
y
u
y
v
x
u
(6.29)
Hoặc dưới dạng ma trận:
= B q (6.30)
Trong đó:
122131132332
211332
123123
000
000
det
1
yxyxyx
xxx
yyy
J
B (6.31)
Đây là ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút, trong đó các số hạng đều là các
hằng số và đựơc xác định qua các toạ độ nút của các phần tử.
4. THẾ NĂNG
Thế năng của hệ được xác định bởi:
i
i
T
i
L
T
A
T
A
T
PudlTtdAftudAtD
2
1
(6.32)
56. 50
Trong đó:
T: lực diện tích; f: lực thể tích; t: chiều dầy phần tử
Pi: lực tập trung, Pi = [Px, Py]i
T
Theo sơ đồ phần tử hữu hạn, thế năng được viết dưới dạng:
i
i
T
i
e e
T
e e
T
e e
T
PudlTtdAftudAtD
2
1
(6.33)
Hoặc
i
i
T
i
e e
T
e e
T
e
e PudlTtdAftuU (6.34)
Trong đó:
e
T
e dAtDU
2
1
là năng lượng biến dạng của phần tử
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC
Thế biểu thức của biến dạng vào biểu thức của thế năng biến dạng của phần tử, sẽ
được:
e
TT
e
T
e dADBqtBqdAtDU
2
1
2
1
(6.35)
Vì: t, D, B là hằng số và các ma trận hằng số, do đó
e
e
TT
e dAqtDBBqU
2
1
(6.36)
Mặt khác: e
e
AdA , nên cuối cùng ta được:
qkqqDBBAtqU eTT
ee
T
e
2
1
2
1
(6.37)
Trong đó:
DBBAtk T
ee
e
(6.38)
là ma trận độ cứng của phần tử tam giác; t là độ dầy của phần tử; Ae là diện tích của
phần tử; B là ma trận liên hệ biến dạng-chuyển vị nút của phần tử; D là ma trận liên hệ
ứng suất-biến dạng, nó phụ thuộc vào vật liệu khảo sát. Vì D là ma trận đối xứng, do
đó ke cũng là ma trận đối xứng.
Từ các ma trận độ cứng ke của các phần tử, ta sẽ suy ra ma trận độ cứng K của cả kết
cấu; khi ấy, thế năng biến dạng của cả kết cấu được xác định bởi:
QKQU T
e
2
1
(6.39)
Ma trận K là ma trận đối xứng, thường có dạng dải băng
57. 51
Chú ý: Muốn giảm chiều rộng dải băng trong ma trận K, ta cần giảm hiệu số giữa các
chữ số ở nút của mỗi phần tử trong kết cấu.
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT
6.1. Qui đổi lực thể tích
Ta có:
e
yxe
e
T
dAvfuftdAftu (6.40)
Áp dụng biểu thức nội suy của u và v ta được:
e
ye
e
xe
e
ye
e
xe
e
ye
e
xe
e
T
dANftqdANftq
dANftqdANftq
dANftqdANftqdAftu
3635
2423
1211
(6.41)
Với chú ý:
1
0
1
0
1
0
1
0
11
3
1
12det
ee
e
AddAddJNdAN (6.42a)
1
0
1
0
1
0
1
0
22
3
1
2det
ee
e
AddAddJNdAN (6.42b)
1
0
1
0
1
0
1
0
23
3
1
2det
ee
e
AddAddJNdAN (6.42c)
biểu thức (6.41) sẽ cho
eT
e
T
fqdAftu
Trong đó fe là véctơ lực thể tích qui đổi về nút, và
T
yxyxyx
eee
ffffff
At
f
3
(6.43)
Sau khi xác định được các lực nút fe của phần tử, ta suy ra véctơ lực F chung.
6.2. Qui đổi lực diện tích
Lực diện tích thường là các lực tác dụng trên các cạnh nối các nút phần tử. Vấn đề
là ta phải qui đổi các lực này về nút.
Giả sử cạnh 21l chịu tác dụng của lực kéo Tx và Ty (Hình 6.5).
21l
yx
L
T
dltvTuTdlTtu (6.44)
58. 52
Thay u = Nq, ta sẽ được:
1212
1212
2423
1211
l
ye
l
xe
l
ye
l
xe
L
T
dANTtqdANTtq
dlNTtqdlNTtqdlTtu
(6.45)
Vì N3 = 0 trên cạnh (1-2) suy ra: N1 + N2 = 1;
do đó
121
2
1
12
ldlN
l
Trong đó
2
12
2
1212 yyxxl
eT
L
T
TqdlTtu
ở đây, q là tập hợp các bậc tự do nút tương ứng với cạnh 1-2.
T
qqqqq 4321 (6.46)
Cuối cùng
T
yxyx
ee
TTTT
lt
T 00
2
12
(6.47)
6.3. Lực tập trung
Để tiện cho việc tính toán, người ta thường lấy nút tại điểm đặt lực tập trung.
Nếu i là nút có lực: Pi = [Px, Py]T tác dụng, thì
ui
TPi = Q2i-1 Px + Q2i Py (6.48)
Cuối cùng ta có thể viết
FPTf ee
(6.49)
Sau khi tính được năng lượng biến dạng và các thành phần lực nút, ta viết biểu thức
thế năng toàn phần dưới dạng:
1
2
3
y
x
Tx
Ty
Tx2
Ty2
Ty1
Tx1
l12
Hình 6.5. Lực tác dụng trên cạnh phần tử
59. 53
FQKQQ TT
2
1
(6.50)
Áp dụng điều kiện cực tiểu hoá thế năng, ta thu được hệ phương trình:
K Q = F (6.51)
Giải hệ phương trình (6.51), ta tìm được véctơ chuyển vị nút Q.
6.4. Tính ứng suất
Vì biến dạng là hằng số trong phần tử, do đó ứng suất cũng là hằng số. Ta cần xác
định giá trị ứng suất trong mỗi phần tử: = D.
Mà: = Bq, do đó:
= DBq (6.52)
Từ chuyển vị chung Q, nhờ bảng ghép nối phần tử, suy ra các chuyển vị nút q của
từng phần tử, sau đó thay vào (6.52) sẽ tính được ứng suất. Ứng suất chính và phương
chính được xác định nhờ vòng Mohr ứng suất.
7. VÍ DỤ
Cho một tấm kim loại hình vuông, cạnh dài 2m, chịu lực như Hình 6.6.
Biết E = 182 gPa; = 0,3; t = 0,01 m. Xác định ứng suất trong tấm cho hai trường
hợp:
a. Chỉ có P = 100 kN tác dụng,
b. Chỉ có p = 10 mN/m2 tác dụng.
P=100 kN
P
p=10mN/m2
P
P
p
2m
y
x
q
(a)
(b)
Hình 6.6. Mô hình PTHH tính tấm vuông chịu kéo
1 2
1
2
43
P=100 kN
60. 54
Lời giải
Do kết cấu đối xứng, chịu tải trọng đối xứng, nên ta chỉ cần xét một phần tư tấm
với hai phần tử (Hình 6.6b).
Ta thiết lập được bảng định vị các phần tử
Bậc t.do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 3 4 7 8 5 6
Điều kiện biên:
Tại nút 1: u = v = 0, tương ứng ta có Q1 = Q2 = 0;
Tại nút 2: v = 0, tương ứng ta có Q4 = 0;
Tại nút 3: u = 0, tương ứng ta có Q5 = 0;
Áp dụng các công thức (6.38): ke = te Ae BT DB Ta xác định được ma trận độ cứng cho
từng phần tử.
Phần tử 1
mm/Nk 31
10
1000003001000300
03503500350350
03503500350350
3000010003001000
10003503503001350650
30035035010006501350
Phần tử 2
mm/Nk 32
10
35003503500350
0100030010003000
35030013506501000350
35010006501350300350
0300100030010000
35003503500350
Ma trận độ cứng chung K
3
10
1350650350300100035000
6501350350100030035000
3503501350006501000300
3001000013506500350350
1000300065013500350350
3503506500013503001000
0010003503503001350650
0030035035010006501350
K
61. 55
Trường hợp 1: P = 100 kN
Sau khi áp đặt điều kiện biên ta có hệ phương trình:
3
8
7
6
3
3
10
0
100
0
0
1350650350350
6501350350350
3503501350650
3503506501350
10
Q
Q
Q
Q
Giải hệ phương trình, ta được:
Q3 = 9,971510-3 (mm)
Q6 = 9,971510-3 (mm)
Q7 = 99,91910-3 (mm)
Q8 = -42,93810-3 (mm)
Để tính ứng suất trong mỗi phần tử, ta áp dụng công thức (6.52):
= D B q
Trong đó
mND /
7000
020060
060200
109
T
q 09715,9009715,9010 61
101101
001010
010100
1
B
Cuối cùng ta tính được ứng suất trong phần tử 1
MPa,
,
xy
y
x
0
5932
5932
Thực hiện các bước tương tự cho phần tử 2:
T
q 938,42919,9909715,99715,9010 62
110110
101000
010001
2
B
Và ứng suất trong phần tử 2:
MPa
,
,
,
xy
y
x
59262
59262
40717
62. 56
Trường hợp 2: p =10 mN/m2
Áp dụng công thức (6.47) để tính lực nút qui đổi, ta được:
F3 = 50000 N và F7 = 50000 N
Ta thiết lập được hệ phương trình:
3
8
7
6
3
3
10
0
50
0
50
1350650350350
6501350350350
3503501350650
3503506501350
10
Q
Q
Q
Q
Giải hệ phương trình, ta tìm được các chuyển vị nút
Q3 = 54,945110-3 (mm); Q6 = -16,483510-3 (mm);
Q7 = 54,945110-3 (mm); Q8 = -16,483510-3 (mm).
Cuối cùng ta tính được các thành phần ứng suất trong các phần tử 1 và 2 (có cùng giá
trị):
MPa
xy
y
x
0
0
10
Trong cả hai trường hợp đặt tải, kết quả theo phương pháp phần tử hữu hạn trùng với
kết quả chính xác.
63. 57
BÀI TẬP CHƯƠNG 6
1. Tìm chuyển vị tại hai điểm A và B và phân bố ứng suất trong tấm phẳng có
kích thước và chịu tải trọng như Hình C6.1. Vật liệu của tấm là thép có môđun đàn hồi
Ethép=210gPa và hệ số Poisson =0,22; với a = 0,2 m ; b = 0,3 m; t = 5 mm và q = 8
kN/m2. Hãy xét với các trường hợp chia lưới như sau:
a. Hai phần tử tam giác như trên Hình C6.1a
b. Ba phần tử tam giác như trên Hình C6. 1b
c. So sánh kết quả trong hai trường hợp trên và đưa ra nhận xét và khuyến cáo.
d. Thay đổi liên kết của tấm như trên Hình C6.1c và d, liệu các kết quả tính trên
Hình C6.1a và b có thay đổi hay không? Giải thích?
2. Một vòng dẹt ( h << ri , re ) chịu áp suất
trong p như trên Hình C6.2. Hãy tính chuyển vị và
ứng suất trong vòng. Đây là dạng bài toán vật đối
xứng trục chịu tải đối xứng trục và có thể sử dụng
các phần tử dạng vỏ đối xứng trục để giải. Nhưng
ở đây ta sẽ sử dụng mô hình bài toán ứng suất
phẳng để giải quyết. Với: ri = 15mm; re = 30mm;
p = 120N/mm2; E = 70000 N/mm2; = 0,3 và h =
1mm.
So sánh kết quả tìm được với các kết quả giải
tích như sau:
4 3
21
b
a
II
I
B
A
q
4 3
21
b/2
a
II
I
B
q
III 5
b/2
b
4 3
21
b
a
II
I
B
q
4 3
21
b/2
a
II
I
B
q
II
I
5
b/2
b
a) b)
c) d)
Hình C6.1.Các dạng luới với phần tử tam giác
A
A A
p
ơ
h
re
ri
Hình C6.2. Vòng dẹt chịu áp lực
